精品解析：黑龙江省哈尔滨市道外区2024—2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年度下学期八年级学业水平调研测试 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写．字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第I卷选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 正比例函数的图象向上平移1个单位后得到的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各点一定在函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 4. 在下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 在四边形中，点，，，分别为，，，中点，并且，则四边形为（ ） A. 菱形 B. 正方形 C. 矩形 D. 梯形 6. 已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽度的道路，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽度为x米，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽图案，它近似的可以看成是由一串有公共顶点O的直角三角形演化而成的．若图2中的，按此规律继续演化，则的长为（ ） A B. 3 C. 5 D. 9. 如图，矩形中，分别以点B和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点E，若，，则的长为（ ） A. 14 B. 15 C. 18 D. 20 10. 如图1，在矩形中，动点P从点C出发，沿着C→D→A→B方向运动至点B处停止，设点P运动的路程为x，的面积为s，图2是点P运动时，的面积s随路程x变化的关系图象，则矩形的面积为（ ） A. 13 B. 20 C. 36 D. 40 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是______ ． 13. 一次函数的图象如图，点，点在函数图象上，若，则____（填“＞”“＝”或“＜”）． 14. 对于实数，，规定一种新运算：，例如，则______． 15. 如图，在中，是直角，是斜边上的中线，若，则的度数为________． 16. 把一副三角板按如图所示的位置放置，其中，，，斜边，，与相交于点O，若，连接，则的长为______． 17. 如图，一次函数与正比例函数相交于点，与轴交于点，则______． 18. 一种商品经连续两次降价后，价格从原来的100元，降到81元，若两次降价的百分率相同，则这个百分率为____________. 19. 已知矩形，，，点M在直线上，若，则的长为_____． 20. 如图，在中，，对角线，交于点，，平分交BC于点，交于点，连接．点在上，连接，．下列四个结论：；；；当时，的最小值为．其中一定正确的结论是______．（请将正确的结论序号填在横线上） 三、解答题（其中21、22每题7分，23、24每题8分，25-27每题10分） 21. 解一元二次方程： （1） （2） 22. 如图、图均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图中，作出以为边的平行四边形，并且平行四边形的面积为； （2）在图中，作出以为边的，使； （3）在图中，画出的中线．（只用无刻度的直尺，保留必要的作图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．） 23. 阅读下面材料，完成问题： 如果关于某个字母的二次三项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，能出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法在数学中是一种非常重要的方法，能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等问题． 例如：分解因式． 例如：求代数式的最小值． 原式 原式 ∵ ∴当时，有最小值，最小值为． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： （1）分解因式：______________； （2）求代数式最小值； （3）若和为三角形两条边长，并且满足，则_________． 24. 在劳动实践活动中，小亮同学想用木栅栏为班级围一块矩形形状的花园，花园背靠着学校院墙，购买了米的木栅栏，如图所示． （1）若，，直接写出y与x的函数关系式； （2）若要围出的矩形的面积为平方米，求的长为多少米？ （3）若要围出的矩形的面积为平方米，他的这个想法能实现吗？请说明理由． 25. 在数学活动课中，小明同学注意到教材第15题很有趣，小明同学和小组成员用“特殊到一般”的数学思想方法研究平行四边形对角线和边的关系，并解决了这个问题．他们在老师的帮助下查阅相关数学资料，发现数学中很多定理，比如斯特瓦尔特定理、中线长定理、角平分线长定理均属于这类问题．下面是他和小组成员的研究过程，请你阅读思考，并完成问题： 【特殊化感知】 如图1，正方形的边长为a，则很容易得到； （1）如图2，菱形的边长为a，则__________；（用含a的代数式表示） （2）如图3，在矩形中，，，则________；（用含a，b的代数式表示） 【一般化探究】 （3）如图4，在平行四边形中，，，则______；（用含a，b的代数式表示） 【拓展性延伸】 （4）已知：如图5，在中，，，，点D为BC的中点，求AD的长． 26. 已知：正方形中，点E在的延长线上，连接，点F在上，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点F作，交于点H，交于点P，求证：； （3）如图3，在（2）条件下，延长交于点Q，若，，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴负半轴于点B，交y轴正半轴于点A，且． （1）如图1，求直线的解析式； （2）如图2，点F在第一象限的直线上，过点F作轴，垂足为C，过点F作轴，垂足为E，点D在线段上（不与点O，E重合），连接，，，且，点F的横坐标为m，的面积为s，求s与m的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，点G在上，，连接，交于点H．若，过点B作垂直于直线，垂足为M，连接，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期八年级学业水平调研测试 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写．字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第I卷选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，需满足两个条件：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号） 【详解】解：A：被开方数是质数，无平方因数，且系数为整数，符合最简二次根式条件； B：，被开方数含分母，需分母有理化，故不是最简； C：被开方数含分母，需分母有理化，故不是最简； D：，含平方因数，可化简为，故不是最简； 故选A 2. 正比例函数的图象向上平移1个单位后得到的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“上加下减”的平移原理，结合原函数解析式即可得出结论． 【详解】根据“上加下减”的原理可得： 函数y=−2x的图象向上平移1个单位后得出的图象的函数解析式为y=−2x+1. 故选A 【点睛】此题考查一次函数图象与几何变换，解题关键在于掌握平移的性质 3. 下列各点一定在函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式，将点的横坐标代入解析式求出函数值判断是否等于纵坐标，逐个判断即可． 【详解】解：A． ：当时，，与点A的纵坐标4不符，排除． B． ：当时，，与点B的纵坐标0不符，排除． C． ：当时，，与点C的纵坐标8不符，排除． D． ：当时，，与点D的纵坐标一致，符合条件． 故选：D． 4. 在下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握：若三角形三边满足较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形．据此依次验证各选项即可． 【分析】解：A．∵， ∴该组线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B．∵， ∴该组线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C．∵， ∴该组线段能构成直角三角形，故此选项符合题意； D．∵， ∴该组线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 5. 在四边形中，点，，，分别为，，，的中点，并且，则四边形为（ ） A. 菱形 B. 正方形 C. 矩形 D. 梯形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、菱形的判定定理，根据三角形中位线定理可证，，根据可证，根据四条边都相等的四边形是菱形，可知四边形为菱形． 【详解】解：如下图所示，连接、， 点，为，的中点， 是的中位线， ，， 点，为，的中点， ，， ，， 同理可证，， ， ， 四边形为菱形． 故选：A． 6. 已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形判断即可． 【详解】解：如图， A、，能判定为矩形，本选项不符合题意； B、∵，，∴，能判定为矩形，本选项不符合题意； C、，能判定为矩形，本选项不符合题意； D、，能判定为菱形，不能判定为矩形，本选项符合题意； 故选：D． 7. 如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽度的道路，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽度为x米，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 设道路的宽度为x米，利用草坪的面积为540平方米可列方程． 【详解】解：设道路的宽度为x米， 根据题意得． 故选：A． 8. 如图，图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽图案，它近似的可以看成是由一串有公共顶点O的直角三角形演化而成的．若图2中的，按此规律继续演化，则的长为（ ） A. B. 3 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，图形类规律探究，分别求出的长，得到，即可得出结果． 【详解】解：由题意和勾股定理，得：，，， ∴， ∴； 故选B． 9. 如图，矩形中，分别以点B和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点E，若，，则的长为（ ） A. 14 B. 15 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质、勾股定理、垂直平分线的作图和性质等知识，根据勾股定理列方程是关键．设的长为，则，，在中，，即，解方程即可求出答案． 【详解】解：设的长为，则， 由作图可知，垂直平方， ∴ 在矩形中，， ∴在中，，即 解得（负值已舍去） 即的长为， 故选：C 10. 如图1，在矩形中，动点P从点C出发，沿着C→D→A→B方向运动至点B处停止，设点P运动的路程为x，的面积为s，图2是点P运动时，的面积s随路程x变化的关系图象，则矩形的面积为（ ） A 13 B. 20 C. 36 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了动点问题和函数图像，解题的关键是能根据函数图像分析出图形中线段的长度． 根据函数图像和矩形的性质可求出，即可求出矩形的面积． 【详解】解：由题意知：当点P在边上时，y随x的增大而增大； 当点P在边上时，y不随x的变化而变化； 当点P在边上时，y随x的增大而减小． 结合一次函数的图像可知，， ∴矩形面积为：． 故选：B 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 12. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是______ ． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意可得：把代入方程中得：，然后进行计算即可解答． 【详解】解：把代入方程中得： ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键． 13. 一次函数的图象如图，点，点在函数图象上，若，则____（填“＞”“＝”或“＜”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质．由函数图象知，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减少，结合，可求出． 【详解】解：∵函数图象知， ∴y随x的增大而减少， 又∵， ∴， 故答案为：． 14. 对于实数，，规定一种新运算：，例如，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义，二次根式的运算，二次根式的性质，根据新定义把转化为二次根式的运算计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 故答案为：． 15. 如图，在中，是直角，是斜边上的中线，若，则的度数为________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据直角三角形的性质得到，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，得出，即可得到答案． 【详解】解：，， ， 是斜边上的中线， ， ， 故答案为：． 16. 把一副三角板按如图所示的位置放置，其中，，，斜边，，与相交于点O，若，连接，则的长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】先证明，再由等腰直角三角形性质得， ，则，然后在中，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：，，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 17. 如图，一次函数与正比例函数相交于点，与轴交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数，由可得，当时，，求出，联立，解得，即，然后通过即可求解，解题的关键掌握一次函数与正比例函数性质． 【详解】解：由可得，当时，， ∴， ∴， 联立， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 一种商品经连续两次降价后，价格从原来的100元，降到81元，若两次降价的百分率相同，则这个百分率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】设两次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程即可求解． 【详解】解：设两次降价的百分率为，则： 解得：（舍去） 故两次降价的百分率为： 故答案：． 【点睛】本题考查增长率与一元二次方程．正确理解题意是解题关键． 19. 已知矩形，，，点M在直线上，若，则的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意分两种情况讨论，然后根据和求出，任何利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，当点M在上时， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴； 如图所示，当点M在射线上时， ∵在矩形中，，， ∴， ∴ ∴； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 20. 如图，在中，，对角线，交于点，，平分交BC于点，交于点，连接．点在上，连接，．下列四个结论：；；；当时，的最小值为．其中一定正确的结论是______．（请将正确的结论序号填在横线上） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． 由平行四边形性质可得，，，，可得是中位线，根据中位线性质可判断；根据三角形的中线性质可判断；证明是等边三角形，然后得出，即，可判断；作点关于的对称轴，连接交于点，连接，连接交于点，当三点共线时最小，即的最小值为的长，然后通过勾股定理，两点之间线段最短可判断． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴是中位线， ∴，， ∴，故正确， ∵分别为中点， ∴，故正确； ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故错误； 如图，作点关于的对称轴，连接交于点，连接，连接交于点， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时最小，即的最小值为的长， 如图，连接，则有， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为，故错误， 故选：． 三、解答题（其中21、22每题7分，23、24每题8分，25-27每题10分） 21. 解一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）由公式法求解即可； （2）由因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ，， 解得：，； 【小问2详解】 解： 或 ，． 22. 如图、图均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图中，作出以为边的平行四边形，并且平行四边形的面积为； （2）在图中，作出以为边的，使； （3）在图中，画出的中线．（只用无刻度的直尺，保留必要的作图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．） 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析． 【解析】 【分析】本题考查作图——应用与设计作图，三角形的中线，等腰直角三角形，平行四边形的判定与性质，勾股定理及逆定理，解题的关键是理解题意用所学知识解决问题． （）结合平行四边形的判定与性质按要求画图即可； （）作以为直角边的等腰直角三角形，即即可； （）取的中点，连接即可． 【小问1详解】 解：如图， ∴平行四边形即为所求； 【小问2详解】 解：如图， ∴即为所求， 理由：，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴即为所求； 【小问3详解】 解：如图，取的中点，连接， ∴即为所求． 23. 阅读下面材料，完成问题： 如果关于某个字母的二次三项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，能出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法在数学中是一种非常重要的方法，能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等问题． 例如：分解因式． 例如：求代数式的最小值． 原式 原式 ∵ ∴当时，有最小值，最小值为． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： （1）分解因式：______________； （2）求代数式最小值； （3）若和为三角形的两条边长，并且满足，则_________． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用，配方法的应用，非负数的性质，三角形三边关系，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （）运用示例的配方法凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解即可； （）由即可求解； （）先由，配方法凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解为，又和为三角形的两条边长，则有，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ， ∵ ∴， 代数式的最小值为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵和为三角形的两条边长， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 24. 在劳动实践活动中，小亮同学想用木栅栏为班级围一块矩形形状的花园，花园背靠着学校院墙，购买了米的木栅栏，如图所示． （1）若，，直接写出y与x的函数关系式； （2）若要围出的矩形的面积为平方米，求的长为多少米？ （3）若要围出的矩形的面积为平方米，他的这个想法能实现吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）的长为米 （3）他的想法不能实现，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找到等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由木栅栏长20米为等量关系可求解； （2）由矩形的面积为平方米为等量关系列出方程求解即可； （3）由矩形的面积为平方米为等量关系列出方程后，方程无解． 【小问1详解】 解：∵木栅栏长20米， ； 【小问2详解】 ∵矩形的面积为平方米，列方程得： 解得： 米； 【小问3详解】 ∵矩形的面积为平方米，列方程得： ， 整理得， ， 方程无实根， 因此他的想法不能实现． 25. 在数学活动课中，小明同学注意到教材第15题很有趣，小明同学和小组成员用“特殊到一般”的数学思想方法研究平行四边形对角线和边的关系，并解决了这个问题．他们在老师的帮助下查阅相关数学资料，发现数学中很多定理，比如斯特瓦尔特定理、中线长定理、角平分线长定理均属于这类问题．下面是他和小组成员的研究过程，请你阅读思考，并完成问题： 【特殊化感知】 如图1，正方形的边长为a，则很容易得到； （1）如图2，菱形的边长为a，则__________；（用含a的代数式表示） （2）如图3，在矩形中，，，则________；（用含a，b的代数式表示） 【一般化探究】 （3）如图4，在平行四边形中，，，则______；（用含a，b的代数式表示） 【拓展性延伸】 （4）已知：如图5，在中，，，，点D为BC的中点，求AD的长． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，得，，根据勾股定理得，变形得，进而即可求得答案； （2）根据矩形得到，结合已知可得，进而得到； （3）过点A作于点M，过点D作交的延长线于点N，利用平行四边形的性质，矩形判定和性质，勾股定理证明即可； （4）延长，截取，得到，由三角形的外交的性质可得，进而可求出，过点B作于点H，由勾股定理得，过点A作于点Q，根据求得，再根据勾股定理求出，设，则，在，根据，求出x的值，在，根据即可求出答案． 【详解】解：（1）根据菱形的性质，得，， 根据勾股定理得， 变形得， ， 即， 故答案为：； （2）四边形是矩形， ， ， ， 故答案为：； （3），理由如下： 四边形是平行四边形， ， 过点A作于点M，过点D作交的延长线于点N， ， 四边形是矩形， ， ， 故答案为：； （4）延长，截取， ， ， ， ， 过点B作于点H， ， ， 过点A作于点Q， ， 即， ， ， 点D为BC的中点， 设，则， ∵在中，， ， 解得或（舍）， ， ∴在中，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，正确构造直角三角形运用勾股定理计算是解题的关键． 26. 已知：正方形中，点E在的延长线上，连接，点F在上，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点F作，交于点H，交于点P，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点Q，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设，得出，再由正方形的性质及三角形内角和定理即可证明； （2）过点A作，连接，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，再由垂直平分线的判定和性质及直角三角形斜边中线的性质得出，利用各角之间的等量代换即可证明； （3）根据全等三角形的判定和性质得出，，设，根据勾股定理及矩形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设， ∴， 在正方形中，，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：过点A作，连接，如图所示： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，，， ∵， ∴垂直平分． ∴，，，， ∵， ∴，，， ∴． 【小问3详解】 解：∵，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵，，， ∴ ， ∴， 设， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵，即． ∴（舍）， ， ∴， 连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵正方形， ∴， ∴四边形是矩形，，，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的性质和勾股定理是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴负半轴于点B，交y轴正半轴于点A，且． （1）如图1，求直线的解析式； （2）如图2，点F在第一象限的直线上，过点F作轴，垂足为C，过点F作轴，垂足为E，点D在线段上（不与点O，E重合），连接，，，且，点F的横坐标为m，的面积为s，求s与m的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，点G在上，，连接，交于点H．若，过点B作垂直于直线，垂足为M，连接，求直线的解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质及等面积法求边长，熟练掌握待定系数法求解析式矩形的判定与性质是解题的关键， （1）根据直线，整理后得，再因直线与直角坐标系交点A、B，令时，，即可得到，从而推出，最后利用待定系数法求得函数解析式； （2）作交CF于点Q，易证四边形是矩形，设，，由三角形内角关系可求得．由于，从而可求得，推出．进而求得． （3）设，由题可求得，取中点k，连接、，由于G是的中点，可得到，，从而易证四边形是平行四边形，再由四边形是矩形，则在中K是中点，则，从而证得．作，则，截取，连接BP ，则，可得，设，可得到，利用勾股定理求得，从而得到，再根据，故，则，所以，进而推出，，在中，由勾股定理求出再利用等面积法，，，作，再人利用等面积法，求得，，即可得到．设，利用待定系数法即可得到过直线的解析式． 【小问1详解】 解：直线与直角坐标系交点A、B， 整理得： 当时，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 设，分别代入，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：作交CF于点Q， ∵轴，，， ∴四边形是矩形， 设，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∴． 【小问3详解】 解：设， ∵，， ∴， 取中点k，连接、， ∵G是的中点， ∴，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵在中K是中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 作，则， 截取，连接BP ，则， ∴， ∴，，， 设， ∴， ∵，则 ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴，， 作，， ∴，， ∴， ∴． 设，过，， ∴， ∴ ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $