1.3 勾股定理的应用（教学课件）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的应用，通过情景引入提问勾股定理内容、中国古代发现者及古代用途，衔接新知探究，搭建从旧知回顾到实际问题解决的学习支架。 其亮点是以装修检测、芦苇测量等实际问题及折叠、立体图形最短距离问题为载体，培养抽象能力、推理意识和模型意识。采用“问题情境—探究建模—题型总结”教学方法，课堂小结提炼四步解题步骤，帮助学生发展用数学眼光观察、思维思考、语言表达的能力，教师可直接用于教学提升效率。

【新教材】北师版·八年级上册 第一章 勾股定理 1.3 勾股定理的应用 学 习 目 标 1 2 3 能从实际问题中抽象出几何模型以及发现内在的数量关系，发展抽象能力，培养用数学眼光观察世界的习惯. 灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题，培养学生的数学语言表达能力、提高学生分析问题和解决问题能力. 能够运用勾股定理解决实际生活中的问题. 情景引入 1.勾股定理的内容是什么？ 2.你知道中国古代谁先发现的勾股定理吗？ 3.勾股定理在古代有什么用处？ 新知探究 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖（如图）的边AD 和边 BC 是否分别垂直于底边 AB. （1）如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？ A B C D 用卷尺分别测量 AD，DB，AB 的长， 若 AD2 + AB2＝DB2， 则 ∠A＝90°，即AD⊥AB. 新知探究 （2）李叔叔测得边 AD 长 30 cm，边 AB 长 40 cm，点 B，D 之间的距离是 50 cm. 边 AD 垂直于边 AB 吗? A B C D ∵ AD2 + AB2＝302 + 402＝2500， DB2＝502＝2500， ∴∠A＝90°，即AD⊥AB. 所以边 AD 垂直于边 AB 新知探究 A B C D 能检验. 在 AD 上从 A 点量取 12 cm 得点 E，在 AB 上从 A 点量取 16 cm 得点 F. 因为 12² + 16²= 20²， 用刻度尺测 EF 长度，若 EF = 20 cm， 根据勾股定理逆定理，AD⊥AB； 若 EF≠20 cm，则 AD 不垂直 AB. (3) 如果李叔叔随身只带了一个长度为 20 cm 的刻度尺，那么他能检验边 AD 是否垂直于边 AB 吗? E F 新知探究 尝试思考 设 DF = x cm， 则 CF = EF = (8 - x) cm， 在Rt△DEF 中，DE2 + DF2 = EF2， 则 42 + x2 = (8 - x)2，解得 x = 3. ∴DF 的长为 3 cm. 如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 8 cm，点E是边 AD 的中点，将这个正方形纸片翻折，使点 C 落到点 E 处，折痕交边 AB 于点 G，交边 CD 于点 F. 你能求出 DF 的长吗? 解：∵点 E 是边 AD 的中点，∴ DE = AD = 4 cm. 题型一 题型探究 小亮 勾股定理在折叠问题中的应用 例1.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC＝ 6 cm，BC＝ 8 cm，将△ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 BE 的长为（ ） A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 10 cm B 方法技巧 利用勾股定理解决折叠问题的一般步骤： ①标已知，设未知； ②利用折叠，找相等； ③利用勾股定理，列方程； ④解方程，得解. 勾股定理在实际生活中的应用 题型二 题型探究 小亮 方法技巧 你能根据题意画出图形吗？在你画的图形中存在一个怎样的三角形？ 例2.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ D A B C 解：设水池的水深 AC 为 x 尺， 则这根芦苇长 AD = AB = (x + 1) 尺. 在直角三角形 ABC 中，BC = 5 尺， 由勾股定理，得 BC2 + AC2 = AB2， 即 52+x2=(x+1)2， 25 + x2 = x2 + 2x + 1， 2x=24， ∴ x=12，x+1=13. 答：水池深 12 尺，这根芦苇长 13 尺. 勾股定理在实际生活中的应用 题型二 题型探究 D A B C 题型二 题型探究 小亮 勾股定理在实际生活中的应用 方法技巧 根据勾股定理及其逆定理，构造一个直角三角形，求最短路线，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 例3.某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 海里，“海天”号每小时航行 12 海里，它们离开港口一个半小时后相距 30 海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 题型二 题型探究 小亮 勾股定理在实际生活中的应用 解：设“远航”号轮船为 Q，“海天”号轮船为 R，根据题意可画出如图 1-3-5 的示意图，由题意可得RP=18 海里，PQ =24 海里，QR=30海里 . 因为 182+242=302，所以△ RPQ 是直角三角形， 且∠RPQ =90° . 因为“远航”号沿东北方向航行， 所以“海天”号沿西北方向航行 . 立体图形中两点之间的最短距离 题型三 题型探究 小亮 例3.有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米?(已知油罐的底面半径是2m，高AB是5m，π取3） A B A B A' B' 解：油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离. ∵AA'=2×3×2=12, A'B'=5, ∴AB'=13. 即梯子最短需13米. 立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线. 方法技巧 立体图形中两点之间的最短距离 题型三 题型探究 小亮 B 牛奶盒 A 例4.看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲儿，小明又灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？ 6cm 8cm 10cm 立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线. 方法技巧 立体图形中两点之间的最短距离 题型三 题型探究 立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线. 方法技巧 B B1 8 A B2 6 10 B3 AB12 =102 +（6+8）2 =296 AB22= 82 +（10+6）2 =320 AB32= 62 +（10+8）2 =360 课堂小结 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题. 数学问题 直角三角形 勾股定理 实际问题 转化 建构 利用 决解 变式训练 1.如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，则这只烧杯的底面直径是(D　) A. 9cm B. 8cm C. 7cm D. 6cm D 变式训练 2.如图是王叔叔建房时所挖地基的平面图，按标准四边形ABCD四个角都应是直角，他在挖完后测量发现 AB＝CD＝6m，AD＝BC＝8m，AC＝BD＝10 m，请你帮他看一下挖的地基是否合格. 解：因为AD2＋CD2＝82＋62＝100＝102＝AC2， 所以△ACD 是直角三角形，∠ADC ＝ 90°. 同理，∠BAD ＝∠ABC ＝∠BCD ＝ 90°， 所以四边形ABCD 四个角都是直角， 所以王叔叔所挖的地基合格. 【新教材】北师版·八年级上册 感谢聆听! Lavf57.62.100 $