第01讲 正数、负数、有理数概念（暑假预习培优讲义，6题型技巧2重难拓展+中考真题+提分培优）新七年级数学新教材人教版

第01讲 正数、负数、有理数概念（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 正数和负数 2 知识点02 相反意义的量 3 知识点03 有理数的相关概念 4 知识点04 有理数的分类 5 知识点05 0的特殊性 6 剖题型·讲技巧 题型1 正负数的认识 7 题型2 相反意义的量 9 题型3 用正负数表示合理偏差 10 题型4 正负数的实际应用 12 题型5 有理数的分类 15 题型6 0的意义 17 释疑惑·重难拓展 题型1 带“非”字的有理数 18 题型2 有理数规律探究 19 知中考·真题探源 22 练好题·提分培优 24 课标要点 1.理解正负数产生背景，能用正负数表示生活中具有相反意义的量，明晰0的特殊属性。 2.掌握有理数两种分类方式，精准区分有理数、无理数，熟记非正数、非负数、自然数等专有集合定义。 知识点01 正数和负数 正数：大于0的数，符号“+”可省略，例： 负数：正数前加符号“-”，小于0的数，例： 1.定义 正数：像3 ，1 .8%，3 .5 这样大于0 的数叫作正数.有时，为了明确表达与负数的相反意义，在正数前面加上符号“+”(读作“正”)，如+2，+2.2 5 ，+ ，… . 负数：像－3，－2.7%，－4.5，－1 .2 这样在正数前加上符号“－”(负号)的数叫作负数. 2. 数的符号：一个数前面的“＋”“－”号叫作这个数的符号，其中“＋”号可以省略不写，而“－”号不能省略不写. 3. 符号“＋”“－”的双重含义 (1)作为运算符号是加减号； (2)作为数的性质符号是正负号. 练习（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）在、、、0、、、1和这些数中，正数有( )个，负数有( )个． 【答案】 4 3 【详解】解：正数有：、、、1，共4个， 负数有：、、，共3个． 知识点02 相反意义的量 1. 定义：在生活中存在各种各样的量，其中有一种量，它们的属性相同(即同类量)，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫作相反意义的量. 具有相反意义的量的特点 解读与举例 成对性 “相反”是相互的，单独的一个量不能称为相反意义的量，如增加5 元 同类性 具有相反意义的量必须是同类量，如上升3 m和亏损3 元不是同类量，不具备相反意义 不唯一性 具有相反意义的量，不要求数量相等，重在意义相反，如伸长3 cm 与缩短2 cm 是一对相反意义的量，与具体长度无关 2. 用正数、负数表示具有相反意义的量 规定 对于具有相反意义的两个量，若其中一个量用正数表示，则另一个量用负数表示 举例 若规定向东走100 m 记作＋100 m，则向西走200 m 记作－200 m 3. 用正数、负数表示具有相反意义的量的步骤 第一步：定基准→起始位置或开始变化时刻的值； 第二步：找相反→找具有相反意义的词； 第三步：定正负→确定一个量为“＋”； 第四步：写结果→用正数、负数表示出具有相反意义的量. 练习（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）我国海拔最低点是艾丁湖洼地，其海拔高度约为，表示低于平均海平面，“贵州屋脊”六盘水市韭菜坪最高处高于平均海平面约，其海拔应记为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：低于平均海平面，海拔高度约为，则高于平均海平面约，其海拔应记为． 故选：A． 知识点03 有理数的相关概念 1. 整数：正整数、0、负整数统称为整数，如：－3，－2，0，1，2，3，… . 2. 分数：正分数、负分数统称为分数，如3，0 .3，－1.2 5 ，－，0.2，… . 特别说明：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们也可以看成分数. 3. 有理数：可以写成分数形式的数称为有理数. 4. 部分常用的数的名称 名称 特征 正有理数 正整数和正分数 非正有理数 0、负整数、负分数 正整数 1. 符号为正；2. 整数 非负整数 正整数和0 正分数 1. 符号为正；2. 分数或有限小数或无限循环小数 非负数 正数和0 奇数 1，3，5，⋯和－1，－3，－5，⋯ 负有理数 负整数和负分数 非负有理数 0、正整数、正分数 负整数 1. 符号为负；2. 整数 非正整数 负整数和0 负分数 1. 符号为负；2. 分数或有限小数或无限循环小数 非正数 负数和0 偶数 2，4，6，⋯和－2，－4，－6，⋯ 练习（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）在，，，，，这六个数中，有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【详解】解：∵整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都可化为分数，属于有理数， 逐个判断得： 是分数，是有理数； 是无限不循环小数，不是有理数； 是整数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是无限循环小数，是有理数. 故有理数共5个，故选C． 知识点04 有理数的分类 1. 分类: 按定义分类（必考） 有理数 按正负性分类（培优辨析） 有理数 2. 拓展：数的集合 (1)定义：把满足一定条件的所有数放在一起，就组成一类数的集合.（必须是符合条件的所有数，不能遗漏.) (2)集合的两种常见形式 省略号表示集合有无数个元素. 练习（25-26七年级上·广东东莞·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨． (1)正有理数集合；｛____________________…｝ (2)负有理数集合：｛____________________…｝ (3)整数集合：｛____________________…｝ 【答案】(1)①，④，⑦，⑨ (2)②，③，⑥ (3)①，③，⑤ 【详解】（1）解：π是无限不循环小数，不属于有理数，正有理数是大于0的有理数， 因此正有理数集合：｛①，④，⑦，⑨…｝. （2）解：负有理数是小于0的有理数，因此负有理数集合：｛②，③，⑥，…｝； （3）解：整数包括正整数，0和负整数，因此整数集合：｛①，③，⑤，…｝． 知识点05 0的特殊性 1.0既不是正数，也不是负数；0是整数、偶数、有理数，是正负数分界值。 2.0 的多重意义 (1)表示没有，如0 支笔，0 本书； (2)0 是正数与负数的分界； (3)在现实生活中，0 是某些实际的量的分界，如在温度中，0℃是零上和零下的分界； (4)0 表示某些实际的量的基准，如在标准大气压下0℃表示水开始结冰的温度，海平面的海拔为0 米等； (5)0 表示起点，如直尺、米尺上刻度的起点为0； (6)0 起到占位作用，如“ 106 ”中，0 表示0 个十，不能省略. 练习（24-25七年级上·四川自贡·开学考试）四位同学在整理关于数字“0”的知识时，说得正确的有（    ）个 小红∶0既表示没有，也表示起点，还表示正负数的分界点． 小明∶读数时，每级末尾不管有几个0，都不读． 小丽∶因为，所以去掉一个数末尾的0，不会改变这个数的大小． 小刚∶除法中除数不能为0，分数的分母不能为0，比的后项也不能为0． A．2 B．3 C．4 【答案】B 【知识点】0的意义、数学常识 【分析】根据0的意义、整数读数规则、小数性质、除法与分数、比的相关知识逐个判断即可． 【详解】解：小红的表述：0既可以表示没有，也可作为测量的起点（如直尺的0刻度），还是正负数的分界点，该表述正确； 小明的表述：根据整数读数规则，每级末尾的0都不读，该表述正确； 小丽的表述：只有小数末尾的0去掉才不改变数的大小，整数末尾的0去掉会改变数的大小（如10去掉末尾的0变为1，大小改变），故该表述错误； 小刚的表述：除法中除数为0无意义，分数的分母相当于除法的除数，比的后项也相当于除法的除数，因此分数的分母、比的后项都不能为0，该表述正确； 综上，正确的表述共有3个，选项B符合题意． 题型1 正负数的认识 【典例1-1】（2025七年级上·全国·专题练习）在下列各数中，负数有（   ） ，0，，，，，2024 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：负数是指小于零的数， 在给定的数中：，是负数； ，不是负数； ，不是负数； ，是负数； ，是负数； ，不是负数； ，不是负数； 负数有3个：， ，， 故选：C． 【典例1-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）请把下列各数分别填入相应的圈内： ，，，，，． 【详解】解：把各数分别填入相应的圈内如下： ． 【变式1-1】（23-24七年级上·山东日照·期末）在，0，1，，，7，中，负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：依题意，，，，， 故负数有3个， 故选：C． 【变式1-2】（25-26七年级上·甘肃酒泉·期末）下列各数中，是负整数的是（   ） A． B． C． D．10 【答案】C 【详解】解：负整数需满足负数和整数两个条件． A．为正数，不符合； B．为负数但非整数，不符合； C．为负数且为整数，符合； D．10为正数，不符合； 故选：C． 【变式1-3】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）我国是最早认识和使用负数的国家，早在东汉时期就提出了正数和负数的概念； 下列各数中：，2，，0，负数的个数为_______． 【答案】 【详解】解：，，，， 即负数有，，个数为， 故答案为：． 【变式1-4】（25-26七年级上·全国·课后作业）请任意写出3个正数与3个负数： 正数：{                                  …}． 负数：{                                  …}． 【答案】正数：（答案不唯一）；负数：（答案不唯一） 【详解】解：正数：； 负数：． 题型2 相反意义的量 【典例2】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）史料证明：中国是最早采用正数、负数表示相反意义的量的国家．追溯到两千多年前，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，如果体重上升记作，那么体重下降可以记作（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵体重上升记作， ∴体重下降可以记作． 方法技巧 先定正负基准，反向数量直接加负号；无数量反义词不属于相反意义量。 【变式2-1】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）我国数学家刘徽在1700多年前首次明确提出了正负数概念，“今两算得失相反，要令正负以名之”例如：某店铺今日盈利107元记作元，那么亏损56元记作（  ） A．56元 B．0元 C．元 D．元 【答案】C 【详解】解：∵“正”和“负”相对， ∴则某店铺今日盈利107元记作元，那么亏损56元记作元．即选项C符合题意． 【变式2-2】（25-26七年级上·福建福州·期末）我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将向南行走5步记作“”，则“”表示（     ） A．向东行走7步 B．向南行走7步 C．向北行走7步 D．向西行走7步 【答案】C 【详解】解：∵题目规定向南行走步记作， 又∵向南与向北是一对相反意义的方向， ∴表示向北行走步． 【变式2-3】（25-26七年级上·陕西西安·期末）2025年11月5日，我国首艘自主设计采用电磁弹射技术的弹射型航母福建舰正式入列海军．以福建舰排水量8万吨为基准，若完成补给时，排水量增加万吨记作万吨，那么实际航行中因物资消耗，排水量减少万吨可以记作______万吨． 【答案】 【详解】解：根据题意，以排水量8万吨为基准，排水量增加万吨记作万吨， 则排水量减少万吨应记作万吨． 故答案为：． 题型3 用正负数表示合理偏差 【典例3】（25-26七年级上·浙江金华·期末）某规格金华火腿的质量标识为“千克”，则下列火腿中合格的是（   ） A．4.70千克 B．4.85千克 C．5.25千克 D．5.30千克 【答案】B 【详解】解：∵质量标识为“千克”， ∴合格质量的最小值为（千克）， 最大值为（千克）， ∵，，，， ∴只有选项B的火腿质量在合格范围内； 故选：B． 【变式3-1】（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段检测）某种药品说明书标明保存温度是，则该药品在（    ）范围内保存最合适． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ，， ∴ 该药品合适的保存温度范围为． 【变式3-2】（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，在生产图纸上通常用（单位：）来表示零件的加工要求，其中表示直径是，和是指直径在到之间的零件都属于合格零件．现加工一批零件，尺寸要求是（单位：），下列零件不合格的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设该零件的直径为， 根据题意可得：， 整理得：， ， 不合格． 故选：B． 【变式3-3】（2025七年级上·全国·专题练习）某面粉车间生产一批面粉，要求每袋面粉的质量为“”．这表明每袋面粉的标准质量是，只要每袋面粉的质量不超出，且不低于，就是合格的．现称得一袋面粉的质量是，这袋面粉的质量合格吗？请说明理由． 【详解】解：这袋面粉的质量合格，理由如下： ∵只要每袋面粉的质量不超出，且不低于，就是合格的． 即，， ∵， ∴这袋面粉的质量合格． 题型4 正负数的实际应用 【典例4-1】（25-26七年级上·江苏常州·期末）“负算”是中国古代数学中表示负数的术语，其概念及使用方法最早记载于《九章算术》，领先世界各国古人常用算筹颜色区分正负数：红为正．黑为负．例如．红色算筹“|||”表示的数是．则黑色算筹“≡|||||”表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵红色算筹“=|||”表示，“=”为两条横线，表示横式2（十位），“|||”为三条竖线，表示纵式3（个位），红色表示正数， ∴黑色算筹“≡|||||”中，“≡”为三条横线，表示横式3（十位），“|||||”为五条竖线，表示纵式5（个位），故数字为35， ∵黑色表示负数， ∴该数为， 故选：． 【典例4-2】（25-26七年级上·湖北宜昌·期末）四种品牌的手机今年第二季度的销售量与第一季度相比，变化率如下：A品牌减少，B品牌增长，C品牌增长D品牌减少，则今年第二季度A品牌手机销售量的增长率为___________． 【答案】 【详解】解：A品牌手机销售量减少，故增长率为． 故答案为：． 【典例4-3】（25-26七年级上·湖南常德·期中）一位足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正，返回记作负，他的记录（单位：米）如下：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？ 【详解】（1）解：由题意可得：， 答：守门员最后回到了球门线的位置． （2）解：由题意可得：， 答：守门员全部练习结束后，他共跑了米． 【变式4-1】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）北京时间2025年10月31日23时44分，搭载神舟二十一号载人飞船长征二号遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，将航天员张陆、武飞、张洪章送往天宫空间站．若火箭点火前5秒记为秒，则火箭点火后10秒应记为（  ）秒． A． B．5 C． 10 D． 【答案】C 【详解】解：∵火箭点火前5秒记为秒， ∴火箭点火前的时间记为负数， ∴火箭点火后的时间应记为正数， ∵火箭点火后10秒， ∴应记为秒， 故选：C． 【变式4-2】（24-25七年级上·贵州遵义·阶段检测）阅读下列材料并解答问题． 素材 为了进一步加强对学生的劳动教育，某校将学校劳动实践基地划分区域，分给每个班级自主管理．七年级一班的同学们在本班的种植区域中种植了花生，经过精心耕种，同学们一共收获了8筐花生，以每筐为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重后记录如下： 筐号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 重量 2.5 0 1 2 任务1 （1）求这8筐花生的实际重量分别为多少千克？ 任务2 （2）在学校的组织下，同学们对收获的花生以市场价7元/千克的价格全部售出，已知七年级一班在播种时，以10元/千克的价格购进花生种子15千克，请你帮七年级一班同学算一算，他们此次耕种花生获利了多少元？ 【详解】解：（1）∵每筐以为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数， ∴筐号①的实际重量为：； 筐号②的实际重量为：； 筐号③的实际重量为：； 筐号④的实际重量为：； 筐号⑤的实际重量为：； 筐号⑥的实际重量为：； 筐号⑦的实际重量为：； 筐号⑧的实际重量为：； （2）销售额为：元， 成本为：元， ∴获利元． 【变式4-3】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）出租车司机小凯一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街上营运．规定向东为正，向西为负，按照接送乘客的先后顺序记录如下（单位：千米）：，，，，，，，，，． (1)司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油升，油价为每升元．求这天下午运营过程中，共需要多少油费？ (3)在第（2）问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过千米收费元，超过千米的部分每千米加收元，如果不计其它成本且不考虑其它因素，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？（运营收入乘客所给的总车费油费） 【详解】（1）解：由题意可得：（千米）， 答：出租车在公司的东方，距离公司3千米． （2）解：总路程（千米）， 油费（元）， 答：共需要33元油费． （3）解：超过千米的行程有9，，，，，，，，共次行程， 超过部分（千米）， 不超千米的行程有：，，共2次行程， 所以出租车的收入为：（元）， （元）， 答：司机这天下午运营是盈利，盈利了元． 题型5 有理数的分类 【典例5】（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个），． 负数集合：{_____________…}； 分数集合：{_____________…}； 负有理数集合：{_____________…}； 有理数集合：{________________…}． 【详解】解：负数集合：{，，，（每相邻两个之间依次多一个）}； 分数集合：{0.3，，，，，2.3%}； 负有理数集合：{，，}； 有理数集合：{0.3，，，，0，，，10，2.3%}． 方法技巧 解题步骤：①先圈出整数（正整、0、负整）；②剩余小数、分数全部归为分数；③单独区分非负数、自然数集合。 避坑要点：所有小数归属分数，0不属于正数、负数。 【变式5-1】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）把下列各数填入相应集合内：8.5，，0.3，0，，12，，，． (1)正数集合：{                            ...}； (2)整数集合：{                            ...}； (3)负分数集合：{                            ...}． 【详解】（1）解：大于0的数是正数，因此正数集合为{8.5，0.3，12，，…}； （2）解：整数包含正整数、0、负整数，因此整数集合为{0，12，，…}； （3）解：小于0的分数是负分数，因此负分数集合为{，，，…}． 【变式5-2】（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）将下列各数填入适当的括号内： ， 正数集合：{                 ...} 整数集合：{                ... } 负有理数集合：{            ...   } 正分数集合：{               ...  } 【答案】 正数集合： 整数集合： 负有理数集合： 正分数集合： 【变式5-3】（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）把下列各有理数填在相应的括号内： ，25，，，4.7，，0，， 正有理数集合{ …}； 负有理数集合{ …}； 正整数集合{ …}； 负整数集合{ …}； 整数集合{ …}． 【答案】25，4.7，，；，，，；25；；25，，0 【详解】解：正有理数集合{25，4.7，，，…}； 负有理数集合{，，，，…}； 正整数集合{25，…}； 负整数集合{，…}； 整数集合{25，，0，…}． 题型6 0的意义 【典例6-1】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图是电视台播放的天气情况，下列数中，既不是正数，也不是负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项中的数，既不是正数，也不是负数的是， 故选：． 【变式6-1】（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）某种食品的广告词之一是“0添加”，这里的0可以（     ） A．表示“起点” B．用来“占位” C．表示“没有” D．表示“分界” 【答案】C 【详解】解：不同场景中0有不同含义： A选项，测量时刻度尺的0刻度表示起点，不符合题意； B选项，多位数中的0起到占位作用，不符合题意； C选项，“0添加”指没有添加额外成分，这里0表示“没有”，符合题意； D选项，0是正负数的分界，如温度中的表示分界，不符合题意． 【变式6-2】（25-26六年级上·上海黄浦·期中）关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 【答案】D 【详解】解：A. 0是整数，也是有理数，故原选项正确，不合题意； B. 0既不是正数，也不是负数，故原选项正确，不合题意； C. 0是整数，也是自然数故原选项正确，不合题意； D. 0既是自然数，也是有理数，故原选项错误，符合题意﹒ 故选：D 【变式6-3】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）下面关于0的说法，正确的个数是（    ） ①0既不是正数也不是负数；②0是最小的自然数；③0是最小的正数；④0是最小的非负数；⑤0既不是奇数也不是偶数． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：∵0既不是正数也不是负数，∴①正确； ∵自然数包括0和正整数，且0是最小的自然数，∴②正确； ∵正数大于0，0不是正数，∴③错误； ∵非负数包括0和正数，0是最小的非负数，∴④正确； ∵0能被2整除，属于偶数，∴⑤错误． 综上，正确说法为①、②、④，共3个． 故选：B． 题型1 带“非”字的有理数 【典例1】（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）下列有理数中：12，，，，0，，，是非负数的有______个． 【答案】6 【详解】解：非负数为：，，，，，，共有个． 【变式3-1】（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）把各数填到相应的集合中，，，，，，，． 分数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 非负整数集合：{ …}． 【答案】，，；，，；， 【详解】解：分数集合：{，，，…}； 负数集合：{，，，…}； 非负整数集合：{，，…}． 【变式3-2】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号里： ，0，，，，，，2.56，． 非正整数：{ … }； 负分数：{ … }； 正有理数：{ … }． 【答案】0，；，，； ，，，2.56 【知识点】有理数的分类 【详解】解：非正整数：{0，…} 负分数：{，，…} 正有理数：{，，，2.56 … }． 【变式3-3】（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）把下列各数填在相应的括号里 ，，，，，，，， 整数集合：                       分数集合：                       有理数集合：                       非负整数集合：                       【详解】解：整数集合：； 分数集合：； 有理数集合：； 非负整数集合： 题型2 有理数规律探究 【典例2】观察下面一列数，根据规律写出横线上的数． ，，，，____，____，，第个数是____． 【答案】 【详解】解：， 第2022个数是， 故答案为：，，． 【变式2-1】（2024七年级上·江苏·专题练习）在小学阶段，我们学习了偶数0，2，4，6，8，…，以及奇数1，3，5，7，9，…，现在我们学过了负数，也知道了负偶数，，，，…，以及负奇数，，，，…．图中是我们将这些负偶数与负奇数按如图所示排列，观察它们的规律，发现在第 _____列． 【答案】四 【详解】解：根据题意，得 数字序号数 数字 列数 1 2 2 3 3 4 4 5 5 4 6 3 7 2 8 1 发现规律是：每8个数字一个循环，余数为1，在第二列；余数为2，在第三列；余数为3，在第四列；余数为4，在第五列；余数为5，在第四列；余数为6，在第三列；余数为7，在第二列；余数为0，在第一列； 又． 故在第四列． 故答案为：四． 【变式2-2】（25-26七年级上·甘肃武威·期中）如图1，数轴上方有1个方块，记图1为；图2的数轴上方有1个方块，数轴下方的2个方块，记图2为，图3的数轴上方有4个方块，下方有2个方块，记图3为；同理，记图4为．故按照此规律第2024个图记为________． 【答案】 【详解】解：根据题意得， 第1个图记为， 第2个图记为， 第3个图记为， 第4个图记为， 以此类推， 第个图记为，为正整数， 当，即时，， 因此，第2024个图记为， 故答案为：． 【变式2-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）将一串有理数按如下图所示的规律排列，回答下列问题： (1)在A位置的数是正数还是负数？ (2)A，B，C，D中哪些位置的数是负数？ (3)第2025个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的哪个位置？ 【详解】（1）（1）A是向上箭头的上方对应的数，与4的符号相同，在A处的数是正数； （2）（2）观察图形可知，向下箭头的上边的数是正数，下方是负数，向上箭头的下方是正数，上方是负数， 所以，B和D的位置是负数； （3）（3）， ∴第2025个数是负数，对应的是B的位置． 一、单选题 1．（2026·重庆·模拟预测）下列各数中，是正分数的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于选项A：是负分数，不符合题意； 对于选项B：是负整数，不符合题意； 对于选项C：既不是正数，也不是负数，且是整数，不符合题意； 对于选项D：是正分数，符合题意． 2．（2026·河南平顶山·二模）下列四个数中，是负整数的是（    ） A． B．0 C． D．5 【答案】C 【详解】是分数，是整数，其中5是正整数，0既不属于正数也不属于负数，是负整数． 3．（2023·江西·中考真题）下列各数中，正整数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：是正整数，是小数，不是整数，不是正数，不是正数， 故选：A． 4．（2023·江苏盐城·中考真题）下列数中，属于负数的是（    ） A．2023 B． C． D．0 【答案】B 【详解】是负数，和是正数，0既不是正数也不是负数 故选：B． 5．（2024·广东清远·一模）中国古代著名数学家、天文学家祖冲之通过研究得到了的近似值：（约率）和（密率）．其中约率是（   ） A．整数 B．有限小数 C．有理数 D．无理数 【答案】C 【详解】解：约率是分数，是有理数， 故选：C． 6．（2026·四川自贡·中考真题）如果无人机上升记作，那么下降记作（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】无人机上升记作，那么下降记作． 7．（2026·河南平顶山·一模）为丰富教职工文体生活，展现昂扬向上的精神风貌，增强团队凝聚力，4月16日下午，郑州市信息技术学校举行2026年教职工乒乓球混合团体赛．乒乓球质量检测中，如果一个乒乓球的质量超出标准质量记作，那么比标准质量轻记作（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得：超出标准质量记为正数，则低于标准质量，应记为负数， 则比标准质量轻记作． 8．（2026·四川成都·中考真题）某人转动转盘，如果用圈表示沿逆时针方向转了3圈，那么沿顺时针方向转了5圈记作（     ） A．圈 B．圈 C．圈 D．圈 【答案】A 【详解】解：∵顺时针方向与逆时针方向的意义相反， ∴如果用圈表示沿逆时针方向转了3圈，那么沿顺时针方向转了5圈记作圈． 二、填空题 9．（2025·福建·中考真题）为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加记作，那么体重减少应记作_______． 【答案】 【详解】解：体重增加记作，那么体重减少应记作； 故答案为：． 10．（2025·辽宁·中考真题）在乒乓球质量检测中，如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作，那么低于标准质量记作___________． 【答案】 【详解】解：如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作，那么低于标准质量记作， 故答案为：． 11．（2023·甘肃武威·中考真题）近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界纪录．如果把海平面以上9050米记作“米”，那么海平面以下10907米记作“________米”． 【答案】 【详解】解：把海平面以上9050米记作“米”，则海平面以下10907米记作米， 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）随着国际油价的波动和国内成品油价格调整机制的运行，95号汽油的价格也随之变化．如果每升95号汽油的价格下降元，记作元，那么元表示每升95号汽油的价格（    ） A．上涨0.2元 B．上涨0.3元 C．下降0.2元 D．下降0.3元 【答案】A 【知识点】正负数的实际应用 【详解】解：∵每升95号汽油的价格下降元，记作元，即下降用负数表示， ∴正数表示价格上涨， ∴元表示每升95号汽油的价格上涨0.2元． 2．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的结论有（    ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】正负数的定义、带“非”字的有理数、有理数的定义、有理数的分类 【分析】根据整数、有理数、非负数的定义逐一判断各说法正误，统计正确结论个数即可． 【详解】解：①整数包含负整数、0、正整数，所有负整数都小于0，原说法错误； ②有理数分为正有理数、0、负有理数，原说法错误； ③非负数就是正数和0，原说法错误； ④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，正确． 综上，正确的结论共有1个． 二、填空题 3．（25-26七年级上·福建漳州·期中）中考体育“排球对墙垫球”项目男生的及格标准为23次，为方便记录，在平时训练时小航把垫球25次记为，则记为的垫球次数是__________次． 【答案】20 【详解】解：由题意得，计数的基准为及格标准垫球23次，超过基准的次数记为正，低于基准的次数记为负，则记为的垫球次数是． 4．（25-26七年级上·山东滨州·阶段检测）在数中，非负有理数有___________个． 【答案】6 【详解】解：在数中，非负有理数是，共6个． 故答案为：6． 5.一次考试中，得120分记为分，那么96分记为______；李明的成绩记为，那么他的实际得分______． 【答案】 88 分 【详解】解：∵得120分记为分 ∴100分记为0，超过100分的部分记为“+”，不足100分的部分记为“” ∴96分记为； 李明的成绩记为，则他的实际得分为：分． 6．（25-26七年级上·北京·期末）算筹是我国古代广泛应用的一种运算工具，摆放方式分“纵式”摆放和“横式”摆放，图案与数字的对应关系如下表，算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，万位再用纵式……，这样从右到左，纵横相间，以此类推．算筹也可以表示负数，表示方法为：在个位上再斜向摆放一根算筹． 如：数字823所对应的图案为“”，则“”所表示的数是______． 【答案】 【详解】 解：依题意，观察表格的信息，得“”所表示的数是， 故答案为： 三、解答题 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）某电商在网上销售一种水果，其每箱的标准质量为．现抽取6箱样品进行检测，结果如下表： 每箱样品的质量/ 如果规定高于标准质量的部分记作正，请分别用带“”或“”的数表示样品质量与标准质量的差． 【答案】，， ， ， ， 【详解】解：样品质量与标准质量的差分别为，， ， ， ， ． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各数，哪些是整数但不是正数，哪些是分数但不是负数？ 2，，0，，，，． 【答案】0，是整数但不是正数；，是分数但不是负数 【详解】解：是整数但不是正数的有：0，； 是分数但不是负数的有：，． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）请用正数、负数表示下列各题中的量： (1)冥王星离太阳非常远，接受的太阳能也非常少，表面温度一般在零下左右，甚至可能低至约零下． (2)位于南美洲安第斯山区的喀喀湖是世界上海拔最高的大淡水湖之一，湖面高于海平面．位于阿拉伯半岛的死海是世界上海拔最低的湖泊，湖面低于海平面． 【答案】(1)零下记作，零下记作 (2)高于海平面记作，低于海平面记作 【详解】（1）解：零下记作，零下记作； （2）高于海平面记作，低于海平面记作． 10．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）将下列各数填入适当的括号内： ，5，，，8.9，19， ，，0 有理数集：{                      …）； 整数集：{                  …}； 非正数集：{                       …}． 【详解】解：有理数集：{5，，，8.9，19，，，0…} 整数集：{5，，19，0…} 非正数集：{，，，0…}． 11．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）把下列有理数填入相应的数集内： ，，，，，，，， (1)正数集合｛ …｝ (2)负数集合｛ …｝ (3)整数集合｛     …｝ (4)非负有理数集合｛ …｝ 【详解】（1）解：正数集合｛，，，…｝ （2）负数集合｛，，，，，…｝ （3）整数集合｛，，，…｝ （4）非负有理数集合｛，，，，…｝ 12．（25-26七年级上·全国·期末）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为）上沿着网格线运动，它从处出发去看望，，处的甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中 ， ， ； (2)若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置． 【详解】（1）解：因为向上、向右走为正，向下、向左走为负， 所以到记为，到记为； （2）解：点位置如图所示： 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 正数、负数、有理数概念（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 正数和负数 2 知识点02 相反意义的量 3 知识点03 有理数的相关概念 3 知识点04 有理数的分类 4 知识点05 0的特殊性 5 剖题型·讲技巧 题型1 正负数的认识 6 题型2 相反意义的量 7 题型3 用正负数表示合理偏差 7 题型4 正负数的实际应用 8 题型5 有理数的分类 10 题型6 0的意义 10 释疑惑·重难拓展 题型1 带“非”字的有理数 11 题型2 有理数规律探究 12 知中考·真题探源 13 练好题·提分培优 14 课标要点 1.理解正负数产生背景，能用正负数表示生活中具有相反意义的量，明晰0的特殊属性。 2.掌握有理数两种分类方式，精准区分有理数、无理数，熟记非正数、非负数、自然数等专有集合定义。 知识点01 正数和负数 正数：大于0的数，符号“+”可省略，例： 负数：正数前加符号“-”，小于0的数，例： 1.定义 正数：像3 ，1 .8%，3 .5 这样大于0 的数叫作正数.有时，为了明确表达与负数的相反意义，在正数前面加上符号“+”(读作“正”)，如+2，+2.2 5 ，+ ，… . 负数：像－3，－2.7%，－4.5，－1 .2 这样在正数前加上符号“－”(负号)的数叫作负数. 2. 数的符号：一个数前面的“＋”“－”号叫作这个数的符号，其中“＋”号可以省略不写，而“－”号不能省略不写. 3. 符号“＋”“－”的双重含义 (1)作为运算符号是加减号； (2)作为数的性质符号是正负号. 练习（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）在、、、0、、、1和这些数中，正数有( )个，负数有( )个． 知识点02 相反意义的量 1. 定义：在生活中存在各种各样的量，其中有一种量，它们的属性相同(即同类量)，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫作相反意义的量. 具有相反意义的量的特点 解读与举例 成对性 “相反”是相互的，单独的一个量不能称为相反意义的量，如增加5 元 同类性 具有相反意义的量必须是同类量，如上升3 m和亏损3 元不是同类量，不具备相反意义 不唯一性 具有相反意义的量，不要求数量相等，重在意义相反，如伸长3 cm 与缩短2 cm 是一对相反意义的量，与具体长度无关 2. 用正数、负数表示具有相反意义的量 规定 对于具有相反意义的两个量，若其中一个量用正数表示，则另一个量用负数表示 举例 若规定向东走100 m 记作＋100 m，则向西走200 m 记作－200 m 3. 用正数、负数表示具有相反意义的量的步骤 第一步：定基准→起始位置或开始变化时刻的值； 第二步：找相反→找具有相反意义的词； 第三步：定正负→确定一个量为“＋”； 第四步：写结果→用正数、负数表示出具有相反意义的量. 练习（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）我国海拔最低点是艾丁湖洼地，其海拔高度约为，表示低于平均海平面，“贵州屋脊”六盘水市韭菜坪最高处高于平均海平面约，其海拔应记为（   ） A． B． C． D． 知识点03 有理数的相关概念 1. 整数：正整数、0、负整数统称为整数，如：－3，－2，0，1，2，3，… . 2. 分数：正分数、负分数统称为分数，如3，0 .3，－1.2 5 ，－，0.2，… . 特别说明：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们也可以看成分数. 3. 有理数：可以写成分数形式的数称为有理数. 4. 部分常用的数的名称 名称 特征 正有理数 正整数和正分数 非正有理数 0、负整数、负分数 正整数 1. 符号为正；2. 整数 非负整数 正整数和0 正分数 1. 符号为正；2. 分数或有限小数或无限循环小数 非负数 正数和0 奇数 1，3，5，⋯和－1，－3，－5，⋯ 负有理数 负整数和负分数 非负有理数 0、正整数、正分数 负整数 1. 符号为负；2. 整数 非正整数 负整数和0 负分数 1. 符号为负；2. 分数或有限小数或无限循环小数 非正数 负数和0 偶数 2，4，6，⋯和－2，－4，－6，⋯ 练习（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）在，，，，，这六个数中，有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 知识点04 有理数的分类 1. 分类: 按定义分类（必考） 有理数 按正负性分类（培优辨析） 有理数 2. 拓展：数的集合 (1)定义：把满足一定条件的所有数放在一起，就组成一类数的集合.（必须是符合条件的所有数，不能遗漏.) (2)集合的两种常见形式 省略号表示集合有无数个元素. 练习（25-26七年级上·广东东莞·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨． (1)正有理数集合；｛____________________…｝ (2)负有理数集合：｛____________________…｝ (3)整数集合：｛____________________…｝ 知识点05 0的特殊性 1.0既不是正数，也不是负数；0是整数、偶数、有理数，是正负数分界值。 2.0 的多重意义 (1)表示没有，如0 支笔，0 本书； (2)0 是正数与负数的分界； (3)在现实生活中，0 是某些实际的量的分界，如在温度中，0℃是零上和零下的分界； (4)0 表示某些实际的量的基准，如在标准大气压下0℃表示水开始结冰的温度，海平面的海拔为0 米等； (5)0 表示起点，如直尺、米尺上刻度的起点为0； (6)0 起到占位作用，如“ 106 ”中，0 表示0 个十，不能省略. 练习（24-25七年级上·四川自贡·开学考试）四位同学在整理关于数字“0”的知识时，说得正确的有（    ）个 小红∶0既表示没有，也表示起点，还表示正负数的分界点． 小明∶读数时，每级末尾不管有几个0，都不读． 小丽∶因为，所以去掉一个数末尾的0，不会改变这个数的大小． 小刚∶除法中除数不能为0，分数的分母不能为0，比的后项也不能为0． A．2 B．3 C．4 题型1 正负数的认识 【典例1-1】（2025七年级上·全国·专题练习）在下列各数中，负数有（   ） ，0，，，，，2024 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例1-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）请把下列各数分别填入相应的圈内： ，，，，，． 【变式1-1】（23-24七年级上·山东日照·期末）在，0，1，，，7，中，负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（25-26七年级上·甘肃酒泉·期末）下列各数中，是负整数的是（   ） A． B． C． D．10 【变式1-3】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）我国是最早认识和使用负数的国家，早在东汉时期就提出了正数和负数的概念； 下列各数中：，2，，0，负数的个数为_______． 【变式1-4】（25-26七年级上·全国·课后作业）请任意写出3个正数与3个负数： 正数：{                                  …}． 负数：{                                  …}． 题型2 相反意义的量 【典例2】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）史料证明：中国是最早采用正数、负数表示相反意义的量的国家．追溯到两千多年前，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，如果体重上升记作，那么体重下降可以记作（　　） A． B． C． D． 方法技巧 先定正负基准，反向数量直接加负号；无数量反义词不属于相反意义量。 【变式2-1】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）我国数学家刘徽在1700多年前首次明确提出了正负数概念，“今两算得失相反，要令正负以名之”例如：某店铺今日盈利107元记作元，那么亏损56元记作（  ） A．56元 B．0元 C．元 D．元 【变式2-2】（25-26七年级上·福建福州·期末）我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将向南行走5步记作“”，则“”表示（     ） A．向东行走7步 B．向南行走7步 C．向北行走7步 D．向西行走7步 【变式2-3】（25-26七年级上·陕西西安·期末）2025年11月5日，我国首艘自主设计采用电磁弹射技术的弹射型航母福建舰正式入列海军．以福建舰排水量8万吨为基准，若完成补给时，排水量增加万吨记作万吨，那么实际航行中因物资消耗，排水量减少万吨可以记作______万吨． 题型3 用正负数表示合理偏差 【典例3】（25-26七年级上·浙江金华·期末）某规格金华火腿的质量标识为“千克”，则下列火腿中合格的是（   ） A．4.70千克 B．4.85千克 C．5.25千克 D．5.30千克 【变式3-1】（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段检测）某种药品说明书标明保存温度是，则该药品在（    ）范围内保存最合适． A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，在生产图纸上通常用（单位：）来表示零件的加工要求，其中表示直径是，和是指直径在到之间的零件都属于合格零件．现加工一批零件，尺寸要求是（单位：），下列零件不合格的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025七年级上·全国·专题练习）某面粉车间生产一批面粉，要求每袋面粉的质量为“”．这表明每袋面粉的标准质量是，只要每袋面粉的质量不超出，且不低于，就是合格的．现称得一袋面粉的质量是，这袋面粉的质量合格吗？请说明理由． 题型4 正负数的实际应用 【典例4-1】（25-26七年级上·江苏常州·期末）“负算”是中国古代数学中表示负数的术语，其概念及使用方法最早记载于《九章算术》，领先世界各国古人常用算筹颜色区分正负数：红为正．黑为负．例如．红色算筹“|||”表示的数是．则黑色算筹“≡|||||”表示的数是（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】（25-26七年级上·湖北宜昌·期末）四种品牌的手机今年第二季度的销售量与第一季度相比，变化率如下：A品牌减少，B品牌增长，C品牌增长D品牌减少，则今年第二季度A品牌手机销售量的增长率为___________． 【典例4-3】（25-26七年级上·湖南常德·期中）一位足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正，返回记作负，他的记录（单位：米）如下：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？ 【变式4-1】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）北京时间2025年10月31日23时44分，搭载神舟二十一号载人飞船长征二号遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，将航天员张陆、武飞、张洪章送往天宫空间站．若火箭点火前5秒记为秒，则火箭点火后10秒应记为（  ）秒． A． B．5 C． 10 D． 【变式4-2】（24-25七年级上·贵州遵义·阶段检测）阅读下列材料并解答问题． 素材 为了进一步加强对学生的劳动教育，某校将学校劳动实践基地划分区域，分给每个班级自主管理．七年级一班的同学们在本班的种植区域中种植了花生，经过精心耕种，同学们一共收获了8筐花生，以每筐为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重后记录如下： 筐号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 重量 2.5 0 1 2 任务1 （1）求这8筐花生的实际重量分别为多少千克？ 任务2 （2）在学校的组织下，同学们对收获的花生以市场价7元/千克的价格全部售出，已知七年级一班在播种时，以10元/千克的价格购进花生种子15千克，请你帮七年级一班同学算一算，他们此次耕种花生获利了多少元？ 【变式4-3】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）出租车司机小凯一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街上营运．规定向东为正，向西为负，按照接送乘客的先后顺序记录如下（单位：千米）：，，，，，，，，，． (1)司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油升，油价为每升元．求这天下午运营过程中，共需要多少油费？ (3)在第（2）问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过千米收费元，超过千米的部分每千米加收元，如果不计其它成本且不考虑其它因素，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？（运营收入乘客所给的总车费油费） 题型5 有理数的分类 【典例5】（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个），． 负数集合：{_____________…}； 分数集合：{_____________…}； 负有理数集合：{_____________…}； 有理数集合：{________________…}． 方法技巧 解题步骤：①先圈出整数（正整、0、负整）；②剩余小数、分数全部归为分数；③单独区分非负数、自然数集合。 避坑要点：所有小数归属分数，0不属于正数、负数。 【变式5-1】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）把下列各数填入相应集合内：8.5，，0.3，0，，12，，，． (1)正数集合：{                            ...}； (2)整数集合：{                            ...}； (3)负分数集合：{                            ...}． 【变式5-2】（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）将下列各数填入适当的括号内： ， 正数集合：{                 ...} 整数集合：{                ... } 负有理数集合：{            ...   } 正分数集合：{               ...  } 【变式5-3】（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）把下列各有理数填在相应的括号内： ，25，，，4.7，，0，， 正有理数集合{ …}； 负有理数集合{ …}； 正整数集合{ …}； 负整数集合{ …}； 整数集合{ …}． 题型6 0的意义 【典例6-1】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图是电视台播放的天气情况，下列数中，既不是正数，也不是负数的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）某种食品的广告词之一是“0添加”，这里的0可以（     ） A．表示“起点” B．用来“占位” C．表示“没有” D．表示“分界” 【变式6-2】（25-26六年级上·上海黄浦·期中）关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 【变式6-3】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）下面关于0的说法，正确的个数是（    ） ①0既不是正数也不是负数；②0是最小的自然数；③0是最小的正数；④0是最小的非负数；⑤0既不是奇数也不是偶数． A．4 B．3 C．2 D．1 题型1 带“非”字的有理数 【典例1】（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）下列有理数中：12，，，，0，，，是非负数的有______个． 【变式3-1】（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）把各数填到相应的集合中，，，，，，，． 分数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 非负整数集合：{ …}． 【变式3-2】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号里： ，0，，，，，，2.56，． 非正整数：{ … }； 负分数：{ … }； 正有理数：{ … }． 【变式3-3】（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）把下列各数填在相应的括号里 ，，，，，，，， 整数集合：                       分数集合：                       有理数集合：                       非负整数集合：                       题型2 有理数规律探究 【典例2】观察下面一列数，根据规律写出横线上的数． ，，，，____，____，，第个数是____． 【变式2-1】（2024七年级上·江苏·专题练习）在小学阶段，我们学习了偶数0，2，4，6，8，…，以及奇数1，3，5，7，9，…，现在我们学过了负数，也知道了负偶数，，，，…，以及负奇数，，，，…．图中是我们将这些负偶数与负奇数按如图所示排列，观察它们的规律，发现在第 _____列． 【变式2-2】（25-26七年级上·甘肃武威·期中）如图1，数轴上方有1个方块，记图1为；图2的数轴上方有1个方块，数轴下方的2个方块，记图2为，图3的数轴上方有4个方块，下方有2个方块，记图3为；同理，记图4为．故按照此规律第2024个图记为________． 【变式2-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）将一串有理数按如下图所示的规律排列，回答下列问题： (1)在A位置的数是正数还是负数？ (2)A，B，C，D中哪些位置的数是负数？ (3)第2025个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的哪个位置？ 一、单选题 1．（2026·重庆·模拟预测）下列各数中，是正分数的是（   ）． A． B． C． D． 2．（2026·河南平顶山·二模）下列四个数中，是负整数的是（    ） A． B．0 C． D．5 3．（2023·江西·中考真题）下列各数中，正整数是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·江苏盐城·中考真题）下列数中，属于负数的是（    ） A．2023 B． C． D．0 5．（2024·广东清远·一模）中国古代著名数学家、天文学家祖冲之通过研究得到了的近似值：（约率）和（密率）．其中约率是（   ） A．整数 B．有限小数 C．有理数 D．无理数 6．（2026·四川自贡·中考真题）如果无人机上升记作，那么下降记作（     ） A． B． C． D． 7．（2026·河南平顶山·一模）为丰富教职工文体生活，展现昂扬向上的精神风貌，增强团队凝聚力，4月16日下午，郑州市信息技术学校举行2026年教职工乒乓球混合团体赛．乒乓球质量检测中，如果一个乒乓球的质量超出标准质量记作，那么比标准质量轻记作（     ） A． B． C． D． 8．（2026·四川成都·中考真题）某人转动转盘，如果用圈表示沿逆时针方向转了3圈，那么沿顺时针方向转了5圈记作（     ） A．圈 B．圈 C．圈 D．圈 二、填空题 9．（2025·福建·中考真题）为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加记作，那么体重减少应记作_______． 10．（2025·辽宁·中考真题）在乒乓球质量检测中，如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作，那么低于标准质量记作___________． 11．（2023·甘肃武威·中考真题）近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界纪录．如果把海平面以上9050米记作“米”，那么海平面以下10907米记作“________米”． 一、单选题 1．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）随着国际油价的波动和国内成品油价格调整机制的运行，95号汽油的价格也随之变化．如果每升95号汽油的价格下降元，记作元，那么元表示每升95号汽油的价格（    ） A．上涨0.2元 B．上涨0.3元 C．下降0.2元 D．下降0.3元 2．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的结论有（    ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 3．（25-26七年级上·福建漳州·期中）中考体育“排球对墙垫球”项目男生的及格标准为23次，为方便记录，在平时训练时小航把垫球25次记为，则记为的垫球次数是__________次． 4．（25-26七年级上·山东滨州·阶段检测）在数中，非负有理数有___________个． 5.一次考试中，得120分记为分，那么96分记为______；李明的成绩记为，那么他的实际得分______． 6．（25-26七年级上·北京·期末）算筹是我国古代广泛应用的一种运算工具，摆放方式分“纵式”摆放和“横式”摆放，图案与数字的对应关系如下表，算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，万位再用纵式……，这样从右到左，纵横相间，以此类推．算筹也可以表示负数，表示方法为：在个位上再斜向摆放一根算筹． 如：数字823所对应的图案为“”，则“”所表示的数是______． 三、解答题 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）某电商在网上销售一种水果，其每箱的标准质量为．现抽取6箱样品进行检测，结果如下表： 每箱样品的质量/ 如果规定高于标准质量的部分记作正，请分别用带“”或“”的数表示样品质量与标准质量的差． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各数，哪些是整数但不是正数，哪些是分数但不是负数？ 2，，0，，，，． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）请用正数、负数表示下列各题中的量： (1)冥王星离太阳非常远，接受的太阳能也非常少，表面温度一般在零下左右，甚至可能低至约零下． (2)位于南美洲安第斯山区的喀喀湖是世界上海拔最高的大淡水湖之一，湖面高于海平面．位于阿拉伯半岛的死海是世界上海拔最低的湖泊，湖面低于海平面． 10．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）将下列各数填入适当的括号内： ，5，，，8.9，19， ，，0 有理数集：{                      …）； 整数集：{                  …}； 非正数集：{                       …}． 11．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）把下列有理数填入相应的数集内： ，，，，，，，， (1)正数集合｛ …｝ (2)负数集合｛ …｝ (3)整数集合｛     …｝ (4)非负有理数集合｛ …｝ 12．（25-26七年级上·全国·期末）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为）上沿着网格线运动，它从处出发去看望，，处的甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中 ， ， ； (2)若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $