陕西西安高级中学2025-2026学年高二下学期7月期末监测数学试题

西安高级中学2025-2026学年度第二学期下学期期末监测试题 高二数学 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写 在本试卷上。 3作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标好。涂写在本试卷上无效。作答非选择题时将答案写在答题卡上，写在本试 卷上无效。 4检测范围：高考范围 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求) 1.已知数列{a}的前n项和为Sn,且a1=2,a+1= an-1,n为奇数 则S21=() (2avn为偶数 A.29 B.30 C.31 D.32 2.青花瓷(blue and white porcelain),又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉 下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹 和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为1，圆0的圆心为正六边形的中心，半径 为，若点M在正六边形的边上运动，动点A,B在圆0上运动且关于圆心0对称，则MA·M的取值可以是() 图 图二 A.4 B.9 c.9 D.1 3.己知复数a+bi=(a,bER),函数f()=2tan(ax+)+b图象的一个对称中心可以是（) A.（-0) B.(0) c.（-1) D.(得1 4.已知函数f(x)的定义域为区间(a,b),其导函数f'(x)的图象如图所示，f(x)的3个零点分别是x1,x2,x3.下 列结论中正确的是() 试卷第1页共4页 f(x A.f(x)在区间(a,x1)上单调递增 B.f(x)在x=x1处取得极大值 C.f(x)有3个极值点 D.f(x2)<f(x3) 5.为了给消费者带来放心的蔬菜，某地计划投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大 棚至少要投入资金40万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年 收入P(单位：万元)，种黄瓜的年收入Q(单位：万元)与各自的投入资金Q,a2(单位：万元)满足P=80+ 4W2a1,Q=2+120,设甲大棚的投入资金为x(单位：万元)，两个大棚的总收入为f()(单位：万元)， 则f(x)的最大值为() A.282 B.228 C.283 D.229 6.设函数f(x)=x2+mx+n,若f(4),f(6)}=f(6),f(10)},则m=() A.7 B.-7 C.14 D.-14 7.已知点B(2,-2),BCIx轴于点C,M是线段OB上任意一点，MD1x轴于点D,ME1BC于点E,OE 与MD相交于点P,则PDI+|PC的最小值为() A.-1 B.V15-1 2 2 c.7-1 2 D 8.中国古建筑闻名于世，源远流长.如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结 构示意图如图2所示，在结构示意图中，己知四边形ABCD为矩形，EF/AB,AB=2EF=2,△ADE与△BCF 都是边长为1的等边三角形，若点A,B,C,D,E,F都在球0的球面上，则球0的表面积为() D 图1 图2 A. B. C.11m 4 D. 试卷第2页共4页 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分， 选对但不全得部分分，有选错的得0分) 9.如图，在棱长均为1的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且LA1AB=∠A1AD=60°， 设AB=a,AD=,AA1=c,下列选项正确的是（) D Ci A A.BD1=-@+b+ B.BD1长为V2 C.异面直线AC与BD,所成角的余弦值为 D.三棱锥A-A1BD的外接球被平面BCCB1截得的截面面积为 10.抛物线y2=4x的焦点为F,顶点为O,过点F作倾斜角为8的直线1，交抛物线于A,B两点，点A在 x轴上方，分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为A1,B1,准线与x轴交于点C,则下列说法正确的是 () A.当0=90°时，|AB1=4 B.当6=60°时，|AF=3BF C.三角形ABC面积的最小值为3 D.IAA1+2BB1的最小值为3+22 11.己知数列{a}满足a1=0,且对任意正整数n,an+1以的概率取a,+1,以的概率取a,-1,各次选择 相互独立.记T为使得am=1的最小下标(n≥2)，则() A,P(T=4)=昌 B.E(a3)=0,D(a3)=2 为叶o6-0-套 D.对于任意正整数m,P(T>2nm)-器 三、填空题（本题3小题；每小题5分，合计15分) 12.已知实数x,y满足3x2+3y2-2xy=4,则x+y的最大值为· 13.在锐角三角形ABC中，sin2A=sin(G+B)sin(G-B)+sim2B,则A= 14.在等差数列{an}中，公差d≠0，前n项和为Sm.若S1s=5(a4+a6+ak),则k= 试卷第3页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤；15题13分，16-17 题15分，18-19题17分。 15.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.向量m=(a,V3cosA),元=(c,siC),元/元. (1)求A (2)若BD=2DC,AD=V21,AB=3,用AB,AC表示向量AD,并求△ABC的周长， 16.己知函数f)=n1+9 1+x (1)求曲线y=f(x)在(0，f(0)处的切线方程； (2)若f(x)≤kx在xE[0,+oo)上恒成立，求实数k的最小值： (3)求证：对任意的x∈[0，+o),都有f(f(x)≤fx). 17.在展销会上，某企业的展示台将n(n≥2)件使用环保材料的新产品，m(m<n,m∈N*)件使用非 环保材料的旧产品放置在同一排，所有排列结果等可能，从左至右依次编号为1号展柜，2号展柜，， n+m号展柜 (1)若n=4,m=1. ()求5号展柜内放的是新产品的概率； (i)用X表示最右边的新产品所在展柜编号，求X的数学期望E(X) (2)若Y表示最右边的新产品所在展柜编号的倒数，证明：E()<2m)m 18.平面直角坐标系中，已知点F(1,0)和动点M,以线段MF为直径的圆始终与y轴相切，记点M的轨迹为曲 线C, (1)求曲线C的标准方程： (2)按照如下方法依次构造点列An(an.0),Bn(bn0),Pn(xy),Qm(xy）(其中n∈N):设a1=1,b1 2,b+1=2a+1,过点An作斜率为的直线与曲线C分别交于点PQ,直线PnBn于曲线C交与另一点Qm+1, 直线QnBn与曲线C交于另一点Pn+1,直线Pn+1Qn+1与x轴交于点An+1: (i)求证：数列{an}和{bn}均为等比数列： （D记AP0,B的面积为5当=1时，求正：需<1 7 l9.已知函数f(x)=ex-1-lnx+2.设0为原点，动点P(a,f(a)在曲线y=f(x)上. (1)求函数f(x)的最小值： (2)求证：直线0P的斜率大于1； (3)过点P作直线y=x的垂线，垂足为A,当a=m时，IOA取得最小值：当a=n时，|AP取得最小值.求证： m+n>2. 试卷第4页共4页 西安高级中学2025-2026学年度第二学期下学期期末监测试题 高二数学答案 一选择题 1 2 3 4 5 6 > 8 9 10 D B 0 D A D D ACD ABD 11 BCD 二填空题 12.2 13.胃 14.14 三简答题 15.【详解】(1)由元//元，得asinC=V3 ccosA, 由正弦定理，品A=品c得asinC=csinA, 代入得csinA=V3 ccosA,又c>0,故sinA=V3cosA,即tanA=V3. 因为A∈(0，D,所以A= (2)由BD=2DC,得AD-AB=2(AC-AD): 整理得3AD=AB+2AC,即AD=AB+AC. 设AC=b,将上式两边平方得 IAD2=1AB2+AC2+3AB.AC, 代入AD=V2i,AB=3,A丽.AC=3bc0s号-b, 得21=1+g+空化简为2b2+3b-90=0,解得b=6(负根舍去)，故4C=6. 由余弦定理，BC2=AB2+AC2-2AB·ACC0sA=9+36-18=27, 故BC=3V3,△ABC的周长为3+6+3V3=9+3V3. 16.(1)y=x (2)1 (3)因为f{因=安a+9-a+=+h1+ (1+x)2 (1+x)2 则当x∈[0，e-1)时，f'(x>0,则f(x)在[0，e-1)上单调递增： 当x∈(e-1,+∞)时，f(x)<0,则f(x)在(e-1,+∞)上单调递减： 答案第1页共6页 则fx)mx=f(e-1)= 又f(0)=0,且x≥0时f)≥0，故f)e[0,； 欲证对任意的x∈[0，+o),都有f(f(x)≤f(x), 只需证对任意的x∈[0，引，都有f)≤x, 只需证对任意的x∈[0，，都有ln(x+1)-x(x+1)≤0， 令=lnx+1)-x0x+1).x∈[0则k(=-2x-1=-et≤0， x+1 则k(x)在[0，上单调递减，则k()≤k(O)=0,命题得证 【分析】(1)利用导数的几何意义求解； (2)将问题转化为nx≤kx(x-1)在x∈[1，+∞)上恒成立，令g(x)=x-kx(x-1),x≥1，分k=0、k<0、0< k<1、k≥1四种情况讨论； (3)先求f()的值域，将问题转化为对任意的x∈[0，引， 都有n(x+1)-x(x+1)≤0，再构造函数求最值即可. 【详解】(1)f似=安+)-h(1+)=1-n+2 (1+x)2 (1+)2 因为f(0)=0,f(0)=1,所以曲线y=f(x)在(0，f(0)处的切线方程为y=x: (2)f≤kx,即a1t因≤kx在xE[0,+o)上恒成立， 1+x 则ln(1+x)≤kx(x+1)在x∈[0，+o)上恒成立， 则lnx≤kx(x-1)在x∈[1，+o)上恒成立， 令g)=x-kx(-1)x之1，则g')=是-k(2x-1)=-22++1, 令h(x)=-2kx2+kx+1,x≥1， 若k=0,则g(x)=nx≥0在x∈[1，+o)上恒成立，不符合题意； 若k≠0，则h()的对称轴为x= 若k<0,则h(x)≥h(1)=-k+1>1,则g(x)>0, 则g(x)在[1，+∞)上单调递增，则g(x)≥g(1)=0,不符合题意： 若k>0,则h(x)在[1，+o)上单调递减， 若h(1)=-k+1>0,即0<k<1,则h(x)在[1，+o)上存在一个零点x1, 则当x∈[1，x1)时h(x)>0,g(x)>0,g(x)在[1，x1)上单调递增， 则g(x)≥g(1)=0,不符合题意； 若h(1)=-k+1≤0，即k≥1，则h(x)≤0，g'(x)≤0在x∈[1，+o)上恒成立， 则g(x)在[1，+∞)上单调递减，则g(x)≤g(1)=0,符合题意， 答案第2页共6页 综上，实数k的最小值为1： (3)略 17.()(i)(i)EW=告 (②由题意随机变量Y的取值为发(k从n取到m+m,且P(y-月一器 r物用为0n-装亡 1m+"《-2y i以Em∑0mF∑ a-i+c子+cg2+…+c-) 1 二8C+c子+C2+…+品p 1 (n-1(CC)-1c Ch-2+C) 洁可 n n 【分析】(1)①)通过组合数计算. ()分别计算不同编号的可能性，最后得出数学期望. (2)表示出E(Y)后通过组合数的性质证明不等式. 【详解】(1)()当n-4,m-1时，5号展柜内放的是新产品的概率为是-号 (i)最右边的新产品所在展柜编号X只可能为4和5， PK=4=EPX=5)=专 所以B0=4×+5×营-兰 (2)略 18.(1)y2=4x (2)(i)过An(a,0)且斜率为的直线方程为：x=ky+an, 将x=kny+an代入y2=4x得y2=4(kny+an),即y2-4kny-4a=0, 则yn+yn=4kn,ynyn=-4an①， 设直线PnBn的方程为x=my+bn, 将x=y+bn代入y2=4x得y2=4(my+bm),即y2-4my-4b.=0, 则ny+1=-4b:可得y+1=-②， 同理，yny+1=-4bn,可得y+1=-③， yn 答案第3页共6页 则直线P+1Qa+1的斜率kp10+1=== 4 xn+1-xn+1y+1-y2+1yn+1+yn+1 4 直线P+Q的方置：y-1《-字) (yn+i+ynt)y=4x+y (a+0)代入(nt1+yn+)y=4x+yn+iyn+1'解得a+1=-y+iyn+1(*), 将@⑨入+，给合0可得y+1(尝匀烂-装-警 -4an 代入()式子，得到a1=一()-器 由于a1=1,b1=2,b+1=2a+1,满足bn=2an,则a+1=2a=4an an bn+1=2an+1=8an 4bn, 则{a}是以1为首项，4为公比的等比数列， {b}是以2为首项，4为公比的等比数列. (i)由(i)可得an=4-1,bn=2×4-1,yn+yn=4k,ynyn=-4a' yn+1+yn+1=4k+1, y1=-共y1=会为1+y1-b(良+月-4b ynyn 代入得4桃+1=一40。·终-会兰，化简得k1=2k: an 则kn}是首项为1，公比为2的等比数列，故飞=2n-1. Sn='bn anl.yn-yn 其中bn-y=G+y)}-4ya=4k)2-4-4如)=4经+a, Sn=(2·4-1-41)·4W22m-2+4▣=2V2.8-1, 2W2Sk+8=2W2·2V2.8-1+8=8k+8, ∑六亨11 由-六0可 7.8k-1 7.8t-1 8+8⑧*+08-+可=6*+18-+可>0， 所>() =[a)+(6品）+(》 =品=综上得证 答案第4页共6页 【分析】(1)设出动点M的坐标，得出以线段MF为直径的圆的圆心与半径，利用圆心到y轴的距离等于半径，建立 方程化简即可： (2)()通过直线与抛物线联立，结合韦达定理得出a+1=三再结合题千b+1=2a+1,来证明等比数列即可； (i)同(i)推导得出{飞}为等比数列以及它们的通项，化简得出S的表达式，对于右边可以放缩为等比求和来证 明，对于左边可以放缩为裂项求和来证明. 【详解】(1)设动点M的坐标为(x,y),则MF的中点为W(生，习 以MF为直径的圆的半径r=引MF=√(c-1)2+y, 因为该圆与y轴相切，所以=√c-1?+又， 化简得y2=4x,所以曲线C的标准方程为y2=4x. B. (2)(i)略；(i)略. 19.(1)3 (2)依题意，a>0,直线0P的斜率k=f@=1-na+2, a 不等式k>1台-ha+2>1台ea-1-a-na+2>0,令函数g(@=ea-1-a-lna+2, a 求导得g(@)=ea-1-1-是由(1)得g(@)在(0，+∞)上单调递增， 而g(③)=Ve-号<0,9(2)=e->0,则存在ao∈(，2)，使得ga)=0,e-1=1+6 当0<a<ao时，g'(a)<0:当a>ao时，g'(a>0, 函数g(@在(0，ao)止递减，在(a,+m)上递增，9@咖=9a)=3+-a-lna, 令函数n)=3+x-l,号<x<2,求导得h)=-京-1-是<0， 函数n)在（月，2）上单调递减，h()>h(2)=3+2-1n2=}-l2>0,则g(a)>0, 所以ea-1-a-lna+2>0,即直线0P的斜率大于1. (3)由PA垂直于直线y=x于点A,得直线PA方程为y-f(a)=-(x-Q), 则点4(2，@)10A-2-2 2 答案第5页共6页 由(2)得|AP1=f@-a=le-1-a=na+2=e-1-a-ha+2 v2 v2 函数g(@在a=ao处取得最小值，因此当a=ao时，AP叫取得最小值，n=a∈(3,2)， 令函数p(@)=ea1+a-lna+2,求导得p'(a)=ea-1+1-是 由(1)得p(@在(0，+∞)上单调递增，p()=e2-1<0,p(①)=1>0， 则存在a1e(,1),使得p'(a1)=0,当0<a<a1时，p'(a)<0;当a>a1时，p'(a>0, 函数p(a)在(0，a1)上单调递减，在(a1,+o)上单调递增，p(a)在a=a1处取得最小值， 因此当a=a1时，10A取得最小值，m=a1∈(，1)，于是m+n∈(2,3)， 所以m+n>2. 【分析】(1)利用导数求出函数f(x)的最小值. (2)求出函数的斜率，由斜率大于1等价变形并构造函数g(a)=ea-1-a一lna+2,利用导数求出最小值并证明 大于0即可 (3)求出点A的坐标，再求出OA,|AP|,再利用导数结合零点存在性定理确定m,n范围即可. 【详解】(1)函数f)=e-1-lx+2的定义域为(0，+o),求导得f'()=e-1- 函数y=e-1,y=-在(0，+∞)上都单调递增，则函数f(x)在(0，+∞)上单调递增， 而f(1)=0,于是当0<x<1时，f(x)<0:当x>1时，f(x)>0, 函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增，f(x)min=f(1)=3, 所以函数f(x)的最小值是3. （2)略 (3)略 答案第6页共6页