第四单元 圆（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学人教版

该小学数学第四单元“圆”的复习讲义通过结构化知识框架系统梳理圆的核心内容，涵盖圆的认识、周长、面积、圆环及扇形，以知识框架图呈现定义、公式、特征等要点，清晰展现半径与直径关系、周长与面积区别等内在联系，突出半圆周长与面积区分、圆环面积计算等重难点。 讲义亮点在于分层练习设计与精准方法指导，真题拔高包含填空、选择、解答等题型，如“半圆拼成近似长方形求周长面积”培养几何直观（数学眼光），“圆形菜地围栅栏铺小路”强化模型意识（数学语言）。易错指引针对概念混淆、计算错误等问题，助力学生突破薄弱点，支持教师实施分层教学，提升复习实效。

第四单元 圆（单元举一反三讲义） 知识精讲 一、圆的认识 1、圆的定义与基本属性 （1）圆是一种由一条光滑、封闭的曲线围成的平面图形，区别于长方形、正方形、三角形等由线段围成的直线型平面图形。 （2）圆是平面内到定点距离等于定长的所有点的集合，结构均匀、首尾封闭，没有顶点和边。 2、圆的各部分名称及含义 （1）圆心 ① 圆中心的固定点叫做圆心，通常用字母O表示。 ② 圆心是画圆时圆规针尖固定的点，唯一确定圆的摆放位置，圆心位置不同，圆的位置就不同。 （2）半径 ① 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，通常用字母r表示。 ② 画圆时，圆规两脚之间的距离就是所画圆的半径，半径的长度决定圆的大小。 （3）直径 ① 通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做直径，通常用字母d表示。 ② 直径是圆内所有线段中最长的线段。 3、圆的核心特征 （1）数量特征 ① 在同一个圆或大小相等的圆（等圆）中，有无数条半径、无数条直径。 ② 同一个圆内，所有半径长度全部相等，所有直径长度全部相等。 （2）半径与直径的数量关系 ① 同一个圆或等圆中，直径长度是半径的2倍，半径长度是直径的一半。 ② 字母公式：d=2r、r=d÷2。 ③ 该关系仅适用于同圆或等圆，大小不同的圆，半径和直径无此倍数关系。 （3）大小与位置规律 ① 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 ② 半径越长，圆的面积和周长越大；半径越短，圆越小。 4、用圆规画圆的方法 （1）定点：把圆规带有针尖的一脚固定在平面任意一点，该点即为圆心。 （2）定长：根据需要确定圆的大小，拉开圆规两脚，固定两脚距离，该距离为圆的半径。 （3）旋转：保持针尖固定、两脚距离不变，握住圆规顶端，旋转一周，即可画出完整的圆。 5、圆的对称性 （1）圆是轴对称图形，也是平面图形中对称轴最多的图形。 （2）圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，因此圆有无数条对称轴。 （3）半圆是轴对称图形，仅有1条对称轴，为垂直于半圆直径的半径所在直线。 二、圆的周长 1、圆的周长定义 （1）围成圆的封闭曲线的长度，叫做圆的周长，用字母C表示。 （2）圆的周长是曲线长度，区别于直线图形的周长计算方式，无法直接用直尺测量。 2、圆周率（π） （1）定义：任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定不变的数，这个数叫做圆周率，用希腊字母π表示。 （2）数值特征：π是无限不循环小数，日常计算中，通常取近似值3.14。 （3）核心规律：无论圆的大小如何变化，圆周率π的数值始终不变，π是固定常数。 3、圆的周长计算公式 （1）已知直径求周长：周长=直径×圆周率，字母公式：C=πd。 （2）已知半径求周长：周长=2×圆周率×半径，字母公式：C=2πr。 4、半圆周长与半圆弧长的区别 （1）半圆弧长：仅为圆周长的一半，不含直径，公式：C半弧=πr。 （2）半圆周长：半圆弧的长度加上一条直径的长度，是封闭图形的周长，公式：C半圆=πr+2r=(π+2)r。 （3）易错点：半圆周长绝对不能直接用圆周长除以2计算，必须额外加上直径长度。 5、周长公式的变形应用 （1）已知周长求直径：d=C÷π。 （2）已知周长求半径：r=C÷π÷2。 三、圆的面积 1、圆的面积定义 （1）圆所占平面的大小，叫做圆的面积，用字母S表示。 2、圆的面积公式推导过程 （1）割补转化思想：把一个圆平均分成若干个相等的小扇形，平均分的份数越多，分割后的小扇形越接近等腰三角形。 （2）拼接变形：将分割后的小扇形交替拼接，可以拼成一个近似的长方形。 （3）对应关系：拼成的长方形的长等于圆周长的一半（πr），长方形的宽等于圆的半径（r）。 （4）公式推导：长方形面积=长×宽，因此圆的面积=圆周长一半×半径，即S=πr×r=πr²。 3、圆的面积计算公式及变形 （1）基础公式：S=πr²（核心公式，计算圆面积必须已知半径）。 （2）已知直径求面积：先算半径r=d÷2，再代入公式S=π(d÷2)²。 （3）已知周长求面积：先算半径r=C÷π÷2，再代入公式S=πr²。 4、半圆的面积 （1）定义：半圆所占平面的大小，是整个圆面积的一半。 （2）计算公式：S半圆=πr²÷2。 （3）注意：半圆面积无需加直径长度，仅为平面面积的一半，与半圆周长区分开。 5、圆的周长与面积的区别 （1）含义不同：周长是圆边线的长度，面积是圆所占平面的大小。 （2）单位不同：周长用长度单位（厘米、分米、米等），面积用面积单位（平方厘米、平方分米、平方米等）。 （3）公式不同：周长公式含2πr/πd，面积公式含r²，二者不能混淆。 四、圆环的认识与面积计算 1、圆环的定义 （1）在同一个圆心的大圆内部，挖去一个小的同心圆，剩余的环形部分叫做圆环，也叫环形。 （2）圆环的两个圆圆心相同、半径不同，属于同心圆结构。 2、圆环的各部分名称 （1）外圆：半径较大的大圆，半径用R表示。 （2）内圆：半径较小的小圆，半径用r表示。 （3）环宽：外圆半径与内圆半径的差值，环宽=R-r。 3、圆环的面积计算公式 （1）推导：圆环面积=外圆面积-内圆面积。 （2）基础公式：S圆环=πR²-πr²。 （3）简化公式：S圆环=π(R²-r²)（简便计算常用）。 （4）已知环宽和内圆半径：R=r+环宽，代入公式即可计算。 （5）已知环宽和外圆半径：r=R-环宽，代入公式即可计算。 五、扇形的认识 1、扇形的定义 （1）一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 （2）扇形是圆的一部分，由两条半径和一段曲线弧组成。 2、扇形的各部分名称 （1）弧：圆上任意两点之间的曲线部分叫做弧，是扇形的曲线边。 （2）圆心角：顶点在圆心，两条边为圆的半径的角，叫做圆心角，圆心角决定扇形的大小。 3、扇形的核心特征 （1）大小规律：在同一个圆中，圆心角越大，扇形面积越大、弧长越长；圆心角越小，扇形越小。 （2）对称性：扇形是轴对称图形，只有1条对称轴，为圆心角的角平分线所在直线。 （3）特殊扇形：圆心角是180°的扇形是半圆，圆心角是90°的扇形是四分之一圆。 易错指引 1、概念易错点 （1）半径、直径必须满足端点在圆上、过圆心的条件，圆内普通线段不是半径或直径。 （2）只有同圆或等圆中，直径才是半径的2倍，不同大小的圆无此关系。 2、计算易错点 （1）区分半圆周长和半圆弧长，半圆周长必须加直径。 （2）圆的面积公式是半径的平方，不是半径乘2，避免出现S=2πr的计算错误。 （3）圆环面积计算必须用外圆半径平方减内圆半径平方，不可直接用半径差的平方计算。 3、规律易错点 （1）圆的半径扩大n倍，直径、周长同步扩大n倍，面积扩大n²倍。 （2）圆周率π是固定值，不会随圆的大小改变而改变。 真题拔高 一、填空题 1．如图，把一个半圆分成16等份，然后拼成一个近似的长方形。长方形的长约是6.28分米，则长方形周长是( )分米，半圆面积是( )平方分米。 【答案】 20.56 25.12 【分析】根据题意，长方形的长相当于圆周长的，宽相当于圆的半径；根据圆的周长C＝2πr，用6.28乘4除以2再除以π即可算出半径；根据长方形的周长＝（长＋宽）×2即可算出周长；根据圆的面积S＝πr2算出圆的面积，再除以2即可算出半圆的面积。 【详解】6.28×4÷2÷3.14＝4（分米） 长方形的周长：（6.28＋4）×2 ＝10.28×2 ＝20.56（分米） 半圆的面积：3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（平方分米） 2．如图，平行四边形ABCD的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是( )平方厘米。 【答案】19.625 【分析】由图示可知，平行四边形的底边等于圆的直径，高等于半径，根据平行四边形的面积＝底边×高，可以求出圆的半径，阴影部分面积等于圆面积的四分之一，根据圆的面积公式求解即可。 【详解】设圆的半径为r，则有 ＝ ＝ ＝（平方厘米） 3．如果两个圆的半径的比是5∶2，那么它们周长的比是( )，面积的比是( )。 【答案】 5∶2 25∶4 【分析】由“”可知，，，∶＝∶＝∶，则圆的周长之比等于它们的半径之比；由“”可知，，，∶＝∶＝∶，则两个圆的面积之比等于它们半径的平方之比，据此解答。 【详解】分析可知，如果两个圆的半径的比是5∶2，那么它们周长的比是5∶2，面积的比是52∶22＝25∶4。 4．长沙县某公园的环湖绿道近似一个圆形。小明骑自行车绕湖一周。车轮转了约2000圈。如果车轮直径是0.7米，这条绿道周长约为( )米。（π取3.14）。 【答案】4396 【分析】已知车轮直径是0.7米，根据圆的周长公式：C＝πd，代入直径数值，求出车轮转1圈前进的距离，再用这个单圈周长乘小明骑车绕绿道一周的总圈数2000，即可求出绿道的周长。 【详解】3.14×0.7×2000 ＝2.198×2000 ＝4396（米） 所以这条绿道周长约为4396米。 5．如图，把一个圆沿半径平均分成若干份后，拼成一个近似的长方形，近似的长方形的周长比圆的周长增加了10cm，这个圆的周长是( )cm，面积是( )cm2。（π取3.14） 【答案】 31.4 78.5 【分析】把圆拼成近似长方形后，周长增加的部分是两条半径的长度。增加的长度为10cm，所以圆的半径为10÷2＝5（cm），根据圆的周长公式C＝2πr即可求出圆的周长，根据圆的面积公式即可求出圆的面积。据此解答。 【详解】10÷2＝5（cm） 2×3.14×5 ＝6.28×5 ＝31.4（cm） 3.14×52＝3.14×25＝78.5（cm2） 因此，这个圆的周长是31.4cm，面积是78.5cm2。 【点睛】圆拼成近似长方形后，周长增加的部分就是两条圆的半径，因此增加的长度除以2即可直接得到圆的半径。 6．大圆的半径是3cm，小圆的半径是2cm，大圆和小圆的周长之比是( )，面积之比是( )。 【答案】 3∶2 9∶4 【分析】根据圆的周长＝，圆的面积＝可知，两个圆的周长之比为两个圆的半径之比，面积之比为圆的半径的平方之比，由此即可计算。 【详解】大圆的周长∶小圆的周长＝大圆的半径∶小圆的半径＝3∶2； 大圆的面积∶小圆的面积＝大圆的半径²∶小圆的半径²＝3²∶2²＝9∶4； 即大圆和小圆的周长之比是3∶2，面积之比是9∶4。 7．用直尺和圆规画半圆，圆规两脚间的距离是3cm。这个半圆的直径是( )cm，周长是( )cm。 【答案】 6 15.42 【分析】圆规两脚尖之间的距离即所画半圆的半径，根据d＝2r，求出圆的直径；半圆的周长等于圆周长的一半加上直径，因为圆的周长公式，周长的一半即为，半圆的周长即为＋d，代入半径的值，π取3.14计算即可。 【详解】2×3＝6（cm） 3.14×3＝9.42（cm） 9.42＋6＝15.42（cm） 因此，用直尺和圆规画半圆，圆规两脚间的距离是3cm。这个半圆的直径是6cm，周长是15.42cm。 8．如图所示，把一个圆平均分成若干等份后，可以拼成一个近似的长方形。已知长方形的长是6.28dm，原来这个圆的面积是( )dm2。 【答案】12.56 【分析】由题意可知，长方形的长等于原来圆的周长的一半，所以圆的周长＝长方形的长×2，根据圆的周长C＝2πr，推出r＝C÷2π，进而根据圆的面积S＝πr2，求出圆的面积，据此解答。 【详解】圆的周长：6.28×2＝12.56（dm） 圆的半径：12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（dm） 圆的面积：3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（dm²） 原来这个圆的面积是12.56dm²。 9．如下图，线段AB长30cm，一只小蚂蚁从A开始沿着五个半圆爬行到B。小蚂蚁爬行的总路程是( )cm。 【答案】47.1 【分析】蚂蚁总爬行路程等于五个半圆的弧长之和，根据圆的周长公式，可知半圆的弧长为。通过将五个半圆的弧长转化为一个整圆的半周长来计算。假设五个半圆的直径分别为d1，d2，d3，d4，d5，那么可知d1＋d2＋d3＋d4＋d5＝30cm，总路程为 ＝（d1＋d2＋d3＋d4＋d5），计算即可。 【详解】×3.14×30 ＝3.14×（×30） ＝3.14×15 ＝47.1（cm） 因此，如下图，线段AB长30cm，一只小蚂蚁从A开始沿着五个半圆爬行到B。小蚂蚁爬行的总路程是47.1cm。 10．一个直径为4cm的半圆，周长是( )cm，面积是( )。 【答案】 10.28 6.28 【分析】根据半径＝直径÷2，半圆的周长；半圆的面积，由此代入数据即可解答。 【详解】（cm） （cm） （） 一个直径为4cm的半圆，周长是10.28cm，面积是6.28。 二、选择题 11．小安用圆规在纸上画一个周长是12.56厘米的圆。这时圆规两脚间的距离是（    ）厘米。（取3.14） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】画圆时，圆规两脚间的距离即为圆的半径。已知圆的周长，根据圆的周长公式 ，可以通过周长除以再除以2求出半径，进而确定选项。 【详解】 （厘米） 所以圆规两脚间的距离是2厘米。 12．如图，大圆的半径和小圆的半径分别是（    ）cm。 A．9；6 B．9；4.5 C．13.5；6 D．13.5；4.5 【答案】B 【分析】由图可知：大圆的直径等于长方形的宽18cm，根据半径是直径的一半，用18÷2求出大圆半径为9cm；大圆和小圆的直径之和等于长方形的长27cm，所以先用27减去大圆直径18cm求出小圆直径为9cm，再根据半径与直径的关系，用9÷2求出小圆半径为4.5cm，据此解答。 【详解】18÷2＝9（cm） 27－18＝9（cm） 9÷2＝4.5（cm） 所以大圆的半径是9cm，小圆的半径是4.5cm。 故答案为：B 13．同学们在天眼观景台参观时，了解到球面射电望远镜横截面（如图）的直径是500米，这个巨大“天眼”横截面的周长是（    ）。 A．157米 B．785米 C．1256米 D．1570米 【答案】D 【分析】根据圆的周长＝圆周率×直径，列式计算即可。 【详解】3.14×500＝1570（米） 这个巨大“天眼”横截面的周长是1570米。 故答案为：D 14．下面图形中，对称轴数量与半圆相同的是（    ）。 A．正方形 B．等腰三角形 C．长方形 D．圆形 【答案】B 【分析】在平面内，图形沿一条直线能够完全重合的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。正方形有4条对称轴，分别是两组对边的中点连线，以及两条对角线。等腰三角形有1条对称轴，是顶点与底边中点的连线。长方形有2条对称轴，分别是两组对边的中点连线。圆形有无数条对称轴，是每条直径所在直线。 【详解】半圆只有一条对称轴，也就是与半圆直径垂直的半径所在直线。等腰三角形只有一条对称轴。所以对称轴数量与半圆相同的是等腰三角形。 故答案为：B 15．在长是12cm，宽是8cm的长方形内画一个最大的圆，这个圆的半径是（    ）cm。 A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】分析题目，在长方形内画出一个最大的圆，圆的直径等于长方形的较短边，即圆的直径是8cm，再根据圆的半径＝直径÷2列式计算即可。 【详解】8÷2＝4（cm） 在长是12cm，宽是8cm的长方形内画一个最大的圆，这个圆的半径是4cm。 故答案为：A 三、判断题 16．一个圆的半径是3厘米，沿直径将这个圆切成两半，每个半圆的周长是9.42厘米。( ) 【答案】× 【分析】半圆的周长等于圆的周长的一半加上直径。题目中已知圆的半径是3厘米，先根据求出圆的周长的一半，再根据求出圆的直径，最后将圆的周长的一半和直径相加，再与题干中半圆的周长比较，看是否相等。 【详解】 （厘米） （厘米） （厘米） 所以，每个半圆的周长是9.42厘米的说法错误。 故答案为：× 17．圆心决定了圆的中心位置，半径是直径的。( ) 【答案】× 【分析】圆心决定圆的位置，直径是通过圆心且两端都在圆上的线段，半径是圆心到圆上任意一点的线段，在同一个圆或者等圆中，直径是半径的2倍，半径是直径的。但本题没有强调是在同一个圆或者相等的圆中，故说法错误。 【详解】圆心决定了圆的中心位置，正确；半径是直径的，没有强调是在同一个圆或者相等的圆中，错误。例如一个大圆的半径可能比一个小圆的直径更大。原题说法错误。 故答案为：× 18．左图是轴对称图形。( ) 【答案】× 【分析】 解答这道题需明确：一个图形沿一条直线对折，直线两侧的图形能完全重合，这样的图形叫轴对称图形，折痕所在的直线叫图形的对称轴。这个图形无法找到一条直线，能在对折后使两侧的图形完全重合。据此解答。 【详解】根据分析： 左图不是轴对称图形。 故答案为：× 19．周长相等的正方形和圆相比，正方形的面积小。( ) 【答案】√ 【分析】根据题意，选一个简单的周长数值（比如周长为12），分别算正方形和圆的面积再比较：正方形边长＝周长÷4，面积＝边长×边长；圆的半径＝周长÷2×π，面积是3.14×半径2，这样就能看出谁的面积小，据此解答。 【详解】假设正方形和圆的周长都是12： 正方形的面积： 边长：12÷4＝3 面积：3×3＝9 圆的面积： 半径：12÷（2×3.14） ＝12÷6.28 ≈1.91 面积：3.14×1.91×1.91≈11.46 比较：9＜11.46，所以正方形的面积小。 “周长相等的正方形和圆相比，正方形的面积小”的说法正确。 故答案为：√ 【点睛】解题关键是通过具体数值举例计算，直观比较面积大小，避免仅靠图形外观判断。 20．一个半圆的直径是10分米，它的周长是41.4分米。( ) 【答案】× 【分析】根据半圆周长的意义，半圆的周长等于该圆周长的一半加上一条直径的长度，根据半圆的周长公式：C＝πd÷2＋d（π取3.14），把数据代入公式解答。 【详解】3.14×10÷2＋10 ＝31.4÷2＋10 ＝15.7＋10 ＝25.7（分米） 所以它的周长是25.7分米。 故答案为：× 四、作图题 21．画一个直径3厘米的圆，并标注圆心O和半径r。 【答案】见详解 【分析】画圆时，因为圆心决定圆的位置，所以先确定圆心O，再确定半径，圆规两脚间的距离是半径，就可以画圆，并在图中标出圆心O和半径r。 【详解】半径：（厘米）作图如下： 五、解答题 22．学校劳动基地有一个直径10米的圆形菜地。 (1)如果给菜地围上一圈栅栏，栅栏长多少米？ (2)如果绕菜地铺一条1米宽的环形小路，小路面积是多少平方米？ 【答案】(1)31.4米 (2)34.54平方米 【分析】（1）栅栏的长度相当于圆的周长，根据圆的周长＝圆周率×直径，列式解答即可； （2）小路的形状是圆环，小圆半径＝菜地直径÷2，大圆半径＝小圆半径＋小路宽，根据圆环面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方），列式解答。 【详解】（1）（米） 答：栅栏长31.4米。 （2）10÷2＝5（米） 5＋1＝6（米） （平方米） 答：小路面积是34.54平方米。 23．欢欢家为了迎接新年，购置了一张崭新的圆形餐桌，寓意着团团圆圆。这张餐桌的半径是0.6米。她想给餐桌的边缘贴上一圈喜庆的装饰带，这圈装饰带至少需要多少米？（得数保留两位小数） 【答案】3.77米 【分析】给圆形餐桌边缘贴装饰带，装饰带的长度等于圆形餐桌的周长。已知圆的半径r=0.6米，根据圆的周长公式：C＝2πr，代入数值计算，最后按“四舍五入”法将结果保留两位小数。 【详解】2×3.14×0.6 ＝6.28×0.6 ＝3.768 ≈3.77（米） 答：这圈装饰带至少需要3.77米。 24．赣州宋城文化广场中心有一个半径为5米的喷泉，为完善配套设施、营造文化氛围，计划在喷泉周围铺上一条观景路。（如阴影部分所示） (1)这条观景路的占地面积是多少平方米？（π取3.14） (2)如果在观景路上走一圈，最多要走多少米？（π取3.14） 【答案】(1)75.36平方米 (2)43.96米 【分析】（1）由图可知，这条观景路的占地面积是圆环的面积，这个圆环的大圆的半径为（5＋2＝7）米，小圆的半径为5米，根据圆环的面积＝（大圆的半径²－小圆的半径²）×π即可求出这条观景路的占地面积。 （2）观景路上走一圈的最长距离为半径为（5＋2＝7）米的圆的周长，根据圆的周长＝即可求出最多要走多少米。 【详解】（1）5＋2＝7（米） （7²－5²）×3.14 ＝（49－25）×3.14 ＝24×3.14 ＝75.36（平方米） 答：这条观景路的占地面积是75.36平方米。 （2）2×3.14×7＝43.96（米） 答：如果在观景路上走一圈，最多要走43.96米。 25．一台大型压路机的前轮半径是1.5m，如果前轮每分钟转5圈，20分钟就可以从新修道路的一端行驶到另一端。这条新修道路大约长多少米？ 【答案】942米 【分析】根据“圆的周长＝2πr（r为半径）”代入数值计算出半径为1.5米的前轮的周长；再用前轮的周长乘5计算出一分钟行驶的路程；最后用一分钟行驶的路程乘20即可。 【详解】3.14×2×1.5×5×20 ＝6.28×1.5×5×20 ＝9.42×5×20 ＝47.1×20 ＝942（米） 答：这条新修道路大约长942米。 26．一个圆锥形沙堆，底面周长是25.12m，高是1.5m。如果每立方米沙重1.5t，那么这堆沙有多重？ 【答案】37.68t 【分析】圆锥的底面是圆形，首先根据圆的底面周长÷3.14÷2求出底面半径，再根据圆锥的体积公式：，求出沙堆的体积，然后用沙堆的体积乘每立方米沙的质量即可。 【详解】（m） （） （t） 答：这堆沙有37.68t。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 圆（单元举一反三讲义） 知识精讲 一、圆的认识 1、圆的定义与基本属性 （1）圆是一种由一条光滑、封闭的曲线围成的平面图形，区别于长方形、正方形、三角形等由线段围成的直线型平面图形。 （2）圆是平面内到定点距离等于定长的所有点的集合，结构均匀、首尾封闭，没有顶点和边。 2、圆的各部分名称及含义 （1）圆心 ① 圆中心的固定点叫做圆心，通常用字母O表示。 ② 圆心是画圆时圆规针尖固定的点，唯一确定圆的摆放位置，圆心位置不同，圆的位置就不同。 （2）半径 ① 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，通常用字母r表示。 ② 画圆时，圆规两脚之间的距离就是所画圆的半径，半径的长度决定圆的大小。 （3）直径 ① 通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做直径，通常用字母d表示。 ② 直径是圆内所有线段中最长的线段。 3、圆的核心特征 （1）数量特征 ① 在同一个圆或大小相等的圆（等圆）中，有无数条半径、无数条直径。 ② 同一个圆内，所有半径长度全部相等，所有直径长度全部相等。 （2）半径与直径的数量关系 ① 同一个圆或等圆中，直径长度是半径的2倍，半径长度是直径的一半。 ② 字母公式：d=2r、r=d÷2。 ③ 该关系仅适用于同圆或等圆，大小不同的圆，半径和直径无此倍数关系。 （3）大小与位置规律 ① 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 ② 半径越长，圆的面积和周长越大；半径越短，圆越小。 4、用圆规画圆的方法 （1）定点：把圆规带有针尖的一脚固定在平面任意一点，该点即为圆心。 （2）定长：根据需要确定圆的大小，拉开圆规两脚，固定两脚距离，该距离为圆的半径。 （3）旋转：保持针尖固定、两脚距离不变，握住圆规顶端，旋转一周，即可画出完整的圆。 5、圆的对称性 （1）圆是轴对称图形，也是平面图形中对称轴最多的图形。 （2）圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，因此圆有无数条对称轴。 （3）半圆是轴对称图形，仅有1条对称轴，为垂直于半圆直径的半径所在直线。 二、圆的周长 1、圆的周长定义 （1）围成圆的封闭曲线的长度，叫做圆的周长，用字母C表示。 （2）圆的周长是曲线长度，区别于直线图形的周长计算方式，无法直接用直尺测量。 2、圆周率（π） （1）定义：任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定不变的数，这个数叫做圆周率，用希腊字母π表示。 （2）数值特征：π是无限不循环小数，日常计算中，通常取近似值3.14。 （3）核心规律：无论圆的大小如何变化，圆周率π的数值始终不变，π是固定常数。 3、圆的周长计算公式 （1）已知直径求周长：周长=直径×圆周率，字母公式：C=πd。 （2）已知半径求周长：周长=2×圆周率×半径，字母公式：C=2πr。 4、半圆周长与半圆弧长的区别 （1）半圆弧长：仅为圆周长的一半，不含直径，公式：C半弧=πr。 （2）半圆周长：半圆弧的长度加上一条直径的长度，是封闭图形的周长，公式：C半圆=πr+2r=(π+2)r。 （3）易错点：半圆周长绝对不能直接用圆周长除以2计算，必须额外加上直径长度。 5、周长公式的变形应用 （1）已知周长求直径：d=C÷π。 （2）已知周长求半径：r=C÷π÷2。 三、圆的面积 1、圆的面积定义 （1）圆所占平面的大小，叫做圆的面积，用字母S表示。 2、圆的面积公式推导过程 （1）割补转化思想：把一个圆平均分成若干个相等的小扇形，平均分的份数越多，分割后的小扇形越接近等腰三角形。 （2）拼接变形：将分割后的小扇形交替拼接，可以拼成一个近似的长方形。 （3）对应关系：拼成的长方形的长等于圆周长的一半（πr），长方形的宽等于圆的半径（r）。 （4）公式推导：长方形面积=长×宽，因此圆的面积=圆周长一半×半径，即S=πr×r=πr²。 3、圆的面积计算公式及变形 （1）基础公式：S=πr²（核心公式，计算圆面积必须已知半径）。 （2）已知直径求面积：先算半径r=d÷2，再代入公式S=π(d÷2)²。 （3）已知周长求面积：先算半径r=C÷π÷2，再代入公式S=πr²。 4、半圆的面积 （1）定义：半圆所占平面的大小，是整个圆面积的一半。 （2）计算公式：S半圆=πr²÷2。 （3）注意：半圆面积无需加直径长度，仅为平面面积的一半，与半圆周长区分开。 5、圆的周长与面积的区别 （1）含义不同：周长是圆边线的长度，面积是圆所占平面的大小。 （2）单位不同：周长用长度单位（厘米、分米、米等），面积用面积单位（平方厘米、平方分米、平方米等）。 （3）公式不同：周长公式含2πr/πd，面积公式含r²，二者不能混淆。 四、圆环的认识与面积计算 1、圆环的定义 （1）在同一个圆心的大圆内部，挖去一个小的同心圆，剩余的环形部分叫做圆环，也叫环形。 （2）圆环的两个圆圆心相同、半径不同，属于同心圆结构。 2、圆环的各部分名称 （1）外圆：半径较大的大圆，半径用R表示。 （2）内圆：半径较小的小圆，半径用r表示。 （3）环宽：外圆半径与内圆半径的差值，环宽=R-r。 3、圆环的面积计算公式 （1）推导：圆环面积=外圆面积-内圆面积。 （2）基础公式：S圆环=πR²-πr²。 （3）简化公式：S圆环=π(R²-r²)（简便计算常用）。 （4）已知环宽和内圆半径：R=r+环宽，代入公式即可计算。 （5）已知环宽和外圆半径：r=R-环宽，代入公式即可计算。 五、扇形的认识 1、扇形的定义 （1）一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 （2）扇形是圆的一部分，由两条半径和一段曲线弧组成。 2、扇形的各部分名称 （1）弧：圆上任意两点之间的曲线部分叫做弧，是扇形的曲线边。 （2）圆心角：顶点在圆心，两条边为圆的半径的角，叫做圆心角，圆心角决定扇形的大小。 3、扇形的核心特征 （1）大小规律：在同一个圆中，圆心角越大，扇形面积越大、弧长越长；圆心角越小，扇形越小。 （2）对称性：扇形是轴对称图形，只有1条对称轴，为圆心角的角平分线所在直线。 （3）特殊扇形：圆心角是180°的扇形是半圆，圆心角是90°的扇形是四分之一圆。 易错指引 1、概念易错点 （1）半径、直径必须满足端点在圆上、过圆心的条件，圆内普通线段不是半径或直径。 （2）只有同圆或等圆中，直径才是半径的2倍，不同大小的圆无此关系。 2、计算易错点 （1）区分半圆周长和半圆弧长，半圆周长必须加直径。 （2）圆的面积公式是半径的平方，不是半径乘2，避免出现S=2πr的计算错误。 （3）圆环面积计算必须用外圆半径平方减内圆半径平方，不可直接用半径差的平方计算。 3、规律易错点 （1）圆的半径扩大n倍，直径、周长同步扩大n倍，面积扩大n²倍。 （2）圆周率π是固定值，不会随圆的大小改变而改变。 真题拔高 一、填空题 1．如图，把一个半圆分成16等份，然后拼成一个近似的长方形。长方形的长约是6.28分米，则长方形周长是( )分米，半圆面积是( )平方分米。 2．如图，平行四边形ABCD的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是( )平方厘米。 3．如果两个圆的半径的比是5∶2，那么它们周长的比是( )，面积的比是( )。 4．长沙县某公园的环湖绿道近似一个圆形。小明骑自行车绕湖一周。车轮转了约2000圈。如果车轮直径是0.7米，这条绿道周长约为( )米。（π取3.14）。 5．如图，把一个圆沿半径平均分成若干份后，拼成一个近似的长方形，近似的长方形的周长比圆的周长增加了10cm，这个圆的周长是( )cm，面积是( )cm2。（π取3.14） 6．大圆的半径是3cm，小圆的半径是2cm，大圆和小圆的周长之比是( )，面积之比是( )。 7．用直尺和圆规画半圆，圆规两脚间的距离是3cm。这个半圆的直径是( )cm，周长是( )cm。 8．如图所示，把一个圆平均分成若干等份后，可以拼成一个近似的长方形。已知长方形的长是6.28dm，原来这个圆的面积是( )dm2。 9．如下图，线段AB长30cm，一只小蚂蚁从A开始沿着五个半圆爬行到B。小蚂蚁爬行的总路程是( )cm。 10．一个直径为4cm的半圆，周长是( )cm，面积是( )。 二、选择题 11．小安用圆规在纸上画一个周长是12.56厘米的圆。这时圆规两脚间的距离是（    ）厘米。（取3.14） A．2 B．4 C．6 D．8 12．如图，大圆的半径和小圆的半径分别是（    ）cm。 A．9；6 B．9；4.5 C．13.5；6 D．13.5；4.5 13．同学们在天眼观景台参观时，了解到球面射电望远镜横截面（如图）的直径是500米，这个巨大“天眼”横截面的周长是（    ）。 A．157米 B．785米 C．1256米 D．1570米 14．下面图形中，对称轴数量与半圆相同的是（    ）。 A．正方形 B．等腰三角形 C．长方形 D．圆形 15．在长是12cm，宽是8cm的长方形内画一个最大的圆，这个圆的半径是（    ）cm。 A．4 B．6 C．8 D．12 三、判断题 16．一个圆的半径是3厘米，沿直径将这个圆切成两半，每个半圆的周长是9.42厘米。( ) 17．圆心决定了圆的中心位置，半径是直径的。( ) 18．左图是轴对称图形。( ) 19．周长相等的正方形和圆相比，正方形的面积小。( ) 20．一个半圆的直径是10分米，它的周长是41.4分米。( ) 四、作图题 21．画一个直径3厘米的圆，并标注圆心O和半径r。 五、解答题 22．学校劳动基地有一个直径10米的圆形菜地。 (1)如果给菜地围上一圈栅栏，栅栏长多少米？ (2)如果绕菜地铺一条1米宽的环形小路，小路面积是多少平方米？ 23．欢欢家为了迎接新年，购置了一张崭新的圆形餐桌，寓意着团团圆圆。这张餐桌的半径是0.6米。她想给餐桌的边缘贴上一圈喜庆的装饰带，这圈装饰带至少需要多少米？（得数保留两位小数） 24．赣州宋城文化广场中心有一个半径为5米的喷泉，为完善配套设施、营造文化氛围，计划在喷泉周围铺上一条观景路。（如阴影部分所示） (1)这条观景路的占地面积是多少平方米？（π取3.14） (2)如果在观景路上走一圈，最多要走多少米？（π取3.14） 25．一台大型压路机的前轮半径是1.5m，如果前轮每分钟转5圈，20分钟就可以从新修道路的一端行驶到另一端。这条新修道路大约长多少米？ 26．一个圆锥形沙堆，底面周长是25.12m，高是1.5m。如果每立方米沙重1.5t，那么这堆沙有多重？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $