1.1点在空间直角坐标系中的坐标同步训练 2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、综合运用、拓展提高三层设计，以空间直角坐标系中点的坐标为核心，从概念理解到综合应用逐步深化，适配新授课知识巩固需求，培养空间观念与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|点的坐标确定、对称点坐标、坐标轴与坐标平面上点的特征|单选与多选结合，直接应用概念，如长方体顶点坐标判断、对称点位置关系分析，夯实基础认知| |综合运用|复杂几何体（长方体、正四面体）中坐标确定、对称关系综合应用|结合几何直观，如长方体中对称点求解、正四面体中心坐标计算，发展空间想象能力| |拓展提高|含垂直关系的坐标求解|通过垂线与直线交点坐标问题，如长方体中DE⊥AC求E点坐标，体现推理能力与数学思维深化|

1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 一、基础巩固 1.如图，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝3，|OC|＝5，|OO1|＝4，则点B1的坐标为(　　) A.(3，4，5) B.(5，3，4) C.(3，5，4) D.(5，4，3) 2.在空间直角坐标系中，点P(1，1，1)与Q(1，－1，－1)两点间的位置关系是(　　) A.关于x轴对称 B.关于xOz平面对称 C.关于坐标原点对称 D.以上都不对 3.(多选)下列命题中正确的是(　　) A.在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c) B.在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c) C.在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0，0，c) D.在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a，0，c) 4.点P(2，0，1)在空间直角坐标系O－xyz中的位置是(　　) A.在y轴上 B.在xOy平面内 C.在yOz平面内 D.在xOz平面内 5.如图，正方体OABC－O1A1B1C1的棱长为2，E是B1B上的点，且|EB|＝2|EB1|，则点E的坐标为(　　) A.(2，2，1) B.(2，2，2) C. D. 6.(多选)已知空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，下列命题中错误的是(　　) A.点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c) B.点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a，－b，－c) C.点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c) D.点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c) 7.如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A的坐标是　　　　.  8.点P(－3，2，－1)关于xOz平面的对称点是　　　　，关于z轴的对称点是　　　　.  9.如图所示，在正方体ABCD－A'B'C'D'中，棱长为1，点P在BD'上，|BP|＝|BD'|，则P点坐标为　　　　.  10.建立空间直角坐标系如图所示，正方体DABC－D'A'B'C'的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱C'D'，D'A'，A'A，AB，BC，CC'的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标. 二、综合运用 11.(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝5，|AD|＝4，|AA1|＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则(　　) A.点B1的坐标为(4，5，3) B.点C1关于点B对称的点为(5，8，－3) C.点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3) D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0) 12.如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是△BCD的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则B点坐标为　　　　，A点坐标为　　　　.  13.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且|CG|＝|CD|，H为C1G的中点，试建立适当的空间直角坐标系，写出点E，F，G，H的坐标. 三、拓展提高 14.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AD|＝|AA1|＝2，|AB|＝4，DE⊥AC，垂足为E，求点E的坐标. 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 一、基础巩固 1.如图，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝3，|OC|＝5，|OO1|＝4，则点B1的坐标为(　　) A.(3，4，5) B.(5，3，4) C.(3，5，4) D.(5，4，3) 答案　C 2.在空间直角坐标系中，点P(1，1，1)与Q(1，－1，－1)两点间的位置关系是(　　) A.关于x轴对称 B.关于xOz平面对称 C.关于坐标原点对称 D.以上都不对 答案　A 解析　点P(1，1，1)与Q(1，－1，－1)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称，故选A. 3.(多选)下列命题中正确的是(　　) A.在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c) B.在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c) C.在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0，0，c) D.在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a，0，c) 答案　BCD 解析　空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a，0，0).故A错误，B，C，D正确，故选BCD. 4.点P(2，0，1)在空间直角坐标系O－xyz中的位置是(　　) A.在y轴上 B.在xOy平面内 C.在yOz平面内 D.在xOz平面内 答案　D 解析　空间直角坐标系中，点P(2，0，1)的横坐标为x＝2，纵坐标为y＝0，竖坐标为z＝1，所以点P在空间直角坐标系O－xyz中的xOz平面内.故选D. 5.如图，正方体OABC－O1A1B1C1的棱长为2，E是B1B上的点，且|EB|＝2|EB1|，则点E的坐标为(　　) A.(2，2，1) B.(2，2，2) C. D. 答案　D 解析　由题可得EB⊥平面xOy，B(2，2，0)， 所以设E(2，2，z).因为|EB|＝2|EB1|， 所以z＝|BE|＝|BB1|＝， 故E.故选D. 6.(多选)已知空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，下列命题中错误的是(　　) A.点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c) B.点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a，－b，－c) C.点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c) D.点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c) 答案　ABC 解析　A中，点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，－c); B中，点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(－a，b，c); C中，点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(－a，b，－c);A，B，C错误，符合题意，D正确，不符合题意，故选ABC. 7.如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A的坐标是　　　　.  答案　(1，－1，－1) 解析　由空间点的坐标定义可知，点A的坐标是(1，－1，－1). 8.点P(－3，2，－1)关于xOz平面的对称点是　　　　，关于z轴的对称点是　　　　.  答案　(－3，－2，－1)　(3，－2，－1) 解析　P关于xOz平面对称后，纵坐标变为相反数，其他不变，故对称点坐标为(－3，－2，－1); 点P关于z轴对称后，竖坐标不变，横、纵坐标变为相反数，故对称点坐标为(3，－2，－1). 9.如图所示，在正方体ABCD－A'B'C'D'中，棱长为1，点P在BD'上，|BP|＝|BD'|，则P点坐标为　　　　.  答案　 解析　点P(x，y，z)在坐标平面xOy上的射影在BD上，∵|BP|＝|BD'|，∴x＝y＝，z＝，∴P. 10.建立空间直角坐标系如图所示，正方体DABC－D'A'B'C'的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱C'D'，D'A'，A'A，AB，BC，CC'的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标. 解　正方体DABC－D'A'B'C'的棱长为a，且E，F，G，H，I，J分别是棱C'D'，D'A'，A'A，AB，BC，CC'的中点， 即|D'E|＝|D'F|＝|AG|＝|AH|＝|CI|＝|CJ|＝a， 所以正六边形EFGHIJ各顶点的坐标为 E，F，G， H，I，J. 二、综合运用 11.(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝5，|AD|＝4，|AA1|＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则(　　) A.点B1的坐标为(4，5，3) B.点C1关于点B对称的点为(5，8，－3) C.点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3) D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0) 答案　ACD 解析　根据题意知，点B1的坐标为(4，5，3)，选项A正确; B的坐标为(4，5，0)，C1的坐标为(0，5，3)，故点C1关于点B对称的点为(8，5，－3)，选项B错误; 在长方体中|AD1|＝|BC1| ＝＝5＝|AB|， 所以四边形ABC1D1为正方形，AC1与BD1垂直且平分，即点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，选项C正确; 点C(0，5，0)关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)，选项D正确，故选ACD. 12.如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是△BCD的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则B点坐标为　　　　，A点坐标为　　　　.  答案　　 解析　由题意可知，|BG|＝|BE|＝×，故B， 则|AG|＝，故A. 13.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且|CG|＝|CD|，H为C1G的中点，试建立适当的空间直角坐标系，写出点E，F，G，H的坐标. 解　以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系. 因为点E在z轴上，且为D1D的中点， 所以点E的坐标为. 过F作FM⊥AD，FN⊥DC，则|FM|＝|FN|＝，故点F的坐标为. 因为点G在y轴上，又|GD|＝， 所以点G的坐标为. 过H作HK⊥CG于点K，由于H为C1G的中点，故|HK|＝，|GK|＝. 所以|DK|＝.故点H的坐标为. 三、拓展提高 14.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AD|＝|AA1|＝2，|AB|＝4，DE⊥AC，垂足为E，求点E的坐标. 解　如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 则D(0，0，0)，B1(2，4，2)，A(2，0，0)，C(0，4，0)， 设点E的坐标为(x，y，0)， 在xOy平面内，直线AC的方程为＝1，即2x＋y－4＝0， 因为DE⊥AC， 所以直线DE的方程为x－2y＝0. 由 所以E. (答案不唯一，建系合理即可) 学科网（北京）股份有限公司 $