14.3 角的平分线 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件围绕角的平分线展开，涵盖尺规作图、性质定理及判定定理。课堂导入从复习角平分线概念入手，通过折纸、角平分仪操作引入尺规作图，再由性质定理逆向猜想判定定理，构建知识递进支架。 其亮点在于通过实验测量垂线段、逻辑推理全等证明培养数学思维，小结用“一个点、二距离、两相等”口诀强化数学语言表达，结合贸易市场选址等实例提升应用意识。学生能深化理解，教师可获得完整教学流程与评价工具。

14.3 角的平分线 第1课时 角的平分线的性质 学习目标 1.会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性. 2.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理. 3.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题，掌握几何证明题的一般步骤. 学习重难点 用尺规作一个角的平分线，角的平分线的性质. 角的平分线性质的探究. 难点 重点 复习回顾 角的平分线的概念 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线. O B C A 1 2 3 新课导入 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点，我们研究PM与PN的关系.研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况.在图中，当OM与ON满足什么关系时，PM=PN？ 4 在△OPM和△OPN中，OP=OP，∠POM=∠PON. 如果OM=ON，那么△OPM≌△OPN （SAS），就有PM=PN. 5 问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 用量角器度量，也可用折纸的方法．　　 问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？ 6 7 问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC= DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角的平分线，你能说明它的道理吗? A B C (E) D 其依据是SSS，两全等三角形的 对应角相等. 问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工具——尺规，能实现该仪器的功能吗？ A B O 提示： (1)已知什么？求作什么？ (2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程? (3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程？ (4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？ 尺规作角的平分线 A B M N C O 已知:∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 仔细观察步骤 作角的平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢! 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N. （2）分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. （3）作射线OC.射线OC即为所求. 讲授新课 知识点1 角的平分线的尺规作图 （1）以“适当长为半径”是为了方便作图，不能太长，也不能太短. （2）“以大于 MN的长为半径作弧” 是因为小于 MN的长为半径作弧时 两弧没有交点，等于 MN的长为半 径作弧时不容易操作. A B M N C O （3）应该在角的内部找所作两弧的交点，因为所作的射线为角的平分线，而角的平分线应该在角的内部. （4）“作射线OC ”不能说成“连接OC ”，因为连接OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线. A B M N C O 已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的角平分线. 结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. A B O C 知识点2 角的平分线的性质 1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB,点D，E为垂足，测量PD，PE的长.将三次数据填入下表： 2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：__________ PD PE 第一次 第二次 第三次 C O B A PD=PE P D E 实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点. 猜想：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 验证结论 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证PD=PE. P A O B C D E 证明： ∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOC=∠BOC. ∵ PD⊥OA,PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△OPD和△OPE中， ∠PDO= ∠PEO， ∠AOC= ∠BOC， OP= OP， ∴ △OPD ≌ △OPE(AAS). ∴PD=PE. 一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 性质定理： 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE. 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个. 知识要点 PD⊥OA,PE⊥OB， B A D O P E C 判一判：（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ，( ) 角的平分线上的点到角两边的距离相等 BD CD × B A D C (2)∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）， ∴ = , ( ) 角的平分线上的点到角两边的距离相等 BD CD × B A D C 例 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. 求证：EB=FC. A B C D E F 分析：先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF. 例题精析 A B C D E F 证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC， ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. 角平分线 尺规作图 属于基本作图，必须熟练掌握 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线段 小 结 2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 . A B C D 3 E 1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= . 60 BF E B D F A C G 随 堂 小 测 23 3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ） A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等 A B M N C O A 4.已知用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线，交点为P，画射线OP,则OP平分∠AOB.为什么？ A O B M N P 解：在△MOP和△NOP中， OM=ON， OP=OP， ∴△MOP≌△NOP（HL）. ∵△MOP≌△NOP， ∴∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB. 14.3 角的平分线 第2课时 角的平分线的判定 学习目标 1.理解角的平分线判定定理. 2.掌握角的平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题. 3.会判断一个点是否在一个角的平分线上. 学习重难点 角的平分线判定定理内容的证明及应用. 角的平分线判定定理的理解. 难点 重点 复习回顾 O D P P到OA的距离 P到OB的距离 角平分线上的点 几何语言描述： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD= PE. A C B 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 1.叙述角的平分线的性质定理 不必再证全等 E 28 新课导入 P A O B C D E 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？ 角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 猜想: 思考：这个结论正确吗？如何证明？ 29 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上. 证明： 作射线OP， ∴点P在∠AOB 角的平分线上. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， （全等三角形的对应角相等）. OP=OP（公共边）， PD= PE（已知 ）， B A D O P E ∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP 证明猜想 讲授新课 30 判定定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用时所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边距离相等. 定理的作用：判断点是否在角的平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE， ∴点P 在∠AOB的平分线上. 知识点1 角的平分线的判定 1. 使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部. 2. 角的平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等) 得到一个结论( 角平分线). 3. 角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据， 它比利用三角形全等证两角相等更快捷. 例1 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？ D C S 解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ，D即为所求. O 知识点2 三角形的角平分线 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线相交于一点. 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等. 如何证明这个结论？ 例2 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证： （1）点P到三边AB，BC，CA的距离相等. （2）△ABC的三条角平分线交于一点. A B C P N M D E F 证明：（1）过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. （2）由（1）得，点P到边AB，CA的距离相等， ∴点P在∠A的平分线上. ∴△ABC的三条角平分线交于一点. A B C P N M 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 这个交点叫作三角形的内心. M E N A B C P O D 变式1：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC，AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4, (1)求点O到△ABC三边的距离和. 温馨提示：不存在垂线段———构造应用 12 解：如图，连接OC. M E N A B C P O D (2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积. 小 结 角平分线 的判定定理 内容 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 作用 判断一个点是否在角的平分线上 结论 三角形的角平分线相交于内部一点 1.如图，P是△ABC外部一点，PD⊥AB，交AB的延长线于点D，PE⊥AC，交AC的延长线于点E，PF⊥BC于点F，且PD=PE=PF.关于点P有下列三种说法： ①点P在∠DBC的平分线上； ②点P在∠BCE的平分线上； ③点P在∠BAC的平分线上. 其中说法正确的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 D C A E B D F P ┐ ┐ 随 堂 小 测 2．如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等， 则点P是(　　) A．线段CD的中点 B．CD与过点O作CD的垂线的交点 C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．以上均不对 C 3．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40， 50，60，其三条角平分线交于点O，则 S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝ ______________. 4 ∶5 ∶6 4. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN，OA，OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA，OB的距离相等，请确定该超市的位置P. P A O B M N 5. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由． 解：AD平分∠BAC．理由如下： ∵D到PE的距离与到PF的距离相等， ∴点D在∠EPF的平分线上． ∴∠1＝∠2． 又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3． 同理，∠2＝∠4． ∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC． A B C E F D ( ( ( ( 3 4 1 2 P 6.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明： 过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M. ∵点F在∠BCE的平分线上， 　　　　FG⊥AE， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC， ∴FM＝FH， ∴FG＝FH. ∴点F在∠DAE的平分线上.　　　 G H M A B C F E D $