第25讲 三角函数的应用（五大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

第25讲 三角函数的应用（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 三角函数的简单应用 现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述.本节通过几个具体实例，说明三角函数模型的简单应用. 【知识点1 三角函数的简单应用】 1．函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)（其中A>0，ω>0）中各量的物理意义 在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数 中的常数有关. 振幅 振幅A是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离 周期 ，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间 频率 ，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数 相位 ωx+φ称为相位 初相 x =0时的相位φ称为初相 2．三角函数的简单应用 (1)三角函数应用的步骤 (2)三角函数的常见应用类型 ①三角函数在物体简谐运动问题中的应用 物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态. ②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用 物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态. ③三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用 大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解 决这些问题. 【题型1 三角函数在物理学中的应用】 【例1】（25-26高一上·全国·课后作业）某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：mm）与时间（单位：s）之间满足关系式，则开始计时后，该振子第一次到达位移最小点所用的时间为（    ） A．0.6s B．0.5s C．0.4s D．0.3s 【变式1-1】（25-26高一下·内蒙古兴安·阶段检测）交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（    ） A．安 B．5安 C．安 D．安 【变式1-2】（25-26高一上·全国·课后作业）如图，在匀强磁场中，一不计重力的带电粒子在磁场作用下逆时针做匀速圆周运动，以运动轨迹的中心为圆心，建立坐标系，已知轨迹半径为3cm，粒子旋转一周需要的时间为2s．若从点处开始计时，则该带电粒子运动的过程中与轴所在平面的距离与时间的函数关系式可以为（    ）    A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一下·山西朔州·阶段检测）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图（1）．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系为，如图（2）．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置（）的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5 m的总时间为（    ） A． B． C．1 s D． 【题型2 三角函数在圆周运动问题中的应用】 【例2】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆的半径为4米，盛水筒从点处开始运动，与水平面的所成角为，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒距离水面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·广东湛江·期末）如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心到地面的距离为41米，每30分钟按逆时针方向转动1圈．若初始位置是从距地面21米时开始计算时间，以摩天轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设从点运动到点时所经过的时间为（单位：分钟），且此时点距离地面的高度为（单位：米），则是关于的函数．当时，（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一下·广东广州·期末）如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（   ） A． B． C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 【变式2-3】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到“尔滨”赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各中冰上项目，如抽尜，大滑梯，摩天轮等.如图所示，某地摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24min，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面高度为hm，下列说法正确的是（   ） A．摩天轮的轮盘直径为60m B．h关于t的函数解析式为 C．h关于t的函数解析式为 D．在游客乘坐一周的过程中，游客有16min时间距地面高度超过38m 【题型3 三角函数在生活中的应用】 【例3】（25-26高一下·重庆·阶段检测）近日重庆气温波动较大， 假设渝中区某天时的温度变化近似满足函数 ，已知8时气温最低，为10度，14时气温最高，为20度，则的解析式可以是 （   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·江苏连云港·期末）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为.若初始位置为当秒针从（注此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高三上·湖南长沙·期末）某地区2024年全年月平均温度（单位：℃）与月份之间近似满足 .已知该地区2月份的月平均温度为℃，全年月平均温度最高的月份为6月份，且平均温度为32℃，则该地区12月份的平均温度为（    ） A．℃ B．℃ C．℃ D．℃ 【变式3-3】（25-26高一下·安徽·阶段检测）受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 若该天从与的关系可近似的用函数来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时的水深约为 D．一天中水深低于的时间为4小时 【题型4 几何中的三角函数模型】 【例4】（2026·四川成都·三模）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示.则观赛场地的面积最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高三上·河北邢台·期末）如图，已知OAB是半径为2千米的扇形，，C是弧AB上的动点，过点C作，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形ODEH组成，且，若风景区的修建费为100万元/平方千米，则该风景区的修建最多需要（    ） A．260万元 B．265万元 C．255万元 D．250万元 【变式4-2】（25-26高一下·四川南充·期中）已知分别是轴正半轴上的两个动点，且，如图，以为边构造正方形，分别过点向轴作垂线，垂足依次为，当点由向左运动到原点的过程中，四边形周长取得最大值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一下·湖南·开学考试）如图，在扇形中，半径是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形的周长的最大值为__________.    模块三 拟合法建立三角函数模型 【知识点2 拟合法建立三角函数模型】 1．用拟合法建立三角函数模型 数据拟合问题的实质是根据题目提供的数据画出简图，求相关函数的解析式进而研究实际问题.在求解与三角函数有关的函数拟合问题时，需弄清楚的具体舍义，只有掌握了这三个参数的含义，才可以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转化. 【题型5 用拟合法建立三角函数模型】 【例5】（25-26高一下·湖北黄冈·阶段检测）某市某日气温()是时间，单位：小时的函数，下面是该天不同时间的气温预报数据： （时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 () 15.7 14.0 15.7 20.0 24.2 26.0 24.2 20.0 15.7 根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成函数 的图象． (1)根据以上数据，试求函数 的表达式 (2)大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获得3倍于室内销售的利润，但对室外温度的要求是气温不能低于，根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段（用区间表示）将该种商品放在室外销售？(忽略商品搬运时间及其他非主要因素) 【变式5-1】（25-26高一上·福建福州·阶段检测）某港门的水深y(米)是时间x(，单位：小时)的函数，下面是水深数据：经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象. x(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 （1）试根据以上数据，求出的表达式； （2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5米时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出所用的时间)？ 【变式5-2】（25-26高一·全国·课后作业）某港口水深（米是时间（，单位：小时）的函数，下表是水深数据： （小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象.    (1)试根据数据表和曲线，求出 的表达式； (2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间） 【变式5-3】（25-26高一下·江西景德镇·期中）“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y（米）与时间（单位：小时）的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据： t（小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.1 该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象． (1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式； (2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底与水面的距离）为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议． 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·山东聊城·期末）某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻（单位：）时过山车（看作质点）离地面的高度（单位：）满足（，）.已知当时，过山车到达第一个最高点，当时，过山车到达第一个最低点，则过山车启动时距地面（   ） A． B． C． D． 2．（2026高三上·江苏·学业考试）下表给出了某港口在某天几个时刻的水深： 时刻 水深／m 时刻 水深／m 时刻 水深／m 0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0 3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5 6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0 以下函数中最能刻画水深与时刻之间的关系的是（   ） A．幂函数 B．指数函数 C．三角函数 D．对数函数 3．（25-26高二上·吉林白城·阶段检测）动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知当地时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·江西·阶段检测）由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（   ） A．12h B．14h C．16h D．18h 5．（25-26高一上·甘肃武威·期末）如图，已知摩天轮的半径为60米，其中心距地面的距离为70米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每36分钟转一圈，摩天轮上点的起始位置在最高点处.则摩天轮转动12分钟后点距离地面（     ）    A．40米 B．110米 C．米 D．米 6．（25-26高一上·湖北孝感·期末）阻尼振动是指振动系统在振动过程中，由于受到摩擦、空气阻力等耗散力作用，其振幅随时间呈指数规律衰减的振动，假设一个弹簧振子在空气中进行阻尼振动，其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系表示为：，其中是初始振幅，e是自然常数，k是阻尼系数，是角频率，该阻尼振动的角频率为，当时，振子的位移；当时，振子的位移.据此计算，当时，该振子的位移（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期末）佳木斯水源山公园是国家AAA级旅游区，公园内的动物园动物种类丰富，此外，公园内还有水上乐园、过山车、摩天轮等游乐设施.其中摩天轮又名“冬极之眼”，是佳木斯的地标性建筑，其最高点离地面高度89m，最低点离地面高度9m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24min，假如你坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后距离地面高度为h m，下列说法正确的是（   ） A．摩天轮的轮盘直径为40m B．h关于t的函数解析式为 C．h关于t的函数解析式为 D．在你乘坐一周的过程中，有16min时间距地面高度超过29m 8．（25-26高一下·山东枣庄·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 二、多选题 9．（25-26高一上·福建莆田·期末）如图，以某摩天轮某座舱距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮（匀速转动）的转动时间（单位：分钟）与座舱距离地面的高度（单位：米）的函数关系式为（，），且开始转动分钟后，座舱距离地面的高度为32米，转动分钟后，座舱距离地面的高度为米，该摩天轮转动一圈的时间为分钟，则（） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·贵州六盘水·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，以为横坐标，为纵坐标，下列选项中正确的是（    ）    A．小球在开始振动（）时的位置离平衡位置的距离为 B．当时小球达到最高点 C．小球往复运动一次经过的时间为秒 D．当时，小球向下运动 11．（25-26高一上·福建厦门·期末）某港口某天的水深（单位：m）与时间（单位：h，）近似满足函数．该港口这一天水位最高时和最低时的时间间隔最少为，且中午点的水深为．为保证安全，当水深不少于时，港口才允许船只出入，则下列说法正确的是（    ） A． B．水位最高时的水深为 C．该港口这一天上午8点时允许船只出入 D．这一天内港口允许船只出入的时长为 三、填空题 12．（25-26高一上·福建莆田·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间，点的高度随时间（单位秒）变化时满足函数模型，则__________. 13．（25-26高一下·四川德阳·期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为__________s． 14．（25-26高一上·陕西榆林·期末）已知某地区某天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系，且这天的最大温差为，则__________；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为__________h． 四、解答题 15．（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）如图，某港口一天从4时到20时的水深变化曲线近似满足函数． (1)依据图中的信息确定函数的解析式； (2)甲船需在水深不低于5m时才能进出港口，求一天4时到20时期间允许该船进出港口的时长． 16．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min. (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； (2)求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度. 17．（2026高一下·吉林长春·专题练习）已知甲、乙两车间的污水瞬时排放量（单位：）关于时间单位：h）的关系均近似地满足函数．其图象如图所示：    (1)根据图象求函数解析式； (2)若甲车间先投产，1h后乙车间再投产，求两车间都投产时的最大污水排放量． 18．（25-26高一上·湖南长沙·期末）近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设.    (1)若，求的长； (2)若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 19．（25-26高一下·北京·期中）如图所示为灌溉工具——筒车的示意图，已知筒车的半径为4米．转轴与水面的距离为2米，水深为3米．筒车其边缘上一点从图示位置开始随筒车逆时针匀速旋转（同时开始计时），设匀速旋转一周的时间为秒，从计时起旋转时间为秒；点与水底的距离为米．    (1)当时： ①直接写出关于的函数表达式； ②求前120秒内，点与水底的距离为7米时的值； (2)若当时，点一直处于水中（含水面上），求的取值范围． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25讲 三角函数的应用（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 三角函数的简单应用 现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述.本节通过几个具体实例，说明三角函数模型的简单应用. 【知识点1 三角函数的简单应用】 1．函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)（其中A>0，ω>0）中各量的物理意义 在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数 中的常数有关. 振幅 振幅A是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离 周期 ，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间 频率 ，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数 相位 ωx+φ称为相位 初相 x =0时的相位φ称为初相 2．三角函数的简单应用 (1)三角函数应用的步骤 (2)三角函数的常见应用类型 ①三角函数在物体简谐运动问题中的应用 物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态. ②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用 物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态. ③三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用 大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解 决这些问题. 【题型1 三角函数在物理学中的应用】 【例1】（25-26高一上·全国·课后作业）某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：mm）与时间（单位：s）之间满足关系式，则开始计时后，该振子第一次到达位移最小点所用的时间为（    ） A．0.6s B．0.5s C．0.4s D．0.3s 【答案】A 【解题思路】根据题意，当时求出即可. 【解答过程】由已知可得该弹簧振子振动的最小正周期，当时，， 所以开始计时时该振子位移为，则该振子第一次到达位移最小点所用时间为． 故选：A. 【变式1-1】（25-26高一下·内蒙古兴安·阶段检测）交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（    ） A．安 B．5安 C．安 D．安 【答案】D 【解题思路】通过函数的图象求出，然后利用周期公式求出，将点代入表达式，即可求出的值，得到函数解析式，代入秒，即可求出电流强度. 【解答过程】由图象得，电流的最大值和最小值分别为10和，可得. 由周期得， 再将点代入，得， 所以 . 因为，所以时， ，所以. 将代入得，. 故选：D. 【变式1-2】（25-26高一上·全国·课后作业）如图，在匀强磁场中，一不计重力的带电粒子在磁场作用下逆时针做匀速圆周运动，以运动轨迹的中心为圆心，建立坐标系，已知轨迹半径为3cm，粒子旋转一周需要的时间为2s．若从点处开始计时，则该带电粒子运动的过程中与轴所在平面的距离与时间的函数关系式可以为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据表示距离为非负数排除AC,根据函数的单调性可判断BD. 【解答过程】由题意知，表示距离为非负数，A，C错误； 粒子从起始位置开始运动，到轴的距离逐步增加，达到最大值后开始减小， 中，当时，，函数单调递增，满足题意，B正确； 中，当时，，函数单调递减，D错误． 故选；B. 【变式1-3】（25-26高一下·山西朔州·阶段检测）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图（1）．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系为，如图（2）．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置（）的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5 m的总时间为（    ） A． B． C．1 s D． 【答案】D 【解题思路】先确定函数的一个周期，再解不等式求另一个周期，最后计算总时间即可. 【解答过程】由题意得，， 故函数的周期为，，可得， 令，解得， 故总时间为， 综上在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为. 故选：D. 【题型2 三角函数在圆周运动问题中的应用】 【例2】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆的半径为4米，盛水筒从点处开始运动，与水平面的所成角为，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒距离水面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】有题意设，根据最高、最低高度，周期和初始高度，可得结果. 【解答过程】设距离水面的高度H与时间t的函数关系式为， 周期为120s，， 最高点的纵坐标为， 最低点的纵坐标为， 所以， 当t=0时，H=0，， 所以. 故选：A. 【变式2-1】（25-26高一上·广东湛江·期末）如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心到地面的距离为41米，每30分钟按逆时针方向转动1圈．若初始位置是从距地面21米时开始计算时间，以摩天轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设从点运动到点时所经过的时间为（单位：分钟），且此时点距离地面的高度为（单位：米），则是关于的函数．当时，（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先由题意得到，进而得到后，以为始边，为终边的角，从而得到点的纵坐标为，即距地面的高度函数求解． 【解答过程】由题意得，而是以为始边，为终边的角， 由在内转过的角为，可知以为始边， 为终边的角为，则点的纵坐标为， 所以点距地面的高度为， 故选：A. 【变式2-2】（25-26高一下·广东广州·期末）如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（   ） A． B． C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，求出判断AB；求出点的位置判断C；解不等式判断D. 【解答过程】点到水面的距离与时间之间的关系为， 对于A，依题意，，则，A错误； 对于B，由时，得，即，而，则，B错误； 对于C，，令，得， 解得，则，解得， 即盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，C错误； 对于D，由，得，即， 则，解得， 所以盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒，D正确. 故选：D. 【变式2-3】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到“尔滨”赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各中冰上项目，如抽尜，大滑梯，摩天轮等.如图所示，某地摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24min，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面高度为hm，下列说法正确的是（   ） A．摩天轮的轮盘直径为60m B．h关于t的函数解析式为 C．h关于t的函数解析式为 D．在游客乘坐一周的过程中，游客有16min时间距地面高度超过38m 【答案】D 【解题思路】根据摩天轮离地最高距离和最低距离的差值，求出直径判断A；依题意，分别求出得解析式，判断B，C；根据提议，令，求出的取值范围，判断D. 【解答过程】对于A，因为摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，所以摩天轮的轮盘直径为，故A错误； 对于B，设，则， 令时，则，， 又，解得， 所以，故B，C错误 ； 对于D，， 当距地面高度超过38m时，即，即， 即，解得， 又因为，所以，所以游客有16min时间距地面高度超过38m，故D正确， 故选：D. 【题型3 三角函数在生活中的应用】 【例3】（25-26高一下·重庆·阶段检测）近日重庆气温波动较大， 假设渝中区某天时的温度变化近似满足函数 ，已知8时气温最低，为10度，14时气温最高，为20度，则的解析式可以是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先求出、，根据周期求出，再由求出，即可得解. 【解答过程】依题意，解得， 又，所以，所以， 所以，又， 所以，所以，所以， 又，所以，所以. 故选：A. 【变式3-1】（25-26高一上·江苏连云港·期末）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为.若初始位置为当秒针从（注此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，分别求出、、的值，即可得出函数解析式. 【解答过程】根据题意，设， 由题意可知，为第一象限角，且， 又因为，则，， 函数的最小正周期为， 所以， 所以点的纵坐标与时间的函数关系为. 故选：C. 【变式3-2】（25-26高三上·湖南长沙·期末）某地区2024年全年月平均温度（单位：℃）与月份之间近似满足 .已知该地区2月份的月平均温度为℃，全年月平均温度最高的月份为6月份，且平均温度为32℃，则该地区12月份的平均温度为（    ） A．℃ B．℃ C．℃ D．℃ 【答案】A 【解题思路】由题意可得，可求得，进而根据已知可得，，可求得解析式，进而可求得时的函数值，可得结论. 【解答过程】由题意可知，直线是曲线的一条对称轴， 所以，，即，.又， 即，所以. 因为全年月平均温度的最大值为32℃，所以①. 又当时，，所以，所以②. 由①②解得，， 所以，则当时，℃. 故选：A. 【变式3-3】（25-26高一下·安徽·阶段检测）受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 若该天从与的关系可近似的用函数来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时的水深约为 D．一天中水深低于的时间为4小时 【答案】C 【解题思路】由的最值，即可判断A，由周期即可判断B，由的值可得，代入计算，即可判断C，求解不等式，即可判断D. 【解答过程】由数据知，所以，A错误； ，故B错误； 由，得，故C正确； 由，得，或，故水深低于3.75的时间为8小时，故D错误. 故选：C. 【题型4 几何中的三角函数模型】 【例4】（2026·四川成都·三模）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示.则观赛场地的面积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】连接，设，可用的三角函数值表示，，即可得到四边形的面积，再根据三角函数的值域的求法即可求解． 【解答过程】如图所示： ． 连接，设，作，，垂足分别为， 由四边形是平行四边形，可知为矩形，又，则，，， 于是，． 因此四边形的面积也为四边形的面积， 即有 ，而，则当时，， 所以 . 故选：D. 【变式4-1】（25-26高三上·河北邢台·期末）如图，已知OAB是半径为2千米的扇形，，C是弧AB上的动点，过点C作，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形ODEH组成，且，若风景区的修建费为100万元/平方千米，则该风景区的修建最多需要（    ） A．260万元 B．265万元 C．255万元 D．250万元 【答案】D 【解题思路】设，，利用表示风景区的面积，求出最大值，进而可求得该风景区的修建最多需要多少费用． 【解答过程】设，，则，， 所以矩形ODEH的面积， 又， 所以风景区面积， 当时，有最大值 ，故最多需要万元的修建费． 故选：D． 【变式4-2】（25-26高一下·四川南充·期中）已知分别是轴正半轴上的两个动点，且，如图，以为边构造正方形，分别过点向轴作垂线，垂足依次为，当点由向左运动到原点的过程中，四边形周长取得最大值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合图形，利用和表达四边形周长，进而利用三角函数求解最值，再计算得到的坐标. 【解答过程】设，因为正方形的边长， 所以， 四边形周长为， 其中，当时周长最大． 此时，则， 故点的坐标为. 故选：D． 【变式4-3】（25-26高一下·湖南·开学考试）如图，在扇形中，半径是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形的周长的最大值为__________.    【答案】10 【解题思路】连接，利用直角三角形边角关系求出矩形周长表达式，再利用辅助角公式结合正弦函数的性质求出最大值即得. 【解答过程】连接，令，由，得， ，， 因此矩形的周长， 其中，显然，结合题设易知， 因此当时，，所以矩形的周长的最大值为10. 故答案为：10.    模块三 拟合法建立三角函数模型 【知识点2 拟合法建立三角函数模型】 1．用拟合法建立三角函数模型 数据拟合问题的实质是根据题目提供的数据画出简图，求相关函数的解析式进而研究实际问题.在求解与三角函数有关的函数拟合问题时，需弄清楚的具体舍义，只有掌握了这三个参数的含义，才可以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转化. 【题型5 用拟合法建立三角函数模型】 【例5】（25-26高一下·湖北黄冈·阶段检测）某市某日气温()是时间，单位：小时的函数，下面是该天不同时间的气温预报数据： （时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 () 15.7 14.0 15.7 20.0 24.2 26.0 24.2 20.0 15.7 根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成函数 的图象． (1)根据以上数据，试求函数 的表达式 (2)大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获得3倍于室内销售的利润，但对室外温度的要求是气温不能低于，根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段（用区间表示）将该种商品放在室外销售？(忽略商品搬运时间及其他非主要因素) 【答案】(1) (2)应在时间段将该种商品放在室外销售 【解题思路】（1）由，求得，又由，求得，再由时，得到，求得，即可求得函数的解析式； （2）令，得到，解得，进而得到答案. 【解答过程】（1）解：由的图象，可得，解得， 又由，解得，所以， 因为时，可得，即，解得， 即，所以， 又因为，解得，所以. （2）解：令，即，可得， 解得，解得， 又因为，所以当 时，可得， 所以一个小时营业的商家想获得最大利润，应在时间段将该种商品放在室外销售． 【变式5-1】（25-26高一上·福建福州·阶段检测）某港门的水深y(米)是时间x(，单位：小时)的函数，下面是水深数据：经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象. x(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 （1）试根据以上数据，求出的表达式； （2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5米时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出所用的时间)？ 【答案】（1）； （2）该船在至或至能安全进港,16小时. 【解题思路】（1）根据数据，，可得，，由，可求，从而可求函数的表达式； （2）由题意，水深，即，从而可求，或，进而可得答案. 【解答过程】（1）根据数据，， ，， ， ， ； 函数的表达式为； （2）由题意，水深， 即， ， ，，，1， ，或，； 所以，该船在至或至能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时． 【变式5-2】（25-26高一·全国·课后作业）某港口水深（米是时间（，单位：小时）的函数，下表是水深数据： （小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象.    (1)试根据数据表和曲线，求出 的表达式； (2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间） 【答案】(1) (2)16小时. 【解题思路】（1）根据图象的最高点和最低点可以求出，由两个最高点的之间的距离可以求出，从而可求函数的表达式； （2）在当的前提下，解不等式即可. 【解答过程】（1）根据数据，， ，，， ， 函数的表达式为； （2）由题意，水深， 即， ， ，，1， 或； 所以，该船在至或至能安全进港， 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时. 【变式5-3】（25-26高一下·江西景德镇·期中）“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y（米）与时间（单位：小时）的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据： t（小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.1 该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象． (1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式； (2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底与水面的距离）为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议． 【答案】(1)； (2)请在1：00至5：00和13：00至17：00进港是安全的. 【解题思路】（1）根据数据,画出散点图、连线，结合正弦型函数的性质进行求解即可； （2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可. 【解答过程】（1）画出散点图，连线如下图所示： 设，根据最大值13，最小值7，可列方程为：， 再由，得， ； （2）． ∵， ∴， ∴，或 解得，或， 所以请在1：00至5：00和13：00至17：00进港是安全的． 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·山东聊城·期末）某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻（单位：）时过山车（看作质点）离地面的高度（单位：）满足（，）.已知当时，过山车到达第一个最高点，当时，过山车到达第一个最低点，则过山车启动时距地面（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据周期求，最后根据求，再根据函数的解析式求出. 【解答过程】因为当时，过山车到达第一个最高点，当时，过山车到达第一个最低点， 所以，则，则， 又因为，则， 因为，所以当时，，所以， 当时，. 则过山车启动时距地面. 故选：C. 2．（2026高三上·江苏·学业考试）下表给出了某港口在某天几个时刻的水深： 时刻 水深／m 时刻 水深／m 时刻 水深／m 0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0 3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5 6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0 以下函数中最能刻画水深与时刻之间的关系的是（   ） A．幂函数 B．指数函数 C．三角函数 D．对数函数 【答案】C 【解题思路】根据因变量的数据的规律判断即可. 【解答过程】根据表格的数据可以看出，因变量水深从0：00到3：00上升，从3：00到6：00下降， 从6：00到9：00下降，从9：00到12：00上升，从12：00到15：00上升，从15：00到18：00下降， 可以看出，符合三角函数的单调性规律，而幂函数、指数函数和对数函数没有这样的规律. 故选：C. 3．（25-26高二上·吉林白城·阶段检测）动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知当地时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意确定周期得到，再通过坐标，得到，即可求解. 【解答过程】由已知可得该函数的周期，， 又当时，， 设，令，得 由，得，在一个周期内可得，， 又需满足，故， . 故选：D. 4．（25-26高一下·江西·阶段检测）由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（   ） A．12h B．14h C．16h D．18h 【答案】C 【解题思路】根据最值求得求得函数解析式，根据正弦函数性质解不等式即可得解. 【解答过程】由题知解得所以． 令，即．因为，所以， 由正弦函数图象与性质可知，，解得， 所以该港口一天内水位不小于8m的时长为小时． 故选：C. 5．（25-26高一上·甘肃武威·期末）如图，已知摩天轮的半径为60米，其中心距地面的距离为70米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每36分钟转一圈，摩天轮上点的起始位置在最高点处.则摩天轮转动12分钟后点距离地面（     ）    A．40米 B．110米 C．米 D．米 【答案】A 【解题思路】设函数的表达式，即可根据周期以及最值点求解参数值，进而得函数表达式，代入即可求解. 【解答过程】设转动过程中，点离地面距离的函数为， 由题意得：，，，， 又，即，故，， 所以， 所以， 即摩天轮转动12分钟后点距离地面40米. 故选:A. 6．（25-26高一上·湖北孝感·期末）阻尼振动是指振动系统在振动过程中，由于受到摩擦、空气阻力等耗散力作用，其振幅随时间呈指数规律衰减的振动，假设一个弹簧振子在空气中进行阻尼振动，其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系表示为：，其中是初始振幅，e是自然常数，k是阻尼系数，是角频率，该阻尼振动的角频率为，当时，振子的位移；当时，振子的位移.据此计算，当时，该振子的位移（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】依题意可得，再代入数据得到，从而求出，，即可得到关系式，最后代入计算可得. 【解答过程】依题意可得，所以， 又，即， 所以，即，则，， 所以， 则， 即当时，该振子的位移 . 故选：D. 7．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期末）佳木斯水源山公园是国家AAA级旅游区，公园内的动物园动物种类丰富，此外，公园内还有水上乐园、过山车、摩天轮等游乐设施.其中摩天轮又名“冬极之眼”，是佳木斯的地标性建筑，其最高点离地面高度89m，最低点离地面高度9m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24min，假如你坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后距离地面高度为h m，下列说法正确的是（   ） A．摩天轮的轮盘直径为40m B．h关于t的函数解析式为 C．h关于t的函数解析式为 D．在你乘坐一周的过程中，有16min时间距地面高度超过29m 【答案】D 【解题思路】根据题意，求得函数，再令，得到，利用余弦函数的性质，求得不等式的解集，结合选项，逐项判定，即可求解. 【解答过程】设距离地面高度为，其中, 因为最高点离地面高度，最低点离地面高度， 所以，，即摩天轮的直径为，所以A错误； 又因为转一周的时间约为，所以，可得， 所以， 又由当时，，可得，即， 因为，所以，所以，所以B、C错误； 由， 令，即，即， 可得，解得， 因为，令，可得， 所以乘坐一周的过程中，有时间距地面高度超过，所以D正确. 故选：D. 8．（25-26高一下·山东枣庄·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 【答案】D 【解题思路】由题意，利用角度除以角速度等于时间，再结合特殊角三角函数值逐项判断可得. 【解答过程】由题意，角速度弧度/秒， 又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A正确； 当水轮转动25秒时，半径转动了弧度，而，点P正好处于最低点，故B正确； 当水轮转动28.75秒时，由于，又，所以距水面高度为米，故C正确； 逆时针转动一周时，两次到达离水面高度为用时30秒， 所以第三次到达距水面高度为时需要转动一周后再逆时针转动弧度，此时用时为秒， 所以点P第三次到达距水面米时用时37.5秒，故D错误． 故选：D． 二、多选题 9．（25-26高一上·福建莆田·期末）如图，以某摩天轮某座舱距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮（匀速转动）的转动时间（单位：分钟）与座舱距离地面的高度（单位：米）的函数关系式为（，），且开始转动分钟后，座舱距离地面的高度为32米，转动分钟后，座舱距离地面的高度为米，该摩天轮转动一圈的时间为分钟，则（） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】根据周期结合周期公式可得，可判断A；将代入，结合题意可得，可判断B；将代入可得，可判断C；将代入可得，可判断D. 【解答过程】已知周期分钟，故，故A正确； 由题意知，初始位置时高度最小，代入，（）， 得，故B正确； 即；代入得， 解得，故D错误； 当时，，故C正确. 故选：ABC. 10．（25-26高二上·贵州六盘水·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，以为横坐标，为纵坐标，下列选项中正确的是（    ）    A．小球在开始振动（）时的位置离平衡位置的距离为 B．当时小球达到最高点 C．小球往复运动一次经过的时间为秒 D．当时，小球向下运动 【答案】ACD 【解题思路】分析函数的性质，可判断各选项的正确性. 【解答过程】对A：因为，所以小球在开始振动（）时的位置离平衡位置的距离为，故A正确； 对B：因为，所以当时小球位于平衡位置，故B错误； 对C：因为，所以小球往复运动一次经过的时间为秒，故C正确； 对D：因为，所以，因为正弦函数在上单调递减，所以当时，小球向下运动，故D正确. 故选：ACD. 11．（25-26高一上·福建厦门·期末）某港口某天的水深（单位：m）与时间（单位：h，）近似满足函数．该港口这一天水位最高时和最低时的时间间隔最少为，且中午点的水深为．为保证安全，当水深不少于时，港口才允许船只出入，则下列说法正确的是（    ） A． B．水位最高时的水深为 C．该港口这一天上午8点时允许船只出入 D．这一天内港口允许船只出入的时长为 【答案】ABD 【解题思路】根据周期求出，即可判断A，再由中午点的水深为求出，即可判断B，令求出的范围，即可判断C、D. 【解答过程】对于A，依题意，所以，故A正确； 对于B，当时，，解得， 所以，则， 所以水位最高时的水深为，故B正确； 对于C、D，因为 ， 令，即，所以， 因为，所以， 所以或 解得或， 所以该港口这一天上午点时不允许船只出入，一天内开放出入时长为，故C错误，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（25-26高一上·福建莆田·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间，点的高度随时间（单位秒）变化时满足函数模型，则__________. 【答案】 【解题思路】由函数模型，通过圆的半径为，圆心距离水面，可以计算出与的值，通过每分钟转动5圈，计算出周期即可求得的值，最后通过点位置求解的值.进而求得函数解析式. 【解答过程】由题意知，函数模型中，由于圆的半径为，圆心距离水面，可得：，， 又，所以， 又，得：，显然，所以， 综上可得：. 故答案为：. 13．（25-26高一下·四川德阳·期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为__________s． 【答案】 【解题思路】利用已知条件可求得周期，再借助正弦曲线即可求解. 【解答过程】该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，， ，，，，， 由可得， ，， ， 在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为 . 故答案为：. 14．（25-26高一上·陕西榆林·期末）已知某地区某天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系，且这天的最大温差为，则__________；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为__________h． 【答案】4；6 【解题思路】根据题意结合正弦函数的图象和性质求解即可. 【解答过程】对于，其最小正周期， 故这天的最大温差即为的最大值与最小值的差， 又，故，解得， 令，即，， 由，得， 所以或，解得， 则一天中需要降温的时长为， 故答案为：4；6. 四、解答题 15．（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）如图，某港口一天从4时到20时的水深变化曲线近似满足函数． (1)依据图中的信息确定函数的解析式； (2)甲船需在水深不低于5m时才能进出港口，求一天4时到20时期间允许该船进出港口的时长． 【答案】(1)； (2)6h． 【解题思路】（1）利用图象得到函数的值域、最小正周期以及特殊值点，根据正弦型函数的性质计算求出，即可得到函数解析式； （2）根据题意，利用已知函数解析式构造不等式，求解即可. 【解答过程】（1）由图象可知，函数值域为，则，解得， 由图象可知，函数的最小正周期，所以， 所以， 又因为函数图象过点，所以，即， 则，即， 因为，所以. 综上，函数的解析式为. （2）由题意，时，由可得， 则，解得. 因为，所以. 所以，允许该船进出港口的时长为. 16．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min. (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； (2)求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设游客甲乘坐的座舱距离地面最近的位置为点，以摩天轮的轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系，依据题意建立三角函数模型，求出即可； （2）计算，根据特殊角的三角函数值求解即可. 【解答过程】（1）设游客甲乘坐的座舱距离地面最近的位置为点， 以摩天轮的轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系， 当时，，此时，取以为终边的角为， 因为该摩天轮转一周约需要30min，该摩天轮的角速度， 所以. （2）， 所以游客甲在开始转动5min后距离地面的高度为. 17．（2026高一下·吉林长春·专题练习）已知甲、乙两车间的污水瞬时排放量（单位：）关于时间单位：h）的关系均近似地满足函数．其图象如图所示：    (1)根据图象求函数解析式； (2)若甲车间先投产，1h后乙车间再投产，求两车间都投产时的最大污水排放量． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用图象可得，再将点代入即可求； （2）构造时刻的污水排放量，利用两角和差的余弦公式以及辅助角公式化简即可； 【解答过程】（1）由图可得． 最小正周期， 将代入，得 又， 所求函数的解析式为． （2）设乙车间投产甲、乙两车间污水排放量之和为， 此时甲车间污水排放量为，乙车间污水排放量为， 故 ， ． 故两车间都投产时的最大污水排放量为． 18．（25-26高一上·湖南长沙·期末）近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设.    (1)若，求的长； (2)若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 【答案】(1) (2)当时，取得最大值，最大值为平方米. 【解题思路】（1）先在中，利用正弦函数的定义求出，再在中，利用可得； （2）先利用三角恒等变换化简，再由正弦函数的单调性计算可得. 【解答过程】（1）因为，在中，（米）， 故（米）， 在中，则（米）. （2）因为四边形是矩形，可得， 所以在中，，， 在中，，则， 于是， 则矩形的面积 ， 所以， 由，得， 则当时，即时，， 所以当时，取得最大值，最大值为平方米. 19．（25-26高一下·北京·期中）如图所示为灌溉工具——筒车的示意图，已知筒车的半径为4米．转轴与水面的距离为2米，水深为3米．筒车其边缘上一点从图示位置开始随筒车逆时针匀速旋转（同时开始计时），设匀速旋转一周的时间为秒，从计时起旋转时间为秒；点与水底的距离为米．    (1)当时： ①直接写出关于的函数表达式； ②求前120秒内，点与水底的距离为7米时的值； (2)若当时，点一直处于水中（含水面上），求的取值范围． 【答案】(1)①，；②或. (2). 【解题思路】（1）①由题意可得，；②根据题意，得，解方程即可. （2）由题意得，当时，恒成立，解不等式即可求解. 【解答过程】（1）①由题意得， ②由题意，， 即，化简得， 则或， 解得或 又由于，所以或. （2）由（1）得，， 由题意得，当时，恒成立， 即，化简得， 故，解得， 所以，即，解得 由于，则，因此. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $