第14讲 整式加减化简求值（暑假预习培优讲义，6重难拓展+中考真题+提分培优）新七年级数学新教材人教版

第14讲 整式加减化简求值（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 整式加减通用解题步骤（课本标准四步） 2 知识点02 化简求值标准答题格式（考试通用模板） 2 释疑惑·重难拓展 题型1 化繁为简再求值（课本例题变式·预习过关必练） 2 题型2 整体代入求值（核心重难点） 5 题型3 整式化简中的“无关”问题（不含某一项·参数压轴题） 8 题型4 结合绝对值、平方非负性求值（高频综合题） 11 题型4 错看条件复原求值（经典易错培优模型） 13 题型6 利用数形结合求值 14 知中考·真题探源 16 练好题·提分培优 17 课标要点 1. 拓展掌握四大必考培优题型：整体代入求值、式子与字母取值无关（不含某一项）、错看条件复原求值、结合绝对值与平方非负性求值。 2. 掌握初中代数核心思想：整体思想、参数思想，为后续一元一次方程、整式乘法、函数学习奠定基础。 3. 严格遵守答题规范，化简结果必须为最简整式：无括号、无同类项、系数统一为假分数，杜绝带分数、冗余括号。 考试考情分析：化简求值是七年级上册数学解答题必考题型，基础题型以直接化简代入为主，压轴题型集中在整体代入、参数求值问题，是初一数学成绩拉开差距的核心重难点。 知识点01 整式加减通用解题步骤（课本标准四步） 第一步：去括号，按照去括号法则逐层去除式子中的括号； 第二步：标记同类项，将式子中所有同类项归类整理； 第三步：合并同类项，依据法则计算同类项系数； 第四步：整理结果，化为最简整式（无括号、无同类项、系数格式规范）。 知识点02 化简求值标准答题格式（考试通用模板） 标准解题模板： 原式＝化简后的最简整式 当字母取对应数值时， 原式＝代入数值计算后的最终结果 核心易错提醒：代入负数、分数、参与乘方运算时，字母的值必须添加括号！ 例：，计算必须写成，严禁写成。 题型1 化繁为简再求值 （课本例题变式·预习过关必练） 【典例1-1】（23-24七年级上·广东广州·期中）解答题： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中，． 【典例1-2】（25-26七年级上·山东聊城·期中）（1）先化简，再求值：，其中，； （2）当时，的值为，求的值． 【典例1-3】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）下面是佳佳同学先化简再求值的全过程． ，其中，． 解： =① =② 当，时， 原式=③ = (1)请指出佳佳从第______步开始出错；（填序号） (2)写出正确的化简求值过程． 【变式1-1】解下列各题： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中，． 【变式1-2】（25-26七年级上·广东江门·期末）为了让同学们更好地理解整式的化简求值，数学老师布置了下面这样一道题目： 先化简，再求值：，其中，． 下面是小琪同学的解题过程： 解： 第一步 第二步 ．第三步 当，时， 原式． (1)在上述计算过程中，第一步运算的依据是______，已知小琪同学的解答是错误的，则她在第______步开始出现错误． (2)请写出正确的解答过程． 【变式1-3】（1）已知，化简． 解：先化简： ； 进而得到： ．     根据上面的解法回答下列问题： ①是否有错？ ；①到②是否有错？ ；②到③是否有错？ ．（填是或否） （2）先化简，再求值： 已知，求的值． 题型2 整体代入求值（核心重难点） 【典例2-1】（25-26七年级上·安徽淮北·期中）阅读材料，解答问题： 【材料】有这样一道题“已知代数式的值为，求代数式的值．” 小明同学是这样解答的：．我们把看成一个整体，把式子代入，得原式． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知，则_____； （2）已知，，求代数式的值； 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 【典例2-2】（24-25七年级上·辽宁铁岭·期中）【知识呈现】“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 例如：我们可把中的“”看成一个字母a，使这个代数式简化为． 【解决问题】 （1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为______；（用含x，y的式子表示） （2）若，则代数式的值为______； 【灵活运用】 应用【知识呈现】中的方法解答下列问题： （3）已知，的值为最大的负整数，求的值． 【典例2-3】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）【知识呈现】我们可把中的“”看成一个字母，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 （1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为___________；（用含，的式子表示） （2）若代数式的值为5，求代数式的值； 【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题： 已知，的值为最大的负整数，求的值． 【变式2-1】（24-25七年级上·河南信阳·期末）【知识呈现】“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 例如：我们可把中的“”看成一个字母，使这个代数式简化为． 【解决问题】 （1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为 ；（用含、的式子表示） （2）若代数式的值为，求代数式的值为 ； 【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题： （3）已知，的值为最大的负整数，求的值． 【变式2-2】（25-26七年级上·广东深圳·期中）有这样一道题“如果代数式的值为－4，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的吴爱国同学这样来解：原式，我们把看成一个整体，把式子两边乘以2得． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知，则① ； ② ． （2）已知，，求的值． 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 【变式2-3】（25-26七年级上·重庆·期中）整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题：如果代数式的值为 3，那么代数式的值是多少？爱动脑筋 的 小 聪 同学这样 来 解 ：原式． 我们把看成一个整体， 把式子两边乘2， 得． 【方法运用】 （1） 若，则的值为 ； （2） 若，求的值； 【拓展提高】 （3） 已知 求代数式的值． 【类比迁移】 （4）A，B两地相距60千米，甲、乙两人同时从A，B两地骑自行车出发，相向而行．甲每小时行a千米，乙每小时行b千米，经过3小时相遇．问甲、乙两人出发多少小时后两人相距20千米？ 题型3 整式化简中的“无关”问题（不含某一项·参数压轴题） 【典例3-1】（24-25七年级上·宁夏中卫·期末）已知关于x的多项式，其中（m，n为有理数） (1)化简，当时，并求值； (2)若的结果不含项和项，求的值． 【典例3-2】（24-25七年级上·广东佛山·阶段检测）（1）已知a、b为常数，且三个单项式，，相加得到的和仍然是单项式，则______； （2）先化简，再求值：，其中a与b互为相反数且； （3）已知，，且的值与x无关，求y的值． 【典例3-3】（25-26七年级上·湖北荆门·期末）【知识再现】 学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式为，所以，则． (1)【初步运用】关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)【类比迁移】已知，，且化简的结果与x取值无关，求m，n的值； (3)【拓展应用】图1是长为a，宽为b（）的小长方形纸片，将6张这种纸片按图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分是阴影部分（是两个长方形）．设左上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分的面积为，当的长度变化时，设，且S为定值，试探究a与b之间的数量关系，并说明理由． 【变式3-1】（25-26七年级上·天津·期末）先化简再求值．已知，． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)当值与y取值无关时，求的值． 【变式3-2】（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）【知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式， 代数式的值与x的取值无关， ，解得． 【理解应用】（1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m值； （2）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值； 【能力提升】（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【变式3-3】（24-25七年级上·全国·期中）（1）学习了整式的加减运算后，老师给同学们性了一个任务： 已知，自行给b取一个喜欢的数．先化简下列式子，再代入求值． ． 小杜、小康、小磊三人经过化简计算，后来交流结果时发现，虽然三人给b取的值都不同，但计算结果却完全一样．请解释出现这种情况的原因，并求这个计算结果． （2）已知代数式． ①当时，求的值； ②若的值与y的取值无关，求x的值． 题型4 结合绝对值、平方非负性求值（高频综合题） 【典例4-1】（25-26七年级上·全国·期末）（1）已知m，n互为相反数，a，b互为倒数，x的绝对值等于3．求代数式的值． （2）先化简，再求值：，其中． 【典例4-2】（25-26七年级上·云南·阶段检测）在七年级数学学习中，常用到分类讨论的数学方法，以化简为例．当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为________；当时，的值为________；当时，的值为________； (2)已知，，求的值． 【典例4-3】（24-25七年级上·云南昆明·期中）在七年级数学学习中，常用到分类讨论的数学方法，以化简为例．当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______ (2)已知，求的值； (3)已知：，这2024个数都是不等于0的有理数，若这2024个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示）． 【变式4-1】（24-25七年级上·湖南怀化·期中）计算 (1)先化简，再求值：，其中． (2)若，求的值. 【变式4-2】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即时， 则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 三个有理数，，满足，求的值． 【变式4-3】（25-26七年级上·吉林长春·期中）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：；；．从而在化简时，可分以下三种情况：①当时，原式；②当时，原式； ③当时，原式=； ∴，通过以上阅读，解决问题： (1)直接写出的零点值是_____； (2)化简； (3)直接写出的最大值为_____． 题型5 错看条件复原求值（经典易错培优模型） 【典例5】（24-25七年级上·湖南·期中）已知， (1)化简： (2)在计算“当的值”时，小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 【变式5-1】（25-26七年级上·吉林·期中）小虎同学做一道题，已知两个多项式、，其中，在计算时，他误将“”看成了“”，求得的结果是． (1)求多项式； (2)当时，先化简，再求值． 【变式5-2】（24-25七年级上·四川成都·期中）①化简求值，已知． ②一位同学做一道题：“已知两个多项式、，计算”，他误将看成，求得的结果为，已知，求正确答案． 【变式5-3】（24-25七年级上·山东青岛·期末）化简求值，按要求解答 (1)，其中，，． (2)小明在一次测验中计算一个多项式加上时，不小心看成减去，结果计算出错误答案为． 求多项式； 试求出原题目的正确答案． 题型6 利用数形结合求值 【典例6】（25-26六年级上·山东东营·期末）在数轴上，点A表示的数为．机器人从A出发先向右走m个单位到B，再向左走n个单位到C，已知，． (1)求点B和点C对应的数； (2)有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简． 【变式6-1】（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，已知A、B、C三点分别对应数轴上的数a、b、c．    (1)化简：； (2)若，，．且满足x与y互为相反数，z是绝对值最小的负整数，m、n互为倒数，试求的值； (3)在（2）的条件下，在数轴上找一点D，满足D点表示的整数d到点A，C的距离之和为10，并求出所有这些整数的和． 【变式6-2】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）已知 为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)根据数轴填空： ①判断正负： ___0， ___0；（填“”或“”）； ②比较大小： ______ ；（填“”或“”） ③根据数轴化简∶ ___， __________． (2)数轴上，数到原点的距离表示 ，即 ； 类似的，数到数的距离可表示为_______； (3)应用： ①如果要表示数到3的距离是7，可记为： ，求的值； ②当取何值时，的值最小，最小值是多少？ 【变式6-3】（25-26七年级上·河南郑州·期末）数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题同学们都知道，表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上x对应的点分别到1和所对应的点的距离之和请根据数轴解决以下问题： (1)可理解为_____与____在数轴上所对应的两点之间的距离； (2)请你结合数轴探究： ①的最小值是_____； ②的最小值为______； (3)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O．居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧1，右侧3，A小区有居民3千人，B居民区有居民2千人，C居民区有居民1千人现因防疫需要，需要在该公路上建一个流感检测实验室P．用于接收这3个小区的全员流感样本．若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 一、单选题 1．（2023·四川雅安·中考真题）若．则的值是（    ） A． B． C．5 D． 二、填空题 2．（2023·江苏·中考真题）若，则的值是_________． 3．（2023·江苏泰州·中考真题）若，则的值为_____________． 4．（2023·辽宁沈阳·中考真题）当时，代数式的值为______ ． 5．（2026·四川成都·中考真题）已知，则_____． 三、解答题 6．（2022·湖北黄冈·中考真题）先化简，再求值：4xy-2xy-（-3xy），其中x＝2，y＝-1． 1．（24-25七年级上·江西赣州·期末）下面是小伟同学化简求值的全过程：，其中，． 解： …① …② 当，时， 原式…③ …④ …⑤ (1)小伟同学从第______步开始出错． (2)请写出正确的化简求值过程． 2．（24-25七年级上·吉林·期末）小辉同学在做一道改编自课本上的习题时，解答过程如下： 计算： 解：原式    第一步             第二步             第三步                         第四步 (1)老师说小辉同学的解法是错误的，则他从第______步开始出错，错误的原因是______； (2)请写出正确的化简过程并求值，其中，． 3．（25-26七年级上·江苏南通·期中）整式的求值： (1)先化简整式，再求当时该整式的值； (2)对于整式，若当时其值为，则当时它的值是多少？ 4．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）【知识呈现】我们可把中的“”看成一个字母，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 (1)上面【知识呈现】中的问题的化简结果为______；（用含，的式子表示） (2)若代数式的值为，求代数式的值． 5．（25-26七年级上·山西临汾·期中）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务． 有这样一道题如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？爱动脑筋的小明这样来解原式，将看成一个整体，把式子两边乘以2，得．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 任务：仿照上面的解题方法，解答下面的问题． (1)已知，则_____． (2)已知，，求的值． 6．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）已知代数式的值与字母x的取值无关，求的值． （2）化简并求值：已知三个有理数的积是负数，其和为正数；当时，求代数式的值． 7．（24-25七年级上·山东威海·期末）中学数学有一种重要的解题思维方式是“整体思想”． 例如：，求的值． 我们将作为一个整体代入，则原式． 请运用“整体思想”解决下列问题： (1)①若，则的值为_______． ②已知，则的值为_______． (2)已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，当，化简求值：． 8．（25-26七年级上·江苏常州·期中）【知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0． 具体解题过程是：原式， 代数式的值与的取值无关， ，解得． 理解应用： (1)若关于的多项式的值与的取值无关，则值为______； (2)已知，且的值与的取值无关，求、的值； (3)7张如图1的小长方形，长为2，宽为1，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，则的值为___________． 9．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）【教材呈现】 “整体思想”是一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例如：如果整式的值为4，那么整式是多少？ 【阅读理解】 小亮同学把看做一个整体进行求解，过程如下： ． 所以整式的值为20． 【方法应用】 （1）已知：，则__________． （2）已知：，，求的值． 【知识拓展】 （3）已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，当，时，求的值． 10．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）有这样一道题“如果代数式的值为-4，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的吴爱国同学这样来解：原式，我们把看成一个整体，把式子两边乘以2得． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题 【简单应用】 （1）已知，则_______． （2）已知，，求的值． 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 11．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）有这样一道题“如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的通甫同学这样来解：原式．我们把看成一个整体，把式子两边乘以2得． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知，则______． （2）已知，，则_____． 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 12．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）【阅读理解】“整体思想”是中学数学解题思想中的一种重要思想，它在整式的化简与求值中应用极为广泛． 例如：已知代数式的值为7，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 解：由题意得，则有， 所以， 所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若代数式的值为5，求代数式的值． （2）若代数式的值为13，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，，求代数式的值． 13．（25-26七年级上·广东广州·期中）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为______，当时，的值为______，当为不等于的有理数时，的值为______； (2)已知，，求的值； (3)已知：，这个数都是不等于的有理数，若这个数中有个正数，，求的值．（请用含的式子表示） 14．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数满足，求的值． 解：由题意得：三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当都是正数，即，，时， 则：； ②当有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上：的值为或． 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知是有理数，当时，求的值． (2)已知是有理数，，，求的值． 15．（25-26七年级上·全国·期中）已知关于，的多项式，．（为常数） （1）若多项式是三次三项式，则的值是______． （2）若多项式的值为10，则 的值为______． （3）若单项式与 的和仍是单项式， ①单项式 为几次单项式； ②求多项式的值． （4）若一个多项式减去多项式，小明误当成了加法计算，得到的结果是 ，请你帮助小明求出正确的计算结果． （5）在（1）的基础上，解决下列问题： ①化简； ②若化简的结果与的取值无关，求 的值． （6）若有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，且 为最大的负整数．化简：______； （7）我们知道能被3整除的数的规律，设是一个三位数，其中a，b，m分别是这个三位数百位、十位、个位上的数字．若 可以被3整除，则这个数就能被3整除．例如，三位数108，因为，9可以被3整除，所以108就能被3整除． 【发现】 将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的2倍所得的差为．若能被7整除，则三位数 就能被7整除． 【验证】 例如，三位数364，因为 ，28可以被7整除，所以364就能被7整除． ①用上述方法判断455能否被7整除？____．（填“能”或“不能”） 【探究】 ②请用含，，的代数式表示_____； ③结合②论证【发现】中的结论正确． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 整式加减化简求值（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 整式加减通用解题步骤（课本标准四步） 2 知识点02 化简求值标准答题格式（考试通用模板） 2 释疑惑·重难拓展 题型1 化繁为简再求值（课本例题变式·预习过关必练） 2 题型2 整体代入求值（核心重难点） 7 题型3 整式化简中的“无关”问题（不含某一项·参数压轴题） 14 题型4 结合绝对值、平方非负性求值（高频综合题） 20 题型4 错看条件复原求值（经典易错培优模型） 25 题型6 利用数形结合求值 28 知中考·真题探源 32 练好题·提分培优 34 课标要点 1. 拓展掌握四大必考培优题型：整体代入求值、式子与字母取值无关（不含某一项）、错看条件复原求值、结合绝对值与平方非负性求值。 2. 掌握初中代数核心思想：整体思想、参数思想，为后续一元一次方程、整式乘法、函数学习奠定基础。 3. 严格遵守答题规范，化简结果必须为最简整式：无括号、无同类项、系数统一为假分数，杜绝带分数、冗余括号。 考试考情分析：化简求值是七年级上册数学解答题必考题型，基础题型以直接化简代入为主，压轴题型集中在整体代入、参数求值问题，是初一数学成绩拉开差距的核心重难点。 知识点01 整式加减通用解题步骤（课本标准四步） 第一步：去括号，按照去括号法则逐层去除式子中的括号； 第二步：标记同类项，将式子中所有同类项归类整理； 第三步：合并同类项，依据法则计算同类项系数； 第四步：整理结果，化为最简整式（无括号、无同类项、系数格式规范）。 知识点02 化简求值标准答题格式（考试通用模板） 标准解题模板： 原式＝化简后的最简整式 当字母取对应数值时， 原式＝代入数值计算后的最终结果 核心易错提醒：代入负数、分数、参与乘方运算时，字母的值必须添加括号！ 例：，计算必须写成，严禁写成。 题型1 化繁为简再求值 （课本例题变式·预习过关必练） 【典例1-1】（23-24七年级上·广东广州·期中）解答题： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中，． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当，时， 原式． 【典例1-2】（25-26七年级上·山东聊城·期中）（1）先化简，再求值：，其中，； （2）当时，的值为，求的值． 【详解】解：（1） 当，时， ∴； （2）∵当时，的值为， ∴ ． 【典例1-3】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）下面是佳佳同学先化简再求值的全过程． ，其中，． 解： =① =② 当，时， 原式=③ = (1)请指出佳佳从第______步开始出错；（填序号） (2)写出正确的化简求值过程． 【详解】（1）第①步去括号出现错误，漏乘3； 故答案为：①； （2）解： ． 当时， 原式 ． 【变式1-1】解下列各题： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中，． 【详解】（1）解： ； （2） ， 当，时， 原式． 【变式1-2】（25-26七年级上·广东江门·期末）为了让同学们更好地理解整式的化简求值，数学老师布置了下面这样一道题目： 先化简，再求值：，其中，． 下面是小琪同学的解题过程： 解： 第一步 第二步 ．第三步 当，时， 原式． (1)在上述计算过程中，第一步运算的依据是______，已知小琪同学的解答是错误的，则她在第______步开始出现错误． (2)请写出正确的解答过程． 【详解】（1）解：在上述计算过程中，第一步运算的依据是乘法分配律， 因为在第二步中去括号后，没有变号， 所以她在第二步开始出现错误． 故答案为：乘法分配律；二． （2）解： ， 当，时， 原式． 【变式1-3】（1）已知，化简． 解：先化简： ； 进而得到： ．     根据上面的解法回答下列问题： ①是否有错？ ；①到②是否有错？ ；②到③是否有错？ ．（填是或否） （2）先化简，再求值： 已知，求的值． 【详解】解（1）∵ ． 故答案为：是；是；否 （2） ， ， ∴原式． 题型2 整体代入求值（核心重难点） 【典例2-1】（25-26七年级上·安徽淮北·期中）阅读材料，解答问题： 【材料】有这样一道题“已知代数式的值为，求代数式的值．” 小明同学是这样解答的：．我们把看成一个整体，把式子代入，得原式． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知，则_____； （2）已知，，求代数式的值； 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 【详解】解：（1）当时，， 故答案为； （2） 将，代入上面的式子，得 ； （3） ， 将，代入上面的式子，得 ． 【典例2-2】（24-25七年级上·辽宁铁岭·期中）【知识呈现】“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 例如：我们可把中的“”看成一个字母a，使这个代数式简化为． 【解决问题】 （1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为______；（用含x，y的式子表示） （2）若，则代数式的值为______； 【灵活运用】 应用【知识呈现】中的方法解答下列问题： （3）已知，的值为最大的负整数，求的值． 【详解】解：（1）， ∵， ∴原式． 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴． 故答案为：3； （3）∵的值为最大的负整数， ∴． ∴ ． 【典例2-3】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）【知识呈现】我们可把中的“”看成一个字母，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 （1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为___________；（用含，的式子表示） （2）若代数式的值为5，求代数式的值； 【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题： 已知，的值为最大的负整数，求的值． 【详解】解：（1）令， 则 ， 故答案为：； （2）由题意得，， ∴， ∴ ； 灵活运用：∵的值为最大的负整数， ∴①， ∵②， ②①，得， ∴ ． 【变式2-1】（24-25七年级上·河南信阳·期末）【知识呈现】“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 例如：我们可把中的“”看成一个字母，使这个代数式简化为． 【解决问题】 （1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为 ；（用含、的式子表示） （2）若代数式的值为，求代数式的值为 ； 【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题： （3）已知，的值为最大的负整数，求的值． 【详解】解：（1）设， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）的值为最大的负整数， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式2-2】（25-26七年级上·广东深圳·期中）有这样一道题“如果代数式的值为－4，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的吴爱国同学这样来解：原式，我们把看成一个整体，把式子两边乘以2得． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知，则① ； ② ． （2）已知，，求的值． 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 【详解】（1）解：依题意，当时， ，， 故答案为：2，3； （2）解：当时， ； （3）解：∵，， ． 【变式2-3】（25-26七年级上·重庆·期中）整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题：如果代数式的值为 3，那么代数式的值是多少？爱动脑筋 的 小 聪 同学这样 来 解 ：原式． 我们把看成一个整体， 把式子两边乘2， 得． 【方法运用】 （1） 若，则的值为 ； （2） 若，求的值； 【拓展提高】 （3） 已知 求代数式的值． 【类比迁移】 （4）A，B两地相距60千米，甲、乙两人同时从A，B两地骑自行车出发，相向而行．甲每小时行a千米，乙每小时行b千米，经过3小时相遇．问甲、乙两人出发多少小时后两人相距20千米？ 【详解】解：（1）， ， 故答案为：7； （2），， ； （3） ； （4）由题意得， 则， 若相遇前两人相距20千米时， （小时）， 若相遇后两人相距20千米时， （小时）， 即甲、乙两人出发2小时或4小时后两人相距20千米． 题型3 整式化简中的“无关”问题（不含某一项·参数压轴题） 【典例3-1】（24-25七年级上·宁夏中卫·期末）已知关于x的多项式，其中（m，n为有理数） (1)化简，当时，并求值； (2)若的结果不含项和项，求的值． 【详解】（1）解： ， ， ， 当时， ， ， =0． （2）解： ， ∵的结果不含x项和项， ∴， ∴． 【典例3-2】（24-25七年级上·广东佛山·阶段检测）（1）已知a、b为常数，且三个单项式，，相加得到的和仍然是单项式，则______； （2）先化简，再求值：，其中a与b互为相反数且； （3）已知，，且的值与x无关，求y的值． 【详解】解：（1）三个单项式，，相加得到的和仍然是单项式， 的和仍然是单项式， 或， ，或，， 或， 故答案为：或； （2）原式 ， a与b互为相反数， ， 当，时， 原式； （3），， ， 的值与无关， ，即． 【典例3-3】（25-26七年级上·湖北荆门·期末）【知识再现】 学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式为，所以，则． (1)【初步运用】关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)【类比迁移】已知，，且化简的结果与x取值无关，求m，n的值； (3)【拓展应用】图1是长为a，宽为b（）的小长方形纸片，将6张这种纸片按图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分是阴影部分（是两个长方形）．设左上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分的面积为，当的长度变化时，设，且S为定值，试探究a与b之间的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）解：， ∵关于x的多项式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）解： ， ∵化简的结果与x取值无关， ∴，， ∴，； （3）解：设， ∴，， ∴ ， ∵的长度变化时，S为定值， ∴S的值与x取值无关， ∴， ∴． 【变式3-1】（25-26七年级上·天津·期末）先化简再求值．已知，． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)当值与y取值无关时，求的值． 【详解】（1）解： ， 当时，； （2）解： ， 当时，； （3）解：∵值与y取值无关， ∴y的系数为0， 又∵， ∴即， ∴， ∴． 【变式3-2】（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）【知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式， 代数式的值与x的取值无关， ，解得． 【理解应用】（1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m值； （2）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值； 【能力提升】（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【详解】解：（1） ， 其值与的取值无关， ， ； （2），， ， 的值与无关， ，即； （3）设，由图可知，， ， 当的长变化时，的值始终保持不变． 取值与无关， ， ． 【变式3-3】（24-25七年级上·全国·期中）（1）学习了整式的加减运算后，老师给同学们性了一个任务： 已知，自行给b取一个喜欢的数．先化简下列式子，再代入求值． ． 小杜、小康、小磊三人经过化简计算，后来交流结果时发现，虽然三人给b取的值都不同，但计算结果却完全一样．请解释出现这种情况的原因，并求这个计算结果． （2）已知代数式． ①当时，求的值； ②若的值与y的取值无关，求x的值． 【详解】解：（1） ， 当时，原式； ∴无论b取何值，的化简结果都与b的值结果无关； （2）①∵ ∴ ， 当时，原式； ②∵， ∴ ， ∵的值与y的取值无关， ∴， ∴． 题型4 结合绝对值、平方非负性求值（高频综合题） 【典例4-1】（25-26七年级上·全国·期末）（1）已知m，n互为相反数，a，b互为倒数，x的绝对值等于3．求代数式的值． （2）先化简，再求值：，其中． 【详解】解：（1）∵m，n互为相反数，a，b互为倒数，x的绝对值等于3， ∴， 当时， ； 当时， ； 综上所述，的值为10或； （2） ， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 【典例4-2】（25-26七年级上·云南·阶段检测）在七年级数学学习中，常用到分类讨论的数学方法，以化简为例．当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为________；当时，的值为________；当时，的值为________； (2)已知，，求的值． 【详解】（1）解：当时，；当时，；当时，， 当时，，则；当时，，则；当时，； 故答案为：； （2）解：由可得，， ， 且，可知三个数是两负一正， 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，的值为或． 【典例4-3】（24-25七年级上·云南昆明·期中）在七年级数学学习中，常用到分类讨论的数学方法，以化简为例．当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______ (2)已知，求的值； (3)已知：，这2024个数都是不等于0的有理数，若这2024个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示）． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当为不等于0的有理数时， 若，则，若，则， 即的值为1或． 故答案为：1，，1或； （2）解：∵， ∴，，， ， 又∵ ∴，，的正负性可能为： ①当为正数，，为负数时，原式； ②当为正数，，为负数时，原式； ③当为正数，，为负数时，原式． 综上所示，原式的值为或3； （3）根据题意，这2024个数中有个正数，则有个负数， 即中有个1，个， ∴． 故答案为：． 【变式4-1】（24-25七年级上·湖南怀化·期中）计算 (1)先化简，再求值：，其中． (2)若，求的值. 【详解】（1）∵， 又∵， ∴， ∴. ， 当时， 原式 ； （2），， ∴a，b，c中两正一负， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 则结果有或． 【变式4-2】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即时， 则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 三个有理数，，满足，求的值． 【详解】解：， ，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①，，都是负数，即时， 则， ②当，，中有一个为负数，另两个为正数时，不妨设， 则， 综上所述，值为或． 【变式4-3】（25-26七年级上·吉林长春·期中）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：；；．从而在化简时，可分以下三种情况：①当时，原式；②当时，原式； ③当时，原式=； ∴，通过以上阅读，解决问题： (1)直接写出的零点值是_____； (2)化简； (3)直接写出的最大值为_____． 【详解】（1）解：令，解得：， ∴的零点值是． 故答案为：3； （2）解：令和，解得：和 ①当时，原式 ②当时，原式； ③当时，原式． ∴ （3）解：令和，解得：和， 当时， ； 当时， ， 当时，代数式的值最大，最大为， 当时， ， 综上：的最大值为：6． 题型5 错看条件复原求值（经典易错培优模型） 【典例5】（24-25七年级上·湖南·期中）已知， (1)化简： (2)在计算“当的值”时，小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ； ∵的计算结果中不含有x的项， ∴的计算结果就与x的取值无关， ∴小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的， 正确的结果为：把代入得：原式． 【变式5-1】（25-26七年级上·吉林·期中）小虎同学做一道题，已知两个多项式、，其中，在计算时，他误将“”看成了“”，求得的结果是． (1)求多项式； (2)当时，先化简，再求值． 【详解】（1）解：依题意，， ∵， ∴ ， （2）解：由（1）得， ， ∵， ∴． 【变式5-2】（24-25七年级上·四川成都·期中）①化简求值，已知． ②一位同学做一道题：“已知两个多项式、，计算”，他误将看成，求得的结果为，已知，求正确答案． 【详解】解：① ∵ ∴ 解得 ∴ ②∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴正确答案为：． 【变式5-3】（24-25七年级上·山东青岛·期末）化简求值，按要求解答 (1)，其中，，． (2)小明在一次测验中计算一个多项式加上时，不小心看成减去，结果计算出错误答案为． 求多项式； 试求出原题目的正确答案． 【详解】（1）解：原式， 当，，时，原式． （2）解：①依题意得：， ， 多项式为； ②， 原题目的正确答案为． 题型6 利用数形结合求值 【典例6】（25-26六年级上·山东东营·期末）在数轴上，点A表示的数为．机器人从A出发先向右走m个单位到B，再向左走n个单位到C，已知，． (1)求点B和点C对应的数； (2)有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简． 【详解】（1）解：根据题意得：点对应的数为：， 点对应的数为：； （2）解：由数轴可知：，，，， ． 【变式6-1】（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，已知A、B、C三点分别对应数轴上的数a、b、c．    (1)化简：； (2)若，，．且满足x与y互为相反数，z是绝对值最小的负整数，m、n互为倒数，试求的值； (3)在（2）的条件下，在数轴上找一点D，满足D点表示的整数d到点A，C的距离之和为10，并求出所有这些整数的和． 【详解】（1）解：由数轴可知：，，， 所以原式 ． （2）解：由题意可知：，，， 所以，，， ∴． （3）解：由（2）知，，， ∵整数d到点A，C的距离之和为10， ∴，即， 当时，，解得，； 当时，，得，此时不存在； 当时，，解得，； ∴满足条件的D点表示的整数为、3，它们的和为． 【变式6-2】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）已知 为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)根据数轴填空： ①判断正负： ___0， ___0；（填“”或“”）； ②比较大小： ______ ；（填“”或“”） ③根据数轴化简∶ ___， __________． (2)数轴上，数到原点的距离表示 ，即 ； 类似的，数到数的距离可表示为_______； (3)应用： ①如果要表示数到3的距离是7，可记为： ，求的值； ②当取何值时，的值最小，最小值是多少？ 【详解】（1）①由数轴可得， ∴，； ②，； ③∵， ∴，， ∴，； （2）解：数轴上，数a到原点的距离表示，即；类似的，数a到数的距离可表示为； （3）解：①∵， ∴， 解得：或10， 则的值为或； ②表示a到的距离和a到3的距离之和， 由数轴可得：当表示a的点在左侧或3右侧时，距离之和大于7，当表示a的点在和3之间时，距离为7，此时最小， ∴当时，最小，最小值为7． 【变式6-3】（25-26七年级上·河南郑州·期末）数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题同学们都知道，表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上x对应的点分别到1和所对应的点的距离之和请根据数轴解决以下问题： (1)可理解为_____与____在数轴上所对应的两点之间的距离； (2)请你结合数轴探究： ①的最小值是_____； ②的最小值为______； (3)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O．居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧1，右侧3，A小区有居民3千人，B居民区有居民2千人，C居民区有居民1千人现因防疫需要，需要在该公路上建一个流感检测实验室P．用于接收这3个小区的全员流感样本．若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 【详解】（1）解：表示与3的差的绝对值，可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 故答案为：，3； （2）解：①可理解为在数轴上对应的点分别到3和所对应的点的距离之和，3和之间的距离为， 当时，的最小， 则的最小值是5； 故答案为：5； ②表示在数轴上x对应的点分别与、、在数轴上所对应的点之间的距离之和， 当时，最小，在这个范围内，当时，最小，此时最小， ∴的最小值是8； 故答案为：8； （3）解：以市民广场O为原点，A、B、C分别为、1、3建立数轴，设实验室P对应的数字为x， ∴总运输和包装成本为， 由（2）知当时，总成本能取到最小值， 当时，， 当时，， ∵， ∴， ∴当时，最小，即当实验室建在A、B之间（包含A、B）时，才能使总运输和包装成本最低，最低成本是20元/千份． 一、单选题 1．（2023·四川雅安·中考真题）若．则的值是（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【详解】解：∵ ∴， ∴ ． 故选：A． 二、填空题 2．（2023·江苏·中考真题）若，则的值是_________． 【答案】3 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：3. 3．（2023·江苏泰州·中考真题）若，则的值为_____________． 【答案】 【详解】解：由，可得， ∴， 故答案为：． 4．（2023·辽宁沈阳·中考真题）当时，代数式的值为______ ． 【答案】2 【详解】解： 当时，原式， 故答案为：． 5．（2026·四川成都·中考真题）已知，则_____． 【答案】16 【详解】解：∵， ∴ ． 三、解答题 6．（2022·湖北黄冈·中考真题）先化简，再求值：4xy-2xy-（-3xy），其中x＝2，y＝-1． 【答案】， 【详解】解：原式＝4xy-2xy+3xy ＝ ＝5xy； 当x＝2，y＝-1时， 原式＝． 1．（24-25七年级上·江西赣州·期末）下面是小伟同学化简求值的全过程：，其中，． 解： …① …② 当，时， 原式…③ …④ …⑤ (1)小伟同学从第______步开始出错． (2)请写出正确的化简求值过程． 【详解】（1）解：由题中的计算过程可知，小伟同学从第步开始出错， 故答案为：； （2）解： ， 当，时， 原式． 2．（24-25七年级上·吉林·期末）小辉同学在做一道改编自课本上的习题时，解答过程如下： 计算： 解：原式    第一步             第二步             第三步                         第四步 (1)老师说小辉同学的解法是错误的，则他从第______步开始出错，错误的原因是______； (2)请写出正确的化简过程并求值，其中，． 【详解】（1）解：他从第二步开始出错，错误的原因是括号外面是“”号，去括号后，括号内第三项符号未改变， 故答案为：二，括号外面是“”号，去括号后，括号内第三项符号未改变； （2）解：． ． 当，时， 原式． 3．（25-26七年级上·江苏南通·期中）整式的求值： (1)先化简整式，再求当时该整式的值； (2)对于整式，若当时其值为，则当时它的值是多少？ 【详解】（1） 当时，原式 ； （2）当 时，整式 即 整理得： 当 时： 4．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）【知识呈现】我们可把中的“”看成一个字母，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 (1)上面【知识呈现】中的问题的化简结果为______；（用含，的式子表示） (2)若代数式的值为，求代数式的值． 【详解】（1）解：把看成一个字母， 所以转化为 即原式 ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 5．（25-26七年级上·山西临汾·期中）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务． 有这样一道题如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？爱动脑筋的小明这样来解原式，将看成一个整体，把式子两边乘以2，得．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 任务：仿照上面的解题方法，解答下面的问题． (1)已知，则_____． (2)已知，，求的值． 【详解】（1）， ． （2），， ． 6．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）已知代数式的值与字母x的取值无关，求的值． （2）化简并求值：已知三个有理数的积是负数，其和为正数；当时，求代数式的值． 【详解】解：（1） ， ∵代数式的值与字母的取值无关， ， ， ． （2）∵三个有理数的积是负数，其和为正数， ∴中有且只有一个负数， ， ∴ ． 7．（24-25七年级上·山东威海·期末）中学数学有一种重要的解题思维方式是“整体思想”． 例如：，求的值． 我们将作为一个整体代入，则原式． 请运用“整体思想”解决下列问题： (1)①若，则的值为_______． ②已知，则的值为_______． (2)已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，当，化简求值：． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ②∵， ∴； （2）由数轴可知：， ∴， ∴ ， ∵， ∴原式． 8．（25-26七年级上·江苏常州·期中）【知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0． 具体解题过程是：原式， 代数式的值与的取值无关， ，解得． 理解应用： (1)若关于的多项式的值与的取值无关，则值为______； (2)已知，且的值与的取值无关，求、的值； (3)7张如图1的小长方形，长为2，宽为1，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，则的值为___________． 【详解】（1）解：关于的多项式的值与的取值无关， ， 解得， 故答案为：； （2）解：， ， 的值与的取值无关， ， 解得； （3）解：由图可知，大长方形的宽， 设， 则，， ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 即的值与的取值无关， ， 解得． 9．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）【教材呈现】 “整体思想”是一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例如：如果整式的值为4，那么整式是多少？ 【阅读理解】 小亮同学把看做一个整体进行求解，过程如下： ． 所以整式的值为20． 【方法应用】 （1）已知：，则__________． （2）已知：，，求的值． 【知识拓展】 （3）已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，当，时，求的值． 【详解】解：（1）∵， ∴． 故答案为：2022； （2）∵， ∴； （3）根据数轴可知， ∴，． ∴ ． ∵， ∴原式 ． 10．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）有这样一道题“如果代数式的值为-4，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的吴爱国同学这样来解：原式，我们把看成一个整体，把式子两边乘以2得． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题 【简单应用】 （1）已知，则_______． （2）已知，，求的值． 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 【详解】解：（1） ； （2）∵，， ∴ ； （3） ． 11．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）有这样一道题“如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的通甫同学这样来解：原式．我们把看成一个整体，把式子两边乘以2得． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知，则______． （2）已知，，则_____． 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 【详解】解：（1）当时， ； 故答案为：2； （2）当，时， ； 故答案为：； （3）当，时， ． 12．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）【阅读理解】“整体思想”是中学数学解题思想中的一种重要思想，它在整式的化简与求值中应用极为广泛． 例如：已知代数式的值为7，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 解：由题意得，则有， 所以， 所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若代数式的值为5，求代数式的值． （2）若代数式的值为13，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，，求代数式的值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴ ； （2）∵， ∴， ∴ ； （3）∵，， ∴ ． 13．（25-26七年级上·广东广州·期中）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为______，当时，的值为______，当为不等于的有理数时，的值为______； (2)已知，，求的值； (3)已知：，这个数都是不等于的有理数，若这个数中有个正数，，求的值．（请用含的式子表示） 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ， ∴的正负性可能为： ①当为正数，为负数时，原式； ②当为正数，为负数时，原式； ③当为正数，为负数时，原式； ∴原式或3； （3）解：个正数，负数的个数为， ； 故答案为：． 14．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数满足，求的值． 解：由题意得：三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当都是正数，即，，时， 则：； ②当有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上：的值为或． 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知是有理数，当时，求的值． (2)已知是有理数，，，求的值． 【详解】（1）解：由题意可分为四种情况： ①当，时，； ②当，时，； ③当，时，； ④当，时，； 综上，的值为或； （2）解：∵， ∴，，， 又∵， ∴三个有理数有两个正数一个负数， 不妨设，，， ∴． 15．（25-26七年级上·全国·期中）已知关于，的多项式，．（为常数） （1）若多项式是三次三项式，则的值是______． （2）若多项式的值为10，则 的值为______． （3）若单项式与 的和仍是单项式， ①单项式 为几次单项式； ②求多项式的值． （4）若一个多项式减去多项式，小明误当成了加法计算，得到的结果是 ，请你帮助小明求出正确的计算结果． （5）在（1）的基础上，解决下列问题： ①化简； ②若化简的结果与的取值无关，求 的值． （6）若有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，且 为最大的负整数．化简：______； （7）我们知道能被3整除的数的规律，设是一个三位数，其中a，b，m分别是这个三位数百位、十位、个位上的数字．若 可以被3整除，则这个数就能被3整除．例如，三位数108，因为，9可以被3整除，所以108就能被3整除． 【发现】 将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的2倍所得的差为．若能被7整除，则三位数 就能被7整除． 【验证】 例如，三位数364，因为 ，28可以被7整除，所以364就能被7整除． ①用上述方法判断455能否被7整除？____．（填“能”或“不能”） 【探究】 ②请用含，，的代数式表示_____； ③结合②论证【发现】中的结论正确． 【详解】（1）因为多项式是三次三项式，所以，所以 ． （2）因为， 所以 ， 所以； （3）①因为单项式与 的和仍是单项式， 所以单项式与是同类项，所以， ， 所以， ． 因为单项式的次数为 ， 所以 为五次单项式． ②由①知：， ， ∴； （4）多项式为 ， 所以正确的计算结果为 ． （5）①由(1)知，， 所以 ， 所以． ②由得 ． 因为化简的结果与的取值无关，所以 ， 所以 ． （6）因为为最大的负整数，所以 ．由题中数轴可知，，， 所以，，， 所以 ． （7）①能，因为 ，35可以被7整除，所以455就能被7整除． ②用含，，的代数式表示， 故答案为：， ③由题意，得三位数 ， 因为 能被7整除， 所以设 为正整数)， 所以 ， 所以 ， 所以三位数 能被7整除． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $