第三单元小数除法（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

该小学数学第三单元“小数除法”讲义通过知识框架系统梳理核心内容，涵盖意义、计算法则、商不变性质、商的规律、近似数、循环小数及混合运算，以步骤分解（如除数是小数的转化四步法）和要点归纳呈现知识脉络，突出重难点内在联系，培养学生抽象能力与数感。 讲义亮点在于“易错指引+分层真题”设计，易错点针对小数点移位、循环节书写等关键问题，真题包含基础填空（如单位换算）和生活应用解答题（如骑行积分计算），助力学生提升运算能力与应用意识，支持不同层次学生自主复习，便于教师实施精准教学。

第三单元 小数除法（单元举一反三讲义） 知识精讲 一、小数除法的意义 1. 通用核心意义 （1）小数除法的意义与整数除法意义完全相同，是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 （2）可以理解为：把一个小数平均分成若干份，求每份是多少；或求一个数里面包含几个另一个数。 二、小数除法分类及计算法则 1. 除数是整数的小数除法 （1）①按照整数除法的计算法则依次计算。 （2）②商的小数点必须和被除数的小数点严格对齐，这是本类计算的核心关键点。 （3）③被除数整数部分不够除时，整数位商0占位，再点上小数点继续往下除。 （4）④除到被除数末尾仍有余数时，在余数末尾补0继续除，直至除尽或出现循环小数。 （5）⑤计算过程中，哪一位不够商1，就在对应数位上商0占位。 2. 除数是小数的小数除法 （1）核心算理：利用商不变的性质，把陌生的除数是小数的除法，转化为熟悉的除数是整数的除法再计算。 （2）①看除数：数出除数一共有几位小数。 （3）②移小数点：将除数的小数点向右移动几位，使除数变成整数。 （4）③同步移位：被除数的小数点也要向右移动相同的位数，保证商不变。 （5）④补0规则：如果被除数的小数位数不足，需要在被除数末尾补0补足位数。 （6）⑤按法则计算：转化完成后，按照除数是整数的小数除法法则进行计算。 三、商不变的性质 1. 核心内容 （1）被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商的大小保持不变。 （2）该性质是除数是小数的除法的转化依据，是小数除法计算的基础原理。 2. 关键注意点 （1）必须是被除数和除数同时变化，不能只改动其中一个数。 （2）乘或除以的数必须相同且不为0，0不能作为除数和乘数。 （3）变化的是被除数和除数，商保持不变，余数会随之发生变化。 四、商的大小变化规律 1. 除数影响规律（被除数不为0） （1）除数大于1，商小于被除数。除数越大，商越小。 （2）除数小于1（不为0），商大于被除数。除数越小，商越大。 （3）除数等于1，商等于被除数。 2. 被除数、除数同时变化规律 （1）除数不变，被除数扩大或缩小几倍，商也随之扩大或缩小相同倍数。 （2）被除数不变，除数扩大几倍，商反而缩小几倍；除数缩小几倍，商反而扩大几倍。 五、商的近似数 1. 求商的近似数的方法 （1）①先计算：计算时要比需要保留的小数位数多算出一位，不提前取舍。 （2）②再四舍五入：根据多算出的最后一位数字，判断取舍，得到近似数。 2. 求商近似数与积近似数的区别 （1）积的近似数：需要先算出完整的准确积，再整体取舍。 （2）商的近似数：无需除尽，只需多算一位即可取舍，计算更简便。 3. 近似数精确度规范 （1）保留指定小数位数后，末尾的0不能随意删除，用于表示精确的位数。 （2）生活实际场景中，人民币计算默认保留两位小数。 4. 实际取值特殊方法 （1）进一法：无论尾数是几，都向前一位进1，多用于装容器、租车、装箱等场景。 （2）去尾法：无论尾数是几，全部舍去，多用于做物品、剪材料、买商品等场景。 六、循环小数 1. 循环小数相关概念 （1）有限小数：小数部分的位数是有限的小数。 （2）无限小数：小数部分的位数是无限的小数。 （3）循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。循环小数属于无限小数。 （4）循环节：循环小数的小数部分中，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。 2. 循环小数简便写法 （1）只写出第一个循环节，在循环节的首位和末位数字上方点上循环点。 （2）单个数字循环，只在这个数字上方点一个循环点。 （3）多个数字循环，只在首尾数字上方点循环点，中间数字不点。 3. 无限小数分类 （1）无限循环小数：小数部分数字有规律重复出现。 （2）无限不循环小数：小数部分数字无规律、不重复，常见的如圆周率π。 七、小数除法混合运算顺序 1. 同级运算 （1）小数连除属于同级运算，按照从左到右的顺序依次计算。 2. 不同级运算 （1）含有除法和加减法的混合运算，先算除法，后算加减法。 3. 带括号运算 （1）有小括号的算式，先算小括号里面的，再算小括号外面的。 易错指引 1. 小数点移位易错点 （1）计算除数是小数的除法时，只移动除数小数点，忘记同步移动被除数小数点。 （2）被除数位数不够时，未补0，导致数位错位、计算结果错误。 2. 商的小数点易错点 （1）忘记对齐被除数的小数点，商的小数点位置偏移。 （2）整数部分不够除时，忘记商0占位，直接跳过数位计算。 3. 余数易错点 （1）小数除法有余数时，混淆移位后的余数和原始余数，误将新余数当作最终余数。 （2）除到末尾有余数，忘记补0继续除，导致计算不完整。 4. 循环小数易错点 （1）混淆有限小数、无限小数、循环小数的包含关系，误认为无限小数都是循环小数。 （2）书写循环小数时，循环点点错位置或多点点、少点点。 5. 近似数易错点 （1）求商的近似数时，只算到需要保留的位数，没有多算一位，导致取舍错误。 （2）实际问题中，不区分进一法、去尾法、四舍五入法，机械套用四舍五入。 6. 商的大小判断易错点 （1）忽略被除数不为0的前提，错误判断0做被除数时的商的大小。 （2）混淆除数大于1和小于1时的商的变化规律，判断大小出错。 真题拔高 一、填空题 1．5个0.01是( )，它与( )个0.001相等。 【答案】 0.05 50 【分析】求个是多少，即求与的积；求与多少个相等，即求里面包含多少个，可利用小数的性质改写计数单位，也可列除法算式计算。 【详解】 个是，它与个相等。 2．如果，，，那么7÷A＝( )。 【答案】0. 【分析】观察题干信息可以发现，被除数乘几，商就乘几，且商是循环小数，循环节为0.09×被除数的小数部分 。 【详解】0.09×被除数的小数部分为循环节值，故7÷A的循环节为63，所以7÷A＝ 3．已知135×83＝11205，那么1.35×8.3＝( )，112.05÷135＝( )。 【答案】 11.205 0.83 【分析】根据积的变化规律，两数相乘，一个因数除以100，另一个因数除以10，则积除以（100×10），据此写出乘法算式的结果； 根据积÷因数＝另一个因数，可得11205÷135＝83，再根据商的变化规律，除数不变，被除数除以几，商也除以几，确定除法算式的结果。 【详解】已知135×83＝11205，可得11205÷135＝83； 那么1.35×8.3＝11.205，112.05÷135＝0.83。 4．已知两个数的积是32.8，其中一个乘数是8，求另一个乘数是多少，列式是( )。 【答案】32.8÷8 【分析】在乘法算式中，“积＝一个乘数×另一个乘数”。若已知积和其中一个乘数，求另一个乘数，需用“积÷已知乘数”计算。题目中，积是32.8，已知乘数是8，因此求另一个乘数的列式为：32.8÷8。 【详解】另一个乘数＝积÷已知乘数 所以列式为：32.8÷8。 5．李师傅5小时做40个零件，平均每小时做( )个零件，平均做一个零件需要( )小时。 【答案】 8 0.125 【分析】求李师傅平均每小时做零件的个数，根据工作效率＝工作量÷工作时间，用做的零件个数除以时间，即可求出平均每小时做多少个零件。 求平均做一个零件需要的时间，用做零件的时间除以零件的个数。 【详解】40÷5＝8（个） 5÷40＝ 0.125（小时） 李师傅5小时做40个零件，平均每小时做8个零件，平均做一个零件需要0.125小时。 6．菠萝营养丰富，富含多种维生素。质检人员抽出甲、乙、丙、丁4个菠萝检测重量，结果分别是1142克、1千克42克、1.42千克、0.00141吨，其中最重的是( )。 【答案】1.42千克 【分析】根据1千克＝1000克，1吨＝1000千克，把各个数据转换成同一单位，进行比较解答此题即可。 【详解】1142÷1000＝1.142（千克） 1142克＝1.142千克 42÷1000＝0.042（千克） 1千克42克＝1.042千克 0.00141×1000＝1.41（千克） 0.00141吨＝1.41千克 1.42千克＞1.41千克＞1.142千克＞1.042千克 所以1千克42克＜1142克＜0.00141吨＜1.42千克，其中最重的是1.42千克。 7．循环小数2.788788…，小数点后第100位上的数字是( )。 【答案】7 【分析】循环节是“788”，共3位。用100除以3求出商和余数，余数是几，就说明最后一个数字是每个循环节中的第几个数字。 【详解】100÷3＝33……1，余数是1。 小数点后第100位上的数字是7。 8．0.25时＝( )分     5230cm2＝( )dm2 【答案】 15 52.3 【分析】根据1时＝60分，1平方分米＝100平方厘米，单位之间的换算，高级单位换算成低级单位要乘它们之间的进率；低级单位换算成高级单位要除以它们之间的进率。 【详解】因为0.25×60＝15，所以0.25时＝15分 因为5230÷100＝52.3，所以5230cm2＝52.3dm2 9．无限循环小数0.33453345…的小数点后第15位上的数字是( )，第30位上的数字是( )。 【答案】 4 3 【分析】无限循环小数0.33453345……，其重复出现的部分“3345”就是循环节，长度为4； 用位数15除以循环节长度4，15÷4＝3……3，这里的商3意味着到第15位时，完整的“3345”循环节出现了3次，余数3表示在新的一轮循环中，处于循环节的第3个位置，而循环节“3345”的第3个数字是4，所以第15位数字是4； 同样地，对于第30位，30÷4＝7……2，商7说明有7个完整的循环节，余数2表明在新一轮循环里，处于循环节的第2个位置，循环节“3345”的第2个数字是3，所以第30位数字是3。 【详解】15÷4＝3（组）……3（个） 30÷4＝7（组）……2（个） 所以小数点后第15位上的数字是4，第30位上的数字是3。 10．5小时24分＝( )小时      2.05千克＝( )千克( )克 【答案】 5.4 2 50 【分析】根据进率：1小时＝60分，1千克＝1000克；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【详解】（1）24÷60＝0.4（小时） 5＋0.4＝5.4（小时） 5小时24分＝5.4小时 （2）2.05千克＝2千克＋0.05千克 0.05×1000＝50（克） 2.05千克＝2千克50克 二、选择题 11．下列算式，与78×9.9得数不相等的是（    ）。 A．78×9＋0.9 B．（10－0.1）×78 C．7.8÷0.1×9.9 D．78×10－7.8 【答案】A 【分析】将原算式利用乘法分配律进行变形，把看作或，或者把看作，逐一分析选项比较作答。 【详解】A．，选项中第二项为，缺少因数，与原算式得数不相等； B．，与原算式得数相等； C．，与原算式得数相等； D．，与原算式得数相等。 12．数m和数n在数轴上位置如下，下列式子成立的是（    ）。 A．m×n＞1 B．n×p＜n C．m÷n＜m D．p×m＜p 【答案】D 【分析】观察数轴可知，数m，数n都大于0而小于1，数p大于2小于3。解答时，可以在它们的取值范围内举例说明。 【详解】假设m是0.4，n是0.6，p是2.4。 A．0.4×0.6＝0.24，0.24＜1，m×n的积没有大于1。该选项不成立。 B．0.6×2.4＝1.44，1.44＞0.6，n×p的积比n大。该选项不成立。 C．0.4÷0.6≈0.667，0.667＞0.4，m÷n的商比m大。该选项不成立。 D．2.4×0.4＝0.96，0.96＜2.4，p×m的积小于p。该选项成立。 故答案为：D 13．25.3÷1.2的商是21，余数是（    ）。 A．0.1 B．1 C．10 D．100 【答案】A 【分析】余数＝被除数－除数×商，据此解答即可。 【详解】 余数是0.1。 故答案为：A 14．如图的竖式中，框里的“48”表示48个（    ）。 A．十 B．一 C．十分之一 D．百分之一 【答案】C 【分析】小数除法中的余数要看余数的末尾对应在被除数中的位置，看竖式，发现48对应被除数的个位和十分位，所以它表示有48个0.1，据此解答。 【详解】由分析可得：竖式中，框里的“48”表示48个十分之一。 故答案为：C 15．小轩为了知道粗细均匀的一捆铁丝有多长，于是他先称了称这捆铁丝重50千克。接着又剪下5米长的一段，称了称重量是100克，那么，这捆铁丝的长度是（    ）米。 A．10 B．250 C．1000 D．2500 【答案】D 【分析】分析题目，先根据1千克＝1000克把50千克化成以克为单位，再用5除以100求出1克是多少米，最后乘50千克即可求出这捆铁丝的长度。 【详解】50千克＝50000克 5÷100×50000 ＝0.05×50000 ＝2500（米） 小轩为了知道粗细均匀的一捆铁丝有多长，于是他先称了称这捆铁丝重50千克。接着又剪下5米长的一段，称了称重量是100克，那么，这捆铁丝的长度是2500米。 故答案为：D 三、判断题 16．两个数的积一定大于两个数的商。（这两个数都不为0）( ) 【答案】× 【分析】本题题目中出现“一定”这样的绝对性词语，可以通过举反例的方法进行验证。根据一个非0数乘小于1的数积变小，除以小于1的数商变大的规律，寻找反例即可判断。 【详解】假设这两个数分别是0.5和0.5。 它们的积为：0.5×0.5＝0.25 它们的商为：0.5÷0.5＝1 因为0.25＜1，所以积小于商。 这说明两个数的积不一定大于两个数的商。原题说法错误。 故答案为：× 17．a×0.8＝b×2.9（a、b均不为0），那么a和b的大小关系是a＜b。( ) 【答案】× 【分析】假设a×0.8＝b×2.9＝1，根据“积÷因数＝另一个因数”分别求出a和b的值，再比较大小。 【详解】假设a×0.8＝b×2.9＝1。   则a＝1÷0.8＝1.25 b＝1÷2.9≈0.3448 由于1.25＞0.3448，因此a＞b。原题说法错误。 故答案为：× 18．6.0353535是循环小数。( ) 【答案】× 【分析】小数按小数部分的位数分为有限小数和无限小数，无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数。一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出，这样的小数叫做循环小数。据此解答。 【详解】根据分析可得： 6.0353535是一个有限小数，所以不是循环小数。原题说法错误。 故答案为：× 19．7.545454是循环小数，循环节是54。( ) 【答案】× 【分析】小数按小数部分的位数分为有限小数和无限小数，无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数。一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出，这样的小数叫做循环小数。据此判断即可。 【详解】7.545454是一个有限小数，不是循环小数。原题说法错误。 故答案为：× 20．除数是整数时，被除数有几位小数，商就有几位小数。( ) 【答案】× 【分析】根据除数是整数的小数除法的运算法则，除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除，据此举例判断即可。 【详解】如：5.6÷20＝0.28，此时被除数是一位小数，商是两位小数，所以商的小数位数与被除数的小数位数无关。原说法错误。 故答案为：× 四、计算题 21．直接写出得数。 1.5×4＝          1.25×0.8＝         0.25×400＝         12÷2.4＝ 0.24－0.24＝      6.6×0×97＝        1.23＋0.77＝       3.9÷0.01＝ 【答案】6；1；100；5 0；0；2；390 【解析】略 五、解答题 22．明明和丽丽两家人同时开车从宿迁出发，匀速同向而行，丽丽家车速比明明家快，2.8小时后两车相距12.6千米。丽丽家车的速度是90千米/时，明明家车的速度是多少千米/时？ 【答案】85.5千米/时 【分析】两车同时从同一地点出发并且同向而行，丽丽家车速比明明家快，所以两车相距的路程是两车速度差在2.8小时内拉开的距离。根据路程差÷时间＝速度差，先用12.6÷2.8求出速度差，再用丽丽家车速减去速度差，求明明家车的速度。 【详解】12.6÷2.8＝4.5（千米/时） 90－4.5＝85.5（千米/时） 答：明明家车的速度是85.5千米/时。 23．小华在超市买了3包薯片和2盒果冻，一共花了12.9元。已知每包薯片比每盒果冻多花2.3元，每包薯片与每盒果冻各多少元？ 【答案】 3.5元；1.2元 【分析】已知每包薯片比每盒果冻多花元，若将盒果冻替换成包薯片，总价钱需要增加个元，此时相当于买了包薯片。用调整后的总价钱除以薯片的总包数，即可求出每包薯片的单价，再根据差价求出每盒果冻的单价。 【详解】假设把盒果冻都换成包薯片。 薯片的单价： （元） 果冻的单价： （元） 答：每包薯片3.5元，每盒果冻1.2元。 24．为响应“绿色出行，低碳生活”的号召，某市推出了共享单车“骑行积分兑换礼品”活动。周末，明明参与了骑行活动，他上午单次骑行了28分钟，下午单次骑行的时长比上午的2.5倍少15分钟。 骑行积分兑换礼品规则 1.单次骑行时长不足1分钟不计积分，1~30分钟每骑行1分钟积0.5分； 2.单次骑行时长超过30分钟的部分，每骑行1分钟积0.6分； 3.积分兑换礼品时，1积分可兑换0.3元的商品代金券，代金券不设找零。 (1)明明这一天两次骑行一共获得多少积分？ (2)明明将骑行获得的积分兑换代金券，并使用代金券购买了一本定价为18元的《数学趣味故事》和一盒定价为9.6元的彩色铅笔，付款时代金券抵扣后，他需要补多少元现金？ 【答案】(1)44分 (2)14.4元 【分析】（1）先根据上午骑行时长，用“上午时长×2.5－15”求出下午骑行时长；再按积分规则，用上午骑行时长×0.5求出上午积分；接着把下午骑行时长分成“前30分钟”和“超过30分钟的部分”，分别用对应规则求出两部分积分并相加，得到下午积分；最后把上午和下午的积分相加，求出总积分。 （2）先根据总积分，用“总积分×0.3”求出可兑换的代金券金额；再把两件商品的定价相加，求出购买商品的总价；最后用商品总价减去代金券金额，求出需要补的现金。 【详解】（1）下午时长：28×2.5－15 ＝70－15 ＝55（分钟） 上午积分：28×0.5＝14（分） 下午积分：30×0.5＋（55－30）×0.6 ＝15＋25×0.6 ＝15＋15 ＝30（分） 总积分：14＋30＝44（分） 答：明明这一天两次骑行一共获得44积分。 （2）代金券金额：44×0.3＝13.2（元） 商品总价：18＋9.6＝27.6（元） 需补现金：27.6－13.2＝14.4（元） 答：他需要补14.4元现金。 25．某小区“垃圾分类”引入了智能废品回收机，使垃圾分类提质升级。小明往智能废品回收机里投递了0.4千克金属和1.8千克废纸，共得到1.65元。金属回收的价格是每千克多少元？ 智能垃圾分类回收标准 纸类回收 塑料回收 金属回收 纺织物回收 玻璃回收 0.65元/千克 0.80元/千克 ？元/千克 0.05元/千克 公益回收 【答案】1.2元/千克 【分析】根据“总价＝单价×数量”，利用废纸的质量和单价计算出废纸的回收金额。用总金额减去废纸回收金额，求出金属的回收金额。根据“单价＝总价÷数量”，利用金属的回收金额和质量计算出金属的单价。 【详解】（1.65－1.8×0.65）÷0.4 ＝（1.65－1.17）÷0.4 ＝0.48÷0.4 ＝1.2（元/千克） 答：金属回收的价格是每千克元。 26．下图是客车和货车同时从甲地开往乙地的行驶情况。 (1)客车每小时比货车多行驶多少千米？ (2)如果客车到达乙地后，立即以原来的速度按原路返回，再经过多长时间两车相遇？ 【答案】(1)30千米 (2)1.2小时 【分析】（1）这是一个路程和时间关系图，甲地对应路程0千米，乙地对应路程540千米。说明客车6小时行驶了540千米到达乙地。货车9小时行驶了540千米到达乙地。用客车速度减货车速度，就是速度差。 （2）客车到达乙地时，已经行驶了6小时，此时货车也行驶了6小时，还没到乙地。此时客车在乙地（540千米处），需要先算出货车此时的位置，再得到两车之间的距离。接下来客车掉头返回，货车继续向乙地行驶，两车变成相向而行的相遇问题，用“路程和 ÷ 速度和”就能算出相遇所需的时间。 【详解】（1）客车速度：540÷6＝90（千米/小时） 货车速度：540÷9＝60（千米/小时） 客车每小时比货车多行驶：90－60＝30（千米） 答：客车每小时比货车多行驶30千米。 （2）客车到达乙地时，货车已经行驶了6小时，此时货车行驶的路程为： 60×6＝360（千米） 此时两车相距：540－360＝180（千米） 速度和：90＋60＝150（千米/小时） 相遇时间：180÷150 ＝1.2（小时） 答：再经过1.2小时两车相遇。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 小数除法（单元举一反三讲义） 知识精讲 一、小数除法的意义 1. 通用核心意义 （1）小数除法的意义与整数除法意义完全相同，是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 （2）可以理解为：把一个小数平均分成若干份，求每份是多少；或求一个数里面包含几个另一个数。 二、小数除法分类及计算法则 1. 除数是整数的小数除法 （1）①按照整数除法的计算法则依次计算。 （2）②商的小数点必须和被除数的小数点严格对齐，这是本类计算的核心关键点。 （3）③被除数整数部分不够除时，整数位商0占位，再点上小数点继续往下除。 （4）④除到被除数末尾仍有余数时，在余数末尾补0继续除，直至除尽或出现循环小数。 （5）⑤计算过程中，哪一位不够商1，就在对应数位上商0占位。 2. 除数是小数的小数除法 （1）核心算理：利用商不变的性质，把陌生的除数是小数的除法，转化为熟悉的除数是整数的除法再计算。 （2）①看除数：数出除数一共有几位小数。 （3）②移小数点：将除数的小数点向右移动几位，使除数变成整数。 （4）③同步移位：被除数的小数点也要向右移动相同的位数，保证商不变。 （5）④补0规则：如果被除数的小数位数不足，需要在被除数末尾补0补足位数。 （6）⑤按法则计算：转化完成后，按照除数是整数的小数除法法则进行计算。 三、商不变的性质 1. 核心内容 （1）被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商的大小保持不变。 （2）该性质是除数是小数的除法的转化依据，是小数除法计算的基础原理。 2. 关键注意点 （1）必须是被除数和除数同时变化，不能只改动其中一个数。 （2）乘或除以的数必须相同且不为0，0不能作为除数和乘数。 （3）变化的是被除数和除数，商保持不变，余数会随之发生变化。 四、商的大小变化规律 1. 除数影响规律（被除数不为0） （1）除数大于1，商小于被除数。除数越大，商越小。 （2）除数小于1（不为0），商大于被除数。除数越小，商越大。 （3）除数等于1，商等于被除数。 2. 被除数、除数同时变化规律 （1）除数不变，被除数扩大或缩小几倍，商也随之扩大或缩小相同倍数。 （2）被除数不变，除数扩大几倍，商反而缩小几倍；除数缩小几倍，商反而扩大几倍。 五、商的近似数 1. 求商的近似数的方法 （1）①先计算：计算时要比需要保留的小数位数多算出一位，不提前取舍。 （2）②再四舍五入：根据多算出的最后一位数字，判断取舍，得到近似数。 2. 求商近似数与积近似数的区别 （1）积的近似数：需要先算出完整的准确积，再整体取舍。 （2）商的近似数：无需除尽，只需多算一位即可取舍，计算更简便。 3. 近似数精确度规范 （1）保留指定小数位数后，末尾的0不能随意删除，用于表示精确的位数。 （2）生活实际场景中，人民币计算默认保留两位小数。 4. 实际取值特殊方法 （1）进一法：无论尾数是几，都向前一位进1，多用于装容器、租车、装箱等场景。 （2）去尾法：无论尾数是几，全部舍去，多用于做物品、剪材料、买商品等场景。 六、循环小数 1. 循环小数相关概念 （1）有限小数：小数部分的位数是有限的小数。 （2）无限小数：小数部分的位数是无限的小数。 （3）循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。循环小数属于无限小数。 （4）循环节：循环小数的小数部分中，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。 2. 循环小数简便写法 （1）只写出第一个循环节，在循环节的首位和末位数字上方点上循环点。 （2）单个数字循环，只在这个数字上方点一个循环点。 （3）多个数字循环，只在首尾数字上方点循环点，中间数字不点。 3. 无限小数分类 （1）无限循环小数：小数部分数字有规律重复出现。 （2）无限不循环小数：小数部分数字无规律、不重复，常见的如圆周率π。 七、小数除法混合运算顺序 1. 同级运算 （1）小数连除属于同级运算，按照从左到右的顺序依次计算。 2. 不同级运算 （1）含有除法和加减法的混合运算，先算除法，后算加减法。 3. 带括号运算 （1）有小括号的算式，先算小括号里面的，再算小括号外面的。 易错指引 1. 小数点移位易错点 （1）计算除数是小数的除法时，只移动除数小数点，忘记同步移动被除数小数点。 （2）被除数位数不够时，未补0，导致数位错位、计算结果错误。 2. 商的小数点易错点 （1）忘记对齐被除数的小数点，商的小数点位置偏移。 （2）整数部分不够除时，忘记商0占位，直接跳过数位计算。 3. 余数易错点 （1）小数除法有余数时，混淆移位后的余数和原始余数，误将新余数当作最终余数。 （2）除到末尾有余数，忘记补0继续除，导致计算不完整。 4. 循环小数易错点 （1）混淆有限小数、无限小数、循环小数的包含关系，误认为无限小数都是循环小数。 （2）书写循环小数时，循环点点错位置或多点点、少点点。 5. 近似数易错点 （1）求商的近似数时，只算到需要保留的位数，没有多算一位，导致取舍错误。 （2）实际问题中，不区分进一法、去尾法、四舍五入法，机械套用四舍五入。 6. 商的大小判断易错点 （1）忽略被除数不为0的前提，错误判断0做被除数时的商的大小。 （2）混淆除数大于1和小于1时的商的变化规律，判断大小出错。 真题拔高 一、填空题 1．5个0.01是( )，它与( )个0.001相等。 2．如果，，，那么7÷A＝( )。 3．已知135×83＝11205，那么1.35×8.3＝( )，112.05÷135＝( )。 4．已知两个数的积是32.8，其中一个乘数是8，求另一个乘数是多少，列式是( )。 5．李师傅5小时做40个零件，平均每小时做( )个零件，平均做一个零件需要( )小时。 6．菠萝营养丰富，富含多种维生素。质检人员抽出甲、乙、丙、丁4个菠萝检测重量，结果分别是1142克、1千克42克、1.42千克、0.00141吨，其中最重的是( )。 7．循环小数2.788788…，小数点后第100位上的数字是( )。 8．0.25时＝( )分     5230cm2＝( )dm2 9．无限循环小数0.33453345…的小数点后第15位上的数字是( )，第30位上的数字是( )。 10．5小时24分＝( )小时      2.05千克＝( )千克( )克 二、选择题 11．下列算式，与78×9.9得数不相等的是（    ）。 A．78×9＋0.9 B．（10－0.1）×78 C．7.8÷0.1×9.9 D．78×10－7.8 12．数m和数n在数轴上位置如下，下列式子成立的是（    ）。 A．m×n＞1 B．n×p＜n C．m÷n＜m D．p×m＜p 13．25.3÷1.2的商是21，余数是（    ）。 A．0.1 B．1 C．10 D．100 14．如图的竖式中，框里的“48”表示48个（    ）。 A．十 B．一 C．十分之一 D．百分之一 15．小轩为了知道粗细均匀的一捆铁丝有多长，于是他先称了称这捆铁丝重50千克。接着又剪下5米长的一段，称了称重量是100克，那么，这捆铁丝的长度是（    ）米。 A．10 B．250 C．1000 D．2500 三、判断题 16．两个数的积一定大于两个数的商。（这两个数都不为0）( ) 17．a×0.8＝b×2.9（a、b均不为0），那么a和b的大小关系是a＜b。( ) 18．6.0353535是循环小数。( ) 19．7.545454是循环小数，循环节是54。( ) 20．除数是整数时，被除数有几位小数，商就有几位小数。( ) 四、计算题 21．直接写出得数。 1.5×4＝          1.25×0.8＝         0.25×400＝         12÷2.4＝ 0.24－0.24＝      6.6×0×97＝        1.23＋0.77＝       3.9÷0.01＝ 五、解答题 22．明明和丽丽两家人同时开车从宿迁出发，匀速同向而行，丽丽家车速比明明家快，2.8小时后两车相距12.6千米。丽丽家车的速度是90千米/时，明明家车的速度是多少千米/时？ 23．小华在超市买了3包薯片和2盒果冻，一共花了12.9元。已知每包薯片比每盒果冻多花2.3元，每包薯片与每盒果冻各多少元？ 24．为响应“绿色出行，低碳生活”的号召，某市推出了共享单车“骑行积分兑换礼品”活动。周末，明明参与了骑行活动，他上午单次骑行了28分钟，下午单次骑行的时长比上午的2.5倍少15分钟。 骑行积分兑换礼品规则 1.单次骑行时长不足1分钟不计积分，1~30分钟每骑行1分钟积0.5分； 2.单次骑行时长超过30分钟的部分，每骑行1分钟积0.6分； 3.积分兑换礼品时，1积分可兑换0.3元的商品代金券，代金券不设找零。 (1)明明这一天两次骑行一共获得多少积分？ (2)明明将骑行获得的积分兑换代金券，并使用代金券购买了一本定价为18元的《数学趣味故事》和一盒定价为9.6元的彩色铅笔，付款时代金券抵扣后，他需要补多少元现金？ 25．某小区“垃圾分类”引入了智能废品回收机，使垃圾分类提质升级。小明往智能废品回收机里投递了0.4千克金属和1.8千克废纸，共得到1.65元。金属回收的价格是每千克多少元？ 智能垃圾分类回收标准 纸类回收 塑料回收 金属回收 纺织物回收 玻璃回收 0.65元/千克 0.80元/千克 ？元/千克 0.05元/千克 公益回收 26．下图是客车和货车同时从甲地开往乙地的行驶情况。 (1)客车每小时比货车多行驶多少千米？ (2)如果客车到达乙地后，立即以原来的速度按原路返回，再经过多长时间两车相遇？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $