专题1.4 有理数的乘方（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制六年级上册

本讲义聚焦有理数的乘方核心知识点，系统梳理从乘方意义（n个相同乘数相乘的表示）到运算规则（符号、小数点移动、分数乘方）的脉络，以概念理解（底数、指数、幂）为基础，通过区分(-a)^n与-a^n构建学习支架，衔接有理数乘法与后续混合运算。 特色在于“知识点-题型-练习”三层设计，通过即学即练和典例变式培养抽象能力与运算能力，对比辨析易混概念发展推理意识。课中助力教师分层教学，课后通过多样化习题帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题1.4 有理数的乘方 教学目标 1. 理解乘方、底数、指数、幂概念。 2. 掌握有理数乘方运算法则，能熟练进行正、负、0、分数的乘方计算。 3. 会理解与的区别。 教学重难点 1.重点 乘方概念理解与基础乘方运算； 2.难点 与的意义与运算区分；。 知识点01 乘方的意义 一般地，n个相同乘数相乘，即记作_______，读作_______． 在中，叫做底数，n叫做指数，当看作的 次方的结果时，也可读作的 次幂． 求n个相同有理数积的运算叫作有理数的_______；乘方的结果叫作幂； 一个数可以看作这个数本身的1次方，指数1通常省略不写,. 二次方也叫_______，三次方也叫_______。 【即学即练】 1. 的底数是________，指数是________，表示____________，结果是________． 知识点02 乘方的计算 1. 乘方的符号规则 （1）正数的任何次幂都是_______； （2）负数的奇数次幂是_______，负数的偶数次幂是_______； （3）0的任何非零次幂都是_______. 2. 乘法的小数点移动规律 （1）底数为10的乘方：结果为1后面带n个0（小数点向右移动n位）； （2）底数为纯小数的乘方：结果为1前面带n个0（小数点向左移动n位）。 3. 分数的乘方 ①带分数化为假分数 ② 分子分母分别乘方 4. 乘除与乘方的混合运算 先乘方、后乘除，有括号的先算括号内的。 【即学即练】 1. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型01 乘方的基本概念 【典例1】（1）的底数是__________，指数是__________，表示__________； （2）的底数是__________，指数是__________，表示__________； （3）的底数是__________，指数是__________，表示__________． 【变式1】把写成乘方的形式为_______，把写成乘方的形式为_______． 【变式2】-24中底数是______，指数是______，运算结果为______． 【变式3】把写成乘方形式______． 【变式4】在中底数是_____，指数是_____． 题型02 求一个数的乘方 【典例1】计算： (3)； (4)． 【典例2】我们知道，3的正整数次幂：，，，，，，，，…，观察归纳，可得的个位数字是_______． 【变式1】计算： 【变式2】计算： 【变式3】计算： 【变式4】计算： 题型03 乘方小数点移动规律 【典例1】计算： 算一算：_____，____，_____，______； 【变式1】计算：_______，=_______________； 【变式2】在中，底数是_________，指数是_________，幂是_________． 【变式3】计算： (1) (2)． (3)． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型04 分数的乘法 【典例1】计算题 (1)； (2)． 【变式1】．计算： (1)． (2)． 【变式2】．计算：（1） ____________．（2）用分数表示：_______． 【变式3】．计算： (1)； (2)； 【变式4】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 题型05 乘方符号的确定 【典例1】．请判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】下列各数中：，，，，，负数有_______个． 【变式2】计算：_______．计算：________． 【变式3】下列各组数中，数值相等的一组是（    ） A．32和23 B．（﹣2）3和﹣23 C．﹣32和（﹣3）2 D．﹣（2×3）2和﹣2×32 【变式4】 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型06 简单的混合运算 【典例1】．计算题 （1） （2） 【变式1】计算： (1) (2) (3) 【变式2】计算： （1） （2） ． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 1．的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；的底数是__，指数是__，其结果是__． 2．计算：_____． 3. ________． 4．比较大小：______． 5．比较大小：______．（填“>”，“=”或“<”） 6．最接近于的整数是_____． 7．在有理数，，，中，最大的数是_____． 8．设、都表示有理数，规定一种新运算“△”：当时，；时，．则______． 9．下列各数：，，，，中，负数的个数是_____． 10．若，则______． 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若，，且，则的值等于（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．比较这组数，0，，，，大小正确的为（   ） A． B． C． D． 5．已知x、y为有理数，如果规定一种新运算，则（    ） A． B．5 C．8 D．13 6．下列各组数中，相等的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 7．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 8．观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 9．若，为有理数，且，则______． 10．计算：（1）______；（2）______； （3）______；（4）______． 11．按如图所示的程序计算，当输入的有理数m，n满足时，y的值为_________． 12．在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”连接． 13．计算： (1)； (2)； (3)． 14．计算： (1)； (2)． 15．定义新运算∶，如，计算下列各式． (1) (2) 16．下列各式一定成立吗？若一定成立，请说明理由；若不一定成立，请举例说明． (1)； (2)． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 有理数的乘方 教学目标 1. 理解乘方、底数、指数、幂概念。 2. 掌握有理数乘方运算法则，能熟练进行正、负、0、分数的乘方计算。 3. 会理解与的区别。 教学重难点 1.重点 乘方概念理解与基础乘方运算； 2.难点 与的意义与运算区分；。 知识点01 乘方的意义 一般地，n个相同乘数相乘，即记作，读作a的n次方． 在中，叫做底数，n叫做指数，当看作的 次方的结果时，也可读作的 次幂． 求n个相同有理数积的运算叫作有理数的乘方；乘方的结果叫作幂； 一个数可以看作这个数本身的1次方，指数1通常省略不写,. 二次方也叫平方，三次方也叫立方。 【即学即练】 1. 的底数是________，指数是________，表示____________，结果是________． 【详解】解：的底数是，指数是4，表示结果是； 知识点02 乘方的计算 1. 乘方的符号规则 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； （3）0的任何非零次幂都是0. 2. 乘法的小数点移动规律 （1）底数为10的乘方：结果为1后面带n个0（小数点向右移动n位）； （2）底数为纯小数的乘方：结果为1前面带n个0（小数点向左移动n位）。 3. 分数的乘方 ①带分数化为假分数 ② 分子分母分别乘方 4. 乘除与乘方的混合运算 先乘方、后乘除，有括号的先算括号内的。 【即学即练】 1. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解： = （2）解：=； （3）解：=0.00 000 2 （4）解：=； 题型01 乘方的基本概念 【典例1】（1）的底数是__________，指数是__________，表示__________； （2）的底数是__________，指数是__________，表示__________； （3）的底数是__________，指数是__________，表示__________． 【详解】解：（1）的底数是4，指数是4，表示4； （2）的底数是，指数是3，表示；； 故答案为：；3； （3）的底数是，指数是2，表示． 【变式1】把写成乘方的形式为_______，把写成乘方的形式为_______． 【详解】解：， ． 【变式2】-24中底数是______，指数是______，运算结果为______． 【详解】解：根据乘方及幂的定义可得： 在-24中，底数是2，指数是4，运算结果为-16， 【变式3】把写成乘方形式______． 【详解】解：根据乘方的定义可得：． 【变式4】在中底数是_____，指数是_____． 【详解】解：在中底数是，指数是， 题型02 求一个数的乘方 【典例1】计算： (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练运用乘方的运算法则是解本题的关键． （3）解：； （4）解：． 【典例2】我们知道，3的正整数次幂：，，，，，，，，…，观察归纳，可得的个位数字是_______． 【答案】3 【分析】本题考查了根据乘方运算求解．观察3的正整数次幂的个位数字，发现其以3、9、7、1四个数字为一个循环周期．2025除以4的余数为1，故的个位数字与的个位数字相同，据此即可求解． 【详解】解：由题意得的个位数字按3、9、7、1顺序循环， ， 因此个位数字为3． 故答案为：3． 【变式1】计算： 【详解】解： 【变式2】计算： 【详解】解： 【变式3】计算： 【详解】解： 【变式4】计算： 【详解】解： 题型03 乘方小数点移动规律 【典例1】计算： 算一算：_____，____，_____，______； 【详解】解：，，，； 【点睛】中的指数 n等于运算结果1后面0的个数。 【变式1】计算：_______，=_______________； 【详解】解：（1）-0.008． （2） 【点睛】相比较小数点向左移动3位。 【变式2】在中，底数是_________，指数是_________，幂是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，中，叫做底数，叫做指数，乘方的结果叫做幂． 【详解】在中，底数是，指数是，幂是． 故答案为：；； 【变式3】计算： (1) (2)． (3)． 【详解】解：（1）=8000 （2） (3)=-0.0289． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的乘方．熟练掌握有理数的乘方是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型04 分数的乘法 【典例1】计算题 (1)； (2)． 【详解】（1）解：． （2）解：． 【变式1】．计算： (1)． (2)． 【分析】分数的乘方，分子、分母都要乘方， 【详解】 （1）； （3）. 【变式2】．计算：（1） ____________．（2）用分数表示：_______． 【详解】解：（1）原式． （2）解：． 【变式3】．计算： (1)； (2)； 【详解】解：（1）； （2） 【变式4】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【详解】（1）解：=．． （2）解：． （3）解：==-1． （4）解：． 题型05 乘方符号的确定 【典例1】．请判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解： ∵的指数是9，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负； （2）解：是的相反数， 因为是正数，所以其相反数为负数， 故的结果为负； （3）解：∵的指数是7，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负； （4）解：∵的指数是8，为偶数，负数的偶次幂是正数， ∴的结果为正． 【变式1】下列各数中：，，，，，负数有_______个． 【答案】2 【分析】根据有理数乘方、相反数、绝对值的运算法则化简各数，再根据负数的定义统计负数的个数即可． 【详解】解：依次化简各数：，结果为负数； ，结果为正数； ，结果为正数； ，结果为正数； ，结果为负数； 综上，负数共有个． 【变式2】计算：_______．计算：________． 【分析】本题考查有理数的乘方运算与多重符号的化简 【详解】（1）解：； （2）：-1 【变式3】下列各组数中，数值相等的一组是（    ） A．32和23 B．（﹣2）3和﹣23 C．﹣32和（﹣3）2 D．﹣（2×3）2和﹣2×32 【详解】解：A．32＝9，23＝8，故选项A不符合题意； B．（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，故选项B符合题意； C．﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，故选项C不符合题意； D．﹣（2×3）2＝﹣36，﹣2×32＝﹣2×9＝﹣18，故选项D不符合题意． 故选：B． 【变式4】 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据有理数的乘方计算即可； （2）根据负数的奇数次幂是负数，确定符号，再根据有理数的乘方法则求解即可； （3）先确定结果的符号为负，再计算即可； （4）根据，再计算立方即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型06 简单的混合运算 【典例1】．计算题 （1） （2） 【详解】（1）解：=3 （2）解：=. 【变式1】计算： (1) (2) (3) 【详解】（1） ； （2） ． （3) =5 = 【变式2】计算： （1） （2） ． 【详解】（1） =（ = = （2） ． = = 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】该题主要考查了有理数的乘方、乘法运算以及绝对值，解题的关键是掌握相关运算法则． （1）先算乘方，再算乘法． （2）先算乘方和绝对值，再算乘法． （3）先算乘方，再算乘法． （4）先算乘方，再算乘法． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 1．的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；的底数是__，指数是__，其结果是__． 【答案】 3 的3次幂 3个相乘 2 4 【分析】本题考查幂的底数和指数的概念，需注意负号的位置，区分整体底数与运算符号． 根据乘方的相关概念作答即可． 【详解】对于，底数是，指数是3，读作“的3次幂，”，含义是个相乘； 对于，负号是运算符号，底数是2，指数是4，表示2的4次幂的相反数，计算结果为． 故答案为：， 3，的3次幂，3个相乘； 2， 4，． 2．计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 先计算乘方和绝对值，再计算减法即可． 【详解】解：． 故答案为： ． 3. ________． 【答案】/ 【分析】本题考查了含乘方的有理数运算，分别计算乘方再算乘法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．比较大小：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较，根据乘方计算即可求值； 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：. 5．比较大小：______．（填“>”，“=”或“<”） 【答案】< 【分析】本题考查有理数的大小比较，解题的关键是掌握绝对值和乘方的运算法则． 先根据绝对值的性质、有理数的乘方运算法则分别计算出两个式子的值，再依据有理数大小比较法则比较大小即可． 【详解】解：根据绝对值的性质，，根据有理数的乘方运算法则，． 因为， 所以． 故答案为：． 6．最接近于的整数是_____． 【答案】 【分析】本题考查乘方的运算和有理数大小的比较，正确运算是解题的关键． 先计算的值，再比较其与相邻整数的距离，确定最接近的整数． 【详解】解：∵， ∴， ∵与的距离为，与的距离为， ∵， ∴最接近于的整数是． 故答案为：． 7．在有理数，，，中，最大的数是_____． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方运算，绝对值的化简，有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的规则是解题关键． 先把每个数准确化简，再根据“正数负数”的规则比较大小，找出最大数即可． 【详解】解：，，， ， 最大的数是． 故答案为：． 8．设、都表示有理数，规定一种新运算“△”：当时，；时，．则______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 9．下列各数：，，，，中，负数的个数是_____． 【答案】3 【分析】先利用有理数的乘方运算、绝对值的性质化简各数，再根据负数的定义判断其中负数的个数． 【详解】解：，是负数； ，是正数； ，是负数； ，是正数； ，是负数． 综上，负数共有3个． 10．若，则______． 【答案】9 【分析】本题考查了非负数的性质，以及乘方的运算，解决本题的关键是求解出x与y的值． 根据非负数的性质，平方项和绝对值项均非负，它们的和为零则每个部分为零，从而求出 x 和 y的值，再由乘方运算计算即可． 【详解】解：由 ， 得 且 ， 解得 ，， ∴ ． 故答案为： 9． 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】（1）；（2）；（3）； （4）0.001；（5）；（6）1 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：. 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】本题考查了乘方的运算，有理数的乘法，有理数的加法，解题的关键是熟记负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，的任何正整数次幂都是，熟练掌握运算法则． 【详解】 （1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ； （6）原式 ． 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数减法法则、乘方法则、绝对值的性质计算即可． 【详解】解：A、，故原计算错误； B、，故原计算错误； C、，故原计算错误； D、，故原计算正确． 2．若，，且，则的值等于（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】先根据平方根和绝对值的性质，得到和的所有可能取值，再结合确定和异号，分情况计算的值即可． 【详解】解：∵，∴或， ∵，∴或， 又∵， ∴与异号， 分两种情况计算： ①当时，， ∴； ②当时，， ∴； ∴的值为或． 3．在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先对各数进行化简，再根据负数的定义统计负数的个数即可． 【详解】解：依次判断各数： ∵ ，是负数， ，是正数， ，是负数， ，是负数， ，是负数， ，是正数， 既不是正数也不是负数， ∴负数共有个． 4．比较这组数，0，，，，大小正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题先化简每个给出的数，再将化简后的数按从大到小排序，即可得到正确选项． 【详解】解：，，，， 将所有数从大到小排序得：， 即． 故选：B． 5．已知x、y为有理数，如果规定一种新运算，则（    ） A． B．5 C．8 D．13 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算，按照有理数混合运算顺序，先计算括号内的新运算，再计算括号外的，根据给定的运算法则逐步计算即可． 【详解】解：． 6．下列各组数中，相等的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】分别根据相反数、绝对值、有理数乘方计算每个选项中两个数的值，再比较是否相等即可解答． 【详解】解：A． ，，，即选项A不符合题意； B．，，，即选项B符合题意； C．，，，即选项C不符合题意； D．，，，即选项D不符合题意． 7．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点在数轴上的位置判断出的正负以及绝对值的大小，再根据有理数的混合运算法则判断各式的正负即可． 【详解】解：由数轴知：， ，，， ，， 观察四个选项，选项D符合题意． 8．观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 【答案】4 【分析】观察已知等式可知，以2为底的幂的个位数字按，，，依次循环，计算得到余数，根据余数即可确定的个位数字． 【详解】解：观察给出的等式，，，，，…， ∴以2为底的幂的个位数字每4个数为一个循环组依次循环，循环顺序为，，，． ， ∴的个位数字与的个位数字相同，是． 9．若，为有理数，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方的运算，偶次幂和绝对值的非负性，有理数除法，利用非负数的性质，求出 和 的值，再代入计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，且， ∴且， 解得，， 则， ∴， 故答案为：． 10．计算：（1）______；（2）______； （3）______；（4）______． 【答案】 2 6 【分析】本题考查有理数的加法，乘方，乘法和除法运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加法法则计算即可； （2）根据有理数的乘方运算即可； （3）根据有理数乘法法则计算即可； （4）根据有理数除法法则计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2） ， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4） ， 故答案为：． 11．按如图所示的程序计算，当输入的有理数m，n满足时，y的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值，非负性，根据非负性求出的值，根据流程图将的值代入关系式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 12．在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”连接． 【答案】见解析， 【分析】先化简题目中的各个数，再在数轴上表示出来，最后根据数轴按从小到大的顺序排列即可． 【详解】解：，，，， 将各数在数轴上表示如下： 可得． 13．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)0.027 【分析】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式直接进行立方运算即可得到答案； （2）原式先将变形为，然后再进行平方运算即可； （3）原式直接进行立方运算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的乘除和乘方运算，解题的关键是掌握有理数的乘除和乘方运算法则． （1）首先计算有理数的乘方，然后计算除法； （2）首先计算有理数的乘方，然后计算乘除． 【详解】（1） ； （2） ． 15．定义新运算∶，如，计算下列各式． (1) (2) 【答案】(1)1 (2)8 【分析】本题考查了新定义问题，有理数的乘方及加减运算，理解新定义运算是解题的关键； （1）根据新定义运算求解即可； （2）根据新定义先算，再算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：因为， 所以． 16．下列各式一定成立吗？若一定成立，请说明理由；若不一定成立，请举例说明． (1)； (2)． 【答案】(1)成立，见解析 (2)不成立，举反例：（答案不唯一） 【分析】此题考查了有理数的乘方，注意任何数的绝对值为非负数． （1）乘方的运算可以利用乘法的运算来进行，据此求解即可判断； （2）举反例即可判断． 【详解】（1）解：成立，理由如下： ∵右边 左边，故成立； （2）解：不成立，理由如下： 举反例：若，则左边， 右边，左边右边，故不成立． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $