有趣的密铺（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

该小学数学“有趣的密铺”单元举一反三讲义通过框架式结构系统梳理知识体系，从密铺基础概念、单一图形判定规律、组合密铺原理到生活应用层层递进，用对比表格呈现可密铺与不可密铺图形特征，突出拼接点内角和360°的核心原理及重难点分布。 讲义亮点在于情境化练习设计与分层指导，如结合“天问三号”工程情境的填空题培养数学眼光和应用意识，通过正五边形密铺推理的解答题发展推理能力。易错指引归纳概念混淆点，真题拔高涵盖多样题型，助力不同层次学生巩固，为教师提供精准复习支持。

有趣的密铺（单元举一反三讲义） 知识精讲 一、密铺的基础概念 1. 密铺的定义 （1）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，既不留空隙、又不重叠地铺满整个平面，这种铺法叫做密铺，也叫平面镶嵌。 ① 不留空隙：图形与图形之间没有空白区域。 ② 不重叠：图形之间没有相互覆盖、重合的部分。 ③ 铺满平面：可以无限延伸铺满整个平整表面。 2. 密铺的核心特点 （1）拼接点处无空隙、无重叠，是判断是否为密铺的两大核心标准。 （2）密铺图形可以无限重复排列，延伸覆盖整个平面。 （3）密铺图案规整、对称，具有规律性和美观性，广泛应用于生活装饰。 二、单一图形密铺的判定规律 1. 单一图形密铺核心原理 （1）在图形的拼接中心点（公共顶点）处，几个图形的内角相加，和正好等于360°，该图形就可以单独密铺。 ① 360°是一周的角度，刚好可以围成一个完整的中心点，无空隙、无重叠。 ② 若内角和无法凑成360°，则无法实现单一图形密铺。 2. 可以单独密铺的平面图形 （1）任意三角形 ① 任意三角形内角和为180°，6个相同三角形的内角可以在拼接点凑成360°。 ② 无论锐角、直角、钝角三角形，都可以单独密铺。 （2）任意四边形 ① 任意四边形内角和为360°，4个相同四边形的内角可以在拼接点凑成360°。 ② 长方形、正方形、平行四边形、梯形、不规则四边形，均可单独密铺。 （3）正六边形 ① 正六边形每个内角为120°，3个120°内角相加正好等于360°。 ② 拼接平整、规整，是生活中最常见的密铺图形。 3. 不能单独密铺的平面图形 （1）圆形 ① 圆形是曲线图形，没有内角和顶点，拼接后图形之间必然存在空隙，无法密铺。 （2）正五边形 ① 正五边形每个内角为108°，无论几个内角相加，都无法凑出360°。 ② 3个内角和为324°（有空隙），4个内角和为432°（有重叠），无法密铺。 （3）正七边形、正八边形及其他边数过多的正多边形 ① 单个内角度数过大，无法在公共顶点处凑成360°，不能单独密铺。 三、组合图形密铺知识点 1. 组合密铺定义 （1）用两种或两种以上形状、大小的平面图形相互搭配拼接，实现无空隙、不重叠铺满平面，叫做组合图形密铺。 2. 组合密铺核心原理 （1）在公共拼接顶点处，不同图形的多个内角相加，总和刚好等于360°。 （2）原本不能单独密铺的图形，搭配其他图形填补空隙后，可以实现组合密铺。 3. 常见组合密铺搭配 （1）正五边形与其他多边形组合，可以弥补空隙，实现密铺。 （2）正八边形与正方形组合，是生活中经典的密铺搭配。 （3）多种三角形、四边形相互搭配，可设计出多样的密铺图案。 四、密铺图案的特征与设计规律 1. 密铺图案通用特征 （1）重复性：图形按照固定规律不断重复排列，秩序统一。 （2）对称性：多数密铺图案具备轴对称、平移对称特点，视觉整齐美观。 （3）无限性：图案可以向四周无限延伸，没有边界限制。 2. 密铺图形的变换方式 （1）密铺图案主要依靠图形的平移、旋转、轴对称三种运动方式组合设计。 （2）不改变图形的形状和大小，只改变图形位置，即可生成丰富的密铺纹样。 五、生活中的密铺应用 1. 建筑与装饰应用 （1）地面瓷砖、墙面地砖、马赛克拼接，大多采用密铺设计，平整美观、无死角。 （2）天花板吊顶、外墙装饰砖，利用密铺结构贴合墙面、地面。 2. 日常物品应用 （1）蜂巢结构为正六边形密铺，节省空间、结构稳固。 （2）拼图、地砖纹样、纺织品花纹，均运用密铺规律设计。 易错指引 1. 概念判断易错点 （1）误认为只要图形排列整齐就是密铺，忽略无空隙、不重叠两个必要条件。 （2）误认为圆形可以密铺，圆形拼接必然出现空隙，绝对无法密铺。 2. 图形密铺易错点 （1）误认为只有规则图形可以密铺，任意不规则三角形、四边形也可单独密铺。 （2）误认为正五边形不能密铺就是完全不能使用，正五边形可与其他图形组合密铺。 3. 原理理解易错点 （1）忽略密铺核心条件：拼接点内角和必须等于360°，仅凭视觉判断能否密铺。 （2）混淆单一密铺和组合密铺的区别，把组合密铺图形判定为可单独密铺图形。 真题拔高 一、填空题 1．下图中有( )个图形可以密铺。 【答案】4 【分析】平面图形密铺的要求是：拼接处的内角和恰好等于360°，且拼接后不留空隙、不重叠，逐个判断即可。 【详解】长方形：每个内角为 90°，4个内角和刚好为360°，可以密铺； 梯形：属于四边形，四边形内角和为360°，可以密铺； 正六边形：每个内角为120°，3个内角和刚好为360°，可以密铺； 正三角形：每个内角为 60°，6个内角和刚好为360°，可以密铺； 正五边形：每个内角为108°，无论几个都无法凑出 360° ，不能密铺； 圆形：拼接后会有空隙，不能密铺。 综上，一共有4个图形可以密铺。 2．图形之间没有( )，也不( )，是密铺。 【答案】 空隙 重叠 【分析】密铺的概念：用一种或几种图形覆盖平面，图形之间既没有空隙，也不重叠。 【详解】图形之间没有空隙，也不重叠，是密铺。 3．在装修时，无论是( )形、( )形还是( )形的瓷砖，都可以将一块墙面中间不留空隙，也不重叠地铺满，这就是密铺。 【答案】 正三角 正四边 正六边 【分析】密铺的要求是图形在拼接点处的内角和等于360°，且能不留空隙、不重叠地铺满平面，据此解答。 【详解】正四边形（正方形）：每个内角是90°，4个90°的角可以在拼接点处凑成360°，所以能密铺； 正三角形（等边三角形）：每个内角是60°，6个60°的角可以在拼接点处凑成360°，所以能密铺； 正六边形：每个内角是120°，3个120°的角可以在拼接点处凑成360°，所以能密铺； 因此，在装修时，无论是正方形、正三角形还是正六边形的瓷砖，都可以将一块墙面中间不留空隙，也不重叠地铺满，这就是密铺。 4．解决铺地垫问题有两种方法，分别是( )和( )。 【答案】 边长铺设法 面积相除法 【详解】长方形面积应用的典型铺地垫问题，两种常规解题思路，第一种方法：先算地面的长能铺几块地垫、宽能铺几块地垫，再把两个方向的块数相乘，也能得出总块数。第二种方法：先算出要铺地面的总面积，除以一块地垫的面积，就能得出一共需要多少块地垫，也就是用大面积除以小面积得总块数。 解决铺地垫问题有两种方法，分别是边长铺设法和面积相除法。 5．我国首个载人火星探测任务“天问三号”成功着陆。为了在火星表面快速搭建可居住的模块化舱室，工程师们设计了一种“零废料”智能铺设系统。该系统要求地面材料必须能够单独密铺，以最大化利用珍贵的3D打印建材，并适应火星复杂的重力环境。请帮助工程师从资源库中选出三种能够单独密铺的图形，填入下方的施工清单中：( )、( )、( )。 【答案】 正方形 长方形 等边三角形 【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片。能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合。据此可知，正五边形不可以密铺，等边三角形、正方形、长方形、正六边形可以单独用于密铺。 【详解】由分析得出： 我国首个载人火星探测任务“天问三号”成功着陆。为了在火星表面快速搭建可居住的模块化舱室，工程师们设计了一种“零废料”智能铺设系统。该系统要求地面材料必须能够单独密铺，以最大化利用珍贵的3D打印建材，并适应火星复杂的重力环境。请帮助工程师从资源库中选出三种能够单独密铺的图形，填入下方的施工清单中：正方形、长方形、等边三角形。（答案不唯一） 6．等边三角形和正六边形( )密铺，正八边形( )密铺。（“能”或“不能”） 【答案】 能 不能 【分析】判断图形能否密铺，需依据密铺的核心条件，图形拼接在同一顶点处的几个内角之和能等于360°，且拼接后无空隙、不重叠，据此分别计算每个正多边形的内角度数，判断其能否整除360°，判断图形能否密铺。 【详解】等边三角形的每个内角是60°，360°÷60°＝6，即6个等边三角形的内角拼在一起正好是360°，等边三角形能密铺。 正六边形的每个内角是120°，360°÷120°＝3，即3个正六边形的内角拼在一起正好是360°，正六边形能密铺。 正三角形和正六边形能密铺。 正八边形的每个内角是135°，360°÷135°＝2……90，360°不是135°的整数倍，拼接处会有空隙或重叠，正八边形不能密铺。 7．如果一个四边形一组对边平行，这组对边的长度分别为5cm和8cm，那么这个四边形一定是( )，像这样的四边形( )单独密铺。（填“能”或“不能”） 【答案】 梯形 能 【分析】两组对边都平行的四边形是平行四边形，只有一组对边平行的四边形是梯形； 用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法在数学上叫图形的密铺，如果该图形的内角和正好能被360°整除，则可以密铺，据此填空即可。 【详解】一组对边平行，且长度不相等，另一组对边不平行，这一定是梯形； 梯形的内角和是360°，用4个相同的梯形拼接时，每个角只需用一次，拼接点的四个角刚好能拼成一个周角，所以用梯形密铺，拼接点处有4个角；所以梯形能密铺，即像这样的四边形能单独密铺。 8．在数学与艺术的结合中，图形密铺充满奥秘。能单独进行密铺的平面图形有( )、( )等。 【答案】 正三角形（答案不唯一） 正方形（答案不唯一） 【分析】图形密铺是指用一种图形不留空隙、不重叠地覆盖平面，能单独进行密铺的平面图形其内角度数必须能整除360度，填写两个常见例子即可。 【详解】正三角形的每个内角是60度，360÷60＝6，所以能密铺；正方形的每个内角是90度，360÷90＝4，所以能密铺。（答案不唯一） 9．写出三个能够单独密铺的图形：( )、( )、( )。 【答案】 正方形 长方形 等边三角形 【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片。能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合。据此可知，正五边形不可以密铺，等边三角形、正方形、长方形、正六边形可以单独用于密铺。 【详解】写出三个能够单独密铺的图形：正方形、长方形、等边三角形。（答案不唯一） 10．写出一种能密铺的图形( )；写出一种不能密铺的图形( )。 【答案】 正方形（答案不唯一） 正五边形（答案不唯一） 【分析】密铺是指用形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地铺满平面。能密铺的图形其内角必须能整除360°，例如正方形的每个内角是90°，，所以能密铺；不能密铺的图形其内角不能整除360°，例如正五边形的每个内角是108°，不是整数，所以不能密铺。判断即可。 【详解】由分析得出，正方形是能密铺的图形，正五边形是不能密铺的图形。（答案不唯一） 二、选择题 11．学校计划用一种地砖铺设劳动实践教室，要求铺好的地面无缝隙、不重叠。下列四种地砖中，无法实现铺设要求的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图形的密铺是：拼接在同一个点的所有内角加起来恰好等于360°，且拼接不留空隙不重叠，即这个图形的内角和能整除360°或被360°整除，则这个图形就能单独密铺。 【详解】A．平行四边形是四边形，四边形的内角和是360°，4个平行四边形的不同内角可以拼成一个周角，能密铺，不符合题意； B．等边三角形的每个内角是60°，360°÷60°＝6，即6个等边三角形的内角可以拼成一个周角，能密铺，不符合题意； C．正五边形的每个内角是108°，360°不是108°的整数倍，在拼接点处无法保证没有空隙或重叠，不能密铺，符合题意； D．正六边形内角和为720°，720°÷360°＝2，因此正六边形可以单独密铺，不符合题意； 12．下面图形中单独使用同一种图形，能够密铺的有（    ）种。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据所给图形逐一尝试密铺，从而明确能够密铺的有几种即可。 【详解】 ，所以能够密铺； ，中间有空隙，所以不能密铺； ，所以能够密铺； ，中间有空隙和重叠，所以不能密铺； ，所以能够密铺。 综上，这些图形中单独使用同一种图形，能够密铺的有3种。 13．下面各个图形中，不能密铺的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从密铺的定义出发，判断拼接点处的角度和是否能刚好等于360°，没有空隙也不重叠。 【详解】A．三角形可以用6个内角凑成360°； B．四边形可以用4个内角凑成360°； C．正五边形用3个内角和不足360°，用4个内角和超过360°，无法刚好凑成360°，所以不能密铺； D．正六边形可以用3个内角凑成360°。 14．“用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形，不留空隙、不重叠地铺满整个平面，叫密铺”。下面平面图形中，不可以单独密铺的是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】C 【分析】密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形，不留空隙、不重叠地铺满整个平面。判断一种正多边形能否单独密铺，关键看其内角能否整除。正方形和长方形的内角都是，正六边形内角是，都能整除；正五边形内角是，不能整除。 【详解】A．正方形的每个内角是，，即4个正方形的角可以拼成一个周角，可以密铺，此选项错误； B．长方形的每个内角是，，即4个长方形的角可以拼成一个周角，可以密铺，此选项错误； C．正五边形的每个内角是，不能得到整数，即若干个正五边形的角无法拼成一个周角，不可以密铺，此选项正确； D．正六边形的每个内角是，，即3个正六边形的角可以拼成一个周角，可以密铺，此选项错误。 15．下列说法，错误的是（    ）。 A．折叠电动门是运用了平行四边形易变形的特点。 B．将一个数的小数点向右移动两位，这个数就比原数多了100倍。 C．正五边形、圆形都不能密铺。 D．小明比小青高，就是小青比小明矮。 【答案】B 【分析】A．平行四边形具有不稳定特性。 B．将一个小数的小数点向右移动两位，这个数扩大到原来的100倍。 C．要实现单一图形密铺，必须满足：拼接点处，各图形内角的和等于360°；圆形没有内角，拼接时必然会产生空隙，所以无法密铺。 D．假设小青的身高是4份，则小明的身高是5份，先用减法算出小青比小明矮的份数，把小明的身高看作单位“1”，用矮的身高份数除以小明的身高份数即可。 【详解】A．折叠电动门利用了平行四边形易变形（不稳定性）的特点，方便伸缩开合，说法正确； B．将一个数的小数点向右移动两位，这个数扩大到原来的100倍，也就是比原数多了100－1＝99倍，原题说法错误； C．正五边形每个内角是108°，360°不是108°的整数倍，无法拼成360°，圆形无角，不能无空隙拼接，二者都不能密铺，说法正确； D．假设小青的身高是4份，则小明的身高是5份，小青比小明矮5－4＝1份，1÷5＝，小青比小明矮，说法正确。 三、判断题 16．三角形和圆形都可以密铺。( ) 【答案】× 【分析】密铺要求图形拼接在同一个顶点处内角和为。 【详解】对于多边形（如三角形），密铺要求拼接点处内角和为360°才能实现；圆形因形状特性会留有缝隙，无法密铺，原说法错误。 故答案为：× 17．五边形不能单独密铺。( ) 【答案】√ 【分析】五边形的每个内角都是108°，而360°不是108°的整数倍，在每个拼接点处的内角不能保证没有空隙或没有重叠现象。 【详解】根据分析可得：五边形不能单独密铺，原说法正确。 故答案为：√ 18．四边形不能单独密铺，三角形能单独密铺。( ) 【答案】× 【分析】平面图形能单独密铺的特点：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，能整除360°，据此解答。 【详解】三角形的内角和是 180°，，所以三角形能单独密铺； 四边形的内角和是 360°，，所以四边形能单独密铺； 题目中说 “四边形不能单独密铺”，与事实不符。 故答案为：× 19．王阿姨打算给厨房地面铺地砖，选用的五边形地砖可以单独密铺。( ) 【答案】× 【分析】平面密铺的核心条件：围绕一个点拼接的几个多边形的内角和，必须等于360°。 【详解】基于题干图示，正五边形每个内角的度数为108°，无法在一个点处拼成360°，不能密铺。 故答案为：× 20．并不是所有的平行四边形都能密铺。( ) 【答案】× 【分析】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，因此，一个多边形的内角和能被360°整除，这个图形就能密铺，否则，不能密铺，据此解答即可。 【详解】平行四边形是四边形，四边形的内角和是： （4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 360°÷360°＝1 所有的平行四边形都能密铺。原题说法错误。 故答案为：× 四、作图题 21．有、、、、这样的图形各两个，你能选出几个图形密铺下面的方格吗？试试看。 【答案】见详解 【分析】先观察图形特征，每个图形都是由4个小正方形组成，而需要密铺的方格中有16个小正方形，则需要4个这样的图形进行密铺；再根据图形特征，将要密铺的小图形各边相结合，据此密铺即可。 【详解】根据分析可得： （答案不唯一） 五、解答题 22．下图是正五边形，每个内角都是108°，它可以密铺吗？请说明理由。 【答案】不可以密铺。理由：不存在整数个相加恰好等于，拼接时会出现空隙或重叠，正五边形不能密铺。 【分析】根据密铺的知识，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。在拼接的公共顶点处，若干个图形内角相加的和必须恰好等于。若无法凑出，则该图形不能单独密铺。 已知正五边形每个内角为，我们只需看几个相加能刚好等于，即可判断能否密铺。 【详解】密铺要求拼接点处内角总和为。 , 不存在整数个相加恰好等于，拼接时会出现空隙或重叠，正五边形不能密铺。 23．李老师规划用24块边长是2米的正方形胶合板铺一个长方形舞台，怎样铺能使舞台的周长最短？此时舞台的面积是多少平方米？ 【答案】铺成6块长、4块宽；96平方米 【分析】用24块正方形胶合板铺长方形，长方形的长和宽对应的胶合板块数的乘积是24，要让周长最短，需要让长和宽（胶合板块数）的差最小，长方形面积＝长×宽，据此解答。 【详解】24＝24×1 24＝12×2 24＝8×3 24＝6×4 其中6和4的差最小，所以铺成6块长、4块宽的长方形时，周长最短； 长：6×2＝12（米） 宽：4×2＝8（米） 面积：12×8＝96（平方米） 答：铺成6块长、4块宽时长方形的周长最短，此时舞台的面积是96平方米。 24．王叔叔家门前有一大块空地，他准备在空地上铺一块长方形的草坪。他买回了24块边长为0.5米的正方形草皮，一共有多少种不同的铺草坪方法？至少要准备多少米长的篱笆才能把这块草坪完全围起来进行养护？（接头处忽略不计） 【答案】不同的铺草坪方法有4种；至少需要10米长的篱笆。 【分析】要确定不同的铺法，因为24能分解成不同的两个整数相乘的形式，像1×24、2×12、3×8、4×6，所以对应有4种铺法。对于每种铺法，根据正方形草皮的边长算出长方形草坪的长和宽，再依据长方形周长的计算方式，求出围草坪所需篱笆的长度。最后，对不同铺法所需篱笆长度进行比较，从而找出最短的篱笆长度。 【详解】24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，所以可以有以下4种铺法： 第一种：将24块草皮排成1行，此时长方形草坪的长为24×0.5＝12（米），宽为0.5米。 第二种：排成2行，每行12块，长为12×0.5＝6（米），宽为2×0.5＝1（米）。 第三种：排成3行，每行8块，长为8×0.5 ＝4（米），宽为3×0.5＝1.5（米）。 第四种：排成4行，每行6块，长为6×0.5＝3（米），宽为4×0.5＝2（米）。 第一种铺法：（12＋0.5）×2 ＝12.5×2 ＝25（米） 第二种铺法：（6＋1）×2 ＝7×2 ＝14（米） 第三种铺法：（4＋1.5）×2 ＝5.5×2 ＝11（米） 第四种铺法：（3＋2）×2 ＝5×2 ＝10（米） 10＜11＜14＜25，所以至少要准备 10 米长的篱笆。 答：一共有4种不同的铺草坪方法，至少要准备10米长的篱笆才能把这块草坪完全围起来进行养护。 25．在一个工厂的废料堆里，堆放着大量不规则的四边形木料（如下图），这些木料的大小和形状是一样的。如果把它们做成比较规则的形状，必须锯掉一些边角，就要浪费很多木料。有人建议用这些木料来铺地板，你认为这些木料能密铺吗？为什么？ 【答案】能。因为四边形的内角和是360°，按题图所示的拼法拼接就能填满这个平面，而且无缝隙、不重叠。因此，凡是有着同样大小和形状的任意四边形木块都可用来密铺。 【分析】判断图形能否密铺，关键是看拼接点处几个角的度数之和是否为360°。对于任意四边形，其内角和是360°。 【详解】这些不规则四边形木料大小和形状一样，当把它们拼接时，每个拼接点处正好可以摆放4个四边形的不同内角，这4个内角的度数之和等于四边形的内角和360°，能保证拼接后无缝隙、不重叠。所以这些木料能密铺。   答：能。因为四边形的内角和是360°，按题图所示的拼法拼接就能填满这个平面，而且无缝隙、不重叠。因此，凡是有着同样大小和形状的任意四边形木块都可用来密铺。 26．菲菲在一个圆柱形的塑料桶桶口贴了一圈装饰胶带（如图1），她是用正六边形和等边三角形按图2方式进行密铺的。 菲菲用的图形总个数为60个，那么正六边形用了多少个？等边三角形用了多少个？ 【答案】正六边形20个；等边三角形40个 【分析】观察图2的密铺方式，可以发现每1个正六边形周围有2个等边三角形，把正六边形的个数看作1倍数，则等边三角形的个数就是2倍数，则正六边形和等边三角形的倍数和为1＋2＝3倍数，用图形总个数除以倍数和求出正六边形的个数，再乘2即可求出等边三角形的个数。 【详解】60÷（1＋2） ＝60÷3 ＝20（个） 20×2＝40（个） 答：正六边形用了20个，等边三角形用了40个。 27．淘气在黑板报上看到一个正六边形图案（如图）。这个正六边形是由6个等边三角形拼成，图形中间没有空隙，也不重叠，是密铺。淘气产生了一个疑问：等边三角形能密铺，其他类别的三角形能不能密铺呢？他设计了以下研究步骤来解决这个问题： 第一步：________________ 第二步：将每种三角形进行拼摆并观察拼摆结果。 第三步：依据拼摆结果得出结论。 （1）淘气设计的研究步骤的第一步是什么？请写在上面的横线上。 （2）请将第三步的研究结论在（    ）里补充完整。 （3）请以下图为例分析解释：为什么三角形可以密铺？ 【答案】（1）剪出完全相同的锐角三角形、钝角三角形、直角三角形各若干张 （2）锐角；钝角；直角 （3）两个全等的直角三角形可以拼成长方形，长方形可以单独密铺，因此，直角三角形也可以单独密铺。再由此推出所有三角形都可以单独密铺。 由于两个全等的任意三角形都能组合成一个平行四边形（或长方形或正方形），这启示我们，任意三角形同样具备密铺的能力。 【分析】（1）等边三角形能密铺，其他类别的三角形能不能密铺，再根据第三步下面的图，提出锐角三角形、钝角三角形、直角三角形能否密铺呢，剪出完全相同的锐角三角形、钝角三角形、直角三角形各若干张。 （2）通过观察第三步的图可知，锐角三角形，钝角三角形，直角三角形都能密铺。 （3）结合图可知：两个全等的直角三角形可以拼成长方形，长方形可以单独密铺，因此，直角三角形也可以单独密铺。再由此推出所有三角形都可以单独密铺。 由于两个全等的任意三角形都能组合成一个平行四边形（或长方形或正方形），这启示我们，任意三角形同样具备密铺的能力。 【详解】淘气在黑板报上看到一个正六边形图案（如图）。这个正六边形是由6个等边三角形拼成，图形中间没有空隙，也不重叠，是密铺。淘气产生了一个疑问：等边三角形能密铺，其他类别的三角形能不能密铺呢？他设计了以下研究步骤来解决这个问题： 第一步：剪出完全相同的锐角三角形、钝角三角形、直角三角形各若干张。 第二步：将每种三角形进行拼摆并观察拼摆结果。 第三步：依据拼摆结果得出结论。 （1）淘气设计的研究步骤的第一步是什么？请写在上面的横线上。 （2）请将第三步的研究结论在（    ）里补充完整。 （3）请以下图为例分析解释：为什么三角形可以密铺？ 结合图可知：两个全等的直角三角形可以拼成长方形，长方形可以单独密铺，因此，直角三角形也可以单独密铺。再由此推出所有三角形都可以单独密铺。 由于两个全等的任意三角形都能组合成一个平行四边形（或长方形或正方形），因此，任意三角形同样具备密铺的能力。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 有趣的密铺（单元举一反三讲义） 知识精讲 一、密铺的基础概念 1. 密铺的定义 （1）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，既不留空隙、又不重叠地铺满整个平面，这种铺法叫做密铺，也叫平面镶嵌。 ① 不留空隙：图形与图形之间没有空白区域。 ② 不重叠：图形之间没有相互覆盖、重合的部分。 ③ 铺满平面：可以无限延伸铺满整个平整表面。 2. 密铺的核心特点 （1）拼接点处无空隙、无重叠，是判断是否为密铺的两大核心标准。 （2）密铺图形可以无限重复排列，延伸覆盖整个平面。 （3）密铺图案规整、对称，具有规律性和美观性，广泛应用于生活装饰。 二、单一图形密铺的判定规律 1. 单一图形密铺核心原理 （1）在图形的拼接中心点（公共顶点）处，几个图形的内角相加，和正好等于360°，该图形就可以单独密铺。 ① 360°是一周的角度，刚好可以围成一个完整的中心点，无空隙、无重叠。 ② 若内角和无法凑成360°，则无法实现单一图形密铺。 2. 可以单独密铺的平面图形 （1）任意三角形 ① 任意三角形内角和为180°，6个相同三角形的内角可以在拼接点凑成360°。 ② 无论锐角、直角、钝角三角形，都可以单独密铺。 （2）任意四边形 ① 任意四边形内角和为360°，4个相同四边形的内角可以在拼接点凑成360°。 ② 长方形、正方形、平行四边形、梯形、不规则四边形，均可单独密铺。 （3）正六边形 ① 正六边形每个内角为120°，3个120°内角相加正好等于360°。 ② 拼接平整、规整，是生活中最常见的密铺图形。 3. 不能单独密铺的平面图形 （1）圆形 ① 圆形是曲线图形，没有内角和顶点，拼接后图形之间必然存在空隙，无法密铺。 （2）正五边形 ① 正五边形每个内角为108°，无论几个内角相加，都无法凑出360°。 ② 3个内角和为324°（有空隙），4个内角和为432°（有重叠），无法密铺。 （3）正七边形、正八边形及其他边数过多的正多边形 ① 单个内角度数过大，无法在公共顶点处凑成360°，不能单独密铺。 三、组合图形密铺知识点 1. 组合密铺定义 （1）用两种或两种以上形状、大小的平面图形相互搭配拼接，实现无空隙、不重叠铺满平面，叫做组合图形密铺。 2. 组合密铺核心原理 （1）在公共拼接顶点处，不同图形的多个内角相加，总和刚好等于360°。 （2）原本不能单独密铺的图形，搭配其他图形填补空隙后，可以实现组合密铺。 3. 常见组合密铺搭配 （1）正五边形与其他多边形组合，可以弥补空隙，实现密铺。 （2）正八边形与正方形组合，是生活中经典的密铺搭配。 （3）多种三角形、四边形相互搭配，可设计出多样的密铺图案。 四、密铺图案的特征与设计规律 1. 密铺图案通用特征 （1）重复性：图形按照固定规律不断重复排列，秩序统一。 （2）对称性：多数密铺图案具备轴对称、平移对称特点，视觉整齐美观。 （3）无限性：图案可以向四周无限延伸，没有边界限制。 2. 密铺图形的变换方式 （1）密铺图案主要依靠图形的平移、旋转、轴对称三种运动方式组合设计。 （2）不改变图形的形状和大小，只改变图形位置，即可生成丰富的密铺纹样。 五、生活中的密铺应用 1. 建筑与装饰应用 （1）地面瓷砖、墙面地砖、马赛克拼接，大多采用密铺设计，平整美观、无死角。 （2）天花板吊顶、外墙装饰砖，利用密铺结构贴合墙面、地面。 2. 日常物品应用 （1）蜂巢结构为正六边形密铺，节省空间、结构稳固。 （2）拼图、地砖纹样、纺织品花纹，均运用密铺规律设计。 易错指引 1. 概念判断易错点 （1）误认为只要图形排列整齐就是密铺，忽略无空隙、不重叠两个必要条件。 （2）误认为圆形可以密铺，圆形拼接必然出现空隙，绝对无法密铺。 2. 图形密铺易错点 （1）误认为只有规则图形可以密铺，任意不规则三角形、四边形也可单独密铺。 （2）误认为正五边形不能密铺就是完全不能使用，正五边形可与其他图形组合密铺。 3. 原理理解易错点 （1）忽略密铺核心条件：拼接点内角和必须等于360°，仅凭视觉判断能否密铺。 （2）混淆单一密铺和组合密铺的区别，把组合密铺图形判定为可单独密铺图形。 真题拔高 一、填空题 1．下图中有( )个图形可以密铺。 2．图形之间没有( )，也不( )，是密铺。 3．在装修时，无论是( )形、( )形还是( )形的瓷砖，都可以将一块墙面中间不留空隙，也不重叠地铺满，这就是密铺。 4．解决铺地垫问题有两种方法，分别是( )和( )。 5．我国首个载人火星探测任务“天问三号”成功着陆。为了在火星表面快速搭建可居住的模块化舱室，工程师们设计了一种“零废料”智能铺设系统。该系统要求地面材料必须能够单独密铺，以最大化利用珍贵的3D打印建材，并适应火星复杂的重力环境。请帮助工程师从资源库中选出三种能够单独密铺的图形，填入下方的施工清单中：( )、( )、( )。 6．等边三角形和正六边形( )密铺，正八边形( )密铺。（“能”或“不能”） 7．如果一个四边形一组对边平行，这组对边的长度分别为5cm和8cm，那么这个四边形一定是( )，像这样的四边形( )单独密铺。（填“能”或“不能”） 8．在数学与艺术的结合中，图形密铺充满奥秘。能单独进行密铺的平面图形有( )、( )等。 9．写出三个能够单独密铺的图形：( )、( )、( )。 10．写出一种能密铺的图形( )；写出一种不能密铺的图形( )。 二、选择题 11．学校计划用一种地砖铺设劳动实践教室，要求铺好的地面无缝隙、不重叠。下列四种地砖中，无法实现铺设要求的是（    ）。 A． B． C． D． 12．下面图形中单独使用同一种图形，能够密铺的有（    ）种。 A．1 B．2 C．3 D．4 13．下面各个图形中，不能密铺的是（    ）。 A． B． C． D． 14．“用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形，不留空隙、不重叠地铺满整个平面，叫密铺”。下面平面图形中，不可以单独密铺的是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．正五边形 D．正六边形 15．下列说法，错误的是（    ）。 A．折叠电动门是运用了平行四边形易变形的特点。 B．将一个数的小数点向右移动两位，这个数就比原数多了100倍。 C．正五边形、圆形都不能密铺。 D．小明比小青高，就是小青比小明矮。 三、判断题 16．三角形和圆形都可以密铺。( ) 17．五边形不能单独密铺。( ) 18．四边形不能单独密铺，三角形能单独密铺。( ) 19．王阿姨打算给厨房地面铺地砖，选用的五边形地砖可以单独密铺。( ) 20．并不是所有的平行四边形都能密铺。( ) 四、作图题 21．有、、、、这样的图形各两个，你能选出几个图形密铺下面的方格吗？试试看。 五、解答题 22．下图是正五边形，每个内角都是108°，它可以密铺吗？请说明理由。 23．李老师规划用24块边长是2米的正方形胶合板铺一个长方形舞台，怎样铺能使舞台的周长最短？此时舞台的面积是多少平方米？ 24．王叔叔家门前有一大块空地，他准备在空地上铺一块长方形的草坪。他买回了24块边长为0.5米的正方形草皮，一共有多少种不同的铺草坪方法？至少要准备多少米长的篱笆才能把这块草坪完全围起来进行养护？（接头处忽略不计） 25．在一个工厂的废料堆里，堆放着大量不规则的四边形木料（如下图），这些木料的大小和形状是一样的。如果把它们做成比较规则的形状，必须锯掉一些边角，就要浪费很多木料。有人建议用这些木料来铺地板，你认为这些木料能密铺吗？为什么？ 26．菲菲在一个圆柱形的塑料桶桶口贴了一圈装饰胶带（如图1），她是用正六边形和等边三角形按图2方式进行密铺的。 菲菲用的图形总个数为60个，那么正六边形用了多少个？等边三角形用了多少个？ 27．淘气在黑板报上看到一个正六边形图案（如图）。这个正六边形是由6个等边三角形拼成，图形中间没有空隙，也不重叠，是密铺。淘气产生了一个疑问：等边三角形能密铺，其他类别的三角形能不能密铺呢？他设计了以下研究步骤来解决这个问题： 第一步：________________ 第二步：将每种三角形进行拼摆并观察拼摆结果。 第三步：依据拼摆结果得出结论。 （1）淘气设计的研究步骤的第一步是什么？请写在上面的横线上。 （2）请将第三步的研究结论在（    ）里补充完整。 （3）请以下图为例分析解释：为什么三角形可以密铺？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $