14.2第2课时+“角边角”“角角边”- 课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“角边角”（ASA）和“角角边”（AAS）判定三角形全等，通过“打碎三角形玻璃”的生活情境导入，衔接已学的“边角边”（SAS），引导学生观察、画图构建知识支架，实现新旧知识自然过渡。 其亮点在于以情境问题激发数学眼光，通过合作探究和推理证明发展数学思维，结合几何语言表述与典例分析强化数学语言。如推导AAS时利用三角形内角和转化为ASA，培养推理能力，例题与练习提升应用意识，助力学生夯实基础，教师可高效开展教学。

1 14.2 第2课时 “角边角”“角角边” 第十四章 全等三角形 学习目标 一 知识与技能：理解并掌握“角边角”（ASA）和“角角边”（AAS）判定两个三角形全等的方法，能运用这两种判定方法解决简单的几何证明和相关计算问题，夯实全等三角形的认知基础。 二 过程与方法：通过动手画图、观察比较与分析归纳，亲身体验从具体操作到抽象归纳的数学思想方法，在自主探究与合作交流中，感受探索几何图形规律的乐趣，提升逻辑思维能力。 三 情感态度与价值观：在小组合作学习的过程中，主动参与讨论、乐于表达见解，养成善于思考、勇于交流的良好学习习惯，在解决问题的过程中不断增强学好数学的自信心与成就感。 1.7.2013 通过这节课的学习，我们希望大家能达成三个小目标。首先，在知识上，大家要学会并掌握ASA和AAS这两种新方法。其次，在过程中，希望大家能通过动手操作，体验数学探索的乐趣。最后，在情感上，希望大家能更自信、更乐于交流。相信通过努力，大家都能成为数学小能手！ ‹#› “边角边”或“SAS” 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 思考： 目前我们已经学习了证明三角形全等的条件有什么？ 如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带哪块去合适? 你能说明其中的理由吗? 3 2 1 探究与应用 如图14-2-8,在△A'B'C'和△ABC中,A'B'=AB,∠A'=∠A,∠B'=∠B. (1)直观判断△A'B'C'和△ABC是否全等; 活动1　探究并掌握判定三角形全等的方法“ASA”,并应用其解决简单的问题 观察思考 图14-2-8 解:(1)全等. 解:(2)如图,由A'B'=AB可知,如果使点A'与点A重合,点B'在射线AB上,那么点B'与点B重合.再由∠A'=∠A,∠B'=∠B,可知射线A'C'与射线AC重合,射线B'C'与射线BC重合,于是射线A'C',B'C'的交点C'与射线AC,BC的交点C重合.这样,△A'B'C'的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合,△A'B'C'与△ABC能够完全重合,因而△A'B'C'≌△ABC. (2)请对你的判断进行说明. 图14-2-8 探究点一：用“ASA”判定三角形全等 问题：如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？ A B C A B C ①两角及夹边 ②两角和其中一角的对边 探究点一：用“ASA”判定三角形全等 探究1：如图，直观上，AB，∠A，∠B 的大小确定了，△ABC 的形状、大小也就确定了. 也就是说，在△A'B'C' 与△ABC 中，如果 A'B' = AB，∠A' =∠A，∠B' =∠B，那么△A'B'C'≌△ABC. 这个判断正确吗? A B C A' B' C' 合作探究 判定两个三角形全等的基本事实——角边角（ASA） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 简写成“角边角”或“ASA” 几何语言表述： 在△ABC和△A'B'C'中， ∵ ∠A = ∠A'，AB = A'B'，∠B = ∠B' ∴ △ABC ≌ △A'B'C' (ASA) 核心要点：这里的边必须是两个角的“夹边”，位置关系是判定的关键。若边不是夹边，则不能直接用ASA判定全等。 1.7.2013 大家画好后，和同桌比较一下，是不是都一样？这就引出了我们今天的第一个新方法：角边角，简称ASA。也就是说，只要两个三角形有两个角和这两个角之间的夹边对应相等，那么这两个三角形就一定全等。这个边的位置很关键，必须是两个角的“中间”。 ‹#› 典例分析 例1如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C。求证：AD=AE。 分析：要证AD=AE，需证△ADC ≌ △AEB。已知∠B=∠C，AB=AC，且∠A为公共角，恰好满足“角边角”的条件。 证明：在△ADC和△AEB中， ∠A = ∠A（公共角），AC = AB（已知），∠C = ∠B（已知）， ∴ △ADC ≌ △AEB（ASA）。 ∴ AD = AE（全等三角形的对应边相等）。 关键：∠A是公共角 （核心条件：ASA） 1.7.2013 理论学完了，我们来看个例子。这道题要证明AD等于AE。我们的思路是证明它们所在的三角形ADC和AEB全等。大家找找条件，题目给了两个，一个角相等，一个边相等。再仔细看看图，它们有一个公共角∠A！这样，角、边、角，正好构成了ASA，证明全等后，对应边AD和AE自然就相等了。 ‹#› 两个三角形全等的判定方法——角边角:　　　 　和它们的 　　　　分别相等的两个三角形全等(可以简写成“　　　　” 或“　　　　”).  概括新知 两角　 夹边　 角边角　 ASA 理解应用 证明:在△ACD和△ABE中, ∴△ACD≌△ABE(ASA). ∴AD=AE. (教材典题)如图14-2-9,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC, ∠B=∠C.求证:AD=AE. 图14-2-9 例 1 合作探究 思考：如果边不是夹边呢？ 如果两个三角形的两角和其中一组等角的对边分别相等，那么这两个三角形全等吗？ 已知：在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'，BC=B'C'。 求证：△ABC ≌ △A'B'C'。 1.7.2013 刚才我们研究的是边在两个角中间的情况。那如果边不在中间，而是在其中一个角的对边呢？比如，知道两个角和其中一个角的对边，能不能判定全等？我们来思考一下这个问题。 ‹#› 合作探究 证明思路：利用三角形内角和为180°，将已知两角转化为第三角相等，进而用ASA证明。 证明过程： ∵ ∠A = ∠A', ∠B = ∠B' (已知) ∴ 180° - ∠A - ∠B = 180° - ∠A' - ∠B' (等式性质) ∴ ∠C = ∠C' (三角形内角和定理) 在△ABC和△A'B'C'中，满足∠B=∠B'，BC=B'C'，∠C=∠C'，符合ASA判定，故△ABC ≌ △A'B'C'。 已知：在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'，BC=B'C'。 求证：△ABC ≌ △A'B'C'。 1.7.2013 我们来证明一下。一个三角形的内角和是180度，所以知道了两个角，第三个角也就确定了。看，我们把已知的∠A和∠B转化成了它们的补角∠C。这样一来，原来的条件“∠A, ∠B, BC”就变成了“∠B, BC, ∠C”，这不就是我们刚刚学的ASA吗？所以，这种情况也是成立的！ ‹#› 合作探究 判定两个三角形全等的方法3 —— 角角边（AAS） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。 （简写成“角角边”或“AAS”） 在△ABC和△A'B'C'中， ∵ ∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，BC = B'C' ∴ △ABC ≌ △A'B'C' (AAS) 1.7.2013 这就引出了我们今天的第二个新方法：角角边，简称AAS。也就是说，两个角和其中一个角的对边对应相等，两个三角形也全等。大家要记住ASA和AAS的区别：ASA的边是夹边，在中间；AAS的边是对边，在对面。 ‹#› 常见隐含的等角 (1)公共角相等; (2)对顶角相等; (3)等角加(或减)等角,其和(或差)仍相等; (4)同角或等角的余(补)角相等; (5)由角平分线的定义得出角相等; (6)平行线中内错角或同位角相等. 记 重点 解:全等. 如果两个三角形的两角分别相等且其中一组等角的对边相等,那么这两个三角形全等吗? 活动2　探究并掌握判定三角形全等的方法“AAS”,并应用其解决简单的问题 问题情境 理由如下：如图，由 A'B' = AB 可知，如果使点 A' 与点 A 重合，点 B 在射线 AB 上，那么点 B' 与点 B 重合. 再由∠A' =∠A ，∠B' =∠B，可知射线 A'C' 与射线 AC 重合，射线 B'C' 与射线 BC 重合，于是射线 A'C'，B'C' 的交点 C' 与射线 AC，BC 的交点 C 重合. 这样，△A'B'C' 的三个顶点与△ABC 的三个顶点分别重合，△A'B'C' 与△ABC 能够完全重合，因而△A'B'C'≌△ABC. A B C A' B' C' (A') (B') (C') 探究点一：用“ASA”判定三角形全等 文字语言：有两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”). 几何语言： ∠A =∠A′ (已知)， AB = A′B′ (已知)， ∠B =∠B′ (已知)， 在△ABC 和△A′B′C′ 中， ∴△ABC≌△A′B′C′ (ASA). A B C A′ B′ C′ “角边角”判定方法 探究点一：用“ASA”判定三角形全等 分析：要证AC=AE，需证△ACD ≌ △AED。由题意得：∠C = ∠AED = 90°（垂直定义）；∠CAD = ∠EAD（角平分线定义）；AD为公共边，满足AAS判定条件。 典例分析 例2如图，AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，交DE于点D。求证：AC = AE。 证明：在△ACD和△AED中， ∵ ∠C = ∠AED（垂直定义），∠CAD = ∠EAD（角平分线定义），AD = AD（公共边）， ∴ △ACD ≌ △AED（AAS）。 ∴ AC = AE（全等三角形的对应边相等）。 关键：AAS判定全等 （公共边） 1.7.2013 我们再来看一个应用AAS的例子。要证明AC=AE，就要证明△ACD和△AED全等。题目给了垂直，我们得到两个直角相等；给了角平分线，我们得到两个角相等；再加上公共边AD。这样，两个角和一条对边，完美符合AAS的条件，证明全等后，AC=AE就得证了。 ‹#› 解：∵AB⊥BC，AD⊥DC ∴ ∠B = ∠D = 90° 在△ABC和△ADC中， { ∠B = ∠D ，∠1 = ∠2 ，AC = AC（公共边） } ∴ △ABC ≌ △ADC (AAS) ∴ AB = AD 巩固练习：小试牛刀 3.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D，且∠1=∠2。 求证：AB = AD。 1.7.2013 第三题是一道证明题。要证明AB=AD。大家看看图，找找已知条件，垂直能得到什么？角平分线又能得到什么？有没有公共边？相信大家很快就能找到AAS的条件。 ‹#› 证明:∵∠A=∠A',∠B=∠B’, ∴180°-∠A-∠B=180°-∠A'-∠B',即∠C=∠C'. 在△ABC和△A'B'C'中, ∴△ABC≌△A'B'C'(ASA). 如图14-2-10,在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B',BC=B'C'.根据已经学过的三角形全等的判定方法,你能自己尝试证明这两个三角形全等吗? 引发思考 图14-2-10 三角形全等的判定方法“ASA”与“AAS”的区别 在“ASA”中,“边”必须是“两角的夹边”,在“AAS”中,“边”是“其中一组等角的对边”.运用这两种判定方法时要结合已知条件及图形的特征进行选择. 记 重点 例1 如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，∠B =∠C，AB = AC， 求证 AD = AE. A B C D E 分析： 求证 AD = AE. 求证 △ADC≌△AEB. AB = AC (已知) ∠B =∠C (已知) ∠A =∠A (公共角) 探究点一：用“ASA”判定三角形全等 证明：在△ADC 和△AEB 中， ∠C =∠B (已知)， AC = AB(已知)， ∠A =∠A(公共角)， ∴ △ADC≌△AEB(ASA). ∴ AD = AE. A B C D E 探究点一：用“ASA”判定三角形全等 【针对训练】1. 如图，已知 ∠B＝∠E，AB＝AE，∠1＝∠2. (1) 求证：△ABC≌△AED； 证明：∵ ∠1＝∠2， ∴ ∠1 + ∠BAD＝∠2 + ∠BAD， 即 ∠CAB＝∠DAE. ∠B＝∠E， AB＝AE， ∠CAB＝∠DAE， ∴△ABC≌△AED (ASA). 在△ABC 和△AED 中， F 探究点一：用“ASA”判定三角形全等 解：由题意可知：∠B = ∠CDE = 90° 在△ABC 和 △EDC 中： ∠B = ∠CDE（已知，均为直角） BC = CD（构造的相等线段） ∠ACB = ∠ECD（对顶角相等） ∴ △ABC ≌ △EDC (ASA)，故 DE = AB。 即测得 DE 的长就是 AB 的长。 巩固练习：小试牛刀 4.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使点E与点A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，试说明其中的道理。 1.7.2013 第四题是一个实际应用问题，如何测量池塘对岸的距离。图中给出了一种方法，大家能用我们今天学的知识解释一下为什么这样做是正确的吗？找找图中的直角、相等的边和对顶角。利用ASA判定三角形全等，从而得到对应边相等，将不可直接测量的AB转化为可测量的DE。 ‹#› 解：∵AB∥DE，AC∥DF ∴ ∠B = ∠E，∠ACB = ∠DFE ∵ FB = CE ∴ FB + FC = CE + FC，即 BC = EF 在△ABC 和 △DEF 中， ∠B = ∠E，BC = EF，∠ACB = ∠DFE ∴ △ABC ≌ △DEF (ASA) ∴ AB = DE，AC = DF 巩固练习 5.如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，AB∥DE，AC∥DF。求证：AB=DE，AC=DF。 1.7.2013 最后一道练习题，稍微复杂一点。题目给了平行线和线段相等的条件。大家要思考如何利用平行线的性质得到角相等，如何利用线段相等推导出另一条线段相等。找到ASA的三个条件是解题的关键。 ‹#› 两个三角形全等的判定方法——角角边:两角分别相等且其中 　　　　　 　　　相等的两个三角形全等(可以简写成 “　　　　”或“　　　　”).  概括新知 一组等角的对边　 角角边　 AAS 理解应用 证明:∵∠A=∠CED=90°, ∴∠C+∠CEA=90°,∠CEA+∠DEB=90°.∴∠C=∠DEB. 在△ACE和△BED中, ∴△ACE≌△BED(AAS). (教材补充例题)如图14-2-11,点E在AB上,∠A=∠B=∠CED =90°,CE=ED.求证:△ACE≌△BED. 例 2 图14-2-11 讨论：“ASA” 与 “AAS” 的区别与联系是什么? “S”的意义 书写格式 联系 ASA AAS “S”是两角的夹边 “S”是其中一角的对边 把夹边相等写在两角相等的中间 把两角相等写在一起，边相等写在最后 由 三 角形内角和等于180°可知，“AAS”可由“ASA”推导得出 探究点二：用“AAS”判定三角形全等 $