精品解析：黑龙江哈尔滨市道外区2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

数学学科八年级学业质量调研 考生须知： 1．本试卷满分为120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，考生将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式．对原式进行化简得到结果，即可做出判断． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； C、是最简二次根式，本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； 故选：C． 2. 在一个直角三角形中，如果斜边长是13，一条直角边长是5，那么另一条直角边长是（ ）． A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理直接计算即可． 【详解】解：根据勾股定理得，另一条直角边为12， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理求直角三角形的第三边是解题的关键． 3. 下列函数中，表示y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】正比例函数的定义为：形如（是常数，且）的函数叫做关于的正比例函数，根据定义逐一判断各选项，选出符合要求的选项即可． 【详解】解：A中的自变量在分母上，不符合正比例函数定义，不符合题意； B中，满足（其中），符合正比例函数定义，符合题意； C中，不是一次形式，不符合定义，不符合题意； D中，常数项为，不是正比例函数，不符合题意． 4. 某中学规定学生的学期体育成绩满分为，其中早锻炼及体育课外活动占，期中考试成绩占，期末考试成绩占．小明的三项成绩（百分制）依次是，他这学期的体育成绩是（ ）分． A. 91.5 B. 90 C. 88.5 D. 87 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ 早锻炼及体育课外活动成绩占比，期中考试成绩占比，期末考试成绩占比， 三项成绩依次为，， ∴ 本学期体育成绩为： （分）． 5. 如图，在五边形中，，，分别平分，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据五边形的内角和等于，由，可求，再根据角平分线的定义可得与的角度和，进一步求得的度数． 【详解】解：∵五边形的内角和为： ， 又∵， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴， ∴． 6. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向上平移2个单位长度，则平移后的函数图象与y轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数图像平移规律得到平移后的解析式，再利用y轴上点的横坐标为0的性质，代入求出纵坐标，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵一次函数图像向上平移个单位长度，平移后解析式为原解析式整体加平移长度， ∴原函数平移后的解析式为， ∵选项中所有点的横坐标为， ∴令，代入解析式得， ∴平移后的函数图象与y轴的交点坐标为． 7. 勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，堪称人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过面积法分别对四幅图列出面积等式并化简，验证是否能推导出，以此判断各图能否证明勾股定理，最终选出符合要求的选项． 【详解】A、梯形的面积为， 三个直角三角形的面积之和为， 令二者相等，两边乘化简得， 即，故A选项可以证明勾股定理． B、大正方形的面积为， 四个三角形与中间小正方形的面积之和为 令二者相等，展开化简得， 即，故选项B可以证明勾股定理． C、大正方形的面积为， 四个三角形与中间小正方形的面积之和为， 令二者相等，得，故选项C可以证明勾股定理． D、大正方形的面积为， 其余各部分面积之和为， 令二者相等，得，故选项D不能证明勾股定理． 8. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点H．若，，则的面积是（ ） A. 16 B. 10 C. 8 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于， 由作图知，射线平分， 根据菱形的性质得到，根据角平分线的性质得到， 根据三角形面积的公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于， 由作图知，射线平分， 四边形是菱形，对角线、相交于点， ， ， ． 9. 如图是根据八年班学生分钟跳绳次数制作的箱线图，由图不能确定这组数据的（ ） A. 下四分位数 B. 中位数 C. 最大值 D. 平均数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查箱线图的概念与结构，统计量的识别，准确识别箱线图中各部分对应的统计量是解题关键． 根据箱线图的结构，可直接读取下四分位数、中位数、最大值等统计量，但平均数没有体现． 【详解】解：据图可知，该箱线图的最大值为，下四分位数为，中位数为，没有体现平均数． 故选：． 10. 如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，沿匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，则y关于x的函数图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作交于点，证明四边形是矩形，根据勾股定理求出的长，分类讨论当点在线段上和当点在线段上时，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作交于点，即， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，； 当点在线段上时，即时，； 当点在线段上时，即时， ； 综上所述，， ∴选项B符合题意． 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数的自变量的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数列出不等式，解不等式即可得到自变量的取值范围 【详解】解：由题意得，， 解得， 12. 在平行四边形中，如果，那么_____________°． 【答案】100 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等、对边平行，邻角互补的性质进行计算即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 解得：， ． 13. 若点，，在正比例函数的图象上，则，，的大小关系为_____________．（用“<”连接） 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质，由比例系数的符号判断函数的增减性，再比较三个点横坐标的大小，即可得到纵坐标的大小关系． 【详解】解：正比例函数中，比例系数，由正比例函数的性质可得， 当时，随的增大而增大； 三个点的横坐标分别为，，， ∵， ∴． 14. 投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．在一次投壶比赛中，甲、乙两人成绩的平均数分别为，，方差分别为，．若，，，则成绩较稳定的是_____________．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】方差越大，数据波动越大，成绩越不稳定，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，在平均数相等时，通过比较方差大小判断稳定性即可． 【详解】解：，， ， 又， 乙的成绩较稳定． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝6，D是AB边的中点，则CD的长为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得CD的长． 【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=2，BC=6， ∴AB=， ∵D是AB边的中点， ∴CD=AB=， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理、斜边上的中线，解答本题的关键是求出AB的长． 16. 如图，直线与x轴的交点是，则关于x的不等式的解集是_____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵直线与x轴交于点， ∴由图象可得，关于x的不等式的解集为． 17. 我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是___________尺 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，设这根芦苇的长度是尺，根据勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设这根芦苇的长度是尺，由题意，得：水深为尺， 由勾股定理，得：， 解得：； 故答案为：13． 18. 观察数表： 第1行：，2，； 第2行：，，； 第3行：，4，； …… 根据数表排列的规律，第6行从左向右第2个数是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】将所有数统一改写为算术平方根的形式，归纳出被开方数的排列规律，再根据规律计算求解． 【详解】解：将原数表中所有数改写为算术平方根的形式，可得： 第1行：，， 第2行：，， 第3行：，， …… 归纳规律可得，数表中所有数是从开始的连续偶数的算术平方根，每行有个数， 第行从左向右第个数，是整个序列的第个数，对应被开方数为 将，代入得被开方数 因此第6行从左向右第2个数是． 19. △ABC中，AB=20cm，AC=15cm，高AD=12cm，则BC的长为____________. 【答案】25cm或7cm 【解析】 【分析】高的位置不确定，应分情况进行讨论：（1）高在内部；（2）高在外部．依此即可求解． 【详解】如图（1） AB=20cm，AC=15cm，AD⊥BC， 则BD==16cm，CD==9cm， 则BC=25cm； 如图（2）， 由（1）得BD=16cm，CD=9cm， 则BC=7cm． 则BC的长为25cm或7cm． 故答案为25cm或7cm． 【点睛】此题考查了勾股定理，本题需注意高的位置不确定，应根据三角形的形状分两种情况讨论． 20. 如图，平行四边形的对角线，交于点O，平分交于点E，且，，连接．有如下结论：①；②；③；④若，P为线段上一点，则的最小值是．正确的是_____________（填序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】可证得是等边三角形，，是的中位线，利用直角三角形中所对的边等于斜边的一半，中位线定理，可以得到，作点关于的对称点，当，，三点共线时，有最小值，最小值为，利用三角形全等和勾股定理即可得到． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∵平分交于点E， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即，结论①正确； ②∵， ∴ ∵，， ∴，结论②错误； ③∵平行四边形的对角线，交于点， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， 即，结论③正确； ④作点关于的对称点，连接交于点，连接， ∴，， ∴， 当，，三点共线时，有最小值，最小值为， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，结论④正确． 三、解答题（共计60分） 21. 计算： （1）； （2）（+5）×． 【答案】(1)0;(2)6+10. 【解析】 【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用二次根式的乘法法则运算． 【详解】（1）原式＝3﹣4+＝0； （2）原式＝+5＝6+10． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 22. 如图，方格纸每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，线段、的端点均在格点上．按下列要求在网格中画出图形． （1）在图1中，以为对角线画一个面积最大的菱形，C，D为格点； （2）在图2中，以为对角线画一个每条边都不相等的四边形，P，Q为格点，且．直接写出四边形的面积是_____________． 【答案】（1） （2） 四边形的面积是． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的判定定理解题； （2）根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：图略； ． 23. “健康第一”是某校春季开展的一项以学生身心健康为核心的教育主题行动．学校组织学生举行了一次以“锤炼体魄，健康启航”为主题的知识竞赛，成绩分别为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分，分，分，分．学校分别从七、八年级随机抽取名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均分 中位数 众数 七年级 八年级 （1）根据以上信息可以求出：_____________，_____________． （2）若该校七年级有人参加本次知识竞赛，八年级有人参加本次知识竞赛，且规定分及以上的成绩为优秀，请估计该校七年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生比八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生多多少人？ 【答案】（1），； （2）人． 【解析】 【分析】根据条形统计图可得七年级各等级的人数，从而求得七年级竞赛成绩的中位数，再由扇形统计图可得八年级竞赛成绩的众数； 根据图表信息可得成绩优秀的学生占比，再乘以对应的学生总数，再相减即可． 【小问1详解】 解：∵七年级成绩从小到大排列后，第个和第个同学成绩是等级分， ∴中位数， ∵八年级等级人数最多， ∴众数， 故答案为：，； 【小问2详解】 解： （人）， 答：估计该校七年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生比八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生多人． 24. 已知：在平行四边形中，点E为对角线的中点，连接，且． （1）如图1，求证：平行四边形是菱形； （2）如图2，，于点F，延长交于点G，连接．在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中四条线段，每条线段的长度是线段长度的倍． 【答案】（1）证明：点E为对角线的中点，， 是的垂直平分线， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形； （2），，， 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，从而得出结论； （2）根据菱形的性质易得到、是等边三角形，再求出，根据含角的直角三角形的性质求出、，再利用勾股定理求出，据此求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：、， ， 由（1）知，平行四边形是菱形， ， ， ， 、是等边三角形， ， 在中，， 在中，， ， ， ， 点E为对角线的中点， ， ， ， 在中，， ， ， 综上所述，，，，四条线段，每条线段的长度是线段长度的倍． 25. 某科技公司计划引入客服机器人，以提升客户咨询响应效率．两种型号的机器人工作效率与价格如下表所示： 机器人型号 每台机器人每小时可处理咨询量/条 每台机器人价格/万元 A 120 4 B 80 2 公司计划购买这两种型号的机器人共10台，每种型号的机器人至少购买1台，并且要求这10台机器人每小时处理的咨询量总和不少于1000条． （1）设购买A种型号的机器人x台，购买这10台机器人所花的总费用为y万元，求y关于x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围； （2）在购买的10台机器人中，购买几台A种型号的机器人能使所花的总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】（1）（且x为整数） （2）在购买的10台机器人中，购买5台A种型号的机器人能使所花的总费用最少，最少费用是30万元 【解析】 【分析】（1）先根据题意得到函数解析式，再结合“每种型号的机器人至少购买1台”和“咨询量总和不少于1000条”列不等式组，求出自变量x的取值范围即可； （2）根据一次函数的增减性求最值即可． 【小问1详解】 解：设购买A种型号的机器人x台，则购买B种型号的机器人台，购买这10台机器人所花的总费用为y万元， 根据题意得， ， ， ∴自变量x取值范围是且x为整数， 【小问2详解】 解：是x的一次函数，且， 随x的增大而增大， 时，y最少， 答：在购买的10台机器人中，购买5台A种型号的机器人能使所花的总费用最少，最少费用是30万元． 26. 【综合与探究】数学兴趣小组在学习矩形的过程中，对其中一个问题作如下探究： （1）【问题背景】教材79页8题 如图1，将矩形纸片沿着直线折叠，使点C落在处，，相交于点E，则与的数量关系是_____________． （2）【变式思考】如图2，矩形纸片，，，折叠纸片使点B的对应点E落在对角线上，求折痕的长； （3）【探究延伸】如图3，矩形纸片，，，点E为射线上一个动点，把沿着直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长． 【答案】（1） （2） （3）5或20 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质和矩形的性质解题； （2）设，则，根据矩形的性质和勾股定理计算； （3）分类讨论当点在矩形内部和外部时，根据勾股定理列方程计算即可． 【小问1详解】 解：由折叠的性质知，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质知，，，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵垂直平分， ∴，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ①如图，当点在矩形内部时， 由折叠的性质知，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴； ②如图，当点在矩形外部时， 同理可得，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或． 27. 已知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求直线的解析式； （2）如图1，B、C两点关于y轴对称，点为直线上一点，连接并延长，点E在的延长线上，于点F，设点E的横坐标为t，的长为d，求d与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，当时，连接、，点G在上方且，连接交于点H，连接分别交，于点K，Q，当时，求点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点Q的坐标是 【解析】 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式：；设点E的坐标为，过点E作轴交直线于点T，过D作于G，易得、、；再用等面积法求解即可； （3）过点O作交延长线于点M，过点O作于点N，交于点P，先求得点E的坐标为，四边形是正方形，且边长为6；证得，证明可得；设，则，证得；在中由勾股定理得，易得的坐标为；利用待定系数法求得直线的解析式，最后与直线的解析式联立求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵B、C两点关于y轴对称，点B的坐标为， ∴，设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式：； 设点E的坐标为，过点E作轴交直线于点T，过D作于G， ∴点T的坐标为，， ∴，， ∵， ∴， ． 【小问3详解】 解：如图，过点O作交延长线于点M，过点O作于点N，交于点P， 当时，，解得：， 的坐标为， ∴四边形是正方形，且边长为6， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 如图：延长到L，使得， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，即； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，，，，， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：或0（不合题意舍去）， ∴，即K的坐标为， 设直线的解析式：， 则，解得：， ∴直线的解析式：， 联立，解得：， ∴点Q的坐标是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科八年级学业质量调研 考生须知： 1．本试卷满分为120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，考生将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在一个直角三角形中，如果斜边长是13，一条直角边长是5，那么另一条直角边长是（ ）． A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 3. 下列函数中，表示y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 某中学规定学生的学期体育成绩满分为，其中早锻炼及体育课外活动占，期中考试成绩占，期末考试成绩占．小明的三项成绩（百分制）依次是，他这学期的体育成绩是（ ）分． A. 91.5 B. 90 C. 88.5 D. 87 5. 如图，在五边形中，，，分别平分，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向上平移2个单位长度，则平移后的函数图象与y轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，堪称人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点H．若，，则的面积是（ ） A. 16 B. 10 C. 8 D. 4 9. 如图是根据八年班学生分钟跳绳次数制作的箱线图，由图不能确定这组数据的（ ） A. 下四分位数 B. 中位数 C. 最大值 D. 平均数 10. 如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，沿匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，则y关于x的函数图象是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数的自变量的取值范围是____________． 12. 在平行四边形中，如果，那么_____________°． 13. 若点，，在正比例函数的图象上，则，，的大小关系为_____________．（用“<”连接） 14. 投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．在一次投壶比赛中，甲、乙两人成绩的平均数分别为，，方差分别为，．若，，，则成绩较稳定的是_____________．（填“甲”或“乙”） 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝6，D是AB边的中点，则CD的长为_________________． 16. 如图，直线与x轴的交点是，则关于x的不等式的解集是_____________． 17. 我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是___________尺 18. 观察数表： 第1行：，2，； 第2行：，，； 第3行：，4，； …… 根据数表排列的规律，第6行从左向右第2个数是_____________． 19. △ABC中，AB=20cm，AC=15cm，高AD=12cm，则BC的长为____________. 20. 如图，平行四边形的对角线，交于点O，平分交于点E，且，，连接．有如下结论：①；②；③；④若，P为线段上一点，则的最小值是．正确的是_____________（填序号）． 三、解答题（共计60分） 21. 计算： （1）； （2）（+5）×． 22. 如图，方格纸每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，线段、的端点均在格点上．按下列要求在网格中画出图形． （1）在图1中，以为对角线画一个面积最大的菱形，C，D为格点； （2）在图2中，以为对角线画一个每条边都不相等的四边形，P，Q为格点，且．直接写出四边形的面积是_____________． 23. “健康第一”是某校春季开展的一项以学生身心健康为核心的教育主题行动．学校组织学生举行了一次以“锤炼体魄，健康启航”为主题的知识竞赛，成绩分别为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分，分，分，分．学校分别从七、八年级随机抽取名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均分 中位数 众数 七年级 八年级 （1）根据以上信息可以求出：_____________，_____________． （2）若该校七年级有人参加本次知识竞赛，八年级有人参加本次知识竞赛，且规定分及以上的成绩为优秀，请估计该校七年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生比八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生多多少人？ 24. 已知：在平行四边形中，点E为对角线的中点，连接，且． （1）如图1，求证：平行四边形是菱形； （2）如图2，，于点F，延长交于点G，连接．在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中四条线段，每条线段的长度是线段长度的倍． 25. 某科技公司计划引入客服机器人，以提升客户咨询响应效率．两种型号的机器人工作效率与价格如下表所示： 机器人型号 每台机器人每小时可处理咨询量/条 每台机器人价格/万元 A 120 4 B 80 2 公司计划购买这两种型号的机器人共10台，每种型号的机器人至少购买1台，并且要求这10台机器人每小时处理的咨询量总和不少于1000条． （1）设购买A种型号的机器人x台，购买这10台机器人所花的总费用为y万元，求y关于x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围； （2）在购买的10台机器人中，购买几台A种型号的机器人能使所花的总费用最少？最少费用是多少？ 26. 【综合与探究】数学兴趣小组在学习矩形的过程中，对其中一个问题作如下探究： （1）【问题背景】教材79页8题 如图1，将矩形纸片沿着直线折叠，使点C落在处，，相交于点E，则与的数量关系是_____________． （2）【变式思考】如图2，矩形纸片，，，折叠纸片使点B的对应点E落在对角线上，求折痕的长； （3）【探究延伸】如图3，矩形纸片，，，点E为射线上一个动点，把沿着直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长． 27. 已知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求直线的解析式； （2）如图1，B、C两点关于y轴对称，点为直线上一点，连接并延长，点E在的延长线上，于点F，设点E的横坐标为t，的长为d，求d与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，当时，连接、，点G在上方且，连接交于点H，连接分别交，于点K，Q，当时，求点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $