第21讲 诱导公式（七大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

第21讲 诱导公式（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 诱导公式 前面利用圆的几何性质，得到了同角三角函数之间的基本关系.我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性(如奇偶性)也是函数的重要性质.由此想到，可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性. 下面，借助单位圆的对称性进行探究. 【知识点1 诱导公式】 1．诱导公式 (1)诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 七 八 角 正弦 余弦 正切 余切 口诀 函数名不变，符号看象限. 函数名改变，符号看象限. (2)诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将任意角转化为0～2π的角求值 公式二 将0～2π的角转化为0~π的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将的角转化为的角求值 公式五 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 公式六 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 2．一组重要公式 (1)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). (2)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). 类似地，有： (3)(n∈Z). (4)(n∈Z). 3．诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 【题型1 诱导公式一】 【例1】（25-26高一上·重庆·期末）（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用诱导公式计算得解. 【解答过程】. 故选：B. 【变式1-1】（25-26高一下·福建·期中）（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用诱导公式计算可得. 【解答过程】. 故选：C. 【变式1-2】（2026高一上·重庆开州·专题练习）__________. 【答案】 【解题思路】利用三角函数的诱导公式，将负角转化为到之间的角，再计算该角的正弦值，即可. 【解答过程】根据题意，. 故答案为：. 【变式1-3】（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）__________． 【答案】 【解题思路】先应用诱导公式化简，再应用特殊角的三角函数值计算即可. 【解答过程】 . 故答案为：. 【题型2 诱导公式二、三、四】 【例2】（25-26高一上·陕西西安·期末）＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用诱导公式计算即可. 【解答过程】 . 故选：A. 【变式2-1】（25-26高一上·安徽宣城·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据余弦诱导公式直接求值即可． 【解答过程】． 故选：B． 【变式2-2】（25-26高一上·广东广州·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用诱导公式求解即可. 【解答过程】. 故选：B. 【变式2-3】（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据诱导公式和正弦定义即可得到答案. 【解答过程】. 故选：A. 【题型3 诱导公式五、六】 【例3】（25-26高一上·福建厦门·期末）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用诱导公式即可求解. 【解答过程】由，可得， 则， 故选：D. 【变式3-1】（25-26高一上·江苏·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据诱导公式即可得解. 【解答过程】， 因为， 则. 故选：D. 【变式3-2】（25-26高一上·广东东莞·期末）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用三角函数的定义结合诱导公式可得出的值. 【解答过程】由三角函数的定义可得，故. 故选：A. 【变式3-3】（25-26高一上·贵州六盘水·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据诱导公式求解即可. 【解答过程】因为， 所以， 故选：D. 【题型4 三角函数的化简、求值——诱导公式】 【例4】（25-26高一上·陕西咸阳·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用诱导公式化简计算可得结果. 【解答过程】易知. 故选：C. 【变式4-1】（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）计算（   ） A．＋1 B．1 C．－1 D．－+1 【答案】A 【解题思路】利用诱导公式和特殊角的函数值求解即可. 【解答过程】原式. 故选：A. 【变式4-2】（25-26高一上·天津·期末）化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据三角函数的诱导公式化简计算. 【解答过程】化简分子：，，， 化简分母：，，， 即. 故选：A. 【变式4-3】（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知. (1)若，求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）应用诱导公式化简，应用同角三角函数的平方和关系求，应用同角三角函数的商数关系求； （2）由（1）得出的值，应用诱导公式化简即可求解. 【解答过程】（1） 又， ， . （2）由（1）知， 又 则. 【题型5 三角函数恒等式的证明——诱导公式】 【例5】（25-26高一上·上海·课堂例题）证明：． 【答案】证明见解析 【解题思路】利用诱导公式化简即可. 【解答过程】左边右边， 所以． 【变式5-1】（25-26高一上·上海·课后作业）已知，求证：. 【答案】证明见解析. 【解题思路】由已知可得（），代入等式左边，再利用诱导公式推理即得. 【解答过程】由，得（），则（）， 因此 ， 所以原等式成立. 【变式5-2】（25-26高一·全国·课后作业）求证：＝． 【答案】证明见解析 【解题思路】运用诱导公式结合同角三角函数的基本关系将等式两边分别化简，进而证明问题. 【解答过程】左边 . 右边. ∴左边＝右边，故原等式成立． 【变式5-3】（25-26高一下·上海·课后作业）已知A、B、C是的三个内角，求证； （1）；     （2）. 【答案】（1）证明见详解； （2）证明见详解. 【解题思路】(1)根据，结合诱导公式即可证明； (2)根据，结合诱导公式即可证明. 【解答过程】(1) .   (2) . 【题型6 诱导公式在三角形中的应用】 【例6】（25-26高一上·全国·课后作业）已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用诱导公式以及三角形内角和关系，结合平方关系计算可得结果. 【解答过程】由，可得， 易知 所以，所以． 故选：C. 【变式6-1】（25-26高一上·浙江温州·期末）在中，下列关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据三角形的内角和定理与三角函数的诱导公式即可判断. 【解答过程】依题意，在中，，所以，； 对于A，因为，所以A错误； 对于B，因为，所以B正确； 对于C，因为，所以C错误； 对于D，因为，所以D错误. 故选：B. 【变式6-2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知角为的三个内角，若，则一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【解题思路】根据诱导公式以及内角和定理得出，从而判断三角形的形状. 【解答过程】因为 所以， 可得， 又因为， 所以，则，所以一定是等腰三角形． 故选：C． 【变式6-3】（25-26高一上·浙江宁波·期末）设A，B，C分别是的三个内角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据三角形内角和及诱导公式可判断各选项. 【解答过程】A.，选项A错误. B.，选项B错误. C.，选项C正确. D. ，选项D错误. 故选：C. 【题型7 诱导公式与其他知识综合】 【例7】（2026高一上·江苏南通·专题练习）已知角的终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先利用诱导公式和同角三角函数基本关系化简表达式，再根据任意角三角函数的定义求值． 【解答过程】因为， 又点在角的终边上，则， 所以的值为. 故选 ：A. 【变式7-1】（25-26高一上·广东汕头·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，角与角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别是射线和射线，若射线与单位圆的交点为，射线与单位圆的交点为，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据角的终边与单位圆的交点坐标可得，利用和诱导公式化简求值，再进行弦切互化求值即可. 【解答过程】由题意可知：，则，解得， 即，且； 易得，则， 则. 故选：A. 【变式7-2】（25-26高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知是第三象限角，且． (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用诱导公式直接化简； （2）利用诱导公式化简，利用同角三角函数的关系求值． 【解答过程】（1）因为，， ，， 所以． （2），得， 因为 是第三象限角，所以 ， 所以， 所以． 【变式7-3】（25-26高一上·山西太原·期末）已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点. (1)求的值； (2)求的值； (3)记点B的横坐标为，则，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）根据给定条件，利用三角函数的定义和三角函数的基本关系式求解. （2）利用三角函数的诱导公式及正余弦齐次式法求解. （3）由已知求出锐角，由点B的横坐标可得，再利用诱导公式化简即可. 【解答过程】（1）由锐角的终边与单位圆相交于点，得， 所以. （2）由（1）得，所以 . （3）由为锐角，且，得，依题意，， 所以 . 模块三 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·福建福州·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据诱导公式计算即可. 【解答过程】. 故选：B. 2．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值求解即可. 【解答过程】易知. 故选：A. 3．（25-26高一上·江苏南京·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用三角函数的诱导公式进行计算. 【解答过程】. 故选：B. 4．（25-26高一上·山西长治·期末）已知，且是第四象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用诱导公式将式子化简，再结合角所在的象限，根据同角三角函数的平方关系计算即可得解. 【解答过程】因为，所以. 因为是第四象限角， 所以. 故选：D. 5．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用诱导公式以及三角函数的定义可得出所求代数式的值. 【解答过程】由诱导公式和三角函数的定义可知， 故选：A. 6．（25-26高一上·四川成都·期末）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用三角函数的定义求出的值，再根据诱导公式化简并求值即可． 【解答过程】因为角的终边经过点，所以， ． 故选：A． 7．（25-26高一上·河北沧州·期末）已知，，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由与的关系进行转化，进而求出的值. 【解答过程】由题，所以， 又因为，所以或（舍去），故， 所以； 又因为. 故选：D. 8．（25-26高一上·湖北恩施·期末）已知角的终边与单位圆的交点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用三角函数的定义求出，再根据诱导公式将原式化简代入计算即得. 【解答过程】由三角函数定义知， 根据诱导公式可得. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高一上·河北衡水·期末）设，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解题思路】利用诱导公式逐项判断即可. 【解答过程】对于A选项，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，则，C对； 对于D选项，若，则，D对. 故选：ACD. 10．（25-26高一上·福建漳州·期末）在中，下列等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】利用诱导公式，结合三角形内角和为，逐项判断即可. 【解答过程】由，得. 因为，所以A错误； 因为，所以B正确； 因为，所以C正确； 因为，所以D正确. 故选：BCD. 11．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知角的终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】由题意可判断角的终边落在第三象限，求出，，利用诱导公式即可得解. 【解答过程】点的纵坐标为，且． 角的终边落在第三象限， 又，（负根舍去）， ，， ，，， 所以AD正确，BC错误. 故选：AD． 三、填空题 12．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知，则的值是__________. 【答案】 【解题思路】利用诱导公式直接求解即可. 【解答过程】由题意得， 因为，所以. 故答案为：. 13．（25-26高一上·广东惠州·期末）若，则__________. 【答案】2 【解题思路】利用诱导公式化简即可. 【解答过程】由， 得，即，故. 故答案为：. 14．（25-26高一上·河南·期末）若，则__________． 【答案】 【解题思路】利用诱导公式和同角三角函数关系化简求值即可. 【解答过程】由可得， 所以 ， 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·宁夏石嘴山·期末）求下列三角函数值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【解题思路】根据诱导公式及特殊角的三角函数值求解即可. 【解答过程】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. 16．（25-26高一上·贵州黔东南·期末）已知． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）由可得，利用平方关系和商数关系求解； （2）根据诱导公式化简求解. 【解答过程】（1）由，即. 所以. 所以. （2）. 17．（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知． (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用诱导公式，即可求解； （2）根据条件及平方关系求出，再利用诱导公式及商数关系，即可求解. 【解答过程】（1）因为， 所以. （2）由（1）知，得到， 又，则， 所以. 18．（25-26高一上·山西吕梁·期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点． (1)求，，的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）利用三角函数定义求解. （2）利用诱导公式化简并代入求值. 【解答过程】（1）由角的终边经过点，得， 所以. （2）. 19．（25-26高一上·山西运城·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点两点，. (1)若，求及的值； (2)若，求. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）由三角函数的定义结合同角三角函数的基本关系可求得，再利用诱导公式化简和弦化切，可求得所求代数式的值； （2）由诱导公式结合已知条件可得出，利用同角三角函数的平方关系可求出的值，联立方程组求出、的值，即可得解. 【解答过程】（1）由题知，又，A在单位圆上， ，则，， ； （2）， 由，得， ， 则， ，得， . 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21讲 诱导公式（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 诱导公式 前面利用圆的几何性质，得到了同角三角函数之间的基本关系.我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性(如奇偶性)也是函数的重要性质.由此想到，可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性. 下面，借助单位圆的对称性进行探究. 【知识点1 诱导公式】 1．诱导公式 (1)诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 七 八 角 正弦 余弦 正切 余切 口诀 函数名不变，符号看象限. 函数名改变，符号看象限. (2)诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将任意角转化为0～2π的角求值 公式二 将0～2π的角转化为0~π的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将的角转化为的角求值 公式五 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 公式六 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 2．一组重要公式 (1)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). (2)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). 类似地，有： (3)(n∈Z). (4)(n∈Z). 3．诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 【题型1 诱导公式一】 【例1】（25-26高一上·重庆·期末）（    ） A．1 B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一下·福建·期中）（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026高一上·重庆开州·专题练习）__________. 【变式1-3】（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）__________． 【题型2 诱导公式二、三、四】 【例2】（25-26高一上·陕西西安·期末）＝（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·安徽宣城·期末）（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·广东广州·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 诱导公式五、六】 【例3】（25-26高一上·福建厦门·期末）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·江苏·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·广东东莞·期末）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·贵州六盘水·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【题型4 三角函数的化简、求值——诱导公式】 【例4】（25-26高一上·陕西咸阳·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）计算（   ） A．＋1 B．1 C．－1 D．－+1 【变式4-2】（25-26高一上·天津·期末）化简：（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知. (1)若，求； (2)若，求. 【题型5 三角函数恒等式的证明——诱导公式】 【例5】（25-26高一上·上海·课堂例题）证明：． 【变式5-1】（25-26高一上·上海·课后作业）已知，求证：. 【变式5-2】（25-26高一·全国·课后作业）求证：＝． 【变式5-3】（25-26高一下·上海·课后作业）已知A、B、C是的三个内角，求证； （1）；     （2）. 【题型6 诱导公式在三角形中的应用】 【例6】（25-26高一上·全国·课后作业）已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·浙江温州·期末）在中，下列关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知角为的三个内角，若，则一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【变式6-3】（25-26高一上·浙江宁波·期末）设A，B，C分别是的三个内角，则（   ） A． B． C． D． 【题型7 诱导公式与其他知识综合】 【例7】（2026高一上·江苏南通·专题练习）已知角的终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·广东汕头·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，角与角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别是射线和射线，若射线与单位圆的交点为，射线与单位圆的交点为，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知是第三象限角，且． (1)化简； (2)若，求的值． 【变式7-3】（25-26高一上·山西太原·期末）已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点. (1)求的值； (2)求的值； (3)记点B的横坐标为，则，求的值. 模块三 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·福建福州·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏南京·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山西长治·期末）已知，且是第四象限角，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·四川成都·期末）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·河北沧州·期末）已知，，则 A． B． C． D． 8．（25-26高一上·湖北恩施·期末）已知角的终边与单位圆的交点为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·河北衡水·期末）设，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 10．（25-26高一上·福建漳州·期末）在中，下列等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知角的终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知，则的值是__________. 13．（25-26高一上·广东惠州·期末）若，则__________. 14．（25-26高一上·河南·期末）若，则__________． 四、解答题 15．（25-26高一上·宁夏石嘴山·期末）求下列三角函数值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 16．（25-26高一上·贵州黔东南·期末）已知． (1)求，的值； (2)求的值． 17．（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知． (1)化简； (2)若，求的值． 18．（25-26高一上·山西吕梁·期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点． (1)求，，的值； (2)求的值． 19．（25-26高一上·山西运城·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点两点，. (1)若，求及的值； (2)若，求. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $