专题1.1 有理数的引入（1）（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制六年级上册

本讲义聚焦有理数的引入这一核心知识点，从数的发展历程切入，先回顾自然数的计数、测量等应用及分数小数的产生，再通过相反意义的量引入负数，最终明确有理数定义及分类，搭建从具体到抽象的知识支架。 资料设计注重“即学即练”巩固基础，典例与变式结合培养推理意识，实际应用题型（如温度、盈亏问题）提升应用意识。通过数的发展培养抽象能力，分类训练强化逻辑思维，助力教师授课与学生课后查漏补缺。

专题1.1 （1）有理数的引入 教学目标 1. 回顾自然数、分数的意义与应用，了解数的发展历程。 2. 理解负数产生的实际背景，掌握正数、负数的概念及表示方法。 3. 能正确用正、负数表示具有相反意义的量，区分 0 的特殊意义。 4. 明确有理数的定义，会对有理数进行分类。 教学重难点 1.重点 有理数的意义。 2.难点 有理数的分类 知识点01 数的发展 1. 自然数 像0、1、2、3、……这种表示计数个数或顺序的数叫作自然数。自然数的产生是源于： （1）计数的需要； （2）测量的需要； （3）标号的需要； （4）排序的需要； 2. 分数、小数 （1）分数和小数的产生是源于：测量、分配的需要； （2）分数与整数的关系 分数可以看作两个整数相除，例如； （3）分数与小数的关系 分数都可以化成有限小数或无限循环小数； 反之，有限小数、无限循环小数都可以化成分数； 【即学即练】 1. 把下列分数化为小数 （1） ； （2） （3） （4） ； （5） （6） 2. 把下列小数化为分数 （1）0.2； （2） （3）0.0125 （4）0. 知识点02 正数、负数 1. 相反意义的量 生活中有许多相反意义的量，如零上温度与零下温度；高于海平面与低于海平面；向东行走与向西行走。为了表示相反意义的量，仅用正数是不够的。 2. 正、负数的产生 一般地，为了表示具有相反意义的量，我们把一种意义的量规定为正，如在零上温度前面添上符号“+”（读作“正”），这样的数叫作_______。正数前面可以放上正号“+”来表示(常省略不写)。 把另一种与之意义相反的量规定为负，前面添上负号“-”（读作“负”）来表示，这样的数就叫作_______。 3. 非负数 0既不是正数，也不是负数；0和正数统称_______。 0和正整数统称_______。 【即学即练】 1. 把下列各数填在相应的集合中． 15，，0.81，，，，，171，0，3.14，， (1)负数集合{________________________……} (2)正分数集合{________________________……} (3)非负整数集合{________________________……} 知识点03 有理数的意义 1. 有理数的意义 正整数、负整数、0都是整数；正分数、负分数都是分数。所有整数都可以写成分母为1的分数。 能够写成分数形式的数叫作_______。 整数和_______统称有理数。 2. 有理数的分类 【即学即练】 1. 把下列各数填在相应的大括号里： ，0，，，，，，，2.56，． 非负整数：{ }； 负分数：{ }； 负有理数：{ }． 题型01 数的发展 【典例1】下列说法不正确的是（    ） A．自然数都是整数 B．正整数都是自然数 C．0是自然数 D．分数都是自然数 【典例2】杭州东站位于城东新城天城路1号，总投资约250亿人民币，占地面积达113万平方米，其中1号、250亿、113万分别属于( ) A．排序　计数　测量 B．标号　计数　测量 C．排序　计数　标号 D．标号　计数　排序 【典例3】仔细阅读下列材料． “分数均可化为有限小数或无限循环小数”．反之，“有限小数或无限循环小数均可化为分数” 例如：，或，， 反之，，或，那么怎么化为呢？ 解： 不妨设，则上式变为，解得即 根据以上材料，回答下列问题． (1)将“分数化为小数”：__________；__________． (2)将“小数化为分数”：__________；__________． (3)将小数化为分数，需写出推理过程． 【变式1】下列说法错误的是（    ） A．任何一个有限小数都可以化为分数 B．任何一个无限循环小数都可以化为分数 C．任何一个分数都可以化为小数 D．任何一个无限小数都是有理数 【变式2】把，，按从小到大的顺序排列，并用“”符号连接：___________． 【变式3】把下列小数化成分数． 0.12，0.076，1.35，2.02． 【变式4】读完下面这段话，回答问题 六年级（2）班的教室长，宽，讲台长，宽，班级有人，占全年级人数的，多数同学都是岁． (1)在老师刚才描述中出现了哪些数字？哪些属于计数和测量？哪些属于标号与排序？ (2)你能将这些数字进行分类吗？ (3)在实际生活中仅有整数和分数够用吗？请你举例说明． 题型02 正数和负数的意义 【典例1】（1）仓库运进、运出物品均需登记．某仓库运进面粉7吨，记为，那么运出面粉应记为______． （2）在知识抢答中，如果用表示得10分，那么扣20分表示为_____． （3）规定：表示向右移动2，记作，则表示向左移动3，记作_____． 【典例2】某河流的警戒水位是，高于警戒水位记作正数，低于警戒水位记作负数．下列说法错误的是（   ）． A．水位为时，记作 B．水位为时，记作 C．表示达到警戒水位 D．表示水位为 【变式1】如果规定向东为正，那么走米表示______． 【变式2】如果股票价格上涨元，记作元，那么下跌元，应记作____元． 【变式3】把下列各数填入到相应的括号内（只填写序号）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 整数：{______________________}； 分数：{______________________}； 负数：{______________________}； 【变式4】把下列各数填入相应的大括号内，，，，，，，． 负数集合{                   }；整数集合{                 }． 分数集合{                   }；非负数集合{                   }． 题型03 有理数的意义 【典例1】在，，0，，3.14159，，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】有下列一组数：，，，，0，，2025，则下列说法正确的是（   ） A．有理数有6个 B．是正数，不是分数 C．非正数有3个 D．以上都不对 【变式2】 下列各数中：1，，2.8，，，是分数的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】在20、、、、、0、中，有理数有_________个． 【变式4】下列8个数：，0，，（每两个2之间依次多一个6），1.010010001，，π，，其中有理数有__________个． 题型04 有理数的分类 【典例1】把下列各数填在相应的大括号里： ，0，，，，，，2.56，． 非负整数：{ }； 负分数：{ }； 负有理数：{ }． 【变式1】下列关于有理数的说法正确的是（   ） A．有理数分为正有理数和负有理数 B．整数分为正整数和负整数 C．有理数是可以写成两个整数之比（比的后项不为0）的数 D．0不是有理数 【变式2】判断表中各数分别是什么数，在相应的格子内画“√” 【变式3】把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨． (1)正有理数集合；｛____________________…｝ (2)负有理数集合：｛____________________…｝ (3)整数集合：｛____________________…｝ 【变式4】将下列各数填入适当的括号内： ， 正数集合：{                 } 整数集合：{                 } 负有理数集合：{                 } 正分数集合：{                 } 题型05 正负数的实际应用 【典例1】下面哪对量是具有相反意义的量?如何用正负数来表示它们？ (1)在知识竞赛中，得20分和扣10分． (2)一座水库蓄水量增加和减少． (3)一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客． (4)长方形的周长是和面积是． 【变式1】某百货商店的每个月的营业成本是12万元，去年上半年月收入分别是： 1月：13万元， 2月：16万元， 3月：11万元，4月：17万元，5月：12万元， 6月：10万元 (1)你会用正负数表示百货商店的盈亏情况吗？ 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） (2)哪个月的营业状况最好？哪个月的营业状况最差？ 【变式2】国庆黄金周到来之际，小明欲到美丽的“兰茂故里”嵩明开启一段美妙旅行！为更好地规划行程，临行前特意查找了该地区一周内（月1日至月7日）每日的平均气温情况；若以为标准，超过或不足的气温度数分别用正数、负数来表示，记录如下： 日期 月1日 月2日 月3日 月4日 月5日 月6日 月7日 日平均气温（℃） 0 (1)求这一周内的最高气温与最低气温相差多少摄氏度？ (2)求这一周内的平均气温是多少摄氏度？ (3)若小明希望气温在以上时进行户外活动，那么这一周中有几天适合户外活动？请说明理由． 【变式3】10袋小麦以每袋为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，分别记为：． (1)这10袋小麦中质量最大的是多少千克？质量最小的是多少千克？ (2)这10袋小麦总质量是多少千克？ 1．下列分数中不能化成有限小数的是（   ） A． B． C． D． 2．小明的身份证号是，则小明的生日是（   ） A．月日 B．月日 C．月日 D．月日 3．在，12，，0，5，中，非负数的个数有（    ） A．2个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 4．祖国大地幅员辽阔，即使同一季节，各地温度差异也很大，下表是2025年我国五个城市冬季平均气温表，其中平均气温为负数的城市有（    ）个． 城市 北京 上海 哈尔滨 广州 长春 冬季平均气温（单位：） 6 15 A．1 B．2 C．3 D．4 5．如果收入用正数表示，支出用负数表示，那么元表示__________． 6．把化成小数，这个小数的小数部分第30位上的数是 __． 7．将下列各数填在相应的横线上． 35，－25，0，＋32.6，－10%，，， 其中，整数有________________，非负整数有________________，正分数有________________，负有理数有________________． 8．在，，3.14，0，，，、，中，属于非负整数的有_______． 9．如图所示的是图纸上一个零件的标注（单位：）．    (1)零件合格的直径尺寸范围是多少? (2)若某零件的直径尺寸为，则这个产品合格吗? 10．某百货商店的每个月的营业成本是12万元，去年上半年月收入分别是： 1月：13万元， 2月：16万元， 3月：11万元，4月：17万元，5月：12万元， 6月：10万元 (1)你会用正负数表示百货商店的盈亏情况吗？ 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） (2)哪个月的营业状况最好？哪个月的营业状况最差？ 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） 0 1．下列说法正确的是（    ） A．是负分数 B．是负数，但不是整数 C．0是正数 D．是分数但不是正数 2．某机器吐出1500升空气记作“升”，则其吸入1200升空气记作（　　） A．升 B．+1200升 C．升 D．1500升 3．在，，0，，，14，，这些数中，其中负分数的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．能够写成分数（，是整数，）的数叫做______． 5．如果元表示支出100元，那么收入150元表示______． 6．在，25，0，，中，非负数是_______． 7．在以下各数中：；；；；；；；0；；．属于负分数的有________个． 8．如图，标号为①②③④的时钟准确显示了同一时刻的伦敦、悉尼、纽约和北京时间，根据如表给出伦敦悉尼、纽约与北京的时差（“”表示同一时刻比北京早的时间，“”表示同一时间比北京晚的时间），表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别是______． 城市 伦敦 悉尼 纽约 时差 9．算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，……，这样纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是______ ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式： 横式： 10．某饮料公司生产的一种瓶装饮料，外包装上印有“”的字样，那么“”是什么含义？质检局对该产品抽查了5瓶，容量分别为，，，，，抽查的产品容量是否合格？ 11. 某中学七（4）班的同学在体检中测量了自己的身高，并求出了该班同学的平均身高． （1）下表给出了该班5名同学的身高情况（单位：），试完成该表，并求出该班同学的平均身高； 姓名 刘杰 刘涛 李明 张春 刘建 身高 161 ______ ______ 163 156 身高与全班同学平均身高差 0 ______ ______ （2）谁最高？谁最矮？ （3）计算这5名同学的平均身高是多少？ 12. 阅读与探究： 我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．比如：整数5可以写成，分数就是整数12和整数5的比． (1)【探究】对于是不是有理数呢？我们不妨设，由，于是可得：；等式两边同乘以10，可得：；即：； 化简，得：；解方程，得：；所以，由此得：得_________有理数（填“是”或“不是”）； (2)【类比】请你把无限循环小数写成两个整数之比的形式即分数的形式，即_________； (3)【迁移】你能化无限循环小数为分数吗？请完成你的探究过程． (4)【拓展】请按照这个方法把无限循环小数化为分数，即_________ (5)【应用】在中，属于非负有理数的是__________________． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 （1）有理数的引入 教学目标 1. 回顾自然数、分数的意义与应用，了解数的发展历程。 2. 理解负数产生的实际背景，掌握正数、负数的概念及表示方法。 3. 能正确用正、负数表示具有相反意义的量，区分 0 的特殊意义。 4. 明确有理数的定义，会对有理数进行分类。 教学重难点 1.重点 有理数的意义。 2.难点 有理数的分类 知识点01 数的发展 1. 自然数 像0、1、2、3、……这种表示计数个数或顺序的数叫作自然数。自然数的产生是源于： （1）计数的需要； （2）测量的需要； （3）标号的需要； （4）排序的需要； 2. 分数、小数 （1）分数和小数的产生是源于：测量、分配的需要； （2）分数与整数的关系 分数可以看作两个整数相除，例如； （3）分数与小数的关系 分数都可以化成有限小数或无限循环小数； 反之，有限小数、无限循环小数都可以化成分数； 【即学即练】 1. 把下列分数化为小数 （1） ； （2） （3） （4） ； （5） （6） 【详解】解： （1）=0.25 ； （2） （3） （4） =0.333……； （5） （6） 2. 把下列小数化为分数 （1）0.2； （2） （3）0.0125 （4）0. 【详解】解： （1）0.2=； （2） （3）0.0125= （4）0.= 知识点02 正数、负数 1. 相反意义的量 生活中有许多相反意义的量，如零上温度与零下温度；高于海平面与低于海平面；向东行走与向西行走。为了表示相反意义的量，仅用正数是不够的。 2. 正、负数的产生 一般地，为了表示具有相反意义的量，我们把一种意义的量规定为正，如在零上温度前面添上符号“+”（读作“正”），这样的数叫作正数。正数前面可以放上正号“+”来表示(常省略不写)。 把另一种与之意义相反的量规定为负，前面添上负号“-”（读作“负”）来表示，这样的数就叫作负数。 3. 非负数 0既不是正数，也不是负数；0和正数统称非负数。 0和正整数统称非负整数。 【即学即练】 1. 把下列各数填在相应的集合中． 15，，0.81，，，，，171，0，3.14，， (1)负数集合{________________________……} (2)正分数集合{________________________……} (3)非负整数集合{________________________……} 【详解】（1）解：负数集合{……}； （2）解：正分数集合{0.81，，3.14……}； （3）解：非负整数集合{15，171，0……}． 知识点03 有理数的意义 1. 有理数的意义 正整数、负整数、0都是整数；正分数、负分数都是分数。所有整数都可以写成分母为1的分数。 能够写成分数形式的数叫作有理数。 整数和分数统称有理数。 2. 有理数的分类 【即学即练】 1. 把下列各数填在相应的大括号里： ，0，，，，，，，2.56，． 非负整数：{ }； 负分数：{ }； 负有理数：{ }． 【详解】解：非负整数：{0，+5} 负分数：{，，} 负有理数：{，，，} 题型01 数的发展 【典例1】下列说法不正确的是（    ） A．自然数都是整数 B．正整数都是自然数 C．0是自然数 D．分数都是自然数 【答案】D 【分析】根据有理数，整数和自然数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．因为自然数包括0和正整数，所以自然数都是整数说法正确，故不符合题意； B．因为自然数包括0和正整数，所以正整数都是自然数说法正确，故不符合题意； C．因为自然数包括0和正整数，所以0是自然数说法正确，故不符合题意； D．因为自然数包括0和正整数，所以分数都是自然数说法不正确，故符合题意； 故选：D． 【典例2】杭州东站位于城东新城天城路1号，总投资约250亿人民币，占地面积达113万平方米，其中1号、250亿、113万分别属于( ) A．排序　计数　测量 B．标号　计数　测量 C．排序　计数　标号 D．标号　计数　排序 【答案】B 【分析】根据所学的数学常识，进行选择即可. 【详解】杭州东站位于城东新城天城路1号，1号表示排序；总投资约250亿人民币250亿表示计数；占地面积达113万平方米，113万表示测量的结果. 故选B. 【典例3】仔细阅读下列材料． “分数均可化为有限小数或无限循环小数”．反之，“有限小数或无限循环小数均可化为分数” 例如：，或，， 反之，，或，那么怎么化为呢？ 解： 不妨设，则上式变为，解得即 根据以上材料，回答下列问题． (1)将“分数化为小数”：__________；__________． (2)将“小数化为分数”：__________；__________． (3)将小数化为分数，需写出推理过程． 【答案】(1)； (2)； (3)，推理过程： 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解决此类阅读型题目的关键是认真阅读，理清题目中的解题思路是关键． （1）仿照题意求解即可； （2）设，则，则可求出，据此可得答案；设，则，，则可求出，据此可得答案； （3）设，则，则可求出，据此可得答案． 【详解】（1）解：，； （2）解：设， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）略 【变式1】下列说法错误的是（    ） A．任何一个有限小数都可以化为分数 B．任何一个无限循环小数都可以化为分数 C．任何一个分数都可以化为小数 D．任何一个无限小数都是有理数 【答案】D 【分析】本题考查了分数与小数的互化及有理数的概念，需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A．有限小数都可化为分数，正确，因有限小数可表示为分母为的分数，如，故该选项不符合题意； B．无限循环小数可化为分数，正确，无限循环小数属于有理数，如，可通过代数方法化为分数，故该选项不符合题意； C．分数可化为小数，正确，分数是整数相除的结果，必为有限小数或无限循环小数，如，故该选项不符合题意； D．任何无限小数都是有理数，错误，无限小数包含无限循环小数（有理数）和无限不循环小数（如π、，属于无理数），因此，D的说法不成立，故该选项符合题意． 故选：D． 【变式2】把，，按从小到大的顺序排列，并用“”符号连接：___________． 【分析】先把分数和百分数化为小数，再比较大小即可. 【详解】解：，， ∵， ∴. 【变式3】把下列小数化成分数． 0.12，0.076，1.35，2.02． 【分析】把小数化成分数，有几位小数就在1的后面添几个0作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分，据此解答即可． 【详解】解：， ， ， ． 【变式4】读完下面这段话，回答问题 六年级（2）班的教室长，宽，讲台长，宽，班级有人，占全年级人数的，多数同学都是岁． (1)在老师刚才描述中出现了哪些数字？哪些属于计数和测量？哪些属于标号与排序？ (2)你能将这些数字进行分类吗？ (3)在实际生活中仅有整数和分数够用吗？请你举例说明． 【详解】（1）解：老师刚才描述中出现了：2、、、、、、、， 计数的有50，测量的有、、、、13岁、，属于标号与排序的数字2； （2）解：按整数和分数分类：整数有2、、、、，分数有、、． （3）解：仅有整数和分数不够用，例如求圆的周长和面积时，发现圆周率但圆周率的值并不能由两个整数相除而得；又如求边长为的正方形对角线长时，求得的也不是整数和分数． 题型02 正数和负数的意义 【典例1】（1）仓库运进、运出物品均需登记．某仓库运进面粉7吨，记为，那么运出面粉应记为______． （2）在知识抢答中，如果用表示得10分，那么扣20分表示为_____． （3）规定：表示向右移动2，记作，则表示向左移动3，记作_____． 【详解】解：（1）具有相反意义的量，规定一方即为正，另一方即为负， ∵运进面粉7吨，记为， ∴运出面粉，应记为， 故答案为：． （2）∵表示得10分， ∴扣20分表示为， 故答案为：． （3）∵表示向右移动2，记作， ∴表示向左移动3，记作， 故答案为：． 【典例2】某河流的警戒水位是，高于警戒水位记作正数，低于警戒水位记作负数．下列说法错误的是（   ）． A．水位为时，记作 B．水位为时，记作 C．表示达到警戒水位 D．表示水位为 【答案】D 【分析】本题考查正数和负数，熟练掌握其实际意义是解题的关键．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：水位为时，记作，故A选项说法正确； 水位为时，记作，故B选项说法正确； 表示达到警戒水位，故C选项说法正确； 表示水位为8.5m，故D选项说法不正确； 故选：D． 【变式1】如果规定向东为正，那么走米表示______． 【详解】解：如果规定向东为正，那么米表示向西走8米． 故答案为：向西走8米． 【变式2】如果股票价格上涨元，记作元，那么下跌元，应记作____元． 【详解】解：股票价格上涨元记作元，那么下跌元应记作元， 故答案为：． 【变式3】把下列各数填入到相应的括号内（只填写序号）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 整数：{______________________}； 分数：{______________________}； 负数：{______________________}； 【详解】解：整数：{①③⑦}； 分数：{②④⑤⑥}； 负数：{②⑦}； 【变式4】把下列各数填入相应的大括号内，，，，，，，． 负数集合{                   }；整数集合{                 }． 分数集合{                   }；非负数集合{                   }． 【详解】解：负数是小于零的数； 整数包括正整数、负整数、零； 分数包括正分数、负分数； 非负数包括零和正数； 故答案为：负数集合：； 整数集合：； 分数集合：； 非负数集合：． 题型03 有理数的意义 【典例1】在，，0，，3.14159，，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【详解】解：是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 是整数，是有理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数； 是有限小数，是有理数； ，是有限小数，是有理数； （每相邻两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，是无理数。 综上，有理数共有个． 【变式1】有下列一组数：，，，，0，，2025，则下列说法正确的是（   ） A．有理数有6个 B．是正数，不是分数 C．非正数有3个 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了有理数、正数、分数、非正数的定义，理解其定义是解题的关键． 根据相关知识点逐一判断各选项的正误． 【详解】解：A：整数和分数统称有理数，题目中的7个数均为有理数，故该选项不合题意； B：10.1是有限小数，属于分数，故该选项不合题意； C：非正数包含0和负数，则有，，，共3个，故该选项符合题意． 故选：C． 【变式2】 下列各数中：1，，2.8，，，是分数的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【详解】解：1是整数，不是分数； 是负分数，属于分数； 是有限小数，可化为分数，属于分数； ，是整数，则不属于分数； ，是有限小数，可化为分数，则属于分数； 是无限循环小数，可化为分数，属于分数； 综上，属于分数的数共有个． 【变式3】在20、、、、、0、中，有理数有_________个． 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的识别，有理数是分数和整数的统称，据此可得答案． 【详解】解：在20、、、、、0、中，有理数有20、、、、0、，共6个， 故答案为：6． 【变式4】下列8个数：，0，，（每两个2之间依次多一个6），1.010010001，，π，，其中有理数有__________个． 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的概念，熟练掌握有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称（包括有限小数、无限循环小数）是解题的关键．根据有理数的定义（整数和分数统称有理数，包括有限小数、无限循环小数），逐一判断这8个数是否为有理数． 【详解】解：：分数，是有理数； ：整数，是有理数； ：分数，是有理数； （每两个2之间依次多一个6）：无限不循环小数，不是有理数； ：有限小数，是有理数； ：整数，是有理数； ：无限不循环小数，不是有理数； ：无限循环小数，是有理数． 有理数有，共6个． 故答案为：6． 题型04 有理数的分类 【典例1】把下列各数填在相应的大括号里： ，0，，，，，，2.56，． 非负整数：{ }； 负分数：{ }； 负有理数：{ }． 【详解】解：非负整数：{0，+5} 负分数：{，，} 负有理数：{，，，} 【变式1】下列关于有理数的说法正确的是（   ） A．有理数分为正有理数和负有理数 B．整数分为正整数和负整数 C．有理数是可以写成两个整数之比（比的后项不为0）的数 D．0不是有理数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类与定义． 根据有理数的相关概念逐一判断选项正误． 【详解】解：有理数分为正有理数、0和负有理数，A选项错误； 整数分为正整数、0和负整数，B选项错误； 有理数是可以写成两个整数之比（比的后项不为0）的数，C选项正确； 0是有理数，D选项错误； 故选：C． 【变式2】判断表中各数分别是什么数，在相应的格子内画“√” 【详解】解： √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 【变式3】把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨． (1)正有理数集合；｛____________________…｝ (2)负有理数集合：｛____________________…｝ (3)整数集合：｛____________________…｝ 【答案】(1)①，④，⑦，⑨ (2)②，③，⑥ (3)①，③，⑤ 【分析】根据正有理数、负有理数、整数的定义对各数逐一分类即可． 【详解】（1）解：π是无限不循环小数，不属于有理数，正有理数是大于0的有理数， 因此正有理数集合：｛①，④，⑦，⑨…｝. （2）解：负有理数是小于0的有理数，因此负有理数集合：｛②，③，⑥，…｝； （3）解：整数包括正整数，0和负整数，因此整数集合：｛①，③，⑤，…｝． 【变式4】将下列各数填入适当的括号内： ， 正数集合：{                 } 整数集合：{                 } 负有理数集合：{                 } 正分数集合：{                 } 【答案】 正数集合： 整数集合： 负有理数集合： 正分数集合： 【分析】根据正数、整数、负有理数、正分数的定义对给出的数逐一判断分类即可． 题型05 正负数的实际应用 【典例1】下面哪对量是具有相反意义的量?如何用正负数来表示它们？ (1)在知识竞赛中，得20分和扣10分． (2)一座水库蓄水量增加和减少． (3)一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客． (4)长方形的周长是和面积是． 【详解】（1）∵ 得20分表示分数增加，扣10分表示分数减少， ∴ 它们是具有相反意义，得20分为+20，扣10分记为-10． （2）∵ 蓄水量增加表示水量增加，减少表示水量减少， ∴ 具有相反意义.增加10000m3为+10000m3，减少1200m3记为-1200m3，． （3）∵ 下去10名乘客表示乘客减少，上来8名乘客表示乘客增加， ∴ 具有相反意义．下去10名记为-10名，上来8名记为+8名； （4）∵ 周长是长度量，面积是面积量， ∴ 两者无相反方向含义，故无相反意义． 【变式1】某百货商店的每个月的营业成本是12万元，去年上半年月收入分别是： 1月：13万元， 2月：16万元， 3月：11万元，4月：17万元，5月：12万元， 6月：10万元 (1)你会用正负数表示百货商店的盈亏情况吗？ 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） (2)哪个月的营业状况最好？哪个月的营业状况最差？ 【详解】（1）解：用正负数表示百货商店的盈亏情况如下： 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） 0 （2）解：根据（1）中的百货商店的盈亏情况表可知，四月的营业状况最好，六月的营业状况最差． 【变式2】国庆黄金周到来之际，小明欲到美丽的“兰茂故里”嵩明开启一段美妙旅行！为更好地规划行程，临行前特意查找了该地区一周内（月1日至月7日）每日的平均气温情况；若以为标准，超过或不足的气温度数分别用正数、负数来表示，记录如下： 日期 月1日 月2日 月3日 月4日 月5日 月6日 月7日 日平均气温（℃） 0 (1)求这一周内的最高气温与最低气温相差多少摄氏度？ (2)求这一周内的平均气温是多少摄氏度？ (3)若小明希望气温在以上时进行户外活动，那么这一周中有几天适合户外活动？请说明理由． 【详解】（1）解：由题意得，月5日平均气温最高，当日平均气温为（）， 月7日平均气温最低，当日平均气温为（）， ∴这一周内的最高气温与最低气温相差（）． 故答案为：； （2）解：月1日平均气温为（）， 月2日平均气温为（）， 月3日平均气温为（）， 月4日平均气温为（）， 月5日平均气温为（）， 月6日平均气温为， 月7日平均气温为（）， ∴这一周内的平均气温是（）． 故答案为； （3）解：由（2）可知，10月3日、10月4日和10月5日的气温分别为、和，均在以上，适合户外活动 故这一周中有3天适合户外活动． 【变式3】10袋小麦以每袋为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，分别记为：． (1)这10袋小麦中质量最大的是多少千克？质量最小的是多少千克？ (2)这10袋小麦总质量是多少千克？ 【详解】（1）解：∵50+4=54，50-5=45 ∴质量最大的是54千克，质量最小的是45千克； （2）解：50×10（千克）， 答：这10袋小麦总质量是500千克． 1．下列分数中不能化成有限小数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据分数化为有限小数的判断规则解题，一个最简分数，如果分母只含有质因数2和5，就能化为有限小数，如果分母含有2和5以外的其他质因数，则不能化为有限小数，先化简分数，再分解分母的质因数即可判断． 【详解】解：是最简分数，，分母只含质因数2，故能化成有限小数． 约分后得，分母只含质因数5，故能化成有限小数． 是最简分数，，分母只含质因数2和5，故能化成有限小数． 是最简分数，，分母含有2和5以外的质因数3，不能化成有限小数． 2．小明的身份证号是，则小明的生日是（   ） A．月日 B．月日 C．月日 D．月日 【答案】D 【分析】本题考查数学常识问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 身份证的第七位到第十四位是身份证所有人的出生年月日，由此即可解答． 【详解】解：∵小明的身份证号是， ∴小明的生日是月日． 故选：D． 3．在，12，，0，5，中，非负数的个数有（    ） A．2个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【分析】本题考查非负数的定义，非负数包含正数和0，只需找出题干中属于正数和0的数，统计其个数即可． 【详解】解：∵非负数是指正数和0， ∴在，12，，0，5，中，非负数为12，0，5， ∴非负数的个数为3个． 故答案为：B． 4．祖国大地幅员辽阔，即使同一季节，各地温度差异也很大，下表是2025年我国五个城市冬季平均气温表，其中平均气温为负数的城市有（    ）个． 城市 北京 上海 哈尔滨 广州 长春 冬季平均气温（单位：） 6 15 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据定义找出气温为负数的城市，统计个数即可． 【详解】解：∵，，，，， ∴气温为负数的城市共3个． 5．如果收入用正数表示，支出用负数表示，那么元表示__________． 【答案】支出56元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，理解正负数在应用中的意义是解决本题的关键． 根据正负数在实际应用中的意义即可求解． 【详解】解：如果收入用正数表示，支出用负数表示，那么元表示支出56元． 故答案为：支出56元． 6．把化成小数，这个小数的小数部分第30位上的数是 __． 【答案】7 【分析】先将分数转化为循环小数，确定循环节的位数，再通过有理数除法运算计算30包含多少个完整循环节，根据余数情况判断小数部分第30位的数字． 【详解】解：，该小数是循环小数，循环节为“142857”，循环节的位数为6， ∵， ∴小数部分第30位是循环节的最后一个数字， 故这个小数的小数部分第30位上的数是7． 7．将下列各数填在相应的横线上． 35，－25，0，＋32.6，－10%，，， 其中，整数有________________，非负整数有________________，正分数有________________，负有理数有________________． 【答案】 35，－25，0 35，0 ＋32.6，， －25，－10%， 【分析】根据有理数的定义及分类依次解答即可． 【详解】解：整数有：35，-25，0； 非负整数有：35，0； 正分数有：＋32.6，，； 负有理数有－25，－10%，； 故答案为：35，-25，0；35，0；＋32.6，，；－25，－10%，． 【点睛】此题考查了有理数的定义及分类，正确掌握有理数的分类是解题的关键． 8．在，，3.14，0，，，、，中，属于非负整数的有_______． 【答案】，0， 【分析】根据有理数的概念，不小于0的整数就是非负整数． 【详解】解：，，，，，， ，是负数，，3.14，0，是非负数，，不是有理数， 故答案为：，0，． 【点睛】此题考查了有理数分类的应用，关键是准确理解非负整数． 9．如图所示的是图纸上一个零件的标注（单位：）．    (1)零件合格的直径尺寸范围是多少? (2)若某零件的直径尺寸为，则这个产品合格吗? 【答案】(1)零件的直径 (2)不合格 【分析】本题主要考查的是正数和负数的意义，根据正负数的意义求得零件直径的合格范围是解题的关键． （1）根据题意即比标准直径多；即比标准直径少，即可得出合格范围； （2）判断是否在这个范围即可． 【详解】（1）解：因为， ， 所以零件的直径的合格范围是零件的直径； （2）解：因为不在该范围之内， 所以这个产品不合格． 10．某百货商店的每个月的营业成本是12万元，去年上半年月收入分别是： 1月：13万元， 2月：16万元， 3月：11万元，4月：17万元，5月：12万元， 6月：10万元 (1)你会用正负数表示百货商店的盈亏情况吗？ 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） (2)哪个月的营业状况最好？哪个月的营业状况最差？ 【答案】(1)见解析 (2)四月的营业状况最好，六月的营业状况最差 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）根据正负数表示具有相反意义的两种量，再结合题意即可解答； （2）根据（1）中表格数据可得答案． 【详解】（1）解：用正负数表示百货商店的盈亏情况如下： 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） 0 （2）解：根据（1）中的百货商店的盈亏情况表可知，四月的营业状况最好，六月的营业状况最差． 1．下列说法正确的是（    ） A．是负分数 B．是负数，但不是整数 C．0是正数 D．是分数但不是正数 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的定义，分式的定义，0的意义，大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数，0既不是正数，也不是负数，据此结合分数的定义可得答案． 【详解】解：A、是负分数，原说法正确，故此选项符合题意； B、是负数，也是整数，原说法错误，故此选项不符合题意； C、0不是正数，原说法错误，故此选项不符合题意； D、是分数，也是正数，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．某机器吐出1500升空气记作“升”，则其吸入1200升空气记作（　　） A．升 B．+1200升 C．升 D．1500升 【答案】B 【分析】本题考查了相反意义的量“用正负数表示两种具有相反意义的量，具有相反意义的量都是相互依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是他们都是数量”，熟记相反意义的量的定义是解题关键．根据相反意义的量的定义求解即可得． 【详解】解：因为吐出与吸入具有相反意义， 所以某机器吐出1500升空气记作“升”，则其吸入1200升空气记作“+1200升”， 故选：B． 3．在，，0，，，14，，这些数中，其中负分数的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了有理数，关键是熟悉负分数的定义．根据负分数的定义求解即可． 【详解】解：这些数中，，是负分数，共2个， 故选：． 4．能够写成分数（，是整数，）的数叫做______． 【答案】有理数 【分析】此题主要考查了有理数的概念，有理数分为整数和分数，而整数和分数都可以写出分数（，是整数，）的形式，据此可得答案． 【详解】解：能够写成分数（，是整数，）的数叫做有理数， 故答案为：有理数． 5．如果元表示支出100元，那么收入150元表示______． 【答案】元 【分析】本题考查了正负数在现实生活的应用，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键．在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：∵元表示支出100元， ∴150元表示元． 故答案为：元． 6．在，25，0，，中，非负数是_______． 【答案】25，0， 【分析】本题考查了有理数，利用有理数中非负数的概念解答． 【详解】解：在，25，0，0.02，中，非负数是25，0，0.02． 故答案为：25，0，0.02． 7．在以下各数中：；；；；；；；0；；．属于负分数的有________个． 【答案】6 【分析】本题主要考查了分数的定义，负分数是小于0有限小数和无限循环小数的统称，据此可得答案． 【详解】解：在数；；；；；；；0；；中，属于负分数的，，，，，，， 共6个， 故答案为；6． 8．如图，标号为①②③④的时钟准确显示了同一时刻的伦敦、悉尼、纽约和北京时间，根据如表给出伦敦悉尼、纽约与北京的时差（“”表示同一时刻比北京早的时间，“”表示同一时间比北京晚的时间），表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别是______． 城市 伦敦 悉尼 纽约 时差 【答案】①④②③ 【分析】此题考查了正数与负数，根据伦敦、悉尼、纽约，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可． 【详解】解：依题意，得： 标记①②③④的时钟均为12小时制时钟． 标记①时钟表示8:00；②时钟表示3:00；③时钟表示4:00；④时钟表示6:00． （1）若①时钟8:00表示悉尼时间，则北京时间为6:00（能找到④时钟）；进而可知：纽约时间为4:00，伦敦时间为10:00，找不到对应的时钟． ∴标记①的时钟不能表示悉尼时间． （2）若②时钟3:00表示悉尼时间，则北京时间为1:00，①、③、④时钟均找不到． ∴标记②的时钟不能表示悉尼时间． （3）若③时钟4:00表示悉尼时间，则北京时间为2:00，①、②、④时钟均找不到． ∴标记③的时钟不能表示悉尼时间． （4）若④时钟6:00表示悉尼时间，则北京时间为4:00，找到③时钟；纽约时间为3:00，找到②时钟；伦敦时间为8:00，找到①时钟． ∴表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别为①、④、②、③． 故答案为：①④②③． 9．算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，……，这样纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是______ ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式： 横式： 【答案】 【分析】本题主要考查了正数和负数，解题的关键是读懂题目，找出数筹和数字的对应关系．根据题意可得，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，当个位有一根斜着的数筹时，代表负数，再根据数筹表示的数字规则，依次得出各个数位上对应的数字即可， 【详解】解：要解决这道题，我们结合算筹的摆法规则和图形来逐步分析： 1，明确算筹的数位与摆法规则 数位交替规则：个位为纵式，十位为横式，百位为纵式，千位为横式以此类推；零的表示：用空格表示；负数表示：在个位数上画斜线表示负数． 2，逐位解析的每一位 千位（横式）：图形为≡，对照横式表格，≡对应数字3，因此千位是3． 百位（纵式）：图形为，对照纵式表格，对应数字6，因此百位是6． 十位（横式）：图形为⊥，对照横式表格，⊥对应数字7，因此十位是 7．个位（纵式，带斜线）：图形为，对照纵式表格，对应数字2，且个位画斜线表示负数，因此个位2． 3，组合各位数字 将千位、百位、十位、个位的数字组合起来，得到这个数是． 故答案为：． 10．某饮料公司生产的一种瓶装饮料，外包装上印有“”的字样，那么“”是什么含义？质检局对该产品抽查了5瓶，容量分别为，，，，，抽查的产品容量是否合格？ 【答案】见详解 【分析】根据题意，可得合格范围，根据合格范围，可得答案． 本题主要考查了正数和负数的意义，理解正数和负数的意义是解题的关键． 【详解】解：表示比多，表示比少； 所以产品合格的容量为这个范围内， 所以抽查样品容量，，，，，只有不合格，其它的都合格． 11. 某中学七（4）班的同学在体检中测量了自己的身高，并求出了该班同学的平均身高． （1）下表给出了该班5名同学的身高情况（单位：），试完成该表，并求出该班同学的平均身高； 姓名 刘杰 刘涛 李明 张春 刘建 身高 161 ______ ______ 163 156 身高与全班同学平均身高差 0 ______ ______ （2）谁最高？谁最矮？ （3）计算这5名同学的平均身高是多少？ 【答案】（1）；平均身高为；（2），张春最高，刘建最矮；（3） 【分析】（1）根据刘杰的身高及其身高与全班平均身高的差可求出全班的平均身高， （2）根据（1）所求的全班的平均身高可以完成表格； （3）根据平均数的定义可得出这5名同学的平均身高． 【详解】解：（1）该班同学的平均身高为， 从左到右，依次填入表格的是157,158，+5，﹣2，如图所示： 姓名 刘杰 刘涛 李明 张春 刘建 身高 161 157 158 163 156 身高与全班同学平均身高差 0 +5 ﹣2 （2）由题（1）表可知，张春最高，刘建最矮； （3）， 答：这5名同学的平均身高为159厘米． 【点睛】本题考查平均数的知识，难度适中，关键在于准确理解身高及其与全班的平均身高差求出全班的平均身高． 12. 阅读与探究： 我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．比如：整数5可以写成，分数就是整数12和整数5的比． (1)【探究】对于是不是有理数呢？我们不妨设，由，于是可得：；等式两边同乘以10，可得：；即：； 化简，得：；解方程，得：；所以，由此得：得_________有理数（填“是”或“不是”）； (2)【类比】请你把无限循环小数写成两个整数之比的形式即分数的形式，即_________； (3)【迁移】你能化无限循环小数为分数吗？请完成你的探究过程． (4)【拓展】请按照这个方法把无限循环小数化为分数，即_________ (5)【应用】在中，属于非负有理数的是__________________． 【答案】(1)是 (2) (3)是，过程见解析 (4) (5)，0，，16.2 【详解】解：（1）是             （2）             设，由，得． 可知，，即， 解得：， （3）设，由，     可得：， 等式两边同乘以100，可得，     即：，     化简，得： 解方程，得：．             （4） 由（1）知： 所以． （5）在中，属于非负有理数的是，0，，16.2， 故答案为：，0，，16.2． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $