第29讲 三角函数-章末复习-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019）

第29讲 三角函数 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1任意角和弧度制 1.角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝rad；1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 叫做α的正弦，记作sinα 叫做α的余弦，记作cosα 叫做α的正切，记作tanα 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 口诀 Ⅰ全（Q），Ⅱ正弦（s），Ⅲ正切（t），Ⅳ余弦(c) 知识点2 同角三角函数的基本关系与诱导公式 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tanα. 2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sinα －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cosα －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tanα tanα －tanα －tanα 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 3.常用结论 （1）同角三角函数关系式的常用变形 (sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα. （2）诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化. （3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. 知识点3三角函数的图象与性质 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0). (2)余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1). 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x x≠kπ＋} 值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 注意： 1. 、的最小正周期都是2； 和的最小正周期都是。 1. 正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴的交点)。 1. 上单调递增，在单调递减；在上单调递减，在上单调递增。特别提醒，别忘了！ 知识点4 三角恒等变换 1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ. cos(α∓β)＝cosαcosβ±sinαsinβ. tan(α±β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2α＝2sinαcosα. cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. tan2α＝. 3．有关公式的逆用、变形等 (1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)． (2)cos2α＝，sin2α＝. (3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2， 函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝. 例： 知识点5 函数 1. 函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定。 1. 函数图象的画法： ①“五点法”――设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。 1. 函数的图象与图象间的关系： 函数图像整体的平移，只进行x和y值的加减。（左加右减，上加下减） 函数的图象纵坐标不变，横坐标向左(>0)或向右(<0)平移个单位得的图象；②函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象；③函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数的图象④函数图象的横坐标不变，纵坐标向上()或向下()，得的图象。 要特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位。 知识点6 三角函数的应用 1. 几个物理量：A―振幅；―频率(周期的倒数)；―相位；―初相； 教材习题01 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上各点（　　）． A．横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 解题方法 先将函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍， 横坐标不变，得到函数的图象， 再将函数的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的， 横坐标不变，得到函数的图象， 即将函数的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的， 横坐标不变，得到函数的图象， 故选：D. 【答案】D 教材习题02 已知锐角中，， (1)求证：； (2)设，求AB边上的高. 解题方法 （1）由，得， 即，两式相除得， 所以. （2）在锐角中，，，则，， 即有，将代入上式并整理得， 而，解得，， 设边上的高为，则， 由，得，所以边上的高等于 【答案】(1)证明见解析； (2) 教材习题03 函数一个周期的图象如图所示，试确定A，ω，φ的值．    解题方法 由图象可知， 函数的周期，则，解得， 即，由五点对应法得，，， 则，由，所以. 【答案】，，. 考点一 任意角和弧度制 1．下列与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据终边相同的角的集合即可求解. 【详解】与角终边相同的角的集合为, 取，，其他均不符合， 故选：B 2．已知某扇形的圆心角为，半径为5，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形的弧长公式即可求解. 【详解】该扇形的弧长为． 故选：. 3．第二象限角用集合表示为 . 【答案】 【分析】利用终边相同角的集合来表示即可. 【详解】由第二角限角的集合为， 故答案为： 4．在与角终边相同的角中，最大的负角是 ，最小的正角是 ． 【答案】 【详解】与终边相同的角的一般形式为，由，得，解得，故所求的最大负角为；由，得，解得，故所求的最小正角为． 5．如图所示，君洪楼门前广场上有一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植绿植和花卉，需要用栅栏围起来进行绿化养护．知米，米，扇形环面区域面积为平方米，圆心角为弧度. (1)求关于的函数解析式； (2)记花卉周围栅栏（由弧、，弧线段、组成）的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值． 【答案】(1)， (2)当时，棚栏长度的最小值为米 【分析】（1）根据扇形的面积公式列方程得出关于的函数解析式； （2）根据弧长公式求出关于的函数表达式，根据基本不等式可得的最小值. 【详解】（1）利用扇形的面积公式可得，所以， 由可得， 所以，，. （2）依题意可得弧长，弧长， 所以栅栏的长度， 将代入上式，整理可得， 当且仅当时取等号，所以栅栏长度的最小值为米． 考点二 三角函数的概念 1．已知，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】由正切与正弦，余弦函数关系可得答案. 【详解】因，则. 故选：A 2．若角的终边经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的定义进行求解 【详解】因为角的终边经过点，所以. 故选：D. 3．在平面直角坐标系xOy中，角与角的顶点与原点重合，它们的始边与x轴正半轴重合，终边关于y轴对称．若将终边按逆时针方向旋转恰与终边重合，则的一个取值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据终边相等知识可得，再结合与关于轴对称，从而可求解. 【详解】由题意与关于轴对称，则， 又将终边按逆时针方向旋转恰与终边重合，则， 求解得，不妨取时，. 故答案为：（答案不唯一）. 4．若，，则 . 【答案】 【分析】已知等式平方后得，同时判断出，，可再利用平方关系求得，代入即得结论． 【详解】由题意，，① 所以，即， 则． 因为，且，所以，， 所以，② 由①②变形得， 所以． 故答案为：. 5．如图，单位圆与轴正半轴的交点为点，点在圆上，且点在第一象限，点在第二象限. (1)当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积； (2)设，当，点的纵坐标为时，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆心角，应用扇形面积公式计算求解即可； （2）先由已知得进而得出，，最后应用诱导公式计算求解即可. 【详解】（1）设圆心角为，弧长为l，弓形的面积为S． 因为，圆O的半径为，所以， 所以，， 所以． （2）设，由题知， 于是，， ． 即． 考点三 诱导公式 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用诱导公式及平方关系求值即可. 【详解】由，，则， 所以. 故选：D 2．已知角的终边上有一点，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】根据角的象限确定三角函数值正负即可判断点的象限. 【详解】因为， 所以是第四象限角. 故选：D. 3．化简 【答案】 【分析】由诱导公式化简即可. 【详解】原式. 故答案为：. 4．已知，则 ． 【答案】 【分析】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】因为， 所以 . 故答案为：. 5．如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点、，已知点的坐标为．    (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)5. 【分析】（1）利用正切函数定义求出，再利用齐次式法计算得解. （2）利用诱导公式及正余弦函数定义求解. 【详解】（1）依题意，，所以. （2）由，得， 则，， 所以. 考点四 三角函数的图像与性质 1．已知是定义在上的奇函数，，且，则（ ） A．1 B．0 C．-2025 D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的概念和性质可得是周期为的函数，将化为即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以， 又，所以， 所以，即， 所以是周期为的函数，故. 故选：D 2．若函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性；再根据函数的性质将不等式转化为关于的二次不等式，求解即可. 【详解】要使函数有意义， 须满足，解得， 即函数的定义域为，关于原点对称， 又因为， 所以是奇函数. 又因为， 函数，，在上均为减函数， 所以在定义域上是减函数. 则不等式可化为 即， 所以，解得. 故选：D. 3．已知函数满足，且，则函数的最大值为 ；方程的实数解的个数为 ． 【答案】 2 【分析】首先可得的周期为，方程的解，即为与的交点横坐标，画出与的图象，数形结合即可判断. 【详解】由函数满足，则，所以的周期为， 由，则， 可得的图象如图，则函数的最大值为2， 方程的解，即为与的交点横坐标， 计算可得：，所以在有一个交点， ，， 且当时，无交点. 由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为. 故答案为：； 4．函数在内恰有两个对称中心，，则 . 【答案】2或 【分析】根据题意，令，分和讨论，求得的范围，利用余弦函数的对称中心列出不等式求解即可. 【详解】令， 若，由，则， 因为函数在内恰有两个对称中心， 所以， 又， 所以， 所以. 若，则， 由函数在内恰有两个对称中心， 所以，又， . 综上，或. 故答案为：或. 5．已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的图象的对称中心的坐标和对称轴方程； (3)当时，方程有两个不相等的实数根，且，求的值． 【答案】(1) (2)对称中心为，对称轴方程为 (3) 【分析】（1）根据最大值可求解振幅，根据周期可求解，代入最高点坐标可求， （2）利用整体法，结合正弦函数的性质即可求解， （3）根据正弦函数的对称性可得，，即可根据诱导公式，结合同角关系即可求解. 【详解】（1）根据图可知，周期满足，故，故， 此时， 代入可得，故， 即，由于，故， 故 （2）令，解得， 故对称中心为， 令,解得， 故对称轴方程为 （3）由于，所以， 令， 则令，则在上有两个不相等的实数根， 满足，且，， 因此， ， 故， 考点五 三角恒等变换 1．若不在坐标轴上的点关于直线的对称点为，则（   ） A．0或2 B．2 C．0或 D． 【答案】D 【分析】结合题意利用二倍角公式及两角和的正弦公式列方程求得，然后利用两角和的正切公式求解即可. 【详解】由题意得， 得， 解得， 当时，，在轴上，舍去. 所以，故. 故选：D 2．函数的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】由题可将化为，其中，然后可得答案. 【详解】 ，其中， 则当时，取最大值. 故选：C 3．已知，，则 . 【答案】0 【分析】根据两角和的正切公式求，再利用正切表示所求式子，即可求解. 【详解】， 则. 故答案为：0 4．已知，则 . 【答案】0 【分析】利用二倍角的正切公式和两角和的正切公式来运算，即可求解. 【详解】由解得：， 又由二倍角正切公式得：， 由两角和正切公式得：， 所以， 故答案为：0 5．（1）已知，求的值. （2）已知，求. 【答案】（1）；（2）5 【分析】（1）方法一：利用诱导公式和化简原式得，然后分子分母同除后代入计算即可； 方法二：利用诱导公式和化简原式得，然后分子分母同除后代入计算即可； （2）将变为，然后利用两角和差的余弦公式得，化弦为切即可求解. 【详解】（1）方法一：由，，得 原式； 方法二：原式； （2）因为 ， 所以， 所以. 考点六 函数y=Asin(ωx+φ) 1．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数图象的变换，可得答案. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，可得函数的图象； 再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，可得的图象. 故选：B. 2．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】D 【分析】利用三角函数的伸缩平移变换规律即得. 【详解】因，则可把函数的图象向左平移个单位，即得函数的图象， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，即得函数的图象. 故选：D. 3．已知函数在上恰有2个零点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，，讨论在上的零点个数，确定的取值范围，分析在上的零点个数，最终确定在上的零点个数. 【详解】设，，则. 二次函数图象开口向上，对称轴为直线，，. 因为，所以. ①当在上没有零点时，，故， 此时，， 所以在区间和内各有一个零点，故在上恰有2个零点. ②当在上有1个零点时，，故， 此时，， 所以在区间和内各有一个零点，故在上有3个零点，不合题意. ③当在上有2个零点时，，故， 此时，， 所以在区间和内各有一个零点，故在上有4个零点，不合题意. 综上得，. 故答案为：. 4．函数的部分图象如图所示．若，且，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】由题意先求出函数的解析式，由，可得的取值，再根据，确定的值，从而得出答案. 【详解】由题意可知，，所以， 则，所以函数解析式为，又因为函数在处取得最大值， 即，， ，当时，满足条件， ； 故函数解析式为. 当时，，或， 即或， 若，且， 所以，，故. 故答案为：. 5．已知函数（其中），将的图象向右平移个单位长度后得到的函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)当时，求函数的单调增区间； (3)记方程在上有五个实根，，，，，其中，求的取值范围及的值. 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，然后写出平移后函数的解析式，最后根据函数为偶函数则求解，即可求得的解析式； （2）根据正弦函数的单调性列不等式求解的单调增区间，再与区间取交集即可； （3）令，作出在上的图象，数形结合可求出m的范围，根据对称性求出、、、，求和即可. 【详解】（1）， 由的图象向右平移个单位长度，得， 此函数是偶函数，则， 因为，所以当时，，. （2）法一 由，得 因为，所以当时， 所以的单调增区间为 法二 由，得 由，得 所以的单调增区间为 （3）由，可得 令，作出函数在上的图象，如图所示， 由方程在上有五个实数根，可得函数与直线在上有五个交点. 当时，；当时，， 则由图象可得当时，函数与直线在上有五个交点，设为，不妨设， ，，，， 所以，， ，， 解得，，，， 故，. 考点七 三角函数的应用 1．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为2π，初相为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（    ）． A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】根据振幅可求出，根据周期可求出，根据初相可求出，化简后可得答案. 【详解】由噪声的声波曲线 （其中，，）的振幅为1， 周期为2π，初相为，可得，，， 所以噪声的声波曲线的解析式为， 所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为． 故选：D． 2．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 【答案】B 【分析】根据周期求出，代入得到，从而得到函数解析式，即可判断A，代入求值判断B，根据正弦函数的性质判断C，利用特殊值判断D. 【详解】由题可知小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，即，，所以， 则，故A错误； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为，故B正确； 若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C错误； 因为，令，， 则，， 满足且时刻小球偏离于平衡位置的距离相同， 此时，故D错误. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是准确求出函数解析式，D选项容易理解为函数值相同，实际只需函数值的绝对值相同即可. 3．近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为，圆上两点A，B始终满足，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化.现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即秒时，点A位于圆心正下方：则 秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为 . 【答案】 【分析】以O为原点，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用三角函数定义表示点的坐标，由已知结合和角的正弦公式化简即得. 【详解】以O为原点，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，由于角速， 设点，圆上两点A、B始终保持， 则，要使A、B两点的竖直距离为0， 则，第一次为0时，，解得， . 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：涉及三角函数实际应用问题，探求动点坐标，找出该点所在射线为终边对应的角是关键，特别注意，始边是x轴非负半轴. 4．函数的初始相位为 . 【答案】 【分析】根据给定函数,结合三角函数的初始相位定义可得. 【详解】函数的初始相位为. 故答案为：. 5．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)若，求的最值及取最值时的值； (3)若函数在内有且只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)最小值为0，此时；最大值为3，此时 (3) 【分析】（1）由三角恒等变换化简后，由正弦型函数的周期公式求解； （2）根据自变量取值范围，整体换元后利用正弦函数的图象与性质求最值； （3）由题意得，令，则在区间的图象与直线只有一个交点时，根据正弦函数图象与性质确定范围. 【详解】（1）因为 ， 所以函数的最小正周期 （2）由（1）知， 因为，所以， 令，则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时，即时，. 当时，即时， 综上：当，的最小值为0，此时；最大值为3，此时． （3）因为函数在内有且只有一个零点， 所以在只有一个实根. 即 即函数在的图象与直线只有一个交点， 当时，， 令，则在区间的图象与直线只有一个交点时， 即，解得. 知识导图记忆 知识目标复核 1．任意角的三角函数 2．诱导公式 3．三角函数的图象与性质 4. 和差、倍角、辅助角公式及变形 5. 三角型函数的图象的变换 6. ω的取值范围 一、单选题 1．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式 【分析】根据二倍角公式和诱导公式，进行三角恒等变换，求出结果. 【详解】可知， 代入，得. 故选：D. 2．已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C．的最大值为2 D．在内有5个零点 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求sinx型三角函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值、求函数零点或方程根的个数 【分析】先将的解析式进行化简，再利用函数奇偶性的定义判断A选项；利用整体代入法求出的单调递增区间判断B选项；根据解析式求出最大值判断C选项；利用的范围求出的范围，再观察余弦函数的图象即可判断D选项. 【详解】， 对于A选项，的定义域为，， 所以为偶函数，故A错误； 对于B选项，令，则， 当时，，所以在上单调递增，故B正确； 对于C选项，的最大值为，故C错误； 对于D选项，当时，，此时余弦函数的图象与轴有个交点， 即在内有个零点，故D错误. 故选：B. 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、正、余弦齐次式的计算 【分析】先根据条件求出，再利用两角和差的正切公式求值即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B 4．已知，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】二倍角的正切公式 【分析】，再利用两角差的正切公式，即可得到结论． 【详解】，， 故选：D． 5．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式 【分析】利用变角为，然后利用诱导公式和二倍角公式即可求解. 【详解】由， 因为，所以， 故选：B. 6．若函数有且仅有一个零点，则实数m的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】先判断函数为上的偶函数，由题意推得，求得或3，分别代入原解析式，作图验证即得. 【详解】函数的定义域为， 由可得函数为偶函数， 函数图象关于轴对称. 若不是函数的零点，则该函数的零点必成对出现，不合题意， 故，即，解得或 3. ① 当时，由，可得， 作出函数与函数的图象如图1所示： 此时，函数与函数的图象有3个交点，不合题意； ② 当时，由，可得， 作出函数与函数的图象如图2所示： 此时，函数与函数的图象有1个交点，符合题意. 综上所述，。 故选：C. 7．若，是方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】由韦达定理得到两根之和，两根之积，凑角，利用正切和角公式化简求解即可. 【详解】因为，是方程的两个根， 所以，， 所以，所以． 故选：C 8．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正、余弦齐次式的计算、给值求值型问题 【分析】根据题意结合诱导公式以及两角和差公式可得，再根据齐次式问题分析求解. 【详解】由题意得，解得， 所以. 故选：A. 9．若关于的方程有唯一解，则求得上述关于的方程的非零实数解为（ ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数零点的个数求参数范围、函数奇偶性的应用、求余弦（型）函数的奇偶性 【分析】设，得到为偶函数，又有唯一零点，由对称性可知的零点为0，根据得到方程，求出答案. 【详解】设，显然， 又 ， 故为偶函数， 又有唯一零点， 由对称性可知的零点为0， 故，即，即， 解得或2， 所以上述关于的方程的非零实数解为2. 故选：C 二、多选题 10．函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数是奇函数 C．函数的图象的对称轴方程为 D．函数在区间上单调递增 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】由图可得的最小正周期可判断A；由图象平移的性质可得B错误；由正弦函数的对称轴方程可得C错误；整体代入结合正弦函数的单调性可得D正确. 【详解】对于A，由图可得的最小正周期为， 且，则，则， 将代入得，即， 且，则， 可得，解得  故A正确； 对于B，由A可知， 所以，是偶函数，故B错误； 对于C，令，，解得，， 所以的对称轴方程为，，故C错误； 对于D，因，则，因在上单调递增， 则函数在区间上单调递增，，故D正确. 故选：AD. 11．已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，则曲线的一个对称中心为 D．的图象与直线和线段围成的图形面积为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、cosx（型）函数对称性的其他应用、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据，结合给定的的范围得可判断A；利用结合得，由即可判断B；由得函数的解析式，由图象平移得曲线：，通过代入验证可判断C；通过画出的图象，并应用余弦函数的对称性，数形结合求出图形围成的面积即可判断D. 【详解】对于A选项，观察图象，得，即，而，解得，故A正确； 对于B选项，由，且在函数的递增区间内，得，解得，解得，因此，故B正确； 对于C选项，将向左平移个单位后，得曲线C：，故C错误； 对于D选项，画出的图象与直线，线段，如图实线围成区域即为所求， 由于，且的最小正周期为， 结合对称性知，所求区域面积即为矩形ABCD的面积：，故D正确. 故选：ABD. 12．已知函数，，则（   ） A．与的值域相同 B．与的最小正周期相同 C．与的图象都关于直线对称 D．与在上都单调递减 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】求sinx的函数的单调性、求余弦（型）函数的最小正周期、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据正余弦函数的值域，周期公式判断AB选项，利用代入检验法判断C选项，由可得，结合正弦函数的单调性判断 【详解】与的值域均为，A正确. 的最小正周期为，的最小正周期为，B错误. 当时，，，， 所以与的图象都关于直线对称，C正确. 当时，， 根据正弦函数的单调性可知，在上先减后增，D错误. 故选：AC 13．已知函数，方程在区间上有且仅有4个解，则（   ） A．的取值范围是 B．的最小正周期可能是 C．在区间上有且仅有3个不同的零点 D．在区间上单调递增 【答案】AB 【难度】0.4 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、三角函数图象的综合应用、辅助角公式、求函数零点或方程根的个数 【分析】化简函数解析式后由题意根据正弦型函数的最值建立不等式，根据不等式有4个整数解求范围判断A，由范围可得周期范围，据此判断B，由自变量范围得出范围，结合正弦函数性质判断零点个数判断C，由得出的范围，利用正弦函数的单调性判断D. 【详解】由函数，令，， 则，，方程在区间上有且仅有4个解， 即有4个整数符合，由，得， 即，则，即，∴，故A正确； 对于B，最小正周期，由，则，， 又，∴的最小正周期可能是，故B正确； 对于C，∵，∴， ∵，∴， 当时，在区间上有且仅有3个不同的零点； 当时，在区间上有且仅有4个不同的零点，故C错误； 对于D，∵，∴，又， ∴ ，又，∴在区间上不一定单调递增，故D错误． 故选：AB． 三、填空题 14．已知的定义域为R，且，当时，，则 ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】函数的周期性的定义与求解、由函数的周期性求函数值 【分析】分析可知的一个周期为6，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为，则， 可知的一个周期为6， 又因为当时，， 所以. 故答案为：1. 15．已知锐角满足，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】诱导公式五、六、给值求值型问题 【分析】由结合诱导公式即可计算求解. 【详解】因为锐角满足， 所以. 故答案为： 16．已知实数、满足，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】设，，可得出，令，结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】由可得，设，， 所以， 令，则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 17．已知，， ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由题意得，，联立求得，，再结合两角和的正弦公式即可得解. 【详解】由，可得， 由可得：，即， 联立可得：，，所以． 故答案为：. 18．在三角恒等变化中，积化和差实际上就是把与，与相加或相减而变形得到的；和差化积实际上就是一种角的变化，如：. 如果角与满足，，则 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】万能公式、和差化积公式 【分析】根据已知及和差化积公式得、，进而有，再由，即可求值. 【详解】由， 所以， 由， 所以， 所以，而. 故答案为： 19．若函数（）的零点为，函数（）的零点为，则下列结论正确的是 . ①；②；③；④ 【答案】②③ 【难度】0.4 【知识点】余弦函数图象的应用、指数函数图像应用、比较正弦值的大小、比较余弦值的大小 【分析】将函数和的零点问题转化成函数图象交点问题，再数形结合研究分析即可. 【详解】分别令，，得，， 所以函数的零点等价于与图象交点的横坐标， 函数的零点等价于与图象交点的横坐标， 作出函数、和在上的图象，如图所示： 因当时，，，且， 又单调递减， 所以，， 所以， 又，，故①错误，②③正确， 又， 所以，即，故④错误. 故答案为：②③. 20．函数图象的一条对称轴为直线，且在上有且仅有三个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、二倍角的余弦公式、利用正弦函数的对称性求参数、辅助角公式 【分析】由三角恒等变换化简函数表达式，由函数对称轴可求得参数的值，从而可得，由在上有且仅有三个零点即可列关于的不等式组求解. 【详解】. 函数图象的一条对称轴为直线， 解得． 当时，， 在上有且仅有三个零点，， 解得，即实数的取值范围是． 故答案为：. 21．已知函数，记在上的最大值为，最小值为，若，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、利用余弦函数的单调性求参数 【分析】由题意得，，，利用单调性得，即，利用，即可求解. 【详解】由，所以，函数在上单调递减， 又因为，所以，函数在上单调递增， 所以， 所以，又因为，所以， 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题 22．已知函数，，． (1)求的解析式； (2)设函数，求的对称轴和单调区间． 【答案】(1) (2)对称轴，，增区间为，，减区间为：，. 【难度】0.85 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、给值求角型问题 【分析】（1）代值计算，结合角的范围即可求得函数解析式； （2）利用三角恒等变换化简函数解析式为，根据正弦函数的图象对称轴与单调区间即可求得该函数的对称轴与单调区间. 【详解】（1）由，可得 ，. （2） 求对称轴：，，即， 求单调增区间：，， 解得， 求单调减区间：，， 解得， 综上可得：函数的对称轴为：，， 增区间为，；减区间为：，. 23．已知，且. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数关系得到，，利用余弦和角公式得到答案； （2）先求出，利用正切和角公式得到方程，求出. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以， 所以. （2）由（1）可知， 因为，所以， 即，解得. 24．已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，且，． (1)求角的范围； (2)将角的终边绕原点顺时针方向旋转，这时终边所对应的角记为，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限、用和、差角的正弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦、二倍角的正弦公式 【分析】（1）根据二倍角正弦公式结合对数定义域列式，最后结合函数值正负角的范围计算求解； （2）应用同角三角关系计算，再应用两角和正弦公式计算求解. 【详解】（1）由题意得，即 ∴角终边在第四象限． ∴角的取值集合为：． （2）由（1）知，角为第四象限角，故角为第三或第四象限角，． 又∵， ∴角为第三象限角， ∴ ∴． 25．已知角α的终边经过点． (1)求，，的值； (2)求的值； (3)已知α、β是锐角，且满足，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正弦公式化简、求值、由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）应用三角函数的定义计算求解； （2）应用诱导公式结合弦化切计算求值； （3）应用两角和正弦公式结合同角三角函数关系计算求值. 【详解】（1）由三角函数的定义：，， （2）原式 （3）因为α，，所以 因为，所以， 所以 所以 26．已知函数． (1)求函数的最小正周期和对称轴； (2)已知函数，求函数的单调递增区间． 【答案】(1)最小正周期为，对称轴； (2)的单调递增区间为 【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】（1）利用正弦型函数周期公式和对称轴方程的求法求解即可； （2）先求出，再利用正弦型函数单调性的求法求解即可． 【详解】（1）由已知，的最小正周期， 令，得， 所以的对称轴为． （2）由题意，， 令，解得， 所以的单调递增区间为． 27．已知函数. (1)求的单调增区间； (2)若关于的方程在区间内有两个不同的解，. （i）求实数的取值范围； （ii）求（用表示）. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、求sinx型三角函数的单调性、正弦函数图象的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简函数，然后利用正弦函数的单调性求解单调递增区间. （2）（i）由题意结合辅助角公式得，其中，，利用正弦函数的值域求得，解不等式即可. （ii）当时，利用正弦函数的对称性得，进而，利用二倍角的余弦公式即可求解；当时，利用正弦函数的对称性得，进而，利用二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】（1）， 由得， 所以增区间为； （2）（i）由得， 即，其中，. 所以要保证在区间内有两个不同的解，则，解得. 故实数的取值范围为. （ii）当时，，即； 此时， 而，所以， 当时，，即； 此时， 而，所以； 综上，. 28．设n次多项式，若其满足，则称多项式为n次切比雪夫多项式． (1)若切比雪夫多项式，求（1）的值； (2)求的值； (3)方程在上有三个不同的根，记为，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】诱导公式五、六、余弦函数图象的应用、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】（1）根据两角和余弦公式和二倍角余弦公式利用表示，由此可得，进一步得； （2）由诱导公式可得，根据（1）和二倍角正弦公式和平方关系可求； （3）方法一：由已知，设，由（1）可求，再根据两角和差余弦公式证明；方法二：由已知，根据整式性质可得. 【详解】（1）， 所以， 所以，所以，所以； （2）因为，所以， 又，所以，所以， 即，因为，解得（舍去）； （3）法一：设代入方程得到， 因为，所以， 所以， 解得， 由知，，则， 则， 而， 综上可得. 法二：， 即， 依据多项式系数对应相等得到， 综上. 29．已知函数的图象关于直线对称．其相邻两个对称轴之间距离为． (1)求的对称中心， (2)若函数在上恰有8个零点，求的最小值； (3)设函数，证明：有且只有一个零点，且． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】零点存在性定理的应用、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）利用周期性和对称轴求和，即可求函数的解析式； （2）的最小值应为首尾均应是零点，根据，结合三角函数的图象，即可求解； （3）先求函数的解析式，分区间，，，讨论函数的单调性，以及函数值的正负，证明函数的零点个数，并判断零点的区间，，结合函数的单调性，即可判断不等式. 【详解】（1）由题意知函数周期为，所以由题，所以， 又由图象关于直线对称，所以，即，所以， 所以，令，， 所以的对称中心为. （2）当时，令，解得， 则或，, 得，或，， 若函数在上恰有8个零点，首尾均应是零点， 若第一个零点是，则第8个零点是，则的最小值为，· 若第一个零点是，则第8个零点是，则的最小值为，· ， 所以的最小值为； （3）由（1）可得，定义域为， ①当时，函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在定理，使得， 故在上有且只有一个零点. ②当时，因为单调递增，单调递减， ，，所以， 所以在上不存在零点； ③当时， 因为单调递增，，因为 所以，所以在上不存在零点； 综上：有且只有一个零点，且.  · 因为，所以， 所以， 在上单调递减， ，所以. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第29讲 三角函数 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1任意角和弧度制 1.角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝rad；1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 叫做α的正弦，记作sinα 叫做α的余弦，记作cosα 叫做α的正切，记作tanα 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 口诀 Ⅰ全（Q），Ⅱ正弦（s），Ⅲ正切（t），Ⅳ余弦(c) 知识点2 同角三角函数的基本关系与诱导公式 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tanα. 2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sinα －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cosα －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tanα tanα －tanα －tanα 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 3.常用结论 （1）同角三角函数关系式的常用变形 (sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα. （2）诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化. （3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. 知识点3三角函数的图象与性质 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0). (2)余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1). 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x x≠kπ＋} 值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 注意： 1. 、的最小正周期都是2； 和的最小正周期都是。 1. 正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴的交点)。 1. 上单调递增，在单调递减；在上单调递减，在上单调递增。特别提醒，别忘了！ 知识点4 三角恒等变换 1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ. cos(α∓β)＝cosαcosβ±sinαsinβ. tan(α±β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2α＝2sinαcosα. cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. tan2α＝. 3．有关公式的逆用、变形等 (1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)． (2)cos2α＝，sin2α＝. (3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2， 函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝. 例： 知识点5 函数 1. 函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定。 1. 函数图象的画法： ①“五点法”――设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。 1. 函数的图象与图象间的关系： 函数图像整体的平移，只进行x和y值的加减。（左加右减，上加下减） 函数的图象纵坐标不变，横坐标向左(>0)或向右(<0)平移个单位得的图象；②函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象；③函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数的图象④函数图象的横坐标不变，纵坐标向上()或向下()，得的图象。 要特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位。 知识点6 三角函数的应用 1. 几个物理量：A―振幅；―频率(周期的倒数)；―相位；―初相； 教材习题01 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上各点（　　）． A．横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 解题方法 先将函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍， 横坐标不变，得到函数的图象， 再将函数的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的， 横坐标不变，得到函数的图象， 即将函数的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的， 横坐标不变，得到函数的图象， 故选：D. 【答案】D 教材习题02 已知锐角中，， (1)求证：； (2)设，求AB边上的高. 解题方法 （1）由，得， 即，两式相除得， 所以. （2）在锐角中，，，则，， 即有，将代入上式并整理得， 而，解得，， 设边上的高为，则， 由，得，所以边上的高等于 【答案】(1)证明见解析； (2) 教材习题03 函数一个周期的图象如图所示，试确定A，ω，φ的值．    解题方法 由图象可知， 函数的周期，则，解得， 即，由五点对应法得，，， 则，由，所以. 【答案】，，. 考点一 任意角和弧度制 1．下列与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 2．已知某扇形的圆心角为，半径为5，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 3．第二象限角用集合表示为 . 4．在与角终边相同的角中，最大的负角是 ，最小的正角是 ． 5．如图所示，君洪楼门前广场上有一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植绿植和花卉，需要用栅栏围起来进行绿化养护．知米，米，扇形环面区域面积为平方米，圆心角为弧度. (1)求关于的函数解析式； (2)记花卉周围栅栏（由弧、，弧线段、组成）的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值． 考点二 三角函数的概念 1．已知，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．若角的终边经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系xOy中，角与角的顶点与原点重合，它们的始边与x轴正半轴重合，终边关于y轴对称．若将终边按逆时针方向旋转恰与终边重合，则的一个取值为 ． 4．若，，则 . 5．如图，单位圆与轴正半轴的交点为点，点在圆上，且点在第一象限，点在第二象限. (1)当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积； (2)设，当，点的纵坐标为时，求的值. 考点三 诱导公式 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知角的终边上有一点，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 3．化简 4．已知，则 ． 5．如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点、，已知点的坐标为．    (1)求的值； (2)若，求的值． 考点四 三角函数的图像与性质 1．已知是定义在上的奇函数，，且，则（ ） A．1 B．0 C．-2025 D． 2．若函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数满足，且，则函数的最大值为 ；方程的实数解的个数为 ． 4．函数在内恰有两个对称中心，，则 . 5．已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的图象的对称中心的坐标和对称轴方程； (3)当时，方程有两个不相等的实数根，且，求的值． 考点五 三角恒等变换 1．若不在坐标轴上的点关于直线的对称点为，则（   ） A．0或2 B．2 C．0或 D． 2．函数的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 3．已知，，则 . 4．已知，则 . 5．（1）已知，求的值. （2）已知，求. 考点六 函数y=Asin(ωx+φ) 1．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象，则（   ） A． B． C． D． 2．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 3．已知函数在上恰有2个零点，则a的取值范围是 ． 4．函数的部分图象如图所示．若，且，则的值为 ． 5．已知函数（其中），将的图象向右平移个单位长度后得到的函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)当时，求函数的单调增区间； (3)记方程在上有五个实根，，，，，其中，求的取值范围及的值. 考点七 三角函数的应用 1．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为2π，初相为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（    ）． A．； B．； C．； D．． 2．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 3．近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为，圆上两点A，B始终满足，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化.现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即秒时，点A位于圆心正下方：则 秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为 . 4．函数的初始相位为 . 5．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)若，求的最值及取最值时的值； (3)若函数在内有且只有一个零点，求实数的取值范围． 知识导图记忆 知识目标复核 1．任意角的三角函数 2．诱导公式 3．三角函数的图象与性质 4. 和差、倍角、辅助角公式及变形 5. 三角型函数的图象的变换 6. ω的取值范围 一、单选题 1．若，则（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C．的最大值为2 D．在内有5个零点 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C．1 D．3 5．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．若函数有且仅有一个零点，则实数m的值为（   ） A． B． C．3 D． 7．若，是方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．若关于的方程有唯一解，则求得上述关于的方程的非零实数解为（ ） A． B．1 C．2 D．4 二、多选题 10．函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数是奇函数 C．函数的图象的对称轴方程为 D．函数在区间上单调递增 11．已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，则曲线的一个对称中心为 D．的图象与直线和线段围成的图形面积为 12．已知函数，，则（   ） A．与的值域相同 B．与的最小正周期相同 C．与的图象都关于直线对称 D．与在上都单调递减 13．已知函数，方程在区间上有且仅有4个解，则（   ） A．的取值范围是 B．的最小正周期可能是 C．在区间上有且仅有3个不同的零点 D．在区间上单调递增 三、填空题 14．已知的定义域为R，且，当时，，则 ． 15．已知锐角满足，则 . 16．已知实数、满足，则的最小值为 . 17．已知，， ． 18．在三角恒等变化中，积化和差实际上就是把与，与相加或相减而变形得到的；和差化积实际上就是一种角的变化，如：. 如果角与满足，，则 . 19．若函数（）的零点为，函数（）的零点为，则下列结论正确的是 . ①；②；③；④ 20．函数图象的一条对称轴为直线，且在上有且仅有三个零点，则实数的取值范围是 ． 21．已知函数，记在上的最大值为，最小值为，若，则的取值范围是 . 四、解答题 22．已知函数，，． (1)求的解析式； (2)设函数，求的对称轴和单调区间． 23．已知，且. (1)求的值； (2)若，求的值. 24．已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，且，． (1)求角的范围； (2)将角的终边绕原点顺时针方向旋转，这时终边所对应的角记为，若，求的值． 25．已知角α的终边经过点． (1)求，，的值； (2)求的值； (3)已知α、β是锐角，且满足，求的值． 26．已知函数． (1)求函数的最小正周期和对称轴； (2)已知函数，求函数的单调递增区间． 27．已知函数. (1)求的单调增区间； (2)若关于的方程在区间内有两个不同的解，. （i）求实数的取值范围； （ii）求（用表示）. 28．设n次多项式，若其满足，则称多项式为n次切比雪夫多项式． (1)若切比雪夫多项式，求（1）的值； (2)求的值； (3)方程在上有三个不同的根，记为，求证：． 29．已知函数的图象关于直线对称．其相邻两个对称轴之间距离为． (1)求的对称中心， (2)若函数在上恰有8个零点，求的最小值； (3)设函数，证明：有且只有一个零点，且． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$