1．4 充分条件与必要条件（思维导图+2大知识点+4大题型）（讲义）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

1．4 充分条件与必要条件 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：充分条件与必要条件充要条件的概念 4 知识点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：充分条件与必要条件的判断与选择 6 题型二：充要条件的证明 8 题型三：充分条件与必要条件的参数取值范围问题 10 题型四：探求命题为真的充要条件 13 知识点一：充分条件与必要条件充要条件的概念 符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：； “若，则”为假命题，记作：． 充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的必要条件． ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件． 知识点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到． ①“若，则”为真命题； ②是的充分条件； ③是的必要条件 以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达． 知识点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件． 从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件． 知识点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论， ③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件． 题型一：充分条件与必要条件的判断与选择 【例题1】（2025·高一·云南玉溪·开学考试）已知集合，，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题2】（2025·高一·山东德州·开学考试）使成立的充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1、判断充分条件、必要条件的注意点 （1）明确条件与结论． （2）判断若p，则q是否成立时注意利用等价命题． （3）可以用反例说明由p推不出q，但不能用特例说明由p可以推出q． 2、充分条件、必要条件的两种判断方法 （1）定义法： ①确定谁是条件，谁是结论； ②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件； ③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件． （2）命题判断法： ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件． 【变式1】（2025·高一·全国·期中）设a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（2025·高一·全国·课前预习）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】下列说法正确的是（   ） A．“三角形是等腰三角形”是“三角形是正三角形”的充分不必要条件 B．“方程有实数根”是“”的充要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【变式4】已知p是q成立的必要条件，q是r成立的充要条件，r是s成立的充分条件，s不是q成立的充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．p是r成立的充要条件 B．s是r成立的必要不充分条件 C．p是s成立的充分不必要条件 D．q是s成立的必要不充分条件 题型二：充要条件的证明 【例题3】证明： (1)“”是“”的充分不必要条件； (2)“”是“”的充要条件． 【例题4】已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【方法技巧与总结】 充要条件的证明需要从充分性和必要性两个方面证明： 证明：是的充要条件 充分性：把当做已知条件，推出 必要性：把当做已知条件，推出 【变式5】（2025·河南·模拟预测）设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 【变式6】已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 【变式7】证明：“中两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 题型三：充分条件与必要条件的参数取值范围问题 【例题5】已知集合． (1)若，求； (2)从下面两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围． ①；②若集合B不是空集，且是的必要不充分条件． 注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分． 【例题6】（2025·高一·全国·课前预习）已知，，且是的充分条件，求实数的取值范围. 【方法技巧与总结】 （1）化简p、q两命题， （2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系， （3）利用集合间的关系建立不等关系， （4）求解参数范围． 【变式8】（2025·高一·广东汕头·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求的取值范围. 【变式9】（2025·高一·甘肃甘南·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【变式10】已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. 【变式11】（2025·高一·海南儋州·期中）已知：关于的方程有实数根，. (1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 题型四：探求命题为真的充要条件 【例题7】（2025·高一·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 【例题8】关于的方程有两个负实根的充要条件是 ． 【变式12】设x，，已知，则的一个充分必要条件是 . 【变式13】写出关于，，的等式成立的一个充要条件： ． 【变式14】下列命题： ①“且”是“”的充要条件； ②当时，“”是“方程有解”的充要条件； ③“或”是“方程”的充要条件．其中正确的序号为 ． 【变式15】设集合，，则的充要条件是 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．4 充分条件与必要条件 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：充分条件与必要条件充要条件的概念 4 知识点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：充分条件与必要条件的判断与选择 6 题型二：充要条件的证明 8 题型三：充分条件与必要条件的参数取值范围问题 10 题型四：探求命题为真的充要条件 13 知识点一：充分条件与必要条件充要条件的概念 符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：； “若，则”为假命题，记作：． 充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的必要条件． ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件． 知识点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到． ①“若，则”为真命题； ②是的充分条件； ③是的必要条件 以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达． 知识点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件． 从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件． 知识点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论， ③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件． 题型一：充分条件与必要条件的判断与选择 【例题1】（2025·高一·云南玉溪·开学考试）已知集合，，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当，则，充分性成立， 当，则，可得或，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 【例题2】（2025·高一·山东德州·开学考试）使成立的充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因为不是的真子集，故不满足题意； 对于B，因为， 所以是成立的充要条件，故不满足题意； 对于C，因为， 所以是成立的充分不必要条件，满足题意； 对于D，因为， 所以是成立的必要不充分条件，不满足题意. 故选：C. 【方法技巧与总结】 1、判断充分条件、必要条件的注意点 （1）明确条件与结论． （2）判断若p，则q是否成立时注意利用等价命题． （3）可以用反例说明由p推不出q，但不能用特例说明由p可以推出q． 2、充分条件、必要条件的两种判断方法 （1）定义法： ①确定谁是条件，谁是结论； ②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件； ③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件． （2）命题判断法： ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件． 【变式1】（2025·高一·全国·期中）设a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】a，，由，得，，则，因此充分性成立； 由，得，又，则，因此必要性不成立 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【变式2】（2025·高一·全国·课前预习）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，，满足，充分性成立； 当时，或，必要性不成立，即“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式3】下列说法正确的是（   ） A．“三角形是等腰三角形”是“三角形是正三角形”的充分不必要条件 B．“方程有实数根”是“”的充要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】对于A，易知“三角形是等腰三角形”是“三角形是正三角形”的必要不充分条件，即选项A错误； 对于B，当时，满足“”，但方程没有实数根，即选项B不正确； 对于C，若，则，所以选项C错误； 对于D，若，有，但不满足；若，则，但不满足，即选项D正确. 故选：D. 【变式4】已知p是q成立的必要条件，q是r成立的充要条件，r是s成立的充分条件，s不是q成立的充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．p是r成立的充要条件 B．s是r成立的必要不充分条件 C．p是s成立的充分不必要条件 D．q是s成立的必要不充分条件 【答案】B 【解析】依题意得. 由得，但p不一定能推出r，充分性不一定满足，故A错. 由得，又，所以s是r成立的必要不充分条件，故B对. 由得，又，无法建立p与s的确切关联，即p不一定能推出s，s不一定能推出p，故C错； 因为，所以，又，所以q是s成立的充分不必要条件，故D错. 故选：B. 题型二：充要条件的证明 【例题3】证明： (1)“”是“”的充分不必要条件； (2)“”是“”的充要条件． 【解析】（1）充分性：当时，，充分性成立． 必要性：由，得，即，必要性不成立． 故“”是“”的充分不必要条件． （2）充分性：若，则，充分性成立． 必要性：若，则，必要性成立． 故“”是“”的充要条件． 【例题4】已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【解析】必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【方法技巧与总结】 充要条件的证明需要从充分性和必要性两个方面证明： 证明：是的充要条件 充分性：把当做已知条件，推出 必要性：把当做已知条件，推出 【变式5】（2025·河南·模拟预测）设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 【解析】证明：因为，所以函数图象的对称轴为直线， 所以. 先证充分性：因为，且，所以； 再证必要性：因为对于，，所以，即，从而. 综上可知，对于，的充要条件是. 【变式6】已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 【解析】证明：（充分性）将代入方程， 得，即， 解得，为整数根； 将代入方程， 得，即， 解得或，为整数根； 所以是两个方程的根都是整数的充分条件； （必要性）若方程有实根， 则，即， 若方程有实根， 则即，即， 所以上述两个方程都有实根等价于， ，， 当时，方程可化为，无整数根； 当时，方程可化为，无整数根； 当时，上述两个方程都有整数根， 所以上述两个方程都有整数根的必要条件是； 综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是. 【变式7】证明：“中两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 【解析】证明：充分性：在中，设边上的高为，边上的高为． 则， 因为，所以， 故为等腰三角形，充分性成立． 必要性：若为等腰三角形，设，边上的高为，边上的高为， 则根据三角形面积公式， 可得，必要性成立． 故“两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 题型三：充分条件与必要条件的参数取值范围问题 【例题5】已知集合． (1)若，求； (2)从下面两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围． ①；②若集合B不是空集，且是的必要不充分条件． 注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1）当时，， 所以． （2）选择条件①： 由知．当时，，解得． 当时，，解得． 综上，的取值范围为． 选择条件②： 因为是的必要不充分条件， 所以是的真子集， 因为，（等号不能同时取到）， 解得． 综上，的取值范围为． 【例题6】（2025·高一·全国·课前预习）已知，，且是的充分条件，求实数的取值范围. 【解析】由题意得. 当，即时，解得，满足题意； 当，要使，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 【方法技巧与总结】 （1）化简p、q两命题， （2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系， （3）利用集合间的关系建立不等关系， （4）求解参数范围． 【变式8】（2025·高一·广东汕头·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求的取值范围. 【解析】（1）当时，， 所以或， 因为， 故或. （2）因为是的充分条件，所以 所以， 解得 ， 所以的取值范围为. 【变式9】（2025·高一·甘肃甘南·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，集合，可得或， 因为，所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足，解得， 当时，，此时是的真子集，合乎题意； 当时，，此时是的真子集，合乎题意. 综上，实数的取值范围为. 【变式10】已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. 【解析】（1）， 当时，或． ． （2）因为，或． 是的必要不充分条件，所以或， 所以或． 【变式11】（2025·高一·海南儋州·期中）已知：关于的方程有实数根，. (1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）若命题是真命题，则， 因为命题是命题的必要不充分条件， 则是的真子集， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 题型四：探求命题为真的充要条件 【例题7】（2025·高一·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 【答案】 【解析】是该方程有两个异号实根的充要条件， 证明必要性：由于方程（，，是常数且）有一正实根和一负实根， 设两根为，所以，且，所以. 充分性：由可推出， 从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， 所以方程（，，是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. 故答案为： 【例题8】关于的方程有两个负实根的充要条件是 ． 【答案】 【解析】充分性：由题意可得，即得，充分性成立； 必要性：若，则此时， 满足方程有两个负实根，必要性成立． 故关于的方程有两个负实根的充要条件是充要条件是． 故答案为： 【变式12】设x，，已知，则的一个充分必要条件是 . 【答案】 【解析】因为 ， 所以的一个充分必要条件是. 故答案为： 【变式13】写出关于，，的等式成立的一个充要条件： ． 【答案】 【解析】将等式整理得， 即，即． 故原式的等价于：． 故答案为： 【变式14】下列命题： ①“且”是“”的充要条件； ②当时，“”是“方程有解”的充要条件； ③“或”是“方程”的充要条件．其中正确的序号为 ． 【答案】③ 【解析】①且时，成立，反之不一定成立，如，，所以“且”是“”的充分不必要条件，故①错误； ②方程有解的充要条件是，故②错误； ③当或时，方程一定成立， 反过来，方程成立时，或，故③正确． 故答案为：③ 【变式15】设集合，，则的充要条件是 ． 【答案】， 【解析】由，可知，，于是 解得 此时，，符合． 故的充要条件是， 故答案为：， 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$