第六单元多边形的面积（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

该小学数学第六单元“多边形的面积”复习讲义以转化思想为核心，通过知识框架图系统梳理平行四边形、三角形、梯形等图形的面积推导过程，清晰呈现底高概念、公式变形及面积关系，构建“基础概念-公式推导-规律应用”的递进知识脉络。 讲义亮点在于“易错指引”精准归纳公式混淆、底高不对应等典型问题，“真题拔高”设计拼合图形面积计算、梯形菜地产量等多样化题型，培养几何直观与应用意识。基础题巩固公式，拔高题提升推理能力，助力教师实施分层教学，学生自主复习时可针对性突破。

第六单元 多边形的面积（单元举一反三讲义） 知识精讲 一、单元核心思想与基础概念 1. 核心数学思想——转化思想 （1）本单元所有多边形面积公式均通过转化法推导，将未知图形转化为已学过的长方形。 ① 通过剪拼、平移、旋转等方式改变图形形状，不改变图形的面积大小。 ② 转化前后面积相等，属于等积变形，是推导面积公式的根本依据。 2. 底和高的通用概念 （1）底：多边形任意一条边都可以作为底边，简称底。 （2）高：从底边对应的对边任意一点，向底边作的垂直线段，叫做这条底对应的高。 ① 底和高必须相互垂直，一一对应，不能随意搭配使用。 ② 同一个多边形，底边不同，对应的高也不相同。 ③ 高可以在图形内部、图形边上，部分图形的高可以在图形外部。 二、平行四边形的面积 1. 面积公式推导原理 （1）把平行四边形沿任意一条高剪开，通过平移拼接，可以转化成一个长方形。 ① 转化后的长方形的长，等于原平行四边形的底。 ② 转化后的长方形的宽，等于原平行四边形的高。 ③ 长方形面积与原平行四边形面积完全相等。 2. 面积公式 （1）平行四边形面积 = 底 × 高 （2）字母公式：S = ah ① S 表示面积，a 表示底，h 表示这条底对应的高。 3. 公式变形 （1）已知面积和底，求高：h = S ÷ a （2）已知面积和高，求底：a = S ÷ h 4. 平行四边形面积变化规律 （1）底不变，高扩大几倍，面积就扩大几倍。 （2）高不变，底扩大几倍，面积就扩大几倍。 （3）长方形框架拉成平行四边形，周长不变，高变小，面积变小。 （4）平行四边形框架拉成长方形，周长不变，高变大，面积变大。 三、三角形的面积 1. 面积公式推导原理 （1）用两个完全相同的三角形，可以拼成一个平行四边形。 ① 拼成的平行四边形的底等于三角形的底。 ② 拼成的平行四边形的高等于三角形的高。 ③ 一个三角形的面积是拼成平行四边形面积的一半。 2. 面积公式 （1）三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2 （2）字母公式：S = ah ÷ 2 3. 公式变形 （1）已知面积和底，求高：h = 2S ÷ a （2）已知面积和高，求底：a = 2S ÷ h 4. 三角形面积核心规律 （1）等底等高的三角形，面积一定相等，形状可以不同。 （2）三角形面积是等底等高平行四边形面积的一半。 （3）底和高乘积越大，三角形面积越大，单一底或高无法决定面积大小。 四、梯形的面积 1. 梯形基础概念 （1）梯形：只有一组对边平行的四边形。 （2）上底、下底：互相平行的一组对边，分别叫做上底、下底。 （3）腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰。 （4）梯形的高：两条底边之间的垂直线段，梯形有无数条高，所有高长度都相等。 2. 面积公式推导原理 （1）用两个完全相同的梯形，可以拼成一个平行四边形。 ① 拼成的平行四边形的底 = 梯形上底 + 梯形下底。 ② 拼成的平行四边形的高 = 梯形的高。 ③ 一个梯形的面积是拼成平行四边形面积的一半。 3. 面积公式 （1）梯形面积 =（上底 + 下底）× 高 ÷ 2 （2）字母公式：S = (a＋b)h ÷ 2 ① a 表示上底，b 表示下底，h 表示高。 4. 公式变形 （1）已知面积、上底、下底，求高：h = 2S ÷ (a＋b) （2）已知面积、高、上底，求下底：b = 2S ÷ h－a （3）已知面积、高、下底，求上底：a = 2S ÷ h－b 五、组合图形的面积 1. 组合图形定义 （1）由两个或两个以上基本多边形（长方形、平行四边形、三角形、梯形）组合而成的图形，叫做组合图形。 2. 核心计算思路 （1）分割法：将复杂组合图形分割成若干个规则基本图形，分别求面积后相加求和。 （2）添补法：将不规则图形补成一个大的规则图形，用大图形面积减去补上的空白图形面积。 3. 计算原则 ① 优先选择分割块数少、计算简便的拆分方式。 ② 拆分后所有图形的底、高数据必须完整、可求。 六、不规则图形的面积估算 1. 数方格估算方法 （1）满格的方格全部算作1格。 （2）不满一格的方格，统一按半格计算，两个半格合并为1格。 2. 近似转化估算方法 （1）把不规则图形近似看成相近的规则多边形，利用公式估算面积。 七、各类图形面积关系总结 1. 等高等底规律 （1）等底等高的平行四边形面积相等。 （2）等底等高的三角形面积相等。 （3）等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半。 2. 面积相等规律 （1）面积相等、底相等的三角形和平行四边形，三角形的高是平行四边形高的2倍。 （2）面积相等、高相等的三角形和平行四边形，三角形的底是平行四边形底的2倍。 易错指引 1. 公式易错点 （1）计算三角形、梯形面积时，容易忘记除以2，导致结果偏大。 （2）公式变形记忆混乱，已知面积求高、求底时，忘记先乘2再计算。 2. 底高对应易错点 （1）计算时底和高不对应，随意搭配不垂直的底和高计算面积。 （2）误认为图形的侧边可以当作高，忽略高必须垂直于底边的核心要求。 3. 图形变换易错点 （1）把长方形拉成平行四边形，错误认为面积不变，实际高变小、面积变小。 （2）误认为两个三角形可以拼成平行四边形，必须是完全相同的两个三角形才可拼接。 4. 概念易错点 （1）面积相等的两个图形，形状不一定相同。 （2）周长相等的多边形，面积不一定相等。 （3）梯形的高有无数条，所有高长度相等，不是只有两条高。 真题拔高 一、填空题 1．用一个长方形和一个直角三角形正好能拼成一个直角梯形。拼成的直角梯形的上底是6厘米，下底是9厘米，两条腰的长分别是4厘米和5厘米。这个长方形的周长是( )厘米，直角三角形的面积是( )平方厘米。 【答案】 20 6 【分析】这个直角梯形的上底就是长方形的长，较短的腰长4厘米就是这个直角梯形的高，也就是长方形的宽，据此可求出这个长方形的周长；这个直角三角形的底就是梯形的下底减去上底，高就是长方形的宽，由此可求出这个直角三角形的面积。 【详解】（6＋4）×2 ＝10×2 ＝20（厘米） 4×（9－6）÷2 ＝4×3÷2 ＝6（平方厘米） 这个长方形的周长是20厘米，直角三角形的面积是6平方厘米。 2．如图中四边形ABCD是长方形，线段EF与线段BC平行，线段GH与线段AB平行。线段AB的长是10cm，线段BC的长是8cm，那么图中涂色部分的面积是( )cm2。 【答案】40 【分析】根据等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半，如图： 结合图示可知，涂色部分①的面积等于长方形AEMG面积的一半，涂色部分②的面积等于长方形BEMH面积的一半，涂色部分③的面积等于长方形DFMG面积的一半，涂色部分④的面积等于长方形CFMH面积的一半，所以这个图形涂色部分的面积等于长方形ABCD面积的一半，据此结合题意分析解答即可。 【详解】如图： 10×8÷2 ＝80÷2 ＝40（平方厘米） 3．如图，三角形的面积是30cm2，平行四边形的底边长为8cm，三角形的底边长为8cm。平行四边形的面积是( )cm2，平行四边形面积与梯形面积的最简整数比是( )。 【答案】 60 2∶3 【分析】与三角形等底等高的平行四边形的面积是三角形的面积的2倍，据此可求出平行四边形的面积；梯形的面积等于三角形的面积加上平行四边形的面积，然后用平行四边形的面积比上梯形的面积即可。 【详解】平行四边形面积：30×2＝60（cm2） 梯形面积：30＋60＝90（cm2） 面积比：60∶90 ＝（60÷30）∶（90÷30） ＝2∶3 4．如图，它是两个完全相同的直角三角形叠在一起。求阴影部分面积列算式解答是( )。 【答案】（7＋10）×6÷2＝51（平方厘米） 【分析】阴影部分面积加上小直角三角形的面积即为大直角三角形的面积，左侧直角梯形的面积加上小直角三角形的面积亦为大直角三角形的面积，所以阴影部分面积即为左侧直角梯形的面积，根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数值即可解答。 【详解】（7＋10）×6÷2 ＝17×6÷2 ＝102÷2 ＝51（平方厘米） 5．下面是一个梯形转化为三角形的过程，如果梯形的面积是48cm2，高是6cm，那么转化后三角形的底是( )cm。 【答案】16 【分析】根据题意，梯形转化成三角形，那么梯形的面积等于三角形的面积；从图中可知，三角形的高等于梯形的高，根据三角形面积＝底×高÷2，可得底＝面积×2÷高，代入数值即可求出三角形的底。 【详解】48×2÷6 ＝96÷6 ＝16（cm） 6．李叔叔用一根32分米长的铁丝围成一个正方形框架，如果把正方形框架拉成一个平行四边形，那么平行四边形的面积是( )平方分米，周长是( )分米。 【答案】 48 32 【分析】铁丝的总长度等于正方形的周长，把正方形框架拉成一个平行四边形，四条边的长度不变，则平行四边形的周长等于正方形的周长；根据“”求出正方形的边长，平行四边形的底等于正方形的边长，平行四边形的高比正方形的边长少2分米，先求出平行四边形的高，再根据“”求出平行四边形的面积。 【详解】32÷4＝8（分米） 8×（8－2） ＝8×6 ＝48（平方分米） 分析可知，平行四边形的面积是48平方分米，周长是32分米。 7．一个平行四边形和一个三角形的面积相等，底也相等。已知平行四边形的高是6.8厘米，三角形的高是( )厘米。 【答案】13.6 【分析】平行四边形和一个三角形的面积相等，底也相等。那么三角形的高必须是平行四边形高的2倍。 【详解】（厘米） 因此三角形的高是13.6厘米。 8．一个三角形和一个平行四边形面积相等，一条底同样长。若三角形这条底上的高是12厘米，则平行四边形这条底上的高是( )厘米。 【答案】6 【分析】已知一个三角形和一个平行四边形的底相等，面积也相等，根据平行四边形的面积＝底×高、三角形的面积＝底×高÷2，可得平行四边形的高等于三角形的高除以2。 【详解】12÷2＝6（厘米） 所以，平行四边形这条底上的高是6厘米。 9．临汾鼓楼有一块梯形装饰板，上底是8分米，下底是10分米，高是6分米。工匠准备从这块板上裁出一块最大的平行四边形，用来雕刻平阳木板纹样，那么用来雕刻纹样的面积是( )平方分米，剩余部分的面积是( )平方分米。 【答案】 48 6 【分析】 如图，在一块梯形装饰板上裁出一块最大的平行四边形，平行四边形的底等于梯形的上底，平行四边形的高等于梯形的高。根据平行四边形面积＝底×高求出用来雕刻纹样的面积。再根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2求出装饰板面积后减去平行四边形面积求出剩余部分面积。 【详解】（平方分米） 用来雕刻纹样的面积是48平方分米。 （平方分米） （平方分米） 剩余部分的面积是6平方分米。 10．一个平行四边形，相邻两边的长度分别是2.4分米和1.6分米，其中一条边上的高是1.8分米，这个平行四边形的面积是( )平方分米，与它等底等高的三角形面积是( )平方分米。 【答案】 2.88 1.44 【分析】先根据“高小于对应的底”判断高1.8分米对应的底是1.6分米，再用平行四边形面积公式算出面积；三角形面积是等底等高平行四边形面积的一半，据此可解答。 【详解】1.8×1.6＝2.88（平方分米） 2.88÷2＝1.44（平方分米） 二、选择题 11．下面内容的学习运用了“转化”的数学思想的（    ）。 ①求内角和：        ②求面积： ③计算小数乘法：    ④求体积： A．只有①② B．只有①③④ C．只有②③④ D．有①②③④ 【答案】D 【分析】①通过将多边形分割为若干三角形，利用三角形内角和推导多边形内角和。三角形的内角和是180°，由三角形的内角和即可求出多边形的内角和。 ②求梯形面积时，通过割补法将梯形转化为平行四边形，利用平行四边形面积公式推导梯形面积公式，运用了转化思想。 ③计算小数乘法1.92×0.9时，将小数转化为整数192×9进行计算，再根据因数的小数位数确定积的小数点位置，运用了转化思想。 ④求圆柱体积时，通过切拼法将圆柱转化为近似的长方体，利用长方体体积公式推导圆柱体积公式，运用了转化思想。据此解答。 【详解】①因为每个三角形内角和为180°， 五边形可分成3个三角形， 内角和为， ①运用了“转化”思想； ②把梯形沿腰中点割补成平行四边形，平行四边形的底等于梯形上底加下底的和，高等于梯形高的一半。 根据平行四边形面积＝底×高， 推导出梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2。 ②运用了“转化”思想； ③计算1.92×0.9时，先将1.92扩大100倍变为192，0.9扩大10倍变为9，转化为整数乘法192×9＝1728。100×10＝1000，再将积缩小到原来的，得到1728÷1000＝1.728。 ③运用了转化思想； ④把圆柱沿底面半径和高切成若干等份，拼成近似的长方体。长方体的底面积等于圆柱的底面积，高等于圆柱的高。 根据长方体体积＝底面积×高， 推导出圆柱体积＝底面积×高。 ④运用了转化思想。 因此运用了“转化”的数学思想的有①②③④。 12．一个梯形的上底是3cm，下底是7cm，高是5cm，它的面积是（    ）cm2。 A．50 B．25 C．100 D．105 【答案】B 【分析】根据梯形的面积公式，其中表示上底，表示下底，表示高。题目已给出上底、下底和高的具体数值，直接代入公式进行综合算式计算，得出结果后与选项对比即可。 【详解】梯形的面积公式为： 代入题干数据列综合算式如下： 计算结果为，对比选项，B选项符合。 13．如图中长方形面积（    ）平行四边形面积。 A．大于 B．小于 C．等于 D．可能大于可能小于 【答案】C 【分析】长方形的面积长宽，平行四边形的面积底高。结合图形进行判断。 【详解】通过观察图形可知，平行四边形的底等于长方形的长，平行四边形的高等于长方形的宽，所以它们的面积相等。 14．数学作业本的面积大约是6（    ）。 A．平方厘米 B．平方分米 C．平方米 D．公顷 【答案】B 【分析】结合生活经验，建立平方厘米、平方分米、平方米等单位的表象，根据对常见面积单位的实际大小的感知，逐项分析，从而选择合适的单位。 【详解】A ．平方厘米：平方厘米大约是大拇指指甲盖的大小，平方厘米面积太小，不符合实际，此选项错误。 B．平方分米：平方分米大约是成人手掌的大小，平方分米符合数学作业本的实际面积，此选项正确。 C．平方米：1平方米大约是4块地砖拼成的正方形大小，平方米面积太大，不符合实际，此选项错误。 D．公顷：公顷是边长为米的正方形面积，公顷面积极大，不符合实际，此选项错误。 15．三角形ABC中，底边BC和它所对应的高都是4厘米。如果把点A和点C同时以2厘米/秒的速度向右平移，就形成一个梯形（如图），经过3秒，形成的梯形面积是（    ）平方厘米。 A．64 B．40 C．32 D．20 【答案】C 【分析】根据平移的特性，点A和点C同时平移，那么平移后形成的梯形的高相当于三角形ABC的高；根据速度×时间＝距离，可以求出梯形的上底AA´的长度，以及CC´的长度，下底的长度为（BC＋CC´）；再根据梯形面积公式：（上底＋下底）×高÷2，据此解答即可。 【详解】上底长度：2×3＝6（厘米） 下底长度：4＋2×3＝4＋6＝10（厘米） （6＋10）×4÷2 ＝16×4÷2 ＝64÷2 ＝32（平方厘米） 所以形成的梯形面积是32平方厘米。 三、判断题 16．梯形可以分成两个三角形，所以一个三角形就是它所在梯形面积的一半。( ) 【答案】× 【分析】根据三角形面积＝底×高÷2，判断梯形分成的两个三角形面积是否相等，即可判断出一个三角形是否是它所在梯形面积的一半。 【详解】梯形沿对角线分成两个三角形，三角形面积＝底×高÷2，两个三角形的高是梯形的高，底分别是梯形的上底和下底，但上底不等于下底，故两个三角形面积不相等，因此一个三角形面积不是它所在梯形面积的一半。 故答案为：× 17．把自制长方形木框拉成平行四边形，周长不变，面积变小。( ) 【答案】√ 【分析】长方形木框拉成平行四边形，四条边的长度不变；长方形的宽大于平行四边形的高，底不变，高变小。 【详解】把长方形木框拉成平行四边形周长不变；拉成平行四边形后，底等于原来的长，平行四边形的高小于原来的宽，面积变小。原题说法正确。 故答案为：√ 18．一个三角形的底缩小到原来的一半，高扩大到原来的2倍，面积不变。( ) 【答案】√ 【分析】根据三角形面积＝底×高÷2，设原来三角形的底是a，高是h；新三角形的底是（a÷2），高是（h×2），据此代入三角形面积公式，求出新三角形面积和原来三角形的面积，再进行比较，即可解答。 【详解】设原来三角形的底是a，高是h；新三角形的底是（a÷2），高是（h×2）。 原来三角形的面积：a×h÷2＝ah÷2 新三角形的面积： （a÷2）×（h×2）÷2 ＝a÷2×h×2÷2 ＝ah÷2 原来三角形面积＝新三角形面积。 一个三角形的底缩小到原来的一半，高扩大到原来的2倍，面积不变。原题干说法正确。 故答案为：√ 19．梯形的上底和高不变，下底扩大到原来的5倍，它的面积就扩大到原来的5倍。( ) 【答案】 × 【分析】梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，根据梯形面积公式可知： 2是固定值，上底与下底的和，作为一个因数存在，另外一个因数是高，再根据积的变化规律：如果一个因数扩大到原来的若干倍，另一个因数不变，那么积也扩大到原来的相同倍数，进行判断即可。 【详解】由分析可得：因为上底与下底的和，作为一个因数存在，高不变时，只有上底和下底同时扩大到原来的5倍，才会让面积扩大到原来的5倍，只把下底扩大到原来的5倍，不会使面积扩大5倍。 故答案为：× 20．将一个梯形的上底增加4cm，下底减少4cm，高不变，得到的新梯形的面积与原梯形的面积相等。( ) 【答案】√ 【分析】根据梯形的面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2。当高不变，上底增加4cm，下底减少4cm时，上底与下底之和不变，因此梯形的面积不变，举例说明即可。 【详解】假设梯形的上底是5cm，下底是8cm，高是4cm。 原梯形的面积： （5＋8）×4÷2 ＝13×4÷2 ＝26（cm2） 新梯形的面积： [（5＋4）＋（8－4）]×4÷2 ＝[9＋4]×4÷2 ＝13×4÷2 ＝26（cm2） 所以，新梯形的面积与原梯形的面积相等。 故答案为：√ 四、作图题 21．按要求，画一画。 (1)画出图①向下平移4格后的图形。 (2)画出图②三角形指定底边上的高。 (3)根据对称轴补全图③这个轴对称图形。 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）图①向下平移4格的作图步骤：先找出图①的所有顶点，把每个顶点向下数4格，描出平移后的对应顶点； 按照原图形的形状，顺次连接这些对应顶点，就得到平移后的图形。 （2）画三角形指定底边上的高：把三角板的一条直角边和题目标注的底边重合，移动三角板让另一条直角边经过底边所对的顶点，从顶点向底边画垂直线段，最后标出直角符号，这条线段就是指定底边上的高。 （3）补全轴对称图形③：找出已知半边图形的所有顶点，分别数出每个顶点到左侧对称轴的水平距离； 在对称轴另一侧，按照相同距离找到每个顶点的对称点； 顺次连接所有对称点，就能补全这个轴对称图形。 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 22．按要求作图。 （1）把图中的三角形绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （2）按1∶2的比画出梯形缩小后的图形，缩小后的梯形面积是原来的（    ）%。 【答案】（1） （2）；25% 【分析】（1）根据旋转的特征，图中三角形绕点O顺时针旋转90°，点O的位置不动，这个图形的各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形。 （2）由图可知，原来梯形上底是2格，下底是4格，高是4格。根据图形缩小的意义，把图中梯形的上、下底及高均缩小到原来的，对应角大小不变，所得到的图形就是原图形按1∶2缩小后的图形。根据梯形的面积计算公式“S＝（a＋b）h÷2”分别计算出缩小后图形的面积、原图形的面积，再用缩小后图形的面积除以原图形的面积，再将结果换算为百分数。 【详解】（1）图略 （2）2÷2＝1（格） 4÷2＝2（格） 图略 缩小后的梯形面积是原来的： [（1＋2）×2÷2]÷[（2＋4）×4÷2] ＝[3×2÷2]÷[6×4÷2] ＝[6÷2]÷[24÷2] ＝3÷12 ＝0.25 ＝25% 按1∶2的比画出梯形缩小后的图形，缩小后的梯形面积是原来的25%。 五、解答题 23．一块梯形菜地，上底是12米，下底是18米，高是10米。如果每平方米收白菜8.5千克，这块地一共可以收白菜多少千克？ 【答案】1275千克 【分析】根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，先计算出这块梯形菜地的面积。再根据总产量＝面积×每平方米收白菜的质量，代入数值，即可求出这块地一共可以收白菜的质量。 【详解】梯形面积：（12＋18）×10÷2 ＝30×10÷2 ＝300÷2 ＝150（平方米） 150×8.5＝1275（千克） 答：这块地一共可以收白菜1275千克。 24．一条拦河坝的横断面是梯形，上、下底之和是45米，高是6米，这条拦河坝的长是35米。修这条拦河坝共需要土石多少方？ 【答案】4725方 【分析】求土石方量即求其体积。根据体积计算公式：体积＝横截面面积×长，先利用梯形面积公式（上底＋下底）×高÷2求出横截面面积，题目已知上、下底之和，可直接代入计算，最后乘拦河坝的长。注意1立方米＝１方。 【详解】 （立方米） 4725立方米＝4725方 答：修这条拦河坝共需要土石4725方。 25．已知三角形ABC和梯形DEFG的面积相等，高也相等。梯形的下底DE＝3cm，那么它的上底GF是多少厘米？ 【答案】1.8厘米 【分析】由图片中数据信息根据三角形的面积＝底×高÷2求出三角形的面积，再根据三角形的面积等于梯形的面积，用三角形的面积乘2，再除以梯形的高，最后再减去梯形的下底即可。 【详解】三角形面积： 4.8×3.2÷2 ＝15.36÷2 ＝7.68（平方厘米） 7.68×2÷3.2－3 ＝15.36÷3.2－3 ＝4.8－3 ＝1.8（厘米） 答：梯形的上底GF是1.8厘米。 26．如图所示，张伯伯圈了一块直角梯形菜地用来种大白菜。这块菜地一面靠墙，共用篱笆72米。如果每平方米收大白菜14千克，张伯伯这块地一共可以收大白菜多少千克？ 【答案】4368千克 【分析】篱笆总长72米，斜边20米，靠墙不用篱笆，72－20算出梯形上底加下底的和，用梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2求面积，再乘每平方米白菜产量得到总收成。 【详解】72－20＝52（米） 52×12÷2 ＝624÷2 ＝312（平方米） 312×14＝4368（千克） 答：一共可以收大白菜4368千克。 27．一块梯形菜地，上底是12.5米，下底是17.5米，高是8米。如果每平方米能收获6千克萝卜，这块菜地一共能收获多少千克萝卜？ 【答案】720千克 【分析】先根据梯形面积公式“（上底＋下底）×高÷2”求出菜地的面积，再根据乘法的意义，用菜地的面积乘每平方米收获萝卜的质量，求出这块菜地一共能收获萝卜的总质量。 【详解】 （平方米） （千克） 答：这块菜地一共能收获720千克萝卜。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 多边形的面积（单元举一反三讲义） 知识精讲 一、单元核心思想与基础概念 1. 核心数学思想——转化思想 （1）本单元所有多边形面积公式均通过转化法推导，将未知图形转化为已学过的长方形。 ① 通过剪拼、平移、旋转等方式改变图形形状，不改变图形的面积大小。 ② 转化前后面积相等，属于等积变形，是推导面积公式的根本依据。 2. 底和高的通用概念 （1）底：多边形任意一条边都可以作为底边，简称底。 （2）高：从底边对应的对边任意一点，向底边作的垂直线段，叫做这条底对应的高。 ① 底和高必须相互垂直，一一对应，不能随意搭配使用。 ② 同一个多边形，底边不同，对应的高也不相同。 ③ 高可以在图形内部、图形边上，部分图形的高可以在图形外部。 二、平行四边形的面积 1. 面积公式推导原理 （1）把平行四边形沿任意一条高剪开，通过平移拼接，可以转化成一个长方形。 ① 转化后的长方形的长，等于原平行四边形的底。 ② 转化后的长方形的宽，等于原平行四边形的高。 ③ 长方形面积与原平行四边形面积完全相等。 2. 面积公式 （1）平行四边形面积 = 底 × 高 （2）字母公式：S = ah ① S 表示面积，a 表示底，h 表示这条底对应的高。 3. 公式变形 （1）已知面积和底，求高：h = S ÷ a （2）已知面积和高，求底：a = S ÷ h 4. 平行四边形面积变化规律 （1）底不变，高扩大几倍，面积就扩大几倍。 （2）高不变，底扩大几倍，面积就扩大几倍。 （3）长方形框架拉成平行四边形，周长不变，高变小，面积变小。 （4）平行四边形框架拉成长方形，周长不变，高变大，面积变大。 三、三角形的面积 1. 面积公式推导原理 （1）用两个完全相同的三角形，可以拼成一个平行四边形。 ① 拼成的平行四边形的底等于三角形的底。 ② 拼成的平行四边形的高等于三角形的高。 ③ 一个三角形的面积是拼成平行四边形面积的一半。 2. 面积公式 （1）三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2 （2）字母公式：S = ah ÷ 2 3. 公式变形 （1）已知面积和底，求高：h = 2S ÷ a （2）已知面积和高，求底：a = 2S ÷ h 4. 三角形面积核心规律 （1）等底等高的三角形，面积一定相等，形状可以不同。 （2）三角形面积是等底等高平行四边形面积的一半。 （3）底和高乘积越大，三角形面积越大，单一底或高无法决定面积大小。 四、梯形的面积 1. 梯形基础概念 （1）梯形：只有一组对边平行的四边形。 （2）上底、下底：互相平行的一组对边，分别叫做上底、下底。 （3）腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰。 （4）梯形的高：两条底边之间的垂直线段，梯形有无数条高，所有高长度都相等。 2. 面积公式推导原理 （1）用两个完全相同的梯形，可以拼成一个平行四边形。 ① 拼成的平行四边形的底 = 梯形上底 + 梯形下底。 ② 拼成的平行四边形的高 = 梯形的高。 ③ 一个梯形的面积是拼成平行四边形面积的一半。 3. 面积公式 （1）梯形面积 =（上底 + 下底）× 高 ÷ 2 （2）字母公式：S = (a＋b)h ÷ 2 ① a 表示上底，b 表示下底，h 表示高。 4. 公式变形 （1）已知面积、上底、下底，求高：h = 2S ÷ (a＋b) （2）已知面积、高、上底，求下底：b = 2S ÷ h－a （3）已知面积、高、下底，求上底：a = 2S ÷ h－b 五、组合图形的面积 1. 组合图形定义 （1）由两个或两个以上基本多边形（长方形、平行四边形、三角形、梯形）组合而成的图形，叫做组合图形。 2. 核心计算思路 （1）分割法：将复杂组合图形分割成若干个规则基本图形，分别求面积后相加求和。 （2）添补法：将不规则图形补成一个大的规则图形，用大图形面积减去补上的空白图形面积。 3. 计算原则 ① 优先选择分割块数少、计算简便的拆分方式。 ② 拆分后所有图形的底、高数据必须完整、可求。 六、不规则图形的面积估算 1. 数方格估算方法 （1）满格的方格全部算作1格。 （2）不满一格的方格，统一按半格计算，两个半格合并为1格。 2. 近似转化估算方法 （1）把不规则图形近似看成相近的规则多边形，利用公式估算面积。 七、各类图形面积关系总结 1. 等高等底规律 （1）等底等高的平行四边形面积相等。 （2）等底等高的三角形面积相等。 （3）等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半。 2. 面积相等规律 （1）面积相等、底相等的三角形和平行四边形，三角形的高是平行四边形高的2倍。 （2）面积相等、高相等的三角形和平行四边形，三角形的底是平行四边形底的2倍。 易错指引 1. 公式易错点 （1）计算三角形、梯形面积时，容易忘记除以2，导致结果偏大。 （2）公式变形记忆混乱，已知面积求高、求底时，忘记先乘2再计算。 2. 底高对应易错点 （1）计算时底和高不对应，随意搭配不垂直的底和高计算面积。 （2）误认为图形的侧边可以当作高，忽略高必须垂直于底边的核心要求。 3. 图形变换易错点 （1）把长方形拉成平行四边形，错误认为面积不变，实际高变小、面积变小。 （2）误认为两个三角形可以拼成平行四边形，必须是完全相同的两个三角形才可拼接。 4. 概念易错点 （1）面积相等的两个图形，形状不一定相同。 （2）周长相等的多边形，面积不一定相等。 （3）梯形的高有无数条，所有高长度相等，不是只有两条高。 真题拔高 一、填空题 1．用一个长方形和一个直角三角形正好能拼成一个直角梯形。拼成的直角梯形的上底是6厘米，下底是9厘米，两条腰的长分别是4厘米和5厘米。这个长方形的周长是( )厘米，直角三角形的面积是( )平方厘米。 2．如图中四边形ABCD是长方形，线段EF与线段BC平行，线段GH与线段AB平行。线段AB的长是10cm，线段BC的长是8cm，那么图中涂色部分的面积是( )cm2。 3．如图，三角形的面积是30cm2，平行四边形的底边长为8cm，三角形的底边长为8cm。平行四边形的面积是( )cm2，平行四边形面积与梯形面积的最简整数比是( )。 4．如图，它是两个完全相同的直角三角形叠在一起。求阴影部分面积列算式解答是( )。 5．下面是一个梯形转化为三角形的过程，如果梯形的面积是48cm2，高是6cm，那么转化后三角形的底是( )cm。 6．李叔叔用一根32分米长的铁丝围成一个正方形框架，如果把正方形框架拉成一个平行四边形，那么平行四边形的面积是( )平方分米，周长是( )分米。 7．一个平行四边形和一个三角形的面积相等，底也相等。已知平行四边形的高是6.8厘米，三角形的高是( )厘米。 8．一个三角形和一个平行四边形面积相等，一条底同样长。若三角形这条底上的高是12厘米，则平行四边形这条底上的高是( )厘米。 9．临汾鼓楼有一块梯形装饰板，上底是8分米，下底是10分米，高是6分米。工匠准备从这块板上裁出一块最大的平行四边形，用来雕刻平阳木板纹样，那么用来雕刻纹样的面积是( )平方分米，剩余部分的面积是( )平方分米。 10．一个平行四边形，相邻两边的长度分别是2.4分米和1.6分米，其中一条边上的高是1.8分米，这个平行四边形的面积是( )平方分米，与它等底等高的三角形面积是( )平方分米。 二、选择题 11．下面内容的学习运用了“转化”的数学思想的（    ）。 ①求内角和：        ②求面积： ③计算小数乘法：    ④求体积： A．只有①② B．只有①③④ C．只有②③④ D．有①②③④ 12．一个梯形的上底是3cm，下底是7cm，高是5cm，它的面积是（    ）cm2。 A．50 B．25 C．100 D．105 13．如图中长方形面积（    ）平行四边形面积。 A．大于 B．小于 C．等于 D．可能大于可能小于 14．数学作业本的面积大约是6（    ）。 A．平方厘米 B．平方分米 C．平方米 D．公顷 15．三角形ABC中，底边BC和它所对应的高都是4厘米。如果把点A和点C同时以2厘米/秒的速度向右平移，就形成一个梯形（如图），经过3秒，形成的梯形面积是（    ）平方厘米。 A．64 B．40 C．32 D．20 三、判断题 16．梯形可以分成两个三角形，所以一个三角形就是它所在梯形面积的一半。( ) 17．把自制长方形木框拉成平行四边形，周长不变，面积变小。( ) 18．一个三角形的底缩小到原来的一半，高扩大到原来的2倍，面积不变。( ) 19．梯形的上底和高不变，下底扩大到原来的5倍，它的面积就扩大到原来的5倍。( ) 20．将一个梯形的上底增加4cm，下底减少4cm，高不变，得到的新梯形的面积与原梯形的面积相等。( ) 四、作图题 21．按要求，画一画。 (1)画出图①向下平移4格后的图形。 (2)画出图②三角形指定底边上的高。 (3)根据对称轴补全图③这个轴对称图形。 22．按要求作图。 （1）把图中的三角形绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （2）按1∶2的比画出梯形缩小后的图形，缩小后的梯形面积是原来的（    ）%。 五、解答题 23．一块梯形菜地，上底是12米，下底是18米，高是10米。如果每平方米收白菜8.5千克，这块地一共可以收白菜多少千克？ 24．一条拦河坝的横断面是梯形，上、下底之和是45米，高是6米，这条拦河坝的长是35米。修这条拦河坝共需要土石多少方？ 25．已知三角形ABC和梯形DEFG的面积相等，高也相等。梯形的下底DE＝3cm，那么它的上底GF是多少厘米？ 26．如图所示，张伯伯圈了一块直角梯形菜地用来种大白菜。这块菜地一面靠墙，共用篱笆72米。如果每平方米收大白菜14千克，张伯伯这块地一共可以收大白菜多少千克？ 27．一块梯形菜地，上底是12.5米，下底是17.5米，高是8米。如果每平方米能收获6千克萝卜，这块菜地一共能收获多少千克萝卜？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $