寒假培优 第五单元 圆（讲义）-2025-2026学年六年级上册数学人教版

第五单元 圆 -2026年六年级上册人教版寒假培优讲义 知识精讲 1. 圆的认识 （1）各部分名称 圆心（O）：圆中心的固定点，决定圆的位置。 半径（r）：连接圆心和圆上任意一点的线段，决定圆的大小，一个圆有无数条半径。 直径（d）：通过圆心且两端都在圆上的线段，一个圆有无数条直径。 （2）核心性质 同圆或等圆中，直径长度是半径的2倍，即 1 或 。 同圆或等圆中，所有半径长度相等，所有直径长度相等。 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 （3）画圆方法 用圆规：定好两脚间的距离（半径），将针尖固定在圆心位置，旋转圆规一周即可画出圆。 2. 圆的周长 （1）定义 围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母 表示。 （2）圆周率（ ） 圆的周长与直径的比值是一个固定的无限不循环小数，通常取近似值 。 （3）计算公式 已知直径求周长： 已知半径求周长： 变形公式： ， 3. 圆的面积 （1）定义 圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母 0 表示。 （2）推导思路 将圆平均分成若干等份，拼成近似长方形：长方形的长相当于圆周长的一半（ ），宽相当于圆的半径（ ），因此圆的面积 。 （3）计算公式 基本公式： 半圆面积： （半圆周长需加直径： ） 四分之一圆面积： 4. 扇形 （1）各部分名称 弧：圆上任意两点之间的部分。 圆心角：顶点在圆心，两条边与圆相交的角。 扇形：由圆心角的两条边和所对弧围成的图形。 （2）面积公式 （ 为圆心角度数， 0 为扇形所在圆的半径） 5. 圆环面积 定义：两个同心圆之间的部分叫做圆环。 面积公式： （ 为外圆半径， 为内圆半径） 6. 实际应用要点 区分周长与面积：周长是曲线长度，用长度单位；面积是平面大小，用面积单位。 找准关键数据：明确题目给出的是半径还是直径，再选择对应公式。 组合图形：拆分或拼接成已学图形（圆、半圆、扇形等）再计算。 例题讲解 【例题1】圆的认识与性质应用 （1）已知一个圆的半径是4厘米，它的直径是多少厘米？ （2）判断：圆的对称轴是直径，圆有无数条对称轴。（ ） 解析：（1）根据同圆中直径与半径的关系 ，代入得 厘米。 （2）圆的对称轴是直径所在的直线，不是直径本身；圆确实有无数条对称轴，因此前半句错误，整题判断为×。 答案：（1）8厘米；（2）× 【例题2】圆的周长计算 （1）一个圆形车轮的直径是0.6米，它滚动一周前进多少米？（ 取3.14） （2）已知一个圆的周长是31.4分米，求它的半径。（ 取3.14） 解析：（1）车轮滚动一周的距离就是周长，用公式 ，代入得 米。 （2）根据周长变形公式 0，代入得 分米。 答案：（1）1.884米；（2）5分米 【例题3】圆的面积计算 （1）一个圆的半径是6分米，它的面积是多少平方分米？（ 取3.14） （2）求一个直径为12厘米的半圆的面积。（ 取3.14） 解析：（1）用圆的面积公式 ，代入得 平方分米。 （2）先求半径 厘米，再用半圆面积公式 ，代入得 平方厘米。 答案：（1）113.04平方分米；（2）56.52平方厘米 【例题4】扇形与圆环面积计算 （1）一个扇形的半径是5厘米，圆心角是120°，求这个扇形的面积。（ 取3.14） （2）一个圆环的外圆直径是16厘米，内圆半径是5厘米，求圆环的面积。（ 0取3.14） 解析：（1）用扇形面积公式 ，代入得 平方厘米。 （2）外圆半径 厘米，用圆环面积公式 ，代入得 平方厘米。 答案：（1）约26.17平方厘米；（2）122.46平方厘米 【例题5】圆的实际应用 公园要建一个半径为7米的圆形喷水池，在喷水池周围铺一条宽2米的环形步道，求步道的面积是多少平方米？（ 取3.14） 解析：步道是环形，外圆半径 米，内圆半径 米。代入圆环面积公式得 平方米。 答案：100.48平方米 提升练习 一、填空题 1．如下图，大半圆的半径是　 　cm，小半圆的直径是　 　cm。 2．一个圆形花坛的直径是8m，在它的周围修一条宽1m的小路，小路的面积是　 　m2。 3．一个圆的直径是8厘米，它的半径是　 　厘米，周长是　 　厘米，面积是　 　平方厘米。（π取3.14） 4．某钟表的分针长 10 cm，从 14 时到 15 时，分针针尖走过了　 　cm，分针扫过的面积是　 　 5．如下图，把一个直径是4厘米的圆分成若干等分，然后把它剪开，照下图的样子拼起来，拼成的图形的周长比原来的周长增加　 　厘米。 二、判断题 6．扇形的圆心角越大，扇形的面积就越大。 （　　） 7．周长相等的圆和正方形，圆的面积比正方形的面积大。（　　） 8．在正方形内画一个最大的圆，这个正方形与圆的面积的比是π：4。（　　） 9．圆的半径扩大到原来的2倍，周长也扩大到原来的2倍，面积扩大到原来的4倍。（　　） 10．圆周率是圆周长与直径的比值，它是一个固定的数，是一个无限不循环小数。（　　） 三、选择题 11．一个圆的半径扩大到原来的2倍，它的面积扩大到原来的（　　）倍。 A．2 B．4 C．6 D．8 12．小芳画圆的部分过程如下图所示，所画的圆的面积是（　　）cm2。 A．3π B．4π C．6π D．9π 13．下面关于圆的说法中，有错误的 一项是（　　）。 A．圆是曲线图形。 B．圆的周长越长，圆的面积就越大。 C．圆的面积是圆的半径的π倍。 D．圆的面积越大，圆的周长就越长。 14．下面四个图形中，对称轴最多的是（　　） A． B． C． D． 15．要剪一个面积是12.56平方厘米的圆形纸张，至少需要面积为（　　）平方厘米的正方形纸张. A．16 B．14 C．20 D．12.56 四、计算题 16．求下面图形的周长。 五、操作题 17．画一个直径是4厘米的圆，标出圆心、半径和直径，并计算它的面积。 六、解决问题 18．一台压路机的轮子直径是1.2米，每分钟转10圈，那么压路机每分钟能前进多少米? 19．一个圆形花坛，直径是12米，在花坛周围修一条宽1米的环形小路，小路的面积是多少平方米？（π取3.14） 20．某公园有一个直径12米的圆形喷泉池，为了游客的安全，向外距离池边2米处围了一圈不锈钢护栏。这个护栏围住的面积是多少？ 参考答案 1．8；8 2．28.26 3．4；25.12；50.24 4．62.8；314 5．4 6．错误 7．正确 8．错误 9．正确 10．正确 11．B 12．B 13．C 14．D 15．A 16．解：(1) (cm) (2) (dm) 17．解：4÷2=2（厘米） 画图如下： 面积：3.14×22=12.56（平方厘米） 18．解：3.14×1.2×10 =3.768×10 =37.68 (米) 答：压路机每分钟能前进37.68米。 19．解：内圆半径：12÷2=6（米） 外圆半径：6+1=7（米） 3.14×（72-62） =3.14×13 =40.82（平方米） 答：小路的面积是40.82平方米。 20．解：（12÷2+2）2×3.14 =64×3.14 =200.96（平方米） 答：这个护栏围住的面积是200.96平方米。 学科网（北京）股份有限公司 $