第15讲 指数函数（九大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

第15讲 指数函数（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 指数函数的概念 对于幂ax(a>0)，我们已经把指数x的范围拓展到了实数.上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法.下面继续研究其他类型的基本初等函数. 【知识点1 指数函数的概念】 1．指数函数的定义 (1)一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)解析式的结构特征： ①ax的系数为1； ②底数a是大于0且不等于1的常数. 【题型1 指数函数的判定】 【例1】（25-26高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一·江苏·寒假作业）给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式1-2】（25-26高一上·全国·课前预习）判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课前预习）下列函数中一定是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 根据函数是指数函数求参数】 【例2】（25-26高一上·全国·课前预习）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·全国·课堂例题）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 【变式2-3】（25-26高一上·全国·课后作业）若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 求指数函数的解析式】 【例3】（25-26高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【变式3-3】（2026高一·全国·专题练习）若指数函数的图象过点，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 模块三 指数函数的图象与性质 【知识点2 指数函数的图象与性质】 1．指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化范围 当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1 当x=0时，y=1 当x=0时，y=1 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1 2．底数对指数函数图象的影响 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解. (1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”. (2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近y轴. (3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大. 3．比较指数幂的大小的方法 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”. 4．指数方程(不等式)的求解思路 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化求解. 【题型4 比较指数幂的大小】 【例4】（25-26高一上·全国·期末）已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·河北廊坊·阶段检测）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·北京海淀·阶段检测）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【题型5 解指数不等式】 【例5】（25-26高一上·山西·阶段检测）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·浙江·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-2】（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·福建泉州·期中）设函数（且）的图象经过第二、三、四象限，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【题型6 指数函数图象的识别与应用】 【例6】（25-26高一上·湖南常德·阶段检测）函数的大致图像为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·广东惠州·期中）指数函数①；②满足不等式，则它们的图象是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式6-2】（25-26高一上·山东枣庄·期中）如图①②③④中不属于函数的一个是（       ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式6-3】（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【题型7 指数（型）函数的单调性问题】 【例7】（25-26高一上·甘肃天水·阶段检测）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高三上·江苏·阶段检测）下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·云南·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高一上·福建厦门·期中）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【题型8 指数型复合函数及其应用】 【例8】（25-26高一上·江苏常州·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一上·广西·期末）已知函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一上·河北承德·期末）已知函数的定义域为，且是奇函数． (1)求实数的值，并判断的单调性； (2)求不等式的解集． 【变式8-3】（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若有最大值3，求的值； (3)若的值域是，求的值． 【题型9 指数函数的实际应用】 【例9】（25-26高一上·湖北·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有85℃的物体，放在15℃的空气中冷却，以后物体的温度降为50℃.若将64℃的物体放在20℃的空气中冷却，则物体温度降为31℃所需要的冷却时间为（    ） A．3min B．4min C．5min D．6min 【变式9-2】（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发，使得体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后，体积与天数的关系式为.已知新丸经过25天后，体积变为，则新丸经过75天，体积变为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26高一上·山东潍坊·期中）某放射性物质在衰变过程中，其质量（单位：克）与年数满足关系式（为初始质量，为常数，）.已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（   ） A． B． C． D． 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 2．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）函数 且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 3．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知函数的最小值为1，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-1 4．（25-26高一上·重庆·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·陕西西安·期末）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·河北承德·期末）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知函数，则（    ） A．函数是偶函数，在上单调递减 B．函数是偶函数，在上单调递增 C．函数是奇函数，在上单调递减 D．函数是奇函数，在上单调递增 8．（25-26高一上·广东·期末）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D．（且） 10．（25-26高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的单调递减区间为 D．的图象关于直线对称 11．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）函数，其中且，则下列结论正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．方程在R上有解 C．函数的图象过定点 D．当时，函数在其定义域上为增函数 三、填空题 12．（25-26高一上·上海杨浦·期末）若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 13．（25-26高一上·福建福州·期末）函数的图象恒过定点，则的坐标为___________． 14．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数，则不等式的解集为___________． 四、解答题 15．（25-26高一上·云南昆明·期末）若指数函数的图象经过点，求的解析式及的值． 16．（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）已知且，函数是指数函数，且. (1)求m和a的值； (2)求的解集. 17．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的值； (2)判断的单调性并证明. 18．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知函数满足. (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)求函数的值域. 19．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数． (1)若，求在区间的值域； (2)若方程有两个不等实根，求实数m的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的范围． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 指数函数（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 指数函数的概念 对于幂ax(a>0)，我们已经把指数x的范围拓展到了实数.上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法.下面继续研究其他类型的基本初等函数. 【知识点1 指数函数的概念】 1．指数函数的定义 (1)一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)解析式的结构特征： ①ax的系数为1； ②底数a是大于0且不等于1的常数. 【题型1 指数函数的判定】 【例1】（25-26高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据指数函数定义即可判断. 【解答过程】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D. 【变式1-1】（25-26高一·江苏·寒假作业）给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解题思路】利用指数函数的定义，对所给函数逐一判断即可. 【解答过程】①中，的系数是－1，故①不是指数函数； ②中，的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数； ③中，的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有一项，故③是指数函数； ④中，的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数． ⑤中，底数，不是指数函数． 综上，指数函数的个数为1， 故选：B. 【变式1-2】（25-26高一上·全国·课前预习）判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 【答案】D 【解题思路】由指数函数定义可判断选项正误. 【解答过程】指数函数是指形如且的函数. 则四个选项中，只有D满足条件. 故选：D. 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课前预习）下列函数中一定是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由指数函数定义可得答案. 【解答过程】只有符合指数函数的定义，A，B，D中函数都不符合（且）的形式． 故选：C. 【题型2 根据函数是指数函数求参数】 【例2】（25-26高一上·全国·课前预习）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由指数函数的定义列出限制条件，求解不等式组可得答案. 【解答过程】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 故选：C. 【变式2-1】（25-26高一上·全国·课堂例题）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由指数函数的定义即可求解. 【解答过程】因为函数（是自变量）是指数函数，所以，解得：且； 故选：C. 【变式2-2】（25-26高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 【答案】D 【解题思路】由指数函数的定义可得且，，解方程验证可得． 【解答过程】解：因为函数是指数函数， 且，， 由解得或， ， 故选：D. 【变式2-3】（25-26高一上·全国·课后作业）若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据条件，利用指数函数的定义，即可求解. 【解答过程】由为指数函数，得且，解得， 故选：A. 【题型3 求指数函数的解析式】 【例3】（25-26高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，（且），代入点运算求解即可. 【解答过程】设，（且）， 因为函数的图象过点，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式3-1】（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设出解析式，用待定系数法可得结果. 【解答过程】设，因的图象过点， 则，得，所以， 故选：C. 【变式3-2】（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【解题思路】先求得的解析式，进而求得. 【解答过程】设且， 将代入得， 解得，所以， 所以. 故选：C. 【变式3-3】（2026高一·全国·专题练习）若指数函数的图象过点，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设出解析式，将点代入，求出解析式. 【解答过程】设（且），则， 解得，故. 故选：D. 模块三 指数函数的图象与性质 【知识点2 指数函数的图象与性质】 1．指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化范围 当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1 当x=0时，y=1 当x=0时，y=1 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1 2．底数对指数函数图象的影响 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解. (1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”. (2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近y轴. (3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大. 3．比较指数幂的大小的方法 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”. 4．指数方程(不等式)的求解思路 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化求解. 【题型4 比较指数幂的大小】 【例4】（25-26高一上·全国·期末）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用指数函数的单调性比较大小即可. 【解答过程】因为， 所以函数是减函数， 所以， 同理函数是增函数，所以. 综上：. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高一上·河北廊坊·阶段检测）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用指数函数的单调性求解. 【解答过程】为上的增函数，， ，， ，，，. 故选：C. 【变式4-2】（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据指数函数，幂函数的单调性比较大小. 【解答过程】因为在R上单调递增，所以，， 又在R上单调递减，所以， 而在上单调递增，所以，所以，即， 所以. 故选：A. 【变式4-3】（25-26高一上·北京海淀·阶段检测）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】要比较的大小，先将它们转化为同底数幂，再根据指数函数的单调性判断大小. 【解答过程】将统一底数为，则： ， ， ， 因为指数函数在上为单调递增，又因为， 所以：，即. 故选： D. 【题型5 解指数不等式】 【例5】（25-26高一上·山西·阶段检测）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将不等式变形为，根据指数函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【解答过程】由题意，可将转化为，即， 又指数函数是增函数，所以，即，解得． 故原不等式的解集为. 故选：D． 【变式5-1】（25-26高一上·浙江·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据指数函数的单调性及充要条件的定义即可判断. 【解答过程】， 又因为指数函数为增函数，所以，反之，当时，， 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 【变式5-2】（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用指数函数的单调性解不等式即可得出结果． 【解答过程】因，则， 即，解得， 所以的取值范围为． 故选：B． 【变式5-3】（25-26高一上·福建泉州·期中）设函数（且）的图象经过第二、三、四象限，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】判断函数是定义域R上的减函数，再将不等式化为，求解即可. 【解答过程】函数的图象过第二、三、四象限，则，解得， 则函数是定义域R上的减函数， 不等式化为，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：A. 【题型6 指数函数图象的识别与应用】 【例6】（25-26高一上·湖南常德·阶段检测）函数的大致图像为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用函数的定义域，奇偶性，特殊值选出答案 【解答过程】由题意知，函数的定义域为， 因为，所以为奇函数，排除A， ，排除B，，排除C，故D正确. 故选：D. 【变式6-1】（25-26高一上·广东惠州·期中）指数函数①；②满足不等式，则它们的图象是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性，再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线. 【解答过程】已知，因此和都是增函数（排除选项 C、D，因为 C、D 是减函数）； 由于，的增长速度比更快， 因此在时，的图象在的上方（对应选项 A中 “①在②上方”）. 故选：A. 【变式6-2】（25-26高一上·山东枣庄·期中）如图①②③④中不属于函数的一个是（       ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【解题思路】根据函数图象可判断②不过点，又指数函数恒过定点即可判断. 【解答过程】已知其中的三个函数都是指数函数， 指数函数的图象一定过点，图象②不过点. 故选：B. 【变式6-3】（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据排除C，判断函数的奇偶性可排除D；再根据时，可排除A. 【解答过程】由，可得，排除C， 则， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除D； 当时，，则，排除A，则B符合题意. 故选：B. 【题型7 指数（型）函数的单调性问题】 【例7】（25-26高一上·甘肃天水·阶段检测）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复合函数的单调性，可得函数在上单调递增，再由一元二次函数的性质求解即可. 【解答过程】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由题设及指数复合函数的单调性知，解得. 故选：C. 【变式7-1】（25-26高三上·江苏·阶段检测）下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用奇偶性的定义一一判断函数的奇偶性，利用函数的图像判断函数的单调性. 【解答过程】选项A，，，故是偶函数， 当时，为指数函数，底数， 故在上是单调递增函数，故选项A错误； 选项B，，定义域为，故函数为非奇非偶函数，故选项B错误； 选项C，，，，故是奇函数，故选项C错误； 选项D，，，故是偶函数， 是幂函数，当时，为单调递增函数， 是偶函数，关于轴对称， 在上是单调递减函数.故选项D正确. 故选：D. 【变式7-2】（25-26高一上·云南·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据二次函数、指数函数的性质，结合复合函数的单调性判断确定单调递增区间. 【解答过程】由在上单调递减，在上单调递增， 而在定义域上单调递减，则的单调递增区间为. 故选：D. 【变式7-3】（25-26高一上·福建厦门·期中）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设函数，根据复合函数的单调性的判定方法，以及指数函数与二次函数的性质，即可求解. 【解答过程】设函数， 则函数是由二次函数与指数函数复合而成的. 函数单调递增，要使函数在区间上单调递增， 则二次函数在区间上单调递增， 又因为的图象开口向上，且其对称轴为，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 【题型8 指数型复合函数及其应用】 【例8】（25-26高一上·江苏常州·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】令，所以，结合指数函数的单调性即可求出答案. 【解答过程】令，所以， 因为在上单调递增，所以， 所以函数的值域为. 故选：D. 【变式8-1】（25-26高一上·广西·期末）已知函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】构造函数，可得是奇函数，且在上是增函数，将不等式转化为，得到，结合的单调性，即可求解. 【解答过程】设函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且，即，所以为奇函数， 因为是上的增函数，是上的减函数， 所以是上的增函数， 由等价于， 即， 又因为是奇函数，可得， 可得，即，解得或. 所以不等式的解集为. 故选：B. 【变式8-2】（25-26高一上·河北承德·期末）已知函数的定义域为，且是奇函数． (1)求实数的值，并判断的单调性； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)，在上单调递减 (2) 【解题思路】（1）利用奇函数的定义可得出关于的等式，即可解出的值，化简函数的解析式，可判断出该函数的单调性； （2）将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【解答过程】（1）因为是奇函数，所以，即， 整理得恒成立， 所以，即恒成立，所以． 所以，则在上单调递减． 证明如下： 任取、，且，则， 所以， 即，故在上单调递减． （2）因为是奇函数， 所以，即． 因为在上单调递减，所以，即，解得， 即所求不等式的解集为． 【变式8-3】（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若有最大值3，求的值； (3)若的值域是，求的值． 【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是 (2)1 (3)0 【解题思路】（1）根据复合函数单调性判断，结合指数函数、二次函数性质判断单调区间； （2）由（1）及题设知，即可求参数值； （3）根据复合函数的值域，结合指数函数、二次函数性质确定参数值即可. 【解答过程】（1）当时，的定义域为R， 令，由在上单调递增，在上单调递减， 而在R上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）令，， 由于有最大值3，所以应有最小值， 因此必有．解得，即有最大值3时，a为1． （3）由指数函数的性质知，要使的值域为， 应使的值域为R， 因此只能（因为若，则为二次函数，其值域不可能为R）， 故a的值为0． 【题型9 指数函数的实际应用】 【例9】（25-26高一上·湖北·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将代入关系式可得出，将代入关系式可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果. 【解答过程】当时，，当时，，即. 所以当时，， 即后，还剩的污染物，所以前消除的污染物的占比为. 故选：A. 【变式9-1】（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有85℃的物体，放在15℃的空气中冷却，以后物体的温度降为50℃.若将64℃的物体放在20℃的空气中冷却，则物体温度降为31℃所需要的冷却时间为（    ） A．3min B．4min C．5min D．6min 【答案】D 【解题思路】根据给定的函数模型，求出即得确定的公式，再代入目标数据求解. 【解答过程】由85℃的物体，放在15℃的空气中冷却，以后物体的温度降为50℃， 得，解得， 当，，时，需要的冷却时间为， 则，解得，因此，解得， 所以物体温度降为31℃所需要的冷却时间为6min. 故选：D. 【变式9-2】（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发，使得体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后，体积与天数的关系式为.已知新丸经过25天后，体积变为，则新丸经过75天，体积变为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题干中的指数函数模型得，进而将代入模型计算即可. 【解答过程】分别设和时的体积为，则，即. 又当时. 故选：C. 【变式9-3】（25-26高一上·山东潍坊·期中）某放射性物质在衰变过程中，其质量（单位：克）与年数满足关系式（为初始质量，为常数，）.已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】依题意，时，求时的值. 【解答过程】经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半， 即时，， 则再经过6年，，. 故选：D. 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 【答案】A 【解题思路】直接根据指数函数的定义可得所求值. 【解答过程】因为函数是指数函数，所以且， 即且，解得. 故选：A. 2．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）函数 且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【解题思路】运用代入法进行求解即可. 【解答过程】因为函数 且的图象过点， 所以，或舍去， 故. 故选：A. 3．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知函数的最小值为1，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-1 【答案】A 【解题思路】先利用二次函数的最小值为 0，得到指数的最小值为，再根据指数函数的单调性，由 解出. 【解答过程】是增函数，所以的最小值由指数的最小值确定， 因为，所以的最小值为（当时取得）， 因此函数的最小值为，又已知的最小值为1， 所以，解得． 故选：A. 4．（25-26高一上·重庆·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令、求出，再令即可求出. 【解答过程】当时，；当时，，即， 当时，，即后，还剩64%的污染物， 所以前消除的污染物的占比为. 故选：B. 5．（25-26高一上·陕西西安·期末）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】运用换元法，令，令，逐步求出该复合函数的值域即可. 【解答过程】令，令， 由二次函数的性质可知，当时，二次函数在上单调递减， 在上单调递增，故， 又易知在上单调递减，故， 即函数的值域为. 故选：A. 6．（25-26高一上·河北承德·期末）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用奇偶性以及时，的范围排除错误选项可得答案. 【解答过程】由函数，得定义域为，关于原点对称． 又因为， 所以函数为上的奇函数， 所以函数的图象关于原点对称，故A，D错误． 当时，，， 所以，即； 当时，，， 所以，即． 所以由图象可知，C错误，B正确． 故选：B. 7．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知函数，则（    ） A．函数是偶函数，在上单调递减 B．函数是偶函数，在上单调递增 C．函数是奇函数，在上单调递减 D．函数是奇函数，在上单调递增 【答案】D 【解题思路】首先利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再利用函数的解析式判断单调性即可. 【解答过程】函数的定义域为， 又， 所以函数是奇函数， 又，所以函数在上单调递增. 故选：D. 8．（25-26高一上·广东·期末）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用复合函数的单调性法则把题目转化成二次函数单调性问题. 【解答过程】令，由于底数 ，所以指数函数 在上单调递减， 因此 的单调性与 的单调性相反， 要使 在 上单调递减，必须要求 在区间上单调递增. 二次函数 开口向上，对称轴为 ， 要使 在区间上单调递增，只需满足对称轴在区间的左侧， 即：. 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D．（且） 【答案】AD 【解题思路】根据指数函数的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【解答过程】对于A选项，为指数函数； 对于B选项，不是指数函数； 对于C选项，不是指数函数； 对于D选项，当且时，且， 则（且）为指数函数. 故选：AD. 10．（25-26高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的单调递减区间为 D．的图象关于直线对称 【答案】ACD 【解题思路】由指数函数的定义域可判断A；由指数型复合函数的单调性可判断BC；验证可得D. 【解答过程】A，由指数函数的性质知，的定义域为，A正确. B、C，函数在上单调递减，在上单调递增，是增函数， 所以在上单调递减，在上单调递增，，B错误，C正确. D，，的图象关于直线对称，D正确. 故选：ACD. 11．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）函数，其中且，则下列结论正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．方程在R上有解 C．函数的图象过定点 D．当时，函数在其定义域上为增函数 【答案】AB 【解题思路】根据函数单调性的性质，结合奇函数的定义、指数的运算法则、指数函数的单调性逐一判断即可. 【解答过程】对于A，的定义域为，且， 故为奇函数，A正确； 对于BC，，故方程在上有解，B正确，C错误； 对于D，当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递减，D错误． 故选：AB. 三、填空题 12．（25-26高一上·上海杨浦·期末）若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 【答案】 【解题思路】根据指数函数的定义进行求解即可. 【解答过程】因为函数 是指数函数， 所以有，且， 所以的取值范围是. 故答案为：. 13．（25-26高一上·福建福州·期末）函数的图象恒过定点，则的坐标为___________． 【答案】 【解题思路】根据指数型函数的性质求解即可. 【解答过程】由函数可知，当时，， 即函数的图象恒过点. 故答案为：. 14．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解题思路】令，则不等式可化为，求出，再根据指数函数单调性解出即可求出答案. 【解答过程】因为，， 所以 令，则， 即，解得或， 则或，解得或， 则不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·云南昆明·期末）若指数函数的图象经过点，求的解析式及的值． 【答案】， 【解题思路】设，由可求出的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值. 【解答过程】解：设指数函数，则，解得， 所以，， 故. 16．（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）已知且，函数是指数函数，且. (1)求m和a的值； (2)求的解集. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）根据指数函数的定义求解即可； （2）设，先将不等式利用换元法化为， 结合二次不等式和指数不等式的解法可得答案. 【解答过程】（1）由题意得，，解得或（不符合题意，舍去） 由且，得. （2）由（1）得，，即为， 设，则原不等式化为，解得或， ，得， 原不等式的解集为. 17．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的值； (2)判断的单调性并证明. 【答案】(1)， (2)单调递增，证明见解析 【解题思路】（1）利用，可求得的值，代回解析式验证可知满足题意； （2）任取，由可得单调性. 【解答过程】（1）为定义在上的奇函数，，解得：， 又，； 当，时，，， 满足为定义在上的奇函数； 综上所述：，. （2）在上单调递增，证明如下： 任取，则， ，，，， 在上单调递增. 18．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知函数满足. (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)求函数的值域. 【答案】(1) (2)单调递减区间为 ，无增区间. (3) 【解题思路】（1）根据代入计算即可； （2）依题意可得，再根据指数函数的性质判断即可； （3）根据指数函数的值域即可求解. 【解答过程】（1）由题可得，因为且，所以； （2）函数为复合函数， 令，在上单调递增， ，在上单调递减，所以函数在上单调递减， 所以函数的单调递减区间为 ，无增区间. （3）因为，则，所以， 所以函数的值域为. 19．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数． (1)若，求在区间的值域； (2)若方程有两个不等实根，求实数m的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用换元法令，，再结合二次函数的性质即可求解； （2）由（1）知利用换元法可得，，，方程有两个不等实根即等价于有两个不等实根且实根均大于零，从而可得，据此可求解； （3）若对任意的，总存在，使得，可得，由复合函数知识可得函数在时单调递减，时单调递增，从而求出，则只需令在上恒成立即可，分离参数可求解． 【解答过程】（1）当时，， 令，因为，所以， 所以可得一个二次函数，开口向上，对称轴为， 又，所以时，有最小值， 而离对称轴更远，所以时，有最大值， 所以，所以时，在区间上的值域为． （2）由（1）知当令，，， 则，即， 又指数函数单调递增，所以有两个不等实根，且此时实根大于零， 所以可得，解得，实数m的取值范围为． （3）由题意得， 若对任意的，总存在，使得，可得， 由函数可得当时单调递减，当时单调递增， 函数为增函数，所以由复合函数定义可得函数在时单调递减，时单调递增， 所以当时，有最小值， 由（2）知当令，，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数，在时均单调递增， 所以函数在时单调递增，所以， 所以，即，则实数m的取值范围为． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $