专题1.2 有理数的加法与减法（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制六年级上册

本讲义聚焦有理数的加法与减法核心知识点，系统梳理同号/异号两数相加法则、加法交换律与结合律、减法法则（减变加相反数）及加减混合运算步骤（统一加法、简便计算等），形成从基础运算到综合应用的递进式学习支架。 资料亮点在于“即学即练”与“题型分类”设计，通过典例及变式题强化运算能力，结合露营行程、游客统计等实际情境培养应用意识。课中助力教师系统教学，课后学生可借分层练习查漏补缺，提升数学思维与解决问题能力。

专题1.2 有理数的加法与减法 教学目标 1. 理解有理数加法的意义，熟练掌握有理数加法运算。 2. 掌握有理数加法交换律、结合律，掌握常用简便计算方法。 3. 理解有理数减法法则，掌握有理数加减混合运算，学会把加减算式统一化为代数和形式，能规范简写及运算。 4. 能运用有理数加减运算解决简单实际应用题。 教学重难点 1.重点 有理数的加减运算。 2.难点 运算符号的确定，运用运算律进行灵活计算。 知识点01 有理数的加法 1. 同号两数相加 同号两数相加，取相同符号，并把绝对值_____。 2. 异号两数相加 异号两数相加，取绝对值较大加数__________的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 3. 互为相反数的两个数相加得0； _____ 4. 一个数同0相加，仍得这个数 【即学即练】 1.计算： (1)． (2)． (3)． 知识点02 加法运算律 1. 加法交换律 两个有理数相加时，交换加数的位置，和_____. a+b=b+a 2. 加法结合律 三个有理数相加时，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和_____. （a+b）+c=a+(b+c) 【即学即练】 1. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 知识点03 有理数的减法 1. 减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 2. 0减去一个数等于这个数的相反数 【即学即练】 1. 计算： (1)； (2)； (3)． 知识点04 有理数的加减混合运算 有理数加减混合运算的步骤： 1. 统一为加法运算（减法变加法）； 2. 省略成和的形式（省略括号和括号前的加号）； 3. 利用运算律简便计算； ①同号结合； ②凑整结合； ③同分母结合； 4. 分组求和 【即学即练】 1. 计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 题型01 同号两数相加 【典例1】计算： (1)； (2)． 【变式1】如果两个有理数的和是负数，那么这两个数（   ） A．都是负数 B．一个是正数，另一个是负数 C．至少有一个是负数 D．以上答案都不正确 【变式2】计算：______． 【变式3】计算______． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型02 异号两数相加 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】计算： （1）_____； （2）_____=_____． 【变式2】计算： （1）________． （2）________． 【变式3】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型03 有理数的加法运算律 【典例1】 计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【典例2】 计算： (1)． (2)． 【典例3】数学白老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 ， 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： ． 【变式1】计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【变式2】计算：． 【变式3】计算： (1)． (2)． 【变式4】阅读下列材料：计算：． 解：原式 ________________ ________________ ________________． 上面这种方法叫拆项法． 回答下列问题： (1)请补全以上计算过程． (2)类比上面的方法计算：． 题型04 有理数的减法运算 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； 【变式2】计算： （1）； （2）； （3）． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； 【变式4】计算： （1）； （2）； （3）． 题型05 有理数加减运算的结果符号的确定 【典例1】．用“”或“”填空： （1）如果，那么______0； （2）如果，那么______0； （3）如果，那么______0； （4）如果，那么______0． 【典例2】．若，则以下四个结论中，正确的是（   ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．一定是正数 D．可能是正数 【变式1】如图，数轴上，两点分别对应数、，则___________0．（用＞，＜或＝填空） 【变式2】两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【变式3】已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 【变式4】 下列各组运算结果符号为负的有（　　） ；；； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型06 有理数的加减混合运算 【典例1】．计算： (1) (2) 【变式1】计算：． 【变式2】计算：． 【变式3】计算： (1)； (2) ． 【变式4】计算 (1)； (2)． 题型07 有理数加减法的实际应用 【典例1】．【项目主题】露营基地野餐 【背景】当下露营正成为人们一种新的周末休闲娱乐方式，李明和朋友约定周末去郊外露营基地野餐，出发前，李明需要驾车去购买一些露营的食物、水果等． 【素材】从家出发，先向西行驶到炸鸡店，继续向西行驶到达面包店，然后向东行驶到达水果店，继续向东行驶到烧烤店，最后向东行驶到露营基地． 【任务】以家为原点，向东为正，向西为负，李明的行动记录如下：； 任务一：水果店离家有多远？ 任务二：李明一共行驶了多少千米？ 【变式1】南湖公园，全称南湖城市中央生态公园，是唐山市国家4A级景区，是集自然生态、历史文化和现代文化为一体的大型城市中央生态公园．某星期日，南湖公园共接待游客约1.7万人，接下来的一星期中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 人数变化（万人） (1)星期三的人数为________万人； (2)这一星期内，游客人数最多的是星期________，是________万人； (3)请求出这一星期内南湖公园一共接待了多少名游客． 【变式2】某村共有6块小麦试验田，每块试验田今年的收成与去年相比情况如下（增产为正，减产为负，单位：）；，，，，，．今年的小麦总产量与去年相比是增加了还是减少了？增加或减少了多少？ 【变式3】某集团公司对所属甲、乙两个分厂上半年的经营情况记录如下：（其中“+”表示盈利，“-”表示亏损，单位：亿元） 月份 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 甲厂 -0.4 -0.2 -0.8 0 +1.1 +1.3 乙厂 +0.2 -0.8 +0.8 -1.5 +1 0 (1)计算二月份乙厂比甲厂多亏损了多少亿元？ (2)______月份两个厂的经营情况差距最大，差距是______亿元； (3)分别计算甲、乙两个工厂上半年盈利或亏损了多少亿元？ 【变式4】随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，这不刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 斤； (2)本周实际销售总量达到了计划数量没有？ (3)若冬季每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均3元，那么小明本周一共收入多少元？ 1．上海某公司2024年第一季度盈利10万，第二季度盈利2万，第三季度亏损5万，第四季度亏损1万，则该公司2024年的盈亏情况为（   ） A．盈利2万 B．盈利6万 C．亏损6万 D．亏损8万 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．“双十一”期间某网店一周七天的盈亏情况统计如下（盈利记为“”，亏损记为“”，单位：元）：，那么网店这一周共（    ） A．盈利了200元 B．盈利了300元 C．亏损了200元 D．亏损了300元 4．在数轴上，点表示的数为，一个动点从点出发，先向左移动2.5个单位长度，再向右移动3个单位长度后到达点，那么点表示的数为（   ） A． B． C． D． 5．计算：____________． 6．计算：___________． 7．已知点A和点B在同一数轴上，点A表示数，点B距离点A为个单位长度，则点B表示的数是 ______． 8．在《九章算术注》中用白色和黑色的算筹（小棍形状的计数工具）分别表示正数和负数，如图1表示的计算过程，则图2表示___________的计算过程． 9．计算： (1)； (2)． 10．计算： (1)． (2)． 1．若，且，则的值为（  ） A．5或1 B．或 C．5或 D．或1 2．若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．设是有理数，用表示不超过的最大整数，则下列四个结论中，正确的是（    ） A． B．等于0或 C． D．等于0或1 4．下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早）．2025年元月6日，我国中央广播电视总台综合频道《新闻联播》节目开始播放时，下列各城市的时间表示错误的是（　　） 城市 纽约 巴黎 东京 与北京的时差 A．巴黎是2025年元月6日 B．纽约是2025年元月6日 C．东京是2025年元月6日 D．上海是2025年元月6日 5．如图，若每个圈里的数都等于与它相邻的两个数的和，如，则涂色圈里的数是________． 6．根据下侧流程图计算：如果输入，那么输出的数是_______． 7．定义：对于一个有理数，我们把称为x的有缘数.若，则若，则.计算的结果为______. 8．计算： 9．已知，且，求的值． 10．如图，数轴上有a，b，c三点． (1) 0； 0； 0；（填“”，“”，“”） (2)化简． 11．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于40单的部分记为“”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 七 送餐量（单位：单） +11 +19 +20 +22 (1)直接写出该外卖小哥这一周平均每天送餐 单． (2)该外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元；超过50单的部分，每单补贴8元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 12．阅读理解，完成下列各题： 定义：已知A、B、C 为数轴上任意三点，如果点 C 到点 A 的距离是它到点B距离的2倍，那么称点C是的2倍点． (1)如图，点A表示的数为，点B表示的数为2，点C表示的数为1．点C到点A的距离是2，到点B的距离是1． ∵点C到点A的距离是它到点 B 距离的2倍， ∴点C是的2倍点． ①如果点D表示的数为0，点D到点A 的距离是 ，点D到点B的距离是 ∵     ∴点D是的2倍点 ②如果点D表示的数为5，那么点A是［ ， ］的2倍点： (2)M、N为数轴上两点，点M表示的数是，点N表示的数是4．若点P在M、N之间，问：当点P表示的数为何值时，点P、M、N中恰有一个点为其余两点的2倍点？请仿照例句格式，完成说明：例句：当点P表示的数为2时，点P是的2倍点． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 有理数的加法与减法 教学目标 1. 理解有理数加法的意义，熟练掌握有理数加法运算。 2. 掌握有理数加法交换律、结合律，掌握常用简便计算方法。 3. 理解有理数减法法则，掌握有理数加减混合运算，学会把加减算式统一化为代数和形式，能规范简写及运算。 4. 能运用有理数加减运算解决简单实际应用题。 教学重难点 1.重点 有理数的加减运算。 2.难点 运算运算律进行灵活计算。 知识点01 有理数的加法 1. 同号两数相加 同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。 2. 异号两数相加 异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 3. 互为相反数的两个数相加得0； 4. 一个数同0相加，仍得这个数 【即学即练】 1.计算： (1)． (2)． (3)． 【详解】(1)． = = =3 (2)． =． = (3)． = = =． 知识点02 加法运算律 1. 加法交换律 两个有理数相加时，交换加数的位置，和不变. a+b=b+a 2. 加法结合律 三个有理数相加时，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. （a+b）+c=a+(b+c) 【即学即练】 1. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【详解】 （1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； 知识点03 有理数的减法 1. 减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 2. 0减去一个数等于这个数的相反数 【即学即练】 1. 计算： (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 知识点04 有理数的加减混合运算 有理数加减混合运算的步骤： 1. 统一为加法运算（减法变加法）； 2. 省略成和的形式（省略括号和括号前的加号）； 3. 利用运算律简便计算； ①同号结合； ②凑整结合； ③同分母结合； 4. 分组求和 【即学即练】 1. 计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式= ． （4）解：原式 题型01 同号两数相加 【典例1】计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式1】如果两个有理数的和是负数，那么这两个数（   ） A．都是负数 B．一个是正数，另一个是负数 C．至少有一个是负数 D．以上答案都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，两个有理数的和为负数，说明它们的总和小于零，如果两个数都是非负数（即正数或零），则它们的和必然大于或等于零，与和为负数矛盾，因此，至少有一个数是负数，由此即可得解，熟练掌握有理数的加法法则是解此题的关键． 【详解】解：设两个有理数为和，且， 如果且，则，与矛盾， 故和不能同时为非负数， ∴那么这两个数至少有一个是负数， 故选：C． 【变式2】计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，将带分数和小数转换为分数形式，然后根据有理数的加法运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3】计算______． 【答案】/ 【分析】本题考查有理数的加法运算，两个负数相加，取负号，并将绝对值相加，由此计算即可得解，熟练掌握有理数的加法法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型02 异号两数相加 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式1】计算： （1）_____； （2）_____=_____． 【详解】解：（1）， （2）， 【变式2】计算： （1）________． （2）________． 【详解】解：（1） （2） 【变式3】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 题型03 有理数的加法运算律 【典例1】 计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【详解】 （1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； 【详解】几个有理数的相加时，可以把正数和正数相结合、负数和负数相结合。 【典例2】 计算： (1)． (2)． 【详解】（1）解： ． （2） ． 【详解】几个有理数的相加时，优先考虑利用“凑整法”和把同分母的加数相结合。 【典例3】数学白老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 ， 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： ． 【详解】解：原式 ． 【变式1】计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （3）解：； ． （4）解： ． 【变式2】计算：． 【详解】解： ． 【变式3】计算： (1)． (2)． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式4】阅读下列材料：计算：． 解：原式 ________________ ________________ ________________． 上面这种方法叫拆项法． 回答下列问题： (1)请补全以上计算过程． (2)类比上面的方法计算：． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： ． 题型04 有理数的减法运算 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【变式2】计算： （1）； （2）； （3）． 【详解】 （1）解： （2）解： （3）解： 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： 【变式4】计算： （1）； （2）； （3）． 【详解】 （1）解： （2）解： （3）解： 题型05 有理数加减运算的结果符号的确定 【典例1】．用“”或“”填空： （1）如果，那么______0； （2）如果，那么______0； （3）如果，那么______0； （4）如果，那么______0． 【详解】（1）同号两数相加，取相同的符号，两数都为正数，所以两数的和为正． 故答案为：； （2）同号两数相加，取相同的符号，两数都为负数，所以两数的和为负． 故答案为：； （3）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取a的符号，即两数和的符号为正． 故答案为：； （4）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取b的符号，即两数和的符号为负． 故答案为：； 【典例2】．若，则以下四个结论中，正确的是（   ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．一定是正数 D．可能是正数 【答案】C 【分析】此题主要考查了有理数的加减法以及正数与负数，根据a，b，c    的符号得出关系式是解题关键． 根据逐项求解判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴符号无法确定，故此选项错误； B、∵， ∴不可能是负数，故此选项错误； C、∵， ∴一定是正数，故此选项正确； D、∵， ∴一定是负数，故此选项错误； 故选：C． 【变式1】如图，数轴上，两点分别对应数、，则___________0．（用＞，＜或＝填空） 【详解】解：由题意可得：，， ∴. 故答案为：. 【变式2】两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【详解】解：A：若两个数都是正数，显然它们的和也为正数，A错误； B：若两个数都是负数，它们的和必然为负数，B错误； C：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，C正确； D：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，D错误． 故选：C ． 【变式3】已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 【变式4】 下列各组运算结果符号为负的有（　　） ；；； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法运算和减法运算，根据有理数的加法法则和减法法则计算即可判断． 【详解】解：； ； ； ， 运算结果为负的有共2个， 故选：B． 题型06 有理数的加减混合运算 【典例1】．计算： (1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】计算：． 【详解】解： ． 【变式2】计算：． 【详解】解： ）（拆项法） 【注意括号前的符号，多数情况下写成+（）】 【变式3】计算： (1)； (2) ． 【详解】（1）解： （2） 【变式4】计算 (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型07 有理数加减法的实际应用 【典例1】．【项目主题】露营基地野餐 【背景】当下露营正成为人们一种新的周末休闲娱乐方式，李明和朋友约定周末去郊外露营基地野餐，出发前，李明需要驾车去购买一些露营的食物、水果等． 【素材】从家出发，先向西行驶到炸鸡店，继续向西行驶到达面包店，然后向东行驶到达水果店，继续向东行驶到烧烤店，最后向东行驶到露营基地． 【任务】以家为原点，向东为正，向西为负，李明的行动记录如下：； 任务一：水果店离家有多远？ 任务二：李明一共行驶了多少千米？ 【答案】任务一：水果店离家；任务二：李明一共行驶了 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数加法的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： 任务一：求出前三个数据的和，根据和的情况作答即可； 任务二：求出所有数据的绝对值的和，即可． 【详解】任务一：； 答：水果店离家； 任务二： 答：李明一共骑行了． 【变式1】南湖公园，全称南湖城市中央生态公园，是唐山市国家4A级景区，是集自然生态、历史文化和现代文化为一体的大型城市中央生态公园．某星期日，南湖公园共接待游客约1.7万人，接下来的一星期中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 人数变化（万人） (1)星期三的人数为________万人； (2)这一星期内，游客人数最多的是星期________，是________万人； (3)请求出这一星期内南湖公园一共接待了多少名游客． 【详解】（1）解：（万人）； 故答案为：1.2； （2）解：星期一人数为（万人）； 星期二人数为（万人）； 星期三人数为（万人）； 星期四人数为（万人）； 星期五人数为（万人）； 星期六人数为（万人）； 星期日人数为（万人）； 故人数最多的是星期六，有2.7万人； 故答案为：六，2.7 （3）解：（万人）； 答：这一星期内南湖公园一共接待了11.7万名游客． 【变式2】某村共有6块小麦试验田，每块试验田今年的收成与去年相比情况如下（增产为正，减产为负，单位：）；，，，，，．今年的小麦总产量与去年相比是增加了还是减少了？增加或减少了多少？ 【详解】解： ， 因为，所以今年的小麦总产量比去年增加了；增加了． 【变式3】某集团公司对所属甲、乙两个分厂上半年的经营情况记录如下：（其中“+”表示盈利，“-”表示亏损，单位：亿元） 月份 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 甲厂 -0.4 -0.2 -0.8 0 +1.1 +1.3 乙厂 +0.2 -0.8 +0.8 -1.5 +1 0 (1)计算二月份乙厂比甲厂多亏损了多少亿元？ (2)______月份两个厂的经营情况差距最大，差距是______亿元； (3)分别计算甲、乙两个工厂上半年盈利或亏损了多少亿元？ 【答案】(1)多亏损了0.6亿元 (2)三，1.6 (3)甲工厂上半年盈利了1亿元 ，乙工厂上半年亏损了0.3亿元 【分析】（1）由表格中数据求解即可； （2）由表格中数据可得出结论； （3）将表格中甲乙两个分厂每个月的盈利或亏损数据相加即可得出结论. 【详解】（1）解： 所以二月份乙厂比甲厂多亏损了0.6亿元． （2）解：一月份：（亿元）， 二月份：（亿元）， 三月份：（亿元）， 四月份：（亿元）， 五月份：（亿元）， 六月份：（亿元）， ∵， ∴三月份两个厂的经营情况差距最大，差距是1.6亿元， 故答案为：三，； （3）解：（亿元）， （亿元）， 答：甲工厂上半年盈利了1亿元，乙工厂上半年亏损了0.3亿元． 【变式4】随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，这不刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 斤； (2)本周实际销售总量达到了计划数量没有？ (3)若冬季每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均3元，那么小明本周一共收入多少元？ 【答案】(1)29 (2)本周实际销售总量达到了计划数量 (3)小明本周一共收入3585元 【分析】（1）根据最大正数和最小负数的差值得出结论即可； （2）根据所有差值的和的正负来判断即可； （3）根据售价运费得出收入即可． 【详解】（1）解：（斤）； （2）解：（斤）； 本周实际销售总量达到了计划数量； （3）解：（元）， 答：小明本周一共收入3585元． 1．上海某公司2024年第一季度盈利10万，第二季度盈利2万，第三季度亏损5万，第四季度亏损1万，则该公司2024年的盈亏情况为（   ） A．盈利2万 B．盈利6万 C．亏损6万 D．亏损8万 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法的实际应用，正负数的应用． 将盈利记为正数，亏损记为负数，计算四个季度的和即可． 【详解】解：∵第一季度盈利10万，第二季度盈利2万，第三季度亏损5万，第四季度亏损1万， ∴全年盈亏（万）． 故选：B． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减运算，根据相关运算法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B 3．“双十一”期间某网店一周七天的盈亏情况统计如下（盈利记为“”，亏损记为“”，单位：元）：，那么网店这一周共（    ） A．盈利了200元 B．盈利了300元 C．亏损了200元 D．亏损了300元 【答案】B 【分析】本题考查了正负数在实际问题中的应用，用正负数表示具有相反意义的量，有理数的加法，理解正负数在实际中的应用是解题的关键．通过计算所有每天盈亏的代数和，得出总盈亏情况． 【详解】解：∵ 盈利额总和：（元）， 亏损额总和：（元）， ∴ 总盈亏：（元）， ∴ 盈利了300元。 4．在数轴上，点表示的数为，一个动点从点出发，先向左移动2.5个单位长度，再向右移动3个单位长度后到达点，那么点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了数轴上点的移动，根据数轴上点的移动规则，向左移动减，向右移动加，计算移动后点B表示的数即可． 【详解】解：∵点A表示的数为， 先向左移动2.5个单位，再向右移动3个单位， ∴点B表示的数为：． 因此，点B表示的数为， 故选：C． 5．计算：____________． 【答案】6 【分析】根据，其中，计算即可． 【详解】解：． 6．计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法运算，需掌握同分母分数的加法法则，以及正数与负数相加的运算规则． 【详解】解：． 故答案为：． 7．已知点A和点B在同一数轴上，点A表示数，点B距离点A为个单位长度，则点B表示的数是 ______． 【答案】 或 【分析】本题考查了异分母分数的加减法计算，分类讨论是解答本题的关键． 分点B在点A的左侧和右侧两种情况求解即可． 【详解】解：点A表示数为，点B与点A的距离为． 当点B在点A右侧时，点B表示的数为； 当点B在点A左侧时，点B表示的数为． 故答案为或． 8．在《九章算术注》中用白色和黑色的算筹（小棍形状的计数工具）分别表示正数和负数，如图1表示的计算过程，则图2表示___________的计算过程． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算，理解图示是解决本题的关键． 由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，即可列式计算． 【详解】解：由题意得白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数， 图中表示的计算过程为． 故答案为：． 9．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查有理数的混合运算、减法的性质，掌握有理数混合运算的运算法则及减法的性质是解题关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 10．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，关键是掌握有理数加减的运算法则． （1）先把减法化为加法，再用加法运算律计算即可； （2）先把减法化为加法，再用加法运算律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 1．若，且，则的值为（  ） A．5或1 B．或 C．5或 D．或1 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的加法运算，根据绝对值的意义结合，得到，再根据有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴或； 故选A． 2．若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于，，，则，，进而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 3．设是有理数，用表示不超过的最大整数，则下列四个结论中，正确的是（    ） A． B．等于0或 C． D．等于0或1 【答案】B 【分析】本题考查有理数比较大小，有理数的加法运算，分为整数和不是整数两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：当为整数时：，， ∴， 当不是整数时，例如：， 则：，， ∴； 综上：等于0或； 故选B． 4．下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早）．2025年元月6日，我国中央广播电视总台综合频道《新闻联播》节目开始播放时，下列各城市的时间表示错误的是（　　） 城市 纽约 巴黎 东京 与北京的时差 A．巴黎是2025年元月6日 B．纽约是2025年元月6日 C．东京是2025年元月6日 D．上海是2025年元月6日 【答案】A 【分析】本题考查有理数加减的实际应用，正负数的应用，根据题意，分别计算纽约，巴黎，东京，上海在此时的时间，即可求解． 【详解】解：A、巴黎与北京的时差为，， 故巴黎此时时间为2025年元月6日，而不是，故选项A符合题意； B、纽约与北京的时差为，， 故纽约此时时间为：2025年元月6日，故选项B不符合题意； C、东京与北京的时差为，， 故东京此时时间为2025年元月6日，故选项C不符合题意； D、上海与北京没有时差，故上海是2025年元月6日，故选项D不符合题意； 故选：A． 5．如图，若每个圈里的数都等于与它相邻的两个数的和，如，则涂色圈里的数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加法和减法的实际应用，先分别求出与3相邻的另一个数和与5相邻的另一个数，然后将两个数相加即可得出答案． 【详解】解：根据题意与3相邻的另一个数为：， 与5相邻的另一个数为：， ∴涂色圈里的数是， 故答案为：． 6．根据下侧流程图计算：如果输入，那么输出的数是_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较、有理数的减法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴输出：． 故答案为： ． 7．定义：对于一个有理数，我们把称为x的有缘数.若，则若，则.计算的结果为______. 【答案】3 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算．解题关键是理解新定义的含义和有理数的运算法则． 根据新定义，即可求出的值． 【详解】解：∵时，，时，， ∴． 故答案为：3． 8．计算： 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的加减法混合运算．掌握有理数加减法的运算法则是解题的关键． 把小数变成分数，然后把正数合在一起计算，负数合在一起计算，最后再按减法法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 9．已知，且，求的值． 【答案】7或1 【分析】本题考查绝对值的性质，有理数的加法运算，根据，结合绝对值的非负性，求出的值，再进行加法运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或． 综上可知，的值为7或1． 10．如图，数轴上有a，b，c三点． (1) 0； 0； 0；（填“”，“”，“”） (2)化简． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，整式的加减，绝对值化简，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负． （1）根据数轴分别判断，，的正负，即可解题； （2）根据（1）中式子正负结合绝对值性质进行化简，即可解题． 【详解】（1）解：由图知，， 所以，，， 故答案为：；；； （2）解： ． 11．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于40单的部分记为“”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 七 送餐量（单位：单） +11 +19 +20 +22 (1)直接写出该外卖小哥这一周平均每天送餐 单． (2)该外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元；超过50单的部分，每单补贴8元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【答案】(1)49单 (2)1790元 【分析】本题考查正负数的应用、有理数混合运算应用，理解题意，正确列出算式是解答的关键． （1）先求得表格数据的平均数，再加上标准数40即可求解； （2）根据工资底薪及补贴标准列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意， （单）， 故答案为：； （2）解： （元）， 答：该外卖小哥这一周工资收入1790元． 12．阅读理解，完成下列各题： 定义：已知A、B、C 为数轴上任意三点，如果点 C 到点 A 的距离是它到点B距离的2倍，那么称点C是的2倍点． (1)如图，点A表示的数为，点B表示的数为2，点C表示的数为1．点C到点A的距离是2，到点B的距离是1． ∵点C到点A的距离是它到点 B 距离的2倍， ∴点C是的2倍点． ①如果点D表示的数为0，点D到点A 的距离是 ，点D到点B的距离是 ∵     ∴点D是的2倍点 ②如果点D表示的数为5，那么点A是［ ， ］的2倍点： (2)M、N为数轴上两点，点M表示的数是，点N表示的数是4．若点P在M、N之间，问：当点P表示的数为何值时，点P、M、N中恰有一个点为其余两点的2倍点？请仿照例句格式，完成说明：例句：当点P表示的数为2时，点P是的2倍点． 【答案】(1)①1，2，点D到点B的距离是它到点A距离的2倍②D，B (2)当点P表示的数为2时，点是的倍点．点P表示的数为0时，点是的倍点，点P表示的数为1时，点是的倍点或点是的倍点，说明见解析． 【分析】本题考查了数轴及“2倍点”的定义及应用，解题的关键是根据“2倍点”的定义，分情况讨论点的位置关系，结合绝对值的几何意义列方程求解． （1）①根据数轴上两点间距离公式，计算点到、的距离，再依据“2倍点”定义判断．②计算点到、的距离，根据“2倍点”定义确定． （2）设点表示的数为，分点是或的倍点、点是的倍点、点是的倍点这几种情况，结合“2倍点”定义列方程求解． 【详解】（1）解：点表示的数为，点A表示的数为，则点到点的距离是；点表示的数为，点到点的距离是． ∵点到点的距离是它到点距离的倍， ∴点是的倍点． 故答案为：1，2，点D到点B的距离是它到点A距离的2倍； ②点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为． 点到点的距离是，点到点的距离是， ∵点到点的距离是它到点距离的倍， ∴点是的倍点． 故答案为：D，B； （2）设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，分以下几种情况讨论： 情况一：点是的倍点 根据定义，，即． 当时， 展开得， 移项可得，即， 解得． - 当时，展开得，移项可得，即．但因为点在、之间，所以舍去． 所以当时，点是的倍点． 情况二：点是的倍点 根据定义，，即． 当时， 展开得， 移项可得，即， 解得． 当时， 展开得， 移项可得，即． 因为点在、之间， 所以舍去． 所以当时，点是的倍点． 情况三：点是的倍点， 根据定义，，即，化简得． 当时， 解得． 当时， 解得． 因为点在、之间， 所以舍去． 此时，点到的距离是，点到的距离是，， 所以点是的倍点． 情况四：点是的倍点， 根据定义，，即， 化简得． 当时， 解得． 当时， 解得． 因为点在、之间， 所以舍去． 此时，点到的距离是，点到的距离是，， 所以点是的倍点． 综上，点P表示的数为2时，点是的倍点．点P表示的数为0时，点是的倍点，点P表示的数为1时，点是的倍点或点是的倍点． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $