2.2一元二次方程的解法第1课时（教学课件）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的直接开平方法与配方法，通过梯子滑动问题情境引入，结合平方根定义、完全平方公式等知识回顾，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点在于以问题驱动探究，从x²=a到(x+m)²=n再到配方法，层层递进培养学生抽象能力与运算能力。通过典例分析与巩固练习结合，系统归纳方法步骤，既提升学生数学思维，又为教师提供清晰教学流程，助力高效教学。

第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 第1课时 学 习 目 标 1.理解平方根的意义，能根据平方根的意义解形如(x+m)2＝n (n≥0)的方程;（重点） 2.理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.（难点） 知识回顾 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的 .正数a的平方根记作 .读作“正、负根号a”. 平方根 1.平方根的定义是什么？ （a≥0） （a≥0） 开平方 2.开平方 3.填一填下列完全平方公式. (1) a2+2ab+b2=( )2； (2) a2-2ab+b2=( )2. a+b a-b 情境引入 在上一节的梯子滑动问题中，梯子底端滑动的距离x(单位：m)满足方程 x2 +12 x - 15 = 0. 我们已经求出了x的近似值，你能设法求出它的精确值吗？ 思考：你能解哪些特殊的一元二次方程？ （1）你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？ ①x2=5； ②2x2+3=5； 新知探究 探究一：直接开平方法解一元二次方程 解:①x2=5 两边开平方，得x= ∴x1=， x2=-. ②2x2+3=5 移项，得 2x2=2 方程两边同除以2，得x2=1 两边开平方，得x= ∴x1=1， x2=-1. 根据平方根的意义,等号两边同时开平方即可求出x的值. 可以先将方程变形为x2=a的形式后再开平方. 新知探究 直接开平方法解一元二次方程： 知识归纳 （2）当a=0 时，方程x2 = a有两个相等的实数根x1=x2=0； （3）当a<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程x2 =a无实数根. 一般的，对于方程 x2 = a, （1）当a>0 时，根据平方根的意义，方程x2 = a有两个不等的实数根 x1=，x2=； 新知探究 1.利用直接开平方法解下列方程: (1) x2=18； (2) x2－900=0； (3)（x＋1）2= 2. (2)移项,得 x2=900 两边开平方,得 x=±30， ∴x1=30, x2=－30. (3)两边开平方，得 x+1=, 即x+1=或x+1=, ∴x1=, x2=－. 解:(1)两边开平方,得 x=, ∴ x=, ∴x1=, x2=－. 将x+1看成一个整体. 新知探究 1.采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为x2=a或（mx＋n）2= a（a≥0）的形式的方程，可得方程的根为x=或mx＋n=. 2.利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当a为非负常数时，方程才有解，并且要注意开方的结果有“正、负”两种情况. 应用直接开平方法解一元二次方程的注意事项： 知识归纳 ①x2+2x+1=5； ②（x+6）2+72=102. （1）你还能用直接开平方法解下列一元二次方程吗？如何将方程变形为x2=a的形式呢？ 新知探究 探究二：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 可以利用完全平方公式将等号左边变形. 解：①x2+2x+1=5 (x+1)2=5 开平方,得 x+1= 即x+1=或x+1= ∴x1=1， x2=-. ②（x+6）2+72=102 (x+6)2=102-72 (x+6)2=51 开平方,得 x+6= 即x+6=或x+6= ∴x1=6， x2=. 新知探究 （2）你能解方程x2+12x-15=0吗？你遇到的困难是什么？你能设法将这个方程转化成上面方程的形式吗？与同伴进行交流. 我们可以将方程x2+12x-15=0转化为 (x+6)2=51， 两边开平方，得 x+6= 因此我们说方程x2+12x-15=0有两个根x1=6， x2=. 方程(x+6)2+72=102 的一般形式. 这里，解一元二次方程的思路是将方程转化为 ( x + m) 2 = n 的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当 n ≥0 时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出它的根. 填上适当的数，使下列等式成立： x2+12x+ = ( x + 6) 2 ； x2-4x+ = ( x - ) 2 ； x2+8x+ = ( x + )2． 新知探究 思考：在上面等式的左边，常数项和一次项系数有什么关系？ 62 22 2 42 4 新知探究 二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方. x2+ax+( )2=(x+ )2 思考：对于形如 x2+ax 的式子如何配成完全平方式？ 配方的方法: 知识归纳 新知探究 解：可以把常数项移到方程的右边，得 x2+8x=9, 两边都加42(一次项系数8的一半的平方),得 x2+8x+42=9+ 42， 即 （x+4)2=25, 可以变形成(x+n)2=a的形式后开平方求解. 两边开平方，得 x+4=±5, 即 x+4=5，或x+4=5， 所以 x1=1，x1=9. 移项 配方 开方 求解 怎样解方程: x2+8x-9=0？ 新知探究 配方法的关键： 像上面这样通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法. 配方法的定义: 知识归纳 在形如的两边同时加一次项系数一半的平方，即. 新知探究 可化为 ( x + m) 2 = n的形式的一元二次方程的根 知识归纳 （2）当n=0 时，方程 ( x + m) 2 = n有两个相等的实数根x1=x2=m； （3）当n<0 时，方程 ( x + m) 2 = n无实数根. 一般的，对于方程 ( x + m) 2 = n, （1）当n>0 时，方程 ( x + m) 2 = n有两个不等的实数根 x1=，x2=； 新知探究 2.已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ） A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1 C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11 B 典例分析 用直接开平方法解下列方程： (1)x2－16＝0;  (2)3x2－27＝0； (3)(x－2)2＝9;  (4)(2y－3)2＝16. 例1 解：(1)移项，得x2＝16. 两边开平方,得x＝±4， 所以 x1＝4，x2＝－4. (2)移项，得3x2＝27. 两边同时除以3，得x2＝9. 两边开平方,得x＝±3， 所以 x1＝3，x2＝－3. (4)两边开平方,得2y－3＝±4， 即2y－3＝4或2y－3＝－4， 所以 y1＝，y2＝－. (3)两边开平方,得 x－2＝±3， 即x－2＝3或x－2＝－3， 所以 x1＝5，x2＝－1. 典例分析 用配方法解方程：x2＋2x－1＝0. 例2 解：移项，得x2＋2x＝1. 配方，得x2＋2x＋()2＝1＋()2， 即(x＋1)2＝2. 开平方，得x＋1＝±. 解得x1＝－1，x2＝－－1. 巩固练习 2.把方程x2-4x-3=0转化成(x+m)2=n的形式，则m，n的值是（　　） A．2，1 B．2，7 C．-2，1 D．-2，7 D 3.用配方法解方程x2+x=2，应把方程的两边同时（ ） A.加 B.加 C.减 D.减 A 1.一元二次方程x2=9的解是（    ） A．x=±3 B．x=3 C．x=−3 D．x=±9 A 巩固练习 4.若m的值使得x2−4x+m=(x−2)2+1成立，则m的值为（     ） A．5 B．−5 C．3 D．−3 A 5.方程(x−1)2=4的解是（     ） A．x1=−4，x2=5 B．x=3 C．x1=−1，x2=3 D．x=1 C 6.对于代数式(x−3)2+2，以下结论正确的是（     ） A．该代数式有最小值为2 B．该代数式的值可以是任意的数 C．化简的结果是x2−6x−7 D．使该代数式的值为3的x的值是4 A 巩固练习 7.把方程x2-4x-7=0化成（x-n）2=m的形式，则m+n的值是　     　. 13 8.一元二次方程x2-4x+4=0，配方为(x−2)2=k，则k的值是　 　． 0 9.若关于x的一元二次方程ax2=b(ab＞0)的两个根分别是m+1与2m-4，则 ． 10.一元二次方程(2x−1)2=(3x−2)2的根是 ． 11.解下列方程： (1)(3x＋2)2＝25； (2)3(x＋1)2＝； （3）x2+4x-9=2x-11； （4）x(x+4)=8x+12； 巩固练习 (2)方程两边都除以3，得(x＋1)2＝， 开平方，得x＋1＝± ， 即x＋1=或x＋1 ∴x1＝－，x2＝－. 　　 解：(1)开平方，得3x＋2＝ ± 5， 即 3x＋2＝5或3x＋2＝－5， ∴x1＝1，x2＝－. 解：x2+2x+2=0， (x+1)2=-1. 此方程无解. 解：x2-4x-12=0， (x-2)2=16. x1=6,x2=-2. 课堂小结 一元二次方程的解法-第1课时 一般的，对于方程 x2 = a, (1)当a>0 时,方程有两个不等的实数根x1=,x2=; (2)当a=0 时,方程有两个相等的实数根x1=x2=0； (3)当a<0 时,方程无实数根. 直接开平方法解一元二次方程 通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法. 理论依据:平方根的意义. 适用范围：能转化为x2=a或（mx＋n）2= a(a≥0)的形式的方程. 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 步骤：移项、配方、开方、求解. 关键：在形如的两边同时加一次项系数一半的平方，即. 作业布置 1.必做题：习题2.2第1((1)~(4))，7题。 2.探究性作业：习题2.2第8题。 感谢聆听! $