第23讲 三角恒等变换（九大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

第23讲 三角恒等变换（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的.这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换.观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角α的和(或差)的三角函数与这个任意角α的三角函数的恒等关系.如果把特殊角换为任意角β，那么任意角α与β的和(或差)的三角函数与α，β的三角函数会有什么关系呢?下面来研究这个问题. 【知识点1 两角和与差的三角函数公式】 1．两角差的余弦公式 对于任意角α，β有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. 此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 . 公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和. 2．两角和的余弦公式 (1)公式的结构特征 (2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”. ①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； ②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”， 两角差时用“+”. 3．两角和与差的正弦公式 (1)两角和与差的正弦公式的结构特征 (2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”. ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦； ②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”， 两角差时用“-”. 4．两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式的结构特征 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 5．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 【知识点2 二倍角的正弦、余弦、正切公式】 1．二倍角公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 函数 公式 β=α 简记符号 正弦 sin2α =2sinαcosα S(α+β) S2α 余弦 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C(α+β) C2α 正切 T(α+β) T2α 2．二倍角公式的变形应用 (1)倍角公式的逆用 ①S2α：，，. ②C2α：. ③T2α：. (2)配方变形 . (3)因式分解变形 . (4)升幂公式 ；. 【题型1 两角和与差的余弦公式及其逆用】 【例1】（25-26高一上·广东广州·期末）（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解题思路】利用两角和的余弦公式，特殊角的三角函数值即可求解. 【解答过程】. 故选：B. 【变式1-1】（25-26高三上·内蒙古包头·阶段检测）已知，且是第三象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用平方关系求出，然后结合和角的余弦公式可得. 【解答过程】因为，且是第三象限角，所以， 则， 故选：D. 【变式1-2】（25-26高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据两角和的余弦公式的逆运算，即可求解. 【解答过程】 ． 故选：C. 【变式1-3】（25-26高一下·湖北黄冈·期末）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用同角的正余弦的平方关系求得，，利用可求值. 【解答过程】因为，，所以， 又因为，所以，又， 所以，所以， 所以 . 故选：A. 【题型2 两角和与差的正弦公式及其逆用】 【例2】（25-26高三上·山西·阶段检测）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据诱导公式、两角和的正弦公式求得. 【解答过程】 . 故选：A. 【变式2-1】（25-26高一上·云南红河·期末）的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用两角和的正弦公式求解. 【解答过程】 ， 故选：D. 【变式2-2】（25-26高一上·广东深圳·期末）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由同角三角函数平方关系和两角差的正弦公式即可求解. 【解答过程】因为，所以， 又，代入， 可得，故， 所以， 故选：A. 【变式2-3】（25-26高一上·山东淄博·期末）已知，，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【解题思路】由题得，再根据求得，，最后根据和角公式求解即可. 【解答过程】因为，所以， 因为，即 所以，， 所以 故选：C. 【题型3 两角和与差的正切公式及其逆用】 【例3】（25-26高一下·江苏·阶段检测）结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据利用两角和的正切公式化简，从而可得出答案. 【解答过程】因为， 所以， 所以. 故选：B. 【变式3-1】（25-26高一上·重庆·期末）已知，，则（   ） A．7 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用两角和差的正切公式化简. 【解答过程】由题意可知，. 故选：A. 【变式3-2】（25-26高三上·云南昆明·期中）（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】利用诱导公式先求出的值，再利用正切和角公式的逆用可得得值. 【解答过程】， ， 所以原式. 故选：B. 【变式3-3】（25-26高一上·重庆·期末）已知是第三象限角且，，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由两角差的正切公式结合同角的三角函数关系以及商数关系求解即可. 【解答过程】由于是第三象限角且，则, 所以, 由于，则, 所以 故选：A. 【题型4 二倍角公式】 【例4】（25-26高一上·广东广州·期末）若是第四象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由同角的三角函数关系式及倍角公式可得答案. 【解答过程】由及， 得：， 即：， 解得：， 由于 在第四象限，， 故：； 所以. 故选：D. 【变式4-1】（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据同角三角函数的商数关系和平方关系以及二倍角公式计算即可. 【解答过程】因为，所以. 因为，所以， 所以，解得或， 那么对应的或. 所以或. 故选：D. 【变式4-2】（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知为第三象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用正切的二倍角公式求解即可. 【解答过程】由为第三象限角，得, 由， 得，解得，则， 故选：B. 【变式4-3】（25-26高一上·北京东城·期末）若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可得出所求代数式的值. 【解答过程】因为，所以 . 故选：B. 模块三 简单的三角恒等变换 【知识点3 几个三角恒等式】 1．半角公式 当所在的象限能够确定时，这三个公式中根号前的符号可以确定.一般情况，应保留“±”.这组公式通常称为三角函数的半角公式. 【注意】半角公式：主要用于角度减半、降幂、去平方，利用半角公式求值的时候注意角的象限. 2．辅助角公式 通过应用公式[或]将形如asinα+bcosα (a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式. 【知识点4 三角恒等变换思想】 1．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换 (1)角的代换 代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用尤为突出. 常用的角的代换形式： ①α=(α+β)-β； ②α=β-(β-α)； ③； ④； ⑤； ⑥. (2)常值代换 用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中要特别注意的是“1”的代换. 【题型5 半角公式】 【例5】（25-26高三·全国·一轮复习）已知，且，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据半角公式结合角的范围即可求解. 【解答过程】因为，则，, 由半角公式可得. 故选：B. 【变式5-1】（2026·河北·模拟预测）已知，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据半角公式得，所求式子可化为，代入即可求出答案. 【解答过程】因为， 所以， ， 故选：A. 【变式5-2】（25-26高一下·全国·课前预习）若是第一象限角，且，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意确定的范围，再利用半角公式即可得到结果. 【解答过程】因为是第一象限角，所以， 则，所以是第一象限角或第三象限角. 又知，， 所以， 故选：D. 【变式5-3】（25-26高一下·全国·课后作业）若是第三象限角，且，则的值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【解题思路】由两角差的正弦公式、平方关系依次得，，由半角公式即可求解. 【解答过程】由已知及正弦公式得，， 是第三象限角，． ． 故选：A. 【题型6 辅助角公式的应用】 【例6】（25-26高一上·广西崇左·期末）若函数为偶函数，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用辅助角公式化简，然后根据奇偶性列方程即可得解. 【解答过程】， 因为为偶函数，所以，即， 当时，A正确，经检验BCD都不满足. 故选：A. 【变式6-1】（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用辅助角公式及诱导公式求解即可. 【解答过程】. 故选：C. 【变式6-2】（25-26高一上·上海·期末）已知函数． (1)求的最小正周期及单调减区间； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用辅助角公式，即可利用整体法求解单调性， （2）利用整体法求解范围，即可根据正弦函数的性质求解. 【解答过程】（1） ， 的最小正周期为． 令，解得， 的单调减区间为． （2），． 令，则， ， ， 在上的值域为． 【变式6-3】（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）已知函数. (1)求的最小正周期 (2)已知，函数是偶函数，求的值. (3)函数在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围. 【答案】(1)； (2)或； (3). 【解题思路】（1）利用诱导公式及辅助角公式化简函数，再求出其周期. （2）利用正弦函数性质列式求解. （3）利用正弦函数性质及零点个数列式求解. 【解答过程】（1）函数 ， 所以函数的最小正周期. （2）由（1）得，由函数是偶函数， 得，解得，而， 所以或. （3）当时，，由函数在区间上有且仅有2个零点， 得，解得 所以的取值范围为. 【题型7 三角恒等式的证明】 【例7】（25-26高一下·江苏徐州·期中）求证下列恒等式： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）先通分，利用正切的二倍角公式化简即可； （2）先将正切化弦，通分得到原式，再用辅助角公式，最后利用二倍角公式，即可证明. 【解答过程】（1）. （2）左边 , 原式得证. 【变式7-1】（25-26高一下·甘肃甘南·期中）求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）首先通分，再应用辅助角公式、倍角正弦公式化简分子、分母即可证结论； （2）应用商数关系、倍角正余弦及和角余弦公式化简分子、分母即可证结论. 【解答过程】（1）； （2） . 【变式7-2】（25-26高一下·辽宁·期中）已知，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）由两角差的正弦公式化简得出，等式两边同时除以，化简可得出结论成立； （2）由已知条件得出，即为，再结合两角和的余弦公式可证得结论成立. 【解答过程】(1)证明如下： 因为，所以， 两边同时除以，得，即. (2)证明如下： 因为，所以， 所以， 所以， 所以. 【变式7-3】（25-26高一上·广东湛江·期末）证明下列等式： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）（2）利用三角函数恒等变换的应用化简等式左边等于右边即可得证. 【解答过程】（1）左边右边，得证； （2）左边 右边，得证. 【题型8 利用三角恒等变换判断三角形的形状】 【例8】（25-26高一下·江西宜春·期末）在中，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【解题思路】由二倍角公式可得，，再根据诱导公式可得，然后利用两角和与差的余弦公式，即可将化简成，所以，即可求得答案． 【解答过程】因为， ， 所以，，即， 因为，所以 所以，即为等腰三角形. 故选：A． 【变式8-1】（25-26高二上·河南安阳·期末）若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解题思路】根据三角函数和与差的正弦公式，即可判断三角形的形状. 【解答过程】中，， 已知等式变形得， ， 即， 整理得，即， 或（不合题意，舍去）． ，， 则此三角形形状为直角三角形． 故选：A. 【变式8-2】（2026·河南·模拟预测）在中，内角、满足，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【解题思路】分析可知、都为锐角，再利用两角和的正切公式推导出，由此可得出结论. 【解答过程】在中，内角、满足， 由于中至少有两个锐角，则、中至少有一个锐角， 不妨设为锐角，则，从而，故为锐角， ， 故角为锐角，从而可知为锐角三角形， 故选：A. 【变式8-3】（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）已知，角所对应的边分别为，且，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用和差角的正弦、余弦公式化简变形即可推理作答. 【解答过程】依题意，， 则有，在中，，即， 因此，又，于是得，即， 所以是直角三角形. 故选：A. 【题型9 三角恒等变换的化简问题】 【例9】（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】应用诱导公式化简，再结合两角差正弦公式求解. 【解答过程】 原式 . 故选：C. 【变式9-1】（25-26高一下·江苏连云港·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】切化弦、通分、再根据两角差的正弦公式、二倍角公式和诱导公式可得结果. 【解答过程】 . 故选：A. 【变式9-2】（25-26高一上·云南普洱·期末）已知函数，. (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)求在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值. 【答案】(1)， (2)，；， 【解题思路】（1）根据三角恒等变换求出，根据公式即可求出最小正周期，结合余弦函数的图象即可求出单调递减区间； （2）根据求出，结合余弦函数的图象即可求解. 【解答过程】（1）由题得 ， 所以的最小正周期， 令，解得， 所以的单调递减区间是. （2）因为，所以， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在上的值域为， 故， 所以，此时，即； ，此时，即. 【变式9-3】（25-26高一下·陕西汉中·阶段检测）已知函数，． (1)求的单调递减区间； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【解题思路】（1）利用三角恒等变换公式化简的表达式，再结合正弦函数的单调性即可求解； （2）由，确定，根据正弦函数性质即可求解； （3）由可得，结合，可求出，继而利用两角和的正弦公式，即可求解. 【解答过程】（1） ， 由，解得， 故的单调递减区间为. （2）因为，所以，则， 所以， 所以的最大值为，最小值为． （3）由，所以，所以， 又，所以， 所以， 所以 ． 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·天津·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用二倍角公式余弦公式计算可得. 【解答过程】. 故选：D. 2．（25-26高一上·安徽·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合诱导公式，根据两角和的正弦公式的逆用化简计算即可. 【解答过程】易知. 故选：D. 3．（25-26高一上·山西太原·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将已知条件根据两角和的正弦公式变形，等式两边平方，结合同角的三角函数关系和二倍角公式，即可求解. 【解答过程】由可得，即， 两边同时平方， 所以，即，解得， 故选：A. 4．（25-26高一上·山东菏泽·期末）的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解题思路】由两角差正弦公式结合题意可得答案. 【解答过程】 . 故选：A. 5．（25-26高一下·江西南昌·期中）化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用正弦的二倍角公式结合两角差的正弦公式化简. 【解答过程】原式． 故选：A. 6．（25-26高一上·宁夏固原·期末）已知，都是锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用同角三角函数关系得到和，再利用两角差的正弦公式计算可得. 【解答过程】因为，都是锐角，所以， 又，所以， 又，所以， 所以 . 故选：D. 7．（25-26高一上·湖南郴州·期末）已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据两角差的余弦公式，结合同角三角函数关系式进行求解即可. 【解答过程】因为都是锐角， 所以，又因为， 所以， ， 因此 ， 因为是锐角， 所以. 故选：B. 8．（2026高二上·云南·学业考试）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用辅助角公式合成，再利用三角函数的值域求法可得答案. 【解答过程】 ， 因为，所以 的值域为 ， 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高一上·云南昭通·期末）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】由正切的和角公式逆用即可判断A；由余弦差角公式可判断B；利用正弦二倍角公式可判断C；利用正弦和角公式，展开求值即可． 【解答过程】A．，故A正确； B．，故B错误； C．，故C正确； D． ，故D错误． 故选：AC． 10．（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】根据两角和与差的余弦公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解答过程】，A错误， ，C正确． ，B正确． ，D正确． 故选: BCD. 11．（25-26高一上·湖南永州·期末）函数，则（    ） A．函数的最小正周期 B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间的值域为 D．若，则或 【答案】AC 【解题思路】根据三角函数恒等变换化简，然后根据正弦函数的图象和性质逐项判断即得. 【解答过程】， 对于A:，A正确； 对于B：当时，， 所以函数的图象不关于点对称，B错误； 对于C：因为，所以， 当，即时，取得最小值, 当 ，即时，取得最大值， 所以在区间的值域为，C正确； 对于D：因为， 所以或， 解得或，D错误； 故选：AC. 三、填空题 12．（25-26高一上·陕西西安·期末）＝__________. 【答案】 【解题思路】先根据诱导公式将化为，化为，再逆用两角差的正弦公式求解. 【解答过程】 . 故答案为：. 13．（25-26高一上·河南洛阳·期末）已知为锐角，若，则__________. 【答案】 【解题思路】先利用同角三角函数的基本关系求出和，再代入两角和的正切公式计算结果. 【解答过程】已知为锐角，，则，. 所以. 故答案为：. 14．（25-26高一上·吉林长春·期末）若， 为第三象限角，则__________. 【答案】 【解题思路】首先将正切变为正弦和余弦，再结合二倍角公式，化简求值. 【解答过程】因为，且为第三象限角，所以， . 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一·全国·课后作业）利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2)0 (3) 【解题思路】（1）利用两角差的正弦公式求解即可. （2）利用两角和的余弦公式求解即可. （3）利用两角和的正切公式求解即可. 【解答过程】（1）由题意可得. （2）由题意可得. （3）由题意可得. 16．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，即可求出，，再代入计算可得； （2）首先求出，即可求出，从而求出，即可得解. 【解答过程】（1）因为， 所以， ， 所以. （2）因为， 所以， 所以， 所以； 因为，所以， 又，所以， 所以，所以. 17．（25-26高一上·上海·期末）可知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）由正切函数二倍角公式及两角和正切公式即可求解； （2）由正弦函数、余弦函数二倍角公式，及弦化切即可求解. 【解答过程】（1）， 所以； （2）由正弦、余弦二倍角公式得： ． 由于，则， 所以， 即. 18．（25-26高一上·山西太原·期末）已知，，且，． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）根据题意，求得，再由三角函数的基本关系式和余弦的倍角公式，即可求解. （2）根据题意，求得，由两角差的正弦公式，求得，结合，即可求解. 【解答过程】（1）解：由两角差的正切公式，可得，解得， 又由， 因为且，可得，则，所以， 所以. （2）解：由，则， 因为，可得， 则， 由（1）知，且，可得， 所以. 19．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知函数． (1)若，求的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)已知函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据二倍角的正弦、余弦公式，结合辅助角公式，化简整理，可得解析式，根据条件，结合诱导公式，化简计算，即可得答案. （2）由（1）得解析式，根据正弦函数的单调减区间，代入求解，即可得答案. （3）根据x的范围，可得，根据值域，分析可得的范围，即可得答案. 【解答过程】（1）由题意， 若，则， 则. （2）由（1）得， 令， 解得，即的单调递减区间为. （3）因为，所以， 因为的值域为， 所以，解得，则实数的取值范围为. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23讲 三角恒等变换（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的.这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换.观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角α的和(或差)的三角函数与这个任意角α的三角函数的恒等关系.如果把特殊角换为任意角β，那么任意角α与β的和(或差)的三角函数与α，β的三角函数会有什么关系呢?下面来研究这个问题. 【知识点1 两角和与差的三角函数公式】 1．两角差的余弦公式 对于任意角α，β有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. 此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 . 公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和. 2．两角和的余弦公式 (1)公式的结构特征 (2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”. ①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； ②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”， 两角差时用“+”. 3．两角和与差的正弦公式 (1)两角和与差的正弦公式的结构特征 (2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”. ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦； ②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”， 两角差时用“-”. 4．两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式的结构特征 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 5．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 【知识点2 二倍角的正弦、余弦、正切公式】 1．二倍角公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 函数 公式 β=α 简记符号 正弦 sin2α =2sinαcosα S(α+β) S2α 余弦 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C(α+β) C2α 正切 T(α+β) T2α 2．二倍角公式的变形应用 (1)倍角公式的逆用 ①S2α：，，. ②C2α：. ③T2α：. (2)配方变形 . (3)因式分解变形 . (4)升幂公式 ；. 【题型1 两角和与差的余弦公式及其逆用】 【例1】（25-26高一上·广东广州·期末）（   ） A． B． C． D．1 【变式1-1】（25-26高三上·内蒙古包头·阶段检测）已知，且是第三象限角，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一下·湖北黄冈·期末）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 两角和与差的正弦公式及其逆用】 【例2】（25-26高三上·山西·阶段检测）（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·云南红河·期末）的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·广东深圳·期末）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·山东淄博·期末）已知，，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【题型3 两角和与差的正切公式及其逆用】 【例3】（25-26高一下·江苏·阶段检测）结果为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·重庆·期末）已知，，则（   ） A．7 B． C． D． 【变式3-2】（25-26高三上·云南昆明·期中）（   ） A．0 B． C．2 D． 【变式3-3】（25-26高一上·重庆·期末）已知是第三象限角且，，则值为（   ） A． B． C． D． 【题型4 二倍角公式】 【例4】（25-26高一上·广东广州·期末）若是第四象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知为第三象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·北京东城·期末）若，则等于（   ） A． B． C． D． 模块三 简单的三角恒等变换 【知识点3 几个三角恒等式】 1．半角公式 当所在的象限能够确定时，这三个公式中根号前的符号可以确定.一般情况，应保留“±”.这组公式通常称为三角函数的半角公式. 【注意】半角公式：主要用于角度减半、降幂、去平方，利用半角公式求值的时候注意角的象限. 2．辅助角公式 通过应用公式[或]将形如asinα+bcosα (a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式. 【知识点4 三角恒等变换思想】 1．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换 (1)角的代换 代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用尤为突出. 常用的角的代换形式： ①α=(α+β)-β； ②α=β-(β-α)； ③； ④； ⑤； ⑥. (2)常值代换 用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中要特别注意的是“1”的代换. 【题型5 半角公式】 【例5】（25-26高三·全国·一轮复习）已知，且，则＝（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·河北·模拟预测）已知，则（    ） A．0 B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一下·全国·课前预习）若是第一象限角，且，则的值是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一下·全国·课后作业）若是第三象限角，且，则的值为（    ） A． B．5 C． D． 【题型6 辅助角公式的应用】 【例6】（25-26高一上·广西崇左·期末）若函数为偶函数，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·上海·期末）已知函数． (1)求的最小正周期及单调减区间； (2)求函数在区间上的值域． 【变式6-3】（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）已知函数. (1)求的最小正周期 (2)已知，函数是偶函数，求的值. (3)函数在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围. 【题型7 三角恒等式的证明】 【例7】（25-26高一下·江苏徐州·期中）求证下列恒等式： (1)； (2). 【变式7-1】（25-26高一下·甘肃甘南·期中）求证： (1)； (2)． 【变式7-2】（25-26高一下·辽宁·期中）已知，且，证明： (1)； (2). 【变式7-3】（25-26高一上·广东湛江·期末）证明下列等式： (1)； (2). 【题型8 利用三角恒等变换判断三角形的形状】 【例8】（25-26高一下·江西宜春·期末）在中，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【变式8-1】（25-26高二上·河南安阳·期末）若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式8-2】（2026·河南·模拟预测）在中，内角、满足，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式8-3】（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）已知，角所对应的边分别为，且，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【题型9 三角恒等变换的化简问题】 【例9】（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）（   ） A． B． C． D．1 【变式9-1】（25-26高一下·江苏连云港·期中）（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高一上·云南普洱·期末）已知函数，. (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)求在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值. 【变式9-3】（25-26高一下·陕西汉中·阶段检测）已知函数，． (1)求的单调递减区间； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)若，，求的值． 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·天津·期末）（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽·期末）（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·山西太原·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东菏泽·期末）的值为（    ） A． B． C．1 D． 5．（25-26高一下·江西南昌·期中）化简：（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·宁夏固原·期末）已知，都是锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·湖南郴州·期末）已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026高二上·云南·学业考试）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·云南昭通·期末）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·湖南永州·期末）函数，则（    ） A．函数的最小正周期 B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间的值域为 D．若，则或 三、填空题 12．（25-26高一上·陕西西安·期末）＝__________. 13．（25-26高一上·河南洛阳·期末）已知为锐角，若，则__________. 14．（25-26高一上·吉林长春·期末）若， 为第三象限角，则__________. 四、解答题 15．（25-26高一·全国·课后作业）利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1)； (2)； (3). 16．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知. (1)求的值； (2)若，求的值. 17．（25-26高一上·上海·期末）可知． (1)求的值； (2)求的值． 18．（25-26高一上·山西太原·期末）已知，，且，． (1)求，的值； (2)求的值． 19．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知函数． (1)若，求的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)已知函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $