第13讲 规律探索（暑假预习培优讲义，7重难拓展+中考真题+提分培优）新七年级数学新教材人教版

第13讲 规律探索（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点 规律探索 1 释疑惑·重难拓展 题型1 数字类规律探索 2 题型2 等式规律 3 题型3 数表、日历、数轴规律 5 题型4 程序流程图循环规律（新考法） 7 题型5 图形规律（火柴、点阵、几何图形） 8 题型6 单项式规律题 10 题型7 多项式规律题 11 知中考·真题探源 12 练好题·提分培优 13 课标要点 能观察数字、图形、日历等排列，通过特殊→一般→验证流程归纳变化规律，用整式写出通项表达式，并借助整式加减运算验证规律正确性。 知识点 规律探索 1. 三大规律类型 （1）数字数列规律 等差：后项-前项=固定常数，通项：（一次整式） 例：2,5,8,11… 公差3，第项： 等比：后项÷前项=固定倍数，七上只考简单倍数加减组合 奇偶交替：搭配控制正负符号 例：-1,3,-5,7… 第项： （2）图形递推规律（小棒、点阵、正方形拼接） 思路：列举前3个图形数量→找等差关系→写一次整式通项；用整式加减验证第4项是否匹配。 例：1个正方形4根，2个7根，3个10根，第个：。 （3）表格/日历数字规律 日历核心：同行相邻差1，上下相邻差7；方框内数字设中间数为，其余用表示，再整式加减化简找固定和差关系。 2. 规律标准解题四步法（培优规范） 1. 列举：写出对应数值； 2. 观察：差值、倍数、符号变化； 3. 归纳：用含的整式写出第项； 4. 验证：代入，用整式计算核对是否一致。 题型1 数字类规律探索 【典例1-1】（24-25七年级上·河南鹤壁·期中）观察一列数：，4，，16，，64，，256，…将这列数排成如图所示的形式，则第10行第8个数是（   ） 4      16   64    256   … A． B． C． D． 【典例1-2】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）已知有理数，我们把称为的“差倒数”，如：2的“差倒数”是，的“差倒数”是．若，是的“差倒数”，是的“差倒数”，是的“差倒数”，…，依此类推，则的值是(     ) A． B． C．4 D． 【典例1-3】（25-26七年级上·福建漳州·期末）若规定的个位数字，例如，所以，，所以，那么计算_____． 【八1-1】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）已知一个数列，第一项，第二项，从第三项开始，每一项都等于它前面的所有项的和，即第三项，第四项则下列说法：①；②前1005项中，系数为奇数的项有3项；③；正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南益阳·期末）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌可通过分裂来繁殖后代，我们用数学模型来表示其繁殖数量的规律，即：，请你推算的个位数字是_____． 【变式1-3】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，在2026个“”中依次填入一列数，，，，，使得其中任意四个相邻“”中的数之和都相等，已知，则__________． 题型2 等式规律 【典例2-1】（25-26七年级上·河南周口·期末）观察下列等式：；；；；，则第个等式为（） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）观察下列各式，解答后面的问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)第5个等式是______； (2)第n个等式是______； (3)计算：． 【变式2-1】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）观察等式：；；；…．已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）观察下列等式：，，，，，，，…解答问题：…的末位数字是（   ） A．9 B．0 C．3 D．2 【变式2-3】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）数学活动课上，老师带领大家进行数学活动经验总结． 【观察与思考】观察下列算式： 第1个等式，； 第2个等式，； 第3个等式，； 第4个等式：； … 【猜想与验证】根据你发现的规律解决下列问题： (1)请直接写出第6个等式：__________________； (2)写出你猜想的第n个等式：____________（用含n的等式表示）； (3)利用上述规律计算：． 题型3 数表、日历、数轴规律 【典例3-1】（25-26七年级上·福建厦门·期末）如表，将连续正整数至按一定规律排列，移动带阴影的框，框中三个数的和可能是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（25-26七年级上·浙江金华·期末）观察下列图形中的数字排列规律，在第10个图中，的值为（   ） A．103 B．109 C．111 D．132 【典例3-3】（25-26七年级上·福建福州·期末）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（     ）． A． B． C． D． 【变式3-4】（25-26七年级上·河南·期末）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图所示： 则第4个方框中最下面一行的数可能是（   ） A．3249 B．5635 C．4909 D．5729 【典例3-5】（25-26七年级上·辽宁本溪·期中）如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆向左滚动（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字的点重合的是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-1】（25-26七年级上·江西景德镇·期末）根据图中数字的排列规律，在第⑨个图中，的值是（    ） A． B． C．254 D．510 【变式3-2】（25-26七年级上·广东佛山·期末）填在下面各正方形中的四个数之间有一定的规律，按此规律得出的计算结果是（   ） A．58 B．432 C．452 D．490 【变式3-3】（25-26七年级上·河南开封·期末）下列表格中的四个数都是按照规律填写的 ，则表中x的值是 （      ） 1 4 2 6 3 8 4 10 …… a 20 2 9 3 20 4 35 5 54 b x A．230 B．127 C．209 D．219 【变式3-4】（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，若将向右继续滚动，则数轴上对应的点是（     ） A．点 B．点 C．点 D．都有可能 【变式3-5】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图1所示．仿照图1，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，过程部分如图2所示，则______． 题型4 程序流程图循环规律（新考法） 【典例4】（25-26七年级上·河南郑州·期末）小明同学设置了一个数值转换机，其原理如图所示，如果第一次输入的值为2，可以发现第一次输出的结果是1，第二次输出的结果是4，那么第2026次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】（25-26七年级上·河南驻马店·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，在如图的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2026次输出的结果为（　　） A．1012 B．3 C．2027 D．6 【变式4-2】（25-26七年级上·广西防城港·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，我们发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，……，则第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26七年级上·广东茂名·期末）有一个运算程序如图所示，若开始输入的为8，则第2026次输出的结果为（   ） A．5 B．4 C．2 D．1 题型5 图形规律（火柴、点阵、几何图形） 【典例5-1】（25-26七年级上·河南郑州·期末）用相同的黑色棋子如图所示的方式摆放，第个图由个棋子组成，第个图由个棋子组成，第个图由个棋子组成…按照这样的规律排列下去，第个图由（   ）个棋子组成． A． B． C． D． 【典例5-2】（25-26七年级上·广西梧州·期末）如图，用相同的小正方形（边长为1）拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…按此规律，拼第个正方形需要个小正方形．下列哪组的值能拼成大正方形（） A． B． C． D． 【典例5-3】（25-26七年级上·福建三明·期末）如图是一回形图，其回形通道的宽和的长都为，回形线与射线交于，，，…．若从点到点的回形线为第圈（长为），从点到点的回形线为第圈，…，依此类推，则第圈的长为（    ） A． B． C． D． 【典例5-4】（25-26七年级上·河南开封·期末）如图是一组有规律的图形，它们均由边长相等的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2026个图形中涂有阴影的小正方形的个数是（    ） A．4046 B．6076 C．4049 D．6079 【变式5-1】（25-26七年级上·山东济宁·期末）中国结艺是中国特有的民间手工编结艺术，体现了中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图1所示的中国结是某位手艺人按照一定的规律编结而成的，如图2是其抽离出的平面图形，若其中第1个图形中共有9个小正方形，第2个图形中共有14个小正方形，第3个图形中共有19个小正方形，…；则第6个图形小正方形的个数为（   ） A．54 B．34 C．29 D．59 【变式5-2】（25-26七年级上·安徽滁州·期末）如图是一组有规律的图案，第1个图案中有4个三角形，第2个图案中有7个三角形，第3个图案中有10个三角形，…，以此规律，第2026个图案中，三角形的个数为（   ） A．6076 B．6079 C．6081 D．6082 【变式5-3】（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列图形都是由同样大小的桃心按一定的规律组成，其中第①个图形共有5个桃心，第②个图形共有8个桃心，第③个图形共有11个桃心，…，则第⑩个图形中桃心的个数为（     ） A．26 B．29 C．32 D．34 【变式5-4】（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第10个图案中涂有阴影的小正方形个数是______． 【变式5-5】（24-25七年级上·湖南·期中）蜜蜂不仅给人类带来了蜂蜜等营养品，也给仿生学提供了技术支持，科学家们正是模仿蜂房的结构，找到了人造卫星比较理想的结构，蜜蜂蜂房的一组有规律的图案如图所示，它们由相同的小正六边形组成，依此规律，第100个图案中有_____个小正六边形． 【变式5-6】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）下面是某位同学在地面用石子摆成的小房子图案，观察图形变化规律，则第10个小房子用了______颗小石子． 题型6 单项式规律题 【典例6-1】（25-26七年级上·云南昆明·期末）观察这列单项式：，，，，…，按此规律排列，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【典例6-2】（25-26七年级上·山西运城·期末）观察下列单项式：，，，，，…，按此规律，可以得到第2026个单项式是（   ） A． B． C． D． 【典例6-3】（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）观察下列单项式：，，，…，按照此规律，第n个式子是______．（n为正整数） 【变式6-1】（25-26七年级上·重庆·期末）按一定规律排列的单项式：，第100个单项式是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26七年级上·云南曲靖·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，则第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26七年级上·江西宜春·期末）观察下列关于x的单项式，探究其规律：，…，按照上述规律，第1013个单项式是（   ） A． B． C． D． 【变式6-4】（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）观察下面一组单项式：根据其中的规律，得出第7个单项式是_____． 【变式6-5】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）观察下列关于的单项式，探究其规律：，．．．按照上述规律，第n个单项式表示为___________． 题型7 多项式规律题 【典例7-1】（2024·云南昆明·一模）按一定规律排列的一组多项式：，，，，，…，它的第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）以下是一组按规律排列的多项式：，，，……，其中第n个多项式是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024·云南·模拟预测）一组按规律排列的多项式：，，，，第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·云南红河·二模）以下是一组按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第n个多项式是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26七年级上·云南文山·期末）以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，…，其中第个多项式是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（  ） A． B． C． D． 3．（2025·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．32 B．28 C．24 D．20 5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 6．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（    ） A．90 B．91 C．92 D．93 7．（2024·重庆·中考真题）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（　　） A．20 B．21 C．23 D．26 8．（2024·江西·中考真题）观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为______． 9．（2025·河南·中考真题）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为______________． 1．（2024·云南·模拟预测）按一定规律排列的多项式：，…，则第n个多项式是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·云南德宏·期末）观察这一列式子，按此规律排列，第24个式子为（　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E，F对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．C B．B C．E D．F 4．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，将自然数从开始按逆时针方向螺旋排列，数字位于第圈的中心，数字分布在第圈，数字分布在第圈，…，按此规律继续排列下去，数字出现在（   ）． A．第圈 B．第圈 C．第圈 D．第圈 5．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）我们可以用符号表示代数式，a是正整数．我们规定：当a为奇数时，，当a为偶数时，．例如：，．设，，，……，．依此规律，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 6．（25-26七年级上·福建漳州·期中）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法（如图1）进行速算．图2表示的“竖式”，则的值为（   ） A．25 B．21 C．22 D．26 7．（25-26七年级上·江西赣州·期末）按图中的程序运算，如果第一次输入的值是1，则第2026次输出的结果是（    ） A．4 B．1 C．6 D．8 8．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图所示，每个三角形中的三个数字之间存在某种规律，三角形间也存在着某种规律，请问在第⑥个三角形中，的值是（   ） A． B．62 C．98 D． 9．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图1是一根起点为1且标有单位长度的射线，现有同学将它弯折成如图2，弯折后落在虚线上的点，从起点开始往右上方第一个数是1，第二个数是13，第三个数是57，…，依此规律，落在虚线上的第六个点对应的数是（   ） A．241 B．247 C．363 D．381 10．（25-26七年级上·河南·期末）有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，现以这组数中的各个数作为正方形的边长值构造正方形，再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个，…正方形拼成如图长方形，则序号为⑧的长方形周长是（   ） A．110 B．178 C．208 D．288 11．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）观察下列正方形中分别具有一定规律的四个数，根据规律可得的值为_____． 12.（25-26七年级上·河北沧州·期末）如图所示的是一组用“”组成的图案，每个图案的的总数用S来表示，当时；当时，；当时，······，当时，_____． 13．（25-26七年级上·辽宁锦州·期末）如图，正方形的边在数轴上，点，对应的数分别为2和3，将正方形沿数轴逆时针连续滚动，滚动2026次后，点在数轴上对应的数是______． 14．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，重复此操作，则该动点运动到第秒时所对应的数是____． 15．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）将偶数按下列方式排成一个三角形数阵，按照此规律，第8行第6个数为_____． 16．（25-26七年级上·福建福州·期中）已知一列均不等于1的数满足如下关系：，若，则的值是_________． 17．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）观察下列单项式，则第个单项式是__________． 18．（25-26七年级上·山西太原·期末）如图，正多边形的边上按规律排列着部分点．第1个图形中有3个点，第2个图形中有8个点，第3个图形中有15个点，第4个图形中有24个点，……按照此规律，第10个图形中点的个数为__________． 19．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）下图是根据一定规律设置的密码，则第四个图的密码是__________． 20．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）用长度相同的小棒按一定的规律拼成的图形如图所示，拼第1个图形需要7根小棒，拼第2个图形需要13根小棒…．依此规律，拼第11个图形需要___________根小棒． 21．（25-26七年级上·广东梅州·期中）下面是用棋子摆成的“小屋子”、摆第1个这样的“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个这样的“小屋子”需要11枚棋子，摆第5个这样的“小屋子需要______枚棋子，摆第n个这样的“小屋子”需要______枚棋子． 22．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，…，第n次对折后得到的图形面积为，则________． 23．（25-26七年级上·贵州毕节·期末）将正整数按如图方式进行有规律的排列，第2行最后一个数是4，第3行最后一个数是7，第4行最后一个数是10，按此规律，若2026第一次出现是在第行第个数，则的值是___________． 24．（25-26七年级下·河南周口·期中）仔细观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； …… (1)按照以上规律，写出第个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式：_________（用含n的式子表示）； (3)运用你所学的乘法公式，证明第个等式的正确性． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 规律探索（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点 规律探索 1 释疑惑·重难拓展 题型1 数字类规律探索 2 题型2 等式规律 6 题型3 数表、日历、数轴规律 9 题型4 程序流程图循环规律（新考法） 15 题型5 图形规律（火柴、点阵、几何图形） 18 题型6 单项式规律题 24 题型7 多项式规律题 27 知中考·真题探源 29 练好题·提分培优 32 课标要点 能观察数字、图形、日历等排列，通过特殊→一般→验证流程归纳变化规律，用整式写出通项表达式，并借助整式加减运算验证规律正确性。 知识点 规律探索 1. 三大规律类型 （1）数字数列规律 等差：后项-前项=固定常数，通项：（一次整式） 例：2,5,8,11… 公差3，第项： 等比：后项÷前项=固定倍数，七上只考简单倍数加减组合 奇偶交替：搭配控制正负符号 例：-1,3,-5,7… 第项： （2）图形递推规律（小棒、点阵、正方形拼接） 思路：列举前3个图形数量→找等差关系→写一次整式通项；用整式加减验证第4项是否匹配。 例：1个正方形4根，2个7根，3个10根，第个：。 （3）表格/日历数字规律 日历核心：同行相邻差1，上下相邻差7；方框内数字设中间数为，其余用表示，再整式加减化简找固定和差关系。 2. 规律标准解题四步法（培优规范） 1. 列举：写出对应数值； 2. 观察：差值、倍数、符号变化； 3. 归纳：用含的整式写出第项； 4. 验证：代入，用整式计算核对是否一致。 题型1 数字类规律探索 【典例1-1】（24-25七年级上·河南鹤壁·期中）观察一列数：，4，，16，，64，，256，…将这列数排成如图所示的形式，则第10行第8个数是（   ） 4      16   64    256   … A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由排列规律可得，第行有个数. ∵第1行有个数，第2行有个数，，第9行有个数， ∴前9行数字的总个数为 ， ∴第10行第8个数是原数列的第个数， 观察原数列可得，第个数的绝对值为，为奇数时符号为负，为偶数时符号为正. ∵是奇数， ∴第10行第8个数为． 【典例1-2】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）已知有理数，我们把称为的“差倒数”，如：2的“差倒数”是，的“差倒数”是．若，是的“差倒数”，是的“差倒数”，是的“差倒数”，…，依此类推，则的值是(     ) A． B． C．4 D． 【答案】C 【详解】解：∵ ∴ ∴该数列以三个数为一个周期循环 ∵，刚好整除 ∴ 故选：C． 【典例1-3】（25-26七年级上·福建漳州·期末）若规定的个位数字，例如，所以，，所以，那么计算_____． 【答案】 【详解】解：先计算前几个的值： ∵，，，，， ∴；；；；； 观察可得，的个位数字以为一个循环，每个循环内数字的和为． ∵， ∴共有个完整的循环，还余下1个数字，该数字为循环节的第一个数2． 则总和为． 【八1-1】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）已知一个数列，第一项，第二项，从第三项开始，每一项都等于它前面的所有项的和，即第三项，第四项则下列说法：①；②前1005项中，系数为奇数的项有3项；③；正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：，， ， ， ， 故①正确； ∵ ∴即当时，从第4项起，每一项系数是前一项的2倍，均为偶数， 只有，的系数为奇数，有2项， 故② 错误 设前n项和为 ∵， 当时，，且， ∴ 即从起，前n项和是前项和的2倍， ∴ 当时，， 故③正确 综上，正确的说法有2个， 故选：C． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南益阳·期末）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌可通过分裂来繁殖后代，我们用数学模型来表示其繁殖数量的规律，即：，请你推算的个位数字是_____． 【答案】9 【详解】解：∵，，，，，……， 所以， 的个位数字按3，9，7，1循环出现，周期为4， ，余数为2对应循环中的第二个数字9， 故 的个位数字是9． 故答案为：9． 【变式1-3】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，在2026个“”中依次填入一列数，，，，，使得其中任意四个相邻“”中的数之和都相等，已知，则__________． 【答案】2022 【详解】解：∵任意四个相邻“”中的数之和都相等， ∴， ， ， 归纳类推得：，其中为正整数， 同理可得：，其中为正整数， ，其中为正整数， ，其中为正整数， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，，， ∵， ∴ ， 故答案为：2022． 题型2 等式规律 【典例2-1】（25-26七年级上·河南周口·期末）观察下列等式：；；；；，则第个等式为（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察已知等式： 当时，； 当时，； 当时，； 归纳可得第个等式为， 又左边展开得，右边，左右两边相等， 等式成立， 故选：A． 【变式2-2】（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）观察下列各式，解答后面的问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)第5个等式是______； (2)第n个等式是______； (3)计算：． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： ∴第5个等式是：； （2）解：． （3）解：原式 ． 【变式2-1】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）观察等式：；；；…．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵；；；…， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴原式． 故选：B． 【变式2-2】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）观察下列等式：，，，，，，，…解答问题：…的末位数字是（   ） A．9 B．0 C．3 D．2 【答案】D 【详解】解：∵，末位数字为；，末位数字为；，末位数字为；，末位数字为；，末位数字回到， ∴的末位数字每个为一个循环，依次为， ∴一个循环内四个数的末位和为，末位数字是， ∵ 原式从到，共项， ， ∴个完整循环的各项末位数字之和的末位数字为，余下两个项的末位分别为和， ∴原式总和的末位数字为，末位数字为． 【变式2-3】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）数学活动课上，老师带领大家进行数学活动经验总结． 【观察与思考】观察下列算式： 第1个等式，； 第2个等式，； 第3个等式，； 第4个等式：； … 【猜想与验证】根据你发现的规律解决下列问题： (1)请直接写出第6个等式：__________________； (2)写出你猜想的第n个等式：____________（用含n的等式表示）； (3)利用上述规律计算：． 【详解】（1）解：根据规律，第个等式为：， 故答案为：． （2）解：猜想第个等式为：， 验证左边， 右边， 左边右边，等式成立． 故答案为：（为正整数）． （3）解：原式． 题型3 数表、日历、数轴规律 【典例3-1】（25-26七年级上·福建厦门·期末）如表，将连续正整数至按一定规律排列，移动带阴影的框，框中三个数的和可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设中间的数为， ∵， ∴框中三个数的和为的正整数倍， ∵， 故选：C． 【典例3-2】（25-26七年级上·浙江金华·期末）观察下列图形中的数字排列规律，在第10个图中，的值为（   ） A．103 B．109 C．111 D．132 【答案】C 【详解】解：第1个图，，； 第2个图中，， 第3个图中，， ， 在第10个图中，，， ∴ 故选：C． 【典例3-3】（25-26七年级上·福建福州·期末）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图， ∵左下角的数依次为，右上角的数依次为， ∴右上角的数左下角的数，即，解得：， ∵左上角的数依次为，左下角的数依次为， ∴左下角的数左上角的数，即，解得：， ∵根据()可得：， 根据()可得：， 根据()可得：， ∴推出第()个式子为：， ∴． 【变式3-4】（25-26七年级上·河南·期末）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图所示： 则第4个方框中最下面一行的数可能是（   ） A．3249 B．5635 C．4909 D．5729 【答案】A 【详解】解：设第4个方框中最下面一行的数可能是两位数的平方， 根据题意可知，第二行为， ， ， 或（不合题意，舍去）， 又，， 最下面一行的数可能是3249． 故选：A． 【典例3-5】（25-26七年级上·辽宁本溪·期中）如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆向左滚动（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字的点重合的是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】解：由图可知，每个数为一个循环组，依次循环， ， ∵圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆周上第个循环组的第一个点重合，该点表示的数字为0， 故数轴上表示的点与圆周上表示数字0的点重合， 故选：A． 【变式3-1】（25-26七年级上·江西景德镇·期末）根据图中数字的排列规律，在第⑨个图中，的值是（    ） A． B． C．254 D．510 【答案】D 【详解】解：设三角形左上位置的数字为：，右上位置上的数字为：，下方位置上的数字为：，由图可知： ， ， ， ， ∴， ∴； ， ， ， ∴， ∴； ， ， ， ∴， ∴； ∴； 故选：D． 【变式3-2】（25-26七年级上·广东佛山·期末）填在下面各正方形中的四个数之间有一定的规律，按此规律得出的计算结果是（   ） A．58 B．432 C．452 D．490 【答案】B 【详解】解：先观察前几个正方形的数字规律： 第1个正方形：左上角1，右上角，左下角，右下角； 第2个正方形：左上角2，右上角，左下角，右下角； 第3个正方形：左上角3，右上角，左下角，右下角； …… 总结规律：右上角的数左上角数，左下角的数，右下角的数， 所以对于左上角为7的正方形，，，， ． 故选B． 【变式3-3】（25-26七年级上·河南开封·期末）下列表格中的四个数都是按照规律填写的 ，则表中x的值是 （      ） 1 4 2 6 3 8 4 10 …… a 20 2 9 3 20 4 35 5 54 b x A．230 B．127 C．209 D．219 【答案】C 【详解】解：观察表格可知，第n组数的左上角数字为n，左下角数字为，右上角数字为，右下角数字为， 最后一组左上角数字为a，左下角数字为，右上角数字为， ， ， 最后一组右下角的数字， 故选：C． 【变式3-4】（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，若将向右继续滚动，则数轴上对应的点是（     ） A．点 B．点 C．点 D．都有可能 【答案】A 【详解】解：∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴每滚动一周，向右移动3个单位长度， ∵， ∴数轴上对应的点是点． 【变式3-5】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图1所示．仿照图1，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，过程部分如图2所示，则______． 【答案】41 【详解】解：根据题意，得 或， 故， 或 故答案为：41． 题型4 程序流程图循环规律（新考法） 【典例4】（25-26七年级上·河南郑州·期末）小明同学设置了一个数值转换机，其原理如图所示，如果第一次输入的值为2，可以发现第一次输出的结果是1，第二次输出的结果是4，那么第2026次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：第1次输入的值为2，第1次输出的结果是； 第2次输入的值为1，第2次输出的结果是； 第3次输入的值为4，第3次输出的结果是； 第4次输入的值为2，第4次输出的结果是； …… 计算结果是循环的，循环周期为3， ∵， ∴第2026次输出的结果是1， 故选：A． 【变式4-1】（25-26七年级上·河南驻马店·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，在如图的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2026次输出的结果为（　　） A．1012 B．3 C．2027 D．6 【答案】B 【详解】解：∵第1次输出结果为24， 第2次输出结果为12， 第3次输出结果为6， 第4次输出结果为3， 第5次输出结果为6， 第6次输出结果为3， …… ∴从第3次开始，每2次输出为一个循环，循环结果依次为6、3， ∵，无余数 ∴第2026次输出的结果为循环的最后一个数3， 故选：B． 【变式4-2】（25-26七年级上·广西防城港·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，我们发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，……，则第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当输入的值为时，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， …， 从第三次开始，输出的结果是，进行循环， ∵， ∴第次输出的结果为， 故选：A． 【变式4-3】（25-26七年级上·广东茂名·期末）有一个运算程序如图所示，若开始输入的为8，则第2026次输出的结果为（   ） A．5 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：第一次输入8时，输出的结果为， 第二次输入4时，输出的结果为， 第三次输入2时，输出的结果为， 第四次输入1时，输出的结果为， 第五次输入4时，输出的结果为， ……， ∴从第二次输入开始，输出的结果每3个数为一个循环，为2，1，4，依次出现， ∵， ∴第2026次输出的结果为4， 故选：B． 题型5 图形规律（火柴、点阵、几何图形） 【典例5-1】（25-26七年级上·河南郑州·期末）用相同的黑色棋子如图所示的方式摆放，第个图由个棋子组成，第个图由个棋子组成，第个图由个棋子组成…按照这样的规律排列下去，第个图由（   ）个棋子组成． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：第个图由个棋子组成， 第个图由个棋子组成， 第个图由个棋子组成， ， 第个图由个棋子组成． 故选：C． 【典例5-2】（25-26七年级上·广西梧州·期末）如图，用相同的小正方形（边长为1）拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…按此规律，拼第个正方形需要个小正方形．下列哪组的值能拼成大正方形（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：第1个正方形： 第2个正方形： 第3个正方形： 由此可归纳出规律：拼第个正方形需要的小正方形个数为 A．，则，故本选项不符合题意； B．，则，故本选项不符合题意； C．，则，故本选项不符合题意； D．，则，符合规律．故符合题意； 故选：D． 【典例5-3】（25-26七年级上·福建三明·期末）如图是一回形图，其回形通道的宽和的长都为，回形线与射线交于，，，…．若从点到点的回形线为第圈（长为），从点到点的回形线为第圈，…，依此类推，则第圈的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据回形通道的宽和的长均为和周长公式得： 第一圈的长是：； 第二圈的长是：； 第三圈的长是：； …… 第圈的长是：； 当时，， 即第圈的长为． 故选：C． 【典例5-4】（25-26七年级上·河南开封·期末）如图是一组有规律的图形，它们均由边长相等的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2026个图形中涂有阴影的小正方形的个数是（    ） A．4046 B．6076 C．4049 D．6079 【答案】D 【详解】解：第个图涂有阴影的小正方形的个数：， 第个图涂有阴影的小正方形的个数：， 第个图涂有阴影的小正方形的个数：， 第个图涂有阴影的小正方形的个数：， 当时， ； 故选：D． 【变式5-1】（25-26七年级上·山东济宁·期末）中国结艺是中国特有的民间手工编结艺术，体现了中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图1所示的中国结是某位手艺人按照一定的规律编结而成的，如图2是其抽离出的平面图形，若其中第1个图形中共有9个小正方形，第2个图形中共有14个小正方形，第3个图形中共有19个小正方形，…；则第6个图形小正方形的个数为（   ） A．54 B．34 C．29 D．59 【答案】B 【详解】解：第1个图形中有9个小正方形，第2个图形中有14个小正方形，第3个图形中有19个小正方形，由题意知： 第1个图形中小正方形的个数是（个）， 第2个图形中小正方形的个数是（个）， 第3个图形中小正方形的个数是（个）， ， 故第个图形中小正方形的个数是（个）， 故选：B． 【变式5-2】（25-26七年级上·安徽滁州·期末）如图是一组有规律的图案，第1个图案中有4个三角形，第2个图案中有7个三角形，第3个图案中有10个三角形，…，以此规律，第2026个图案中，三角形的个数为（   ） A．6076 B．6079 C．6081 D．6082 【答案】B 【详解】解：第一个图形中三角形个数为， 第二个图形三角形个数为， 第三个图形中三角形个数为， 第四个图形中三角形个数为， ……， ∴第n个图案中，三角形的个数为． 当时，． 故选：B． 【变式5-3】（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列图形都是由同样大小的桃心按一定的规律组成，其中第①个图形共有5个桃心，第②个图形共有8个桃心，第③个图形共有11个桃心，…，则第⑩个图形中桃心的个数为（     ） A．26 B．29 C．32 D．34 【答案】C 【详解】解：第①个图形一共有个桃心； 第②个图形一共有个桃心； 第③个图形一共有个桃心 …… ∴可知第n个图形一共有个桃心， ∴第⑩个图形一共有个桃心． 【变式5-4】（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第10个图案中涂有阴影的小正方形个数是______． 【答案】41 【详解】解：由图可得，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5， 第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为， 第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为， …， 第n个图案涂有阴影的小正方形的个数为． 当时，， 即第10个图案中有41个涂有阴影的小正方形． 【变式5-5】（24-25七年级上·湖南·期中）蜜蜂不仅给人类带来了蜂蜜等营养品，也给仿生学提供了技术支持，科学家们正是模仿蜂房的结构，找到了人造卫星比较理想的结构，蜜蜂蜂房的一组有规律的图案如图所示，它们由相同的小正六边形组成，依此规律，第100个图案中有_____个小正六边形． 【答案】302 【详解】解：观察图形可知， 第1个图案中有5个小正六边形， 第2个图案中有个小正六边形， 第3个图案中有个小正六边形， ⋯ 归纳可得，第个图案中小正六边形的个数为； 当时， ． 【变式5-6】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）下面是某位同学在地面用石子摆成的小房子图案，观察图形变化规律，则第10个小房子用了______颗小石子． 【答案】 【详解】解：第1个小房子用的石子的数量是：， 第2个小房子用的石子的数量是：， 第3个小房子用的石子的数量是：， …， 第n个小房子用的石子的数量是：， 第10个小房子用的石子的数量是： 故答案为： 题型6 单项式规律题 【典例6-1】（25-26七年级上·云南昆明·期末）观察这列单项式：，，，，…，按此规律排列，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察这列单项式的系数：，，，，…， 则第项的系数为； 观察字母部分：，，，，…， 则第项的字母部分为； 因此，第个单项式为． 故选：A． 【典例6-2】（25-26七年级上·山西运城·期末）观察下列单项式：，，，，，…，按此规律，可以得到第2026个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：第一个单项式：； 第二个单项式：； 第三个单项式：； 第四个单项式：； ， ∴第个单项式：； ∴第2026个单项式为：． 故选：C． 【典例6-3】（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）观察下列单项式：，，，…，按照此规律，第n个式子是______．（n为正整数） 【答案】 【详解】解：，，，… 故第n个式子是； 故答案为：． 【变式6-1】（25-26七年级上·重庆·期末）按一定规律排列的单项式：，第100个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， ， 观察发现，第n个单项式的系数为，字母x的指数为， ∴ 第n个单项式为， 当时，系数为，字母x的指数为， ∴ 第100个单项式为， 故选：D． 【变式6-2】（25-26七年级上·云南曲靖·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，则第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：第1项：， 第2项：， 第3项：， 第4项：， …， 故第项为， 故选：D． 【变式6-3】（25-26七年级上·江西宜春·期末）观察下列关于x的单项式，探究其规律：，…，按照上述规律，第1013个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，…， ∴第个单项式可表示为：， 当时，第个单项式是：． 故选C． 【变式6-4】（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）观察下面一组单项式：根据其中的规律，得出第7个单项式是_____． 【答案】 【详解】解：由单项式可知，第n个单项式为， 代入得， 即第7个单项式为． 故答案为：． 【变式6-5】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）观察下列关于的单项式，探究其规律：，．．．按照上述规律，第n个单项式表示为___________． 【答案】 【详解】解：观察可知，奇数位系数的符号为正，偶数位系数的符号为负，的指数是从3开始的连续的奇数， ∵， ， ， ∴第n个单项式的系数的绝对值为：， ∴第n个单项式表示为； 故答案为： 题型7 多项式规律题 【典例7-1】（2024·云南昆明·一模）按一定规律排列的一组多项式：，，，，，…，它的第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据分析的规律，得系数的规律：第个对应的系数是， 的指数的规律：第个对应的指数是，且奇数项系数为正，偶数项系数为负， 第个多项式是， 故选：B． 【典例7-2】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）以下是一组按规律排列的多项式：，，，……，其中第n个多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：第1个多项式为， 第2个多项式为， 第3个多项式为， 以此类推，第n个多项式为． 故选：D． 【变式7-1】（2024·云南·模拟预测）一组按规律排列的多项式：，，，，第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可知：所给的多项式为二项式，a的指数为从3开始的连续奇数，b的指数为从4开始的连续偶数，其中当n为奇数时a的系数为正，b的系数为负，当n为偶数时，a的系数为负，b的系数为正， ∴第个多项式中的第一项为，第二项为， ∴第个多项式是， 故选：C． 【变式7-2】（2024·云南红河·二模）以下是一组按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第n个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将排列的多项式：，，，，，…，拆成两组单项式为： ， ， 第个单项式为和， 第个多项式是． 故选：B． 【变式7-3】（25-26七年级上·云南文山·期末）以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，…，其中第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵第1个多项式：，第2个：，第3个：，第4个：，第5个：， ∴a的指数依次为1，2，3，4，5，...，对应第n项为；b的指数依次为2，4，6，8，10，...，对应第n项为， ∴第个多项式是． 故选：B． 1．（2024·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵按一定规律排列的代数式：，，，，，， ∴第个代数式是， 故选：． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：观察可得，从左到右第个单项式是， ∴第15个单项式是， 故选：B． 3．（2025·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， 第5个代数式为， ……， 以此类推，可知，第n个代数式是， 故选：A． 4．（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．32 B．28 C．24 D．20 【答案】C 【详解】解：第①个图案中有4个黑色圆点， 第②个图案中有8个黑色圆点， 第③个图案中有12个黑色圆点， 第④个图案中有16个黑色圆点， 则第个图案中有个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是个， 故选：C． 5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【详解】解：第1个图案有4个三角形，即， 第2个图案有7个三角形，即， 第3个图案有10个三角形，即， …， 按此规律摆下去，第n个图案有个三角形， 则第674个图案中三角形的个数为：（个）． 故选：B． 6．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（    ） A．90 B．91 C．92 D．93 【答案】B 【详解】第1个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， …… 第6个图形有（个）正方形， 故选：B. 7．（2024·重庆·中考真题）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（　　） A．20 B．21 C．23 D．26 【答案】C 【详解】解：第①个图案中有个菱形， 第②个图案中有个菱形， 第③个图案中有个菱形， 第④个图案中有个菱形， ∴第个图案中有个菱形， ∴第⑧个图案中菱形的个数为， 故选：C． 8．（2024·江西·中考真题）观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为______． 【答案】 【详解】解：∵a，，，，…， ∴第n个单项式的系数是1； ∵第1个、第2个、第3个、第4个单项式的次数分别是1、2、3、4，…， ∴第n个式子是． ∴第100个式子是． 故答案为：． 9．（2025·河南·中考真题）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为______________． 【答案】 【详解】解：第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， 第4个式子：， …… 观察发现，第个式子为， 故答案为： 1．（2024·云南·模拟预测）按一定规律排列的多项式：，…，则第n个多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察可知，多项式的第一项的系数和指数是从1开始的连线的自然数，第二项是常数2， ∴第n个多项式是， 故选：A． 2．（24-25七年级上·云南德宏·期末）观察这一列式子，按此规律排列，第24个式子为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵观察给出的式子，可得； 第1个式子为 ， 第2个式子为 ， 第3个式子为 ， ⋯， 总结规律，第n个式子为 ， 将代入通式，得 . 因此第24个式子对应选项B． 3．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E，F对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．C B．B C．E D．F 【答案】C 【详解】解：， 正六边形的周长， ∵点F对应的数为， ∴，， ∵， ∴连续翻转168次后点F所对应的数为2015， ∴连续翻转169次后点A所对应的数为2017， ∴连续翻转170次后点B所对应的数为2019， ∴连续翻转171次后点C所对应的数为2021， ∴连续翻转172次后点D所对应的数为2023， ∴连续翻转173次后点E所对应的数为2025， 连续翻转后数轴上2025这个数所对应的是点． 故选：C． 4．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，将自然数从开始按逆时针方向螺旋排列，数字位于第圈的中心，数字分布在第圈，数字分布在第圈，…，按此规律继续排列下去，数字出现在（   ）． A．第圈 B．第圈 C．第圈 D．第圈 【答案】B 【详解】解：由所给排列方式可知， 前圈数的总个数为，前圈数的总个数为，…， 所以前圈数的总个数为． 当时， ， 即前圈数的总个数为， 所以数在第圈． 故选：B． 5．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）我们可以用符号表示代数式，a是正整数．我们规定：当a为奇数时，，当a为偶数时，．例如：，．设，，，……，．依此规律，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，，……， ∴ 从开始，数列以“4,2,1”为周期循环，周期为3， ∵ ， ∴ ， ∴ 对应循环节的第2项，为2， 故选：B． 6．（25-26七年级上·福建漳州·期中）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法（如图1）进行速算．图2表示的“竖式”，则的值为（   ） A．25 B．21 C．22 D．26 【答案】B 【详解】解：最上层的四个数字自左到右依次十位数字平方得到的两位数，个位数字平方得到的两位数，平方不是两位数时，十位数字用0补齐位； 中间行的数字是最右边一个空出来，计算十位数字与个位数字积的2倍，把结果的个位数字写在空格后的最右边空里，依次向左写， 故 故． 7．（25-26七年级上·江西赣州·期末）按图中的程序运算，如果第一次输入的值是1，则第2026次输出的结果是（    ） A．4 B．1 C．6 D．8 【答案】A 【详解】解：第次输入的值是，则输出的结果是， 第次输入的值是，则输出的结果是， 第次输入的值是，则输出的结果是， 第次输入的值是，则输出的结果是， 第次输入的值是，则输出的结果是， 第次输入的值是，则输出的结果是， 第次输入的值是，则输出的结果是， 第次输入的值是，则输出的结果是， 第次输入的值是，则输出的结果是， 通过计算可以得到：每次输出、、、、、为一组循环； ∴， ∴第次输出的结果是； 故选：A． 8．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图所示，每个三角形中的三个数字之间存在某种规律，三角形间也存在着某种规律，请问在第⑥个三角形中，的值是（   ） A． B．62 C．98 D． 【答案】C 【详解】解：由图可知： 三角形最下面的数字分别为，，，，…；所以三角形最下面的数字之间的规律为， 三角形左边的数字分别为，，，，…；所以三角形左边的数字之间的规律为， 三角形右边的数字分别为，，，，…；所以三角形右边的数字之间的规律为， ∴第⑥个三角形中，，，， ∴． 故选：C． 9．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图1是一根起点为1且标有单位长度的射线，现有同学将它弯折成如图2，弯折后落在虚线上的点，从起点开始往右上方第一个数是1，第二个数是13，第三个数是57，…，依此规律，落在虚线上的第六个点对应的数是（   ） A．241 B．247 C．363 D．381 【答案】D 【详解】解：第1个数为1， 第2个数为：1+2+4+6=13， 第3个数为：13+8+10+12+14=57， 第4个数为：57+16+18+20+22=133， 第5个数为：133+24+26+28+30=241， 第6个数为：241+32+34+36+38=381． 故选：D． 10．（25-26七年级上·河南·期末）有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，现以这组数中的各个数作为正方形的边长值构造正方形，再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个，…正方形拼成如图长方形，则序号为⑧的长方形周长是（   ） A．110 B．178 C．208 D．288 【答案】B 【详解】解：由图可知，序号为①的矩形的宽为1，长为2； 序号为②的矩形的宽为2，长为3，； 序号为③的矩形的宽为3，长为5，； 序号为④的矩形的宽为5，长为8，； 序号为⑤的矩形的宽为8，长为13，； 序号为⑥的矩形的宽为13，长为21，； 序号为⑦的矩形的宽为21，长为34，； 序号为⑧的矩形的宽为34， 长为55，； 所以，序号为⑧的矩形周长． 故选；B． 11．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）观察下列正方形中分别具有一定规律的四个数，根据规律可得的值为_____． 【答案】 【详解】解：通过观察发现，若正方形左下角的数字为，则左上角的数字为，右上角的数字为，右下角的数字为． ∴，解得， ∴，，， ∴． 故答案为． 12.（25-26七年级上·河北沧州·期末）如图所示的是一组用“”组成的图案，每个图案的的总数用S来表示，当时；当时，；当时，······，当时，_____． 【答案】676 【详解】解：∵时图中有个点， 时图中有个点， 时图中有个点， 时图中有个点， …， ∴第n个图形中有个点， 即：， 当时，，解得：． 13．（25-26七年级上·辽宁锦州·期末）如图，正方形的边在数轴上，点，对应的数分别为2和3，将正方形沿数轴逆时针连续滚动，滚动2026次后，点在数轴上对应的数是______． 【答案】 【详解】解：∵正方形的边在数轴上，点，对应的数分别为2和3， ∴正方形的边长为， ∵起点A和2重合的正方形， ∴沿着数轴逆时针滚动1次，点B第1次落在数轴上1上，以后每4次，点B会落在数轴上的某一点，这样滚动2026次，点B第次落在数轴上， ∴点B所表示的数为． 故答案为：． 14．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，重复此操作，则该动点运动到第秒时所对应的数是____． 【答案】 【详解】解：第个秒，即第一次向左运动秒，向右运动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第二次向左运动秒，向右运动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第三次向左运动秒，向右运动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第四次向左运动秒，向右运动秒后，这个点所对应的数为， ， ∵， 即第次秒后，再向左移动秒，此时这个点所对应的数为， ∴运动到第秒时，所对应的数为， 故答案为：． 15．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）将偶数按下列方式排成一个三角形数阵，按照此规律，第8行第6个数为_____． 【答案】68 【详解】解：观察数阵可得： 第1行的第1个数为， 第2行的第1个数为， 第3行的第1个数为， 第4行的第1个数为， …， ∴第行的第1个数为， ∴第8行第1个数为， ∵每一行后一个数与前一个数相差， ∴第8行第6个数为， 故答案为：． 16．（25-26七年级上·福建福州·期中）已知一列均不等于1的数满足如下关系：，若，则的值是_________． 【答案】 【详解】解：由题知， 因为， 则， ， ， ， ， 由此可见， 这一列数按，，，循环出现， 且， 所以． 故答案为：． 17．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）观察下列单项式，则第个单项式是__________． 【答案】 【详解】解：第1个单项式：， 第2个单项式：， 第3个单项式：， 第4个单项式：， ……， 由此归纳，第个单项式为． 故答案为：． 18．（25-26七年级上·山西太原·期末）如图，正多边形的边上按规律排列着部分点．第1个图形中有3个点，第2个图形中有8个点，第3个图形中有15个点，第4个图形中有24个点，……按照此规律，第10个图形中点的个数为__________． 【答案】120 【详解】解：第一个图形中点数为， 第二个图形中点数为， 第三个图形中点数为， 第四个图形中点数为， …… 第n个图形中点数为， 当时，． 故答案为：120． 19．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）下图是根据一定规律设置的密码，则第四个图的密码是__________． 【答案】09072445 【详解】解：对于密码04140836， ， ， ， ， 对于密码09052136， ， ， ， … 密码的规律为：四次运算得到的两位数从左向右排列而成的八位数即为密码，如果运算结果为一位数，前面补0得到两位数．每一个图形中四个数可以看作两行，两列． 第一次运算：第1列两数相加， 第2次运算：第2列两数相加， 第3次运算：第1行两数的和与左下角的数相乘的积， 第4次运算：第1列两数的和与右下角的数相乘的积， 如图， ，记为：， ，记为：， ，记为：， ，记为：， 该图形的密码为：． 故答案为：． 20．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）用长度相同的小棒按一定的规律拼成的图形如图所示，拼第1个图形需要7根小棒，拼第2个图形需要13根小棒…．依此规律，拼第11个图形需要___________根小棒． 【答案】157 【详解】解：拼第1个图形需要根小棒， 拼第2个图形需要根小棒， 拼第3个图形需要根小棒， 拼第4个图形需要根小棒 …… 拼第个图形需要根小棒， 当时，（根）， 故答案为：157． 21．（25-26七年级上·广东梅州·期中）下面是用棋子摆成的“小屋子”、摆第1个这样的“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个这样的“小屋子”需要11枚棋子，摆第5个这样的“小屋子需要______枚棋子，摆第n个这样的“小屋子”需要______枚棋子． 【答案】 【详解】解：由图可知： 第1个这样的“小屋子”需要5枚棋子； 第2个这样的“小屋子”需要枚棋子； 第3个这样的“小屋子”需要枚棋子； 第4个这样的“小屋子”需要枚棋子； 第5个这样的“小屋子”需要枚棋子； ∴第个这样的“小屋子”需要（枚）棋子． 22．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，…，第n次对折后得到的图形面积为，则________． 【答案】 【详解】解：由题意知，，，，…，， 剩下部分面积为， ∴． 23．（25-26七年级上·贵州毕节·期末）将正整数按如图方式进行有规律的排列，第2行最后一个数是4，第3行最后一个数是7，第4行最后一个数是10，按此规律，若2026第一次出现是在第行第个数，则的值是___________． 【答案】675 【详解】解：由题意可知，第m行最后一个数是，第m行有个数， 当时，， ∴第676行的最后一个数是2026， ∴， ∴， ∴． 24．（25-26七年级下·河南周口·期中）仔细观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； …… (1)按照以上规律，写出第个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式：_________（用含n的式子表示）； (3)运用你所学的乘法公式，证明第个等式的正确性． 【详解】（1）解：∵第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； …… ∴第个等式：； （2）解：由题意可得： 第 个等式：； （3）证明：左边右边， ∴ 等式成立． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $