第30讲 函数y=Asin(ωx+φ)（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

第30讲 函数y=Asin(ωx+φ) 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 “五点法”作正（余）弦型函数图象 题型2 同名三角函数间的图象变换 题型3 异名三角函数间的图象变换 题型4 与三角恒等变换有关的图象变换 题型5 求图象变换前后的解析式 题型6 根据三角函数部分图象求解析式 题型7 根据图象变换研究三角函数性质 题型8 y=Asin(ωx+φ)图象性质综合 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 y=Asin(ωx+φ) 1. 理解背景：经历匀速圆周运动（如筒车）的数学建模过程，理解参数的实际意义，培养数学建模素养. 2. 掌握变换：探究参数对图象的影响，掌握由 到  的图象变换规律，培养直观想象素养. 3. 熟练作图：掌握“五点法”作图，能由图象求解析式并解决简单实际问题，提升逻辑推理与数学运算素养. 4. 体会思想：领悟数形结合、从特殊到一般及整体代换的数学思想. 学习重点：（1）图象变换：准确掌握平移、伸缩变换的顺序及对应的解析式变化规律. （2）五点法作图：熟练运用“五点法”绘制函数在一个周期内的简图. 学习难点：（1）深刻理解“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”中平移量的差异及内在联系. （2）逆向求参：由部分图象信息准确提取 A,ω,φ，特别是初相 φ的确定. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 五点法作图 “五点法”画函数，的图象的步骤： （1）列表：令，依次得到相应的的值，列表如下： x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 （2）描点：在直角坐标系中描出各点； （3）连线：用干光滑的曲线连接这些点，得到函数，在一个周期内的图象. 知识点02 A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响 1、φ对函数图象的影响（平移变换） 函数（其中）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左（当时）或向右（当时）平移个单位长度而得到（可简记为“左加右减”）. φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. 2、对函数图象的影响（周期变换） 函数的图象，可以看作是把的图象上所有的点的横坐标缩短（当）或伸长（当时）到原来的（纵坐标不变）而得到. ω决定了函数的周期 3、对函数图象的影响（振幅变换） 函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的倍而得到. A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. 知识点03 三角函数图象变换 1、函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 2、三角函数图象变换中的三个注意点 （1）变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； 例如：或 （2）要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数图象，得到的是哪个函数图象，切不可弄错方向； （3）要弄准变换量的大小，特别是平移变换中 函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位， 函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位． 题型1 “五点法”作正（余）弦型函数图象 【例1】利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图. 列表:   x y 作图: 【方法总结】 “五点法”作正（余）弦型函数图象的方法见知识点01. 【变式1-1】已知函数. 利用“五点法”完成下面表格，并画出在区间上的图象； 0 题型2 同名三角函数间的图象变换 【例2】为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【方法总结】 同名三角函数图象变换解题方法总结： 同名三角函数变换分先平移后伸缩、先伸缩后平移两类，核心口诀：平移针对单独 x，伸缩改变 x 系数. （1）平移规则：只对自变量加减常数，左加右减. 形如，需提取写成，平移量为，极易错把直接当作平移单位. 如，向左移得. （2）伸缩规则：横坐标伸缩只改变x系数，纵坐标伸缩改变函数整体倍数. 先平移再伸缩时，平移量不受系数影响；先伸缩再平移时，平移量要除以. （3）解题步骤：统一函数名→整理出x单独括号形式→区分变换顺序计算平移长度，最后匹配选项. 【变式2-1】（多选）得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的坐标（    ） A．向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） B．向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） C．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度 D．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 题型3 异名三角函数间的图象变换 【例3】要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【方法总结】 异名三角函数图象变换解题方法总结： （1）第一步：利用诱导公式统一函数名，依托完成正弦、余弦互化，再按同名变换规则操作； （2）统一函数：将目标式全部化为同一种三角函数，如本题； （3）整理自变量：提取x前系数，写成形式，平移单位只看单独x后的常数，牢记左加右减，不可直接用相位平移； （3）区分变换顺序：先伸缩后平移时，平移长度需除以；先平移后伸缩时，平移长度不变. 解题流程：异名化同名→提取分离 → 对比两式括号内的常数差，确定平移方向与单位，匹配选项. 【变式3-1】 将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型4 与三角恒等变换有关的图象变换 【例4】要得到函数的图象，只需把函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【方法总结】 与三角恒等变换有关的图象变换问题的方法总结： （1）标准化简为先：先用和差公式、诱导公式、辅助角公式，将含的混合表达式，统一化成单一标准三角函数，消除多分项形式，这是解题基础； （2）拆分自变量：对化简后的式子提取，整理为，平移变换只针对单独的，不可直接用整体相位作为平移单位； （2）判定平移规则：遵循 “左加右减”，平移距离为；区分变换顺序，先伸缩后平移时，平移长度需除以，先平移后伸缩则平移长度不变; 通用解题流程：恒等化简统一函数→拆分角分离自变量x→对比原始函数相位差→确定平移、伸缩的方向与单位，匹配答案. 【变式4-1】要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 题型5 求图象变换前后的解析式 【例5】将函数的图象上所有点向左平移个单位，再将所得的图象的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式是 A． B． C． D． 【方法总结】 求图象变换前后的解析式方法总结： 类型一：正向变换（已知原式求变换后解析式）： 遵循先平移、后伸缩分步替换：平移时，将式中单独替换为（左加右减）；横坐标伸缩时，将替换为，伸长则，缩短则；纵坐标伸缩直接在函数整体乘系数. 全程只替换自变量，不可整体加减缩放. 类型二：逆向变换（已知变换后求原式）： 变换操作反向、参数取逆：平移反向，左移变右移；伸缩取倒数，伸长换缩短. 逆推时从最终式子往回代换，每一步还原自变量. 提示： 所有变换仅作用于单独x，不能对整体平移；变换顺序不可颠倒，先平移后伸缩与先伸缩后平移的平移量不同，分步书写代换避免混淆. 【变式5-1】将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再将其横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若，，则（    ） A． B． C． D． 题型6 根据三角函数部分图象求解析式 【例6】下图是函数的部分图象，则该函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 由三角函数部分图象求解析式的方法总结：标准形式，按四步求解： （1）求振幅：由图象最高点、最低点纵坐标，得. （2）求：先找图象上两个关键点算出周期，再用；可利用零点、极值点之间的水平距离判断周期倍数. （3）求初相： 方法一：代入图象已知点坐标解方程； 方法二：五点法，匹配正弦标准五点位置，锁定对应取值； 方法三：平移法，由标准左右平移推导相位. （4）核验取舍：求出后代入图象特殊点验证，舍去不符选项，注意限定常见取值范围. 【变式6-1】已知函数的图象如图所示，则的表达式可以为（    ） A． B． C． D． 题型7 根据图象变换研究三角函数性质 【例7】（1）将函数的图象向右平移个单位长度后得到曲线．若曲线关于原点对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． （2）将函数图象向右平移个单位后得到的函数，则具有性质（    ） A．最大值为1，图角关于直线对称 B．在上单调递增，为奇函数 C．在上单调递增，为偶函数 D．周期为，图象关于点对称 【变式7-1】若函数（）的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【变式7-2】（多选）先将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数的图象，则下列说法中正确的是（    ）． A．的周期是 B．是奇函数 C．的图象关于点对称 D．在区间上单调递增 题型8 y=Asin(ωx+φ)图象性质综合 【例8】已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【方法总结】 研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数. 【变式8-1】13．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．将的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来2倍，得到的图象，则 C．的对称中心为 D．若，且，则 一、单选题 1．要得到函数的图象，只要将函数的图象（    ） A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 2．如图是函数的部分图象，则该函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 3．要得到的图像，只需将的图像（    ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向左平移 4．已知函数在上的最小值为-1，那么实数的最小值为（   ） A． B． C．2 D．3 5．将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（　　）. A． B． C． D． 6．将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原来的图像重合，当时，，则（   ） A． B．2 C． D． 二、多选题 7．函数图象上所有的点经过变换得到函数的图象，这种变换可以是（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 8．若将函数的图像向右平移个周期后，与函数的图像重合，则的一个可能取值为（    ） A． B． C． D． 9．函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B．函数在区间上单调递增 C．函数图象关于直线对称 D．函数图象的对称中心为 三、填空题 10．已知函数的最小正周期为，且在上单调递增，则的取值范围为________. 11．函数（其中，，）的图象如图所示，若将函数的图象上的各点的横坐标伸长为原来的3倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则 ______. 12．已知，则_________．若在上单调递减，则_________． 四、解答题 13．已知函数的部分图象如图所示，图象与x轴正半轴的第一个交点（从左至右）为，图象与y轴的交点为． (1)求的解析式及对称中心； (2)将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求在区间上的单调递减区间． 14．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式及单调减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第30讲 函数y=Asin(ωx+φ) 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 “五点法”作正（余）弦型函数图象 题型2 同名三角函数间的图象变换 题型3 异名三角函数间的图象变换 题型4 与三角恒等变换有关的图象变换 题型5 求图象变换前后的解析式 题型6 根据三角函数部分图象求解析式 题型7 根据图象变换研究三角函数性质 题型8 y=Asin(ωx+φ)图象性质综合 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 y=Asin(ωx+φ) 1. 理解背景：经历匀速圆周运动（如筒车）的数学建模过程，理解参数的实际意义，培养数学建模素养. 2. 掌握变换：探究参数对图象的影响，掌握由 到  的图象变换规律，培养直观想象素养. 3. 熟练作图：掌握“五点法”作图，能由图象求解析式并解决简单实际问题，提升逻辑推理与数学运算素养. 4. 体会思想：领悟数形结合、从特殊到一般及整体代换的数学思想. 学习重点：（1）图象变换：准确掌握平移、伸缩变换的顺序及对应的解析式变化规律. （2）五点法作图：熟练运用“五点法”绘制函数在一个周期内的简图. 学习难点：（1）深刻理解“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”中平移量的差异及内在联系. （2）逆向求参：由部分图象信息准确提取 A,ω,φ，特别是初相 φ的确定. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 五点法作图 “五点法”画函数，的图象的步骤： （1）列表：令，依次得到相应的的值，列表如下： x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 （2）描点：在直角坐标系中描出各点； （3）连线：用干光滑的曲线连接这些点，得到函数，在一个周期内的图象. 知识点02 A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响 1、φ对函数图象的影响（平移变换） 函数（其中）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左（当时）或向右（当时）平移个单位长度而得到（可简记为“左加右减”）. φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. 2、对函数图象的影响（周期变换） 函数的图象，可以看作是把的图象上所有的点的横坐标缩短（当）或伸长（当时）到原来的（纵坐标不变）而得到. ω决定了函数的周期 3、对函数图象的影响（振幅变换） 函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的倍而得到. A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. 知识点03 三角函数图象变换 1、函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 2、三角函数图象变换中的三个注意点 （1）变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； 例如：或 （2）要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数图象，得到的是哪个函数图象，切不可弄错方向； （3）要弄准变换量的大小，特别是平移变换中 函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位， 函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位． 题型1 “五点法”作正（余）弦型函数图象 【例1】利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图. 列表:   x y 作图: 【答案】答案见解析； 【详解】先列表，后描点并画图. 0 x y 0 1 0 0 【方法总结】 “五点法”作正（余）弦型函数图象的方法见知识点01. 【变式1-1】已知函数. 利用“五点法”完成下面表格，并画出在区间上的图象； 0 【答案】答案见解析 【详解】由题意，列表如下： 0 画出在区间上的图象如图： 题型2 同名三角函数间的图象变换 【例2】为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【详解】函数， 因此把函数图象上的所有点向左平移个单位得到函数的图象. 【方法总结】 同名三角函数图象变换解题方法总结： 同名三角函数变换分先平移后伸缩、先伸缩后平移两类，核心口诀：平移针对单独 x，伸缩改变 x 系数. （1）平移规则：只对自变量加减常数，左加右减. 形如，需提取写成，平移量为，极易错把直接当作平移单位. 如，向左移得. （2）伸缩规则：横坐标伸缩只改变x系数，纵坐标伸缩改变函数整体倍数. 先平移再伸缩时，平移量不受系数影响；先伸缩再平移时，平移量要除以. （3）解题步骤：统一函数名→整理出x单独括号形式→区分变换顺序计算平移长度，最后匹配选项. 【变式2-1】（多选）得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的坐标（    ） A．向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） B．向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） C．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度 D．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 【答案】AD 【详解】先平移后伸缩： 函数的图象向左平移个单位长度，得， 再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得； 先伸缩后平移： 函数图象将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得， 再向左平移个单位长度，得，即． 故AD符合题意. 故选：AD． 题型3 异名三角函数间的图象变换 【例3】要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【详解】 ， 将的图象向左平移个单位即可得到. 【方法总结】 异名三角函数图象变换解题方法总结： （1）第一步：利用诱导公式统一函数名，依托完成正弦、余弦互化，再按同名变换规则操作； （2）统一函数：将目标式全部化为同一种三角函数，如本题； （3）整理自变量：提取x前系数，写成形式，平移单位只看单独x后的常数，牢记左加右减，不可直接用相位平移； （3）区分变换顺序：先伸缩后平移时，平移长度需除以；先平移后伸缩时，平移长度不变. 解题流程：异名化同名→提取分离 → 对比两式括号内的常数差，确定平移方向与单位，匹配选项. 【变式3-1】 将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 得到， 由题有，即，取，得到， 故选：A. 题型4 与三角恒等变换有关的图象变换 【例4】要得到函数的图象，只需把函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【详解】， 把函数的图象向左平移个单位得到，满足要求，A正确， 其他选项均不合要求. 【方法总结】 与三角恒等变换有关的图象变换问题的方法总结： （1）标准化简为先：先用和差公式、诱导公式、辅助角公式，将含的混合表达式，统一化成单一标准三角函数，消除多分项形式，这是解题基础； （2）拆分自变量：对化简后的式子提取，整理为，平移变换只针对单独的，不可直接用整体相位作为平移单位； （2）判定平移规则：遵循 “左加右减”，平移距离为；区分变换顺序，先伸缩后平移时，平移长度需除以，先平移后伸缩则平移长度不变; 通用解题流程：恒等化简统一函数→拆分角分离自变量x→对比原始函数相位差→确定平移、伸缩的方向与单位，匹配答案. 【变式4-1】要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【详解】由题意，函数 ， 将向左平移个单位，可得， 题型5 求图象变换前后的解析式 【例5】将函数的图象上所有点向左平移个单位，再将所得的图象的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意， 将函数的图象上所有点向左平移个单位，得到， 将得到的图象的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到. 【方法总结】 求图象变换前后的解析式方法总结： 类型一：正向变换（已知原式求变换后解析式）： 遵循先平移、后伸缩分步替换：平移时，将式中单独替换为（左加右减）；横坐标伸缩时，将替换为，伸长则，缩短则；纵坐标伸缩直接在函数整体乘系数. 全程只替换自变量，不可整体加减缩放. 类型二：逆向变换（已知变换后求原式）： 变换操作反向、参数取逆：平移反向，左移变右移；伸缩取倒数，伸长换缩短. 逆推时从最终式子往回代换，每一步还原自变量. 提示： 所有变换仅作用于单独x，不能对整体平移；变换顺序不可颠倒，先平移后伸缩与先伸缩后平移的平移量不同，分步书写代换避免混淆. 【变式5-1】将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再将其横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 向右平移 个单位， 得到； 将横坐标伸长为原来的2倍，得到． 由 且 ，可得， 因此． 题型6 根据三角函数部分图象求解析式 【例6】下图是函数的部分图象，则该函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可得： ，即，即， 观察各选项可知，本题考虑即可，则， 把点代入中，可得：， 故，即， 所以. 【方法总结】 由三角函数部分图象求解析式的方法总结：标准形式，按四步求解： （1）求振幅：由图象最高点、最低点纵坐标，得. （2）求：先找图象上两个关键点算出周期，再用；可利用零点、极值点之间的水平距离判断周期倍数. （3）求初相： 方法一：代入图象已知点坐标解方程； 方法二：五点法，匹配正弦标准五点位置，锁定对应取值； 方法三：平移法，由标准左右平移推导相位. （4）核验取舍：求出后代入图象特殊点验证，舍去不符选项，注意限定常见取值范围. 【变式6-1】已知函数的图象如图所示，则的表达式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可知： , 经过最高点，故,故， 所以． 故选：A． 题型7 根据图象变换研究三角函数性质 【例7】（1）将函数的图象向右平移个单位长度后得到曲线．若曲线关于原点对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后函数解析式为： ，即， 又因为曲线关于原点对称，所以，， 解得，，因为，所以当时，取得最小值， 的最小值是. 故选：C （2）将函数图象向右平移个单位后得到的函数，则具有性质（    ） A．最大值为1，图角关于直线对称 B．在上单调递增，为奇函数 C．在上单调递增，为偶函数 D．周期为，图象关于点对称 【答案】D 【详解】 可得g(x)， 故函数g(x)图象的对称轴为x＝，故A错误； 因为g(－x)＝－sin 2x＝－g(x)，故函数g(x)为奇函数， 函数g(x)在上单调递增，在上单调递减，故B、C错误； ，当时，， 所以函数g(x)周期为，图象关于点对称，故D正确. 故选：D 【变式7-1】若函数（）的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后， 所得图象对应的函数为 ． 因为平移后的图象与原图象重合，所以有（）， 即（），又，所以的最小值为3． 故选：B 【变式7-2】（多选）先将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数的图象，则下列说法中正确的是（    ）． A．的周期是 B．是奇函数 C．的图象关于点对称 D．在区间上单调递增 【答案】AD 【详解】由题意得的最小正周期，A正确； 为偶函数，B错误； 将的图象上所有的点向右平移个单位，再向上平移1个单位后， 得到函数，令，得，， 令，得，则的图象关于点对称，C错误； 若 ，则，则在区间上单调递增，D正确． 故选：AD. 题型8 y=Asin(ωx+φ)图象性质综合 【例8】已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由图象可知：， ， 由 ，又，所以. 所以， 因为，故①正确； 当时，，所以，所以，故②错误； 由， ，， 所以函数的单调递增区间为，.故③正确； 将的图象向右平移个单位，得到 的图象，故④错误． 故选：B． 【方法总结】 研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数. 【变式8-1】13．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．将的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来2倍，得到的图象，则 C．的对称中心为 D．若，且，则 【答案】D 【详解】已知函数. 由图知，，故， 又过点，且该点在函数增区间上， 故，则， 则，故A错误； 将的图象向右平移个单位，可得的图象，再将所有点的横坐标变为原来2倍，可得的图象，即，故B错误； 令，则，即对称中心为，故C错误； 因为，且，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象，可知， 则，则，故D正确. 故选：D 一、单选题 1．要得到函数的图象，只要将函数的图象（    ） A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】A 【详解】因为， 所以要得到函数的图象，只要将函数的图象向右平移个单位. 2．如图是函数的部分图象，则该函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：，解得， 设函数的最小正周期为， 则，可得， 且，则，解得，可得， 代入点可得，即， 又因为，则， 可得，解得， 所以. 3．要得到的图像，只需将的图像（    ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向左平移 【答案】D 【详解】 ， 将向左平移得. 4．已知函数在上的最小值为-1，那么实数的最小值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】函数在区间上的最小值是-1， 令， 因为，所以只需，或解得，或. 所以实数的取值范围是，实数的最小值为2. 故选：C. 5．将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（　　）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将函数的图象上各点向右平移个单位长度，得到函数即的图象， 再把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，就得到函数的图象， 然后再把函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的4倍，就得到函数的图象. 故选：A. 6．将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原来的图像重合，当时，，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】由函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原来的图像重合，则是函数的一个周期， 所以，化简可得，其中，由，则， 可得，令，解得，其中， 所以函数的对称中心为，其中， 令，化简可得，则 故函数在上的对称中心为， 由，则，则函数在上单调递减， 由，且，则，即， 所以. 二、多选题 7．函数图象上所有的点经过变换得到函数的图象，这种变换可以是（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】BD 【详解】, 若向左平行移动个单位长度， 得，故错误； 若向左平行移动个单位长度， 得故正确； 若向右平行移动个单位长度， 得故错误； 若向右平行移动个单位长度， 得故正确. 8．若将函数的图像向右平移个周期后，与函数的图像重合，则的一个可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】，周期， 函数的图像向右平移个周期后， 得函数的图像， 而， 由题意，， 令，得，故A错误； 令，得，故B正确； 令，得，故C错误； 令，得，故D正确. 9．函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B．函数在区间上单调递增 C．函数图象关于直线对称 D．函数图象的对称中心为 【答案】ABD 【详解】由图象可知，，，因为，所以， 所以，而，则， 由图可知，所以，所以， A，图象向左平移个单位得到图象，正确； B，由，可得， 则单调递增区间为，则在上单调递增，即在上单调递增，正确； C，由于，则直线不是函数图象的对称轴，不正确； D，由，可得，则函数图象关于点对称，正确． 三、填空题 10．已知函数的最小正周期为，且在上单调递增，则的取值范围为________. 【答案】 【详解】因为的最小正周期为，所以，解得， 所以， 当，， 因为，所以， 因为在上单调递增， 所以，解得. 故答案为：. 11．函数（其中，，）的图象如图所示，若将函数的图象上的各点的横坐标伸长为原来的3倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则 ______. 【答案】 【详解】由图象易知，，图象过点，即，， 因为，所以， 又图象过点且该点位于单调递增区间，即， 所以，所以， 又，，所以，所以， 所以函数的解析式为， 将函数的图象上的各点的横坐标伸长为原来的3倍（纵坐标不变）得到函数的图象， 则可得， 故 ， 故答案为： 12．已知，则_________．若在上单调递减，则_________． 【答案】 1 【详解】由，可得， 所以，即， 所以， 由， 可得或，， 即或，， 又在上单调递减， 所以，， 可得：， 解得：， 又或，， 所以当时，满足题意， 故答案为：1； 四、解答题 13．已知函数的部分图象如图所示，图象与x轴正半轴的第一个交点（从左至右）为，图象与y轴的交点为． (1)求的解析式及对称中心； (2)将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求在区间上的单调递减区间． 【答案】(1)；，. (2) 【详解】（1）∵过，∴，由，∴，∴， 又过，∴，∴ ∴，∵，∴ ∴，∴， 令， ∴的对称中心为，. （2）函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的倍，得到； 再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，所以， ， ∴， ∵，∴， ∴在上单调递减区间为. 14．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式及单调减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和. 【答案】(1)，单调减区间为 . (2) 【详解】（1）由题意可知，函数， 又因为函数为奇函数，所以可得，， 又，解得 因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为， 可得周期，由可得. 故函数. 令， 可得单调减区间为，. （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数. 由方程得或， 即或（舍） 当时，，所以或或或； 即方程有四个实数根，不妨设为； 可得. 所以， 故所有根之和为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $