能量守恒定律在板块模型、曲线运动、传送带模型中的应用 专项训练-2027届高考物理一轮复习

**基本信息** 聚焦能量守恒定律在板块、曲线运动、传送带三大模型的应用，以核心知识点系统梳理方法体系，通过典例构建“概念-方程-临界”知识逻辑链，培养能量观念与模型建构能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |板块模型|4题（2例+2变式）|系统组成分析→能量转化路径判断→场景方程选择（动量守恒/运动学）→临界条件应用（共速/滑落）|从滑块木板系统概念出发，推导摩擦生热公式，区分地面光滑与粗糙场景的能量关系| |曲线运动|4题（2例+2变式）|运动类型识别→受力分析（做功判断）→机械能守恒/损耗方程建立→典型模型规律应用|基于平抛、圆周等运动特征，构建“受力-能量转化”关系，归纳光滑/粗糙场景的能量变化规律| |传送带模型|4题（2例+2变式）|能量组成分析→摩擦生热计算（相对位移）→水平/倾斜传送带能量关系建立→临界状态判断（共速）|从物体与传送带能量交互入手，推导电机输出能量公式，明确相对滑动与匀速阶段的能量转化差异|

能量守恒定律在板块模型、曲线运动、传送带模型中的应用专项训练 能量守恒定律在板块模型、曲线运动、传送带模型中的应用专项训练 考点目录 能量守恒定律在板块模型中的应用 能量守恒定律在曲线运动中的应用 能量守恒定律在传送带模型中的应用 考点一 能量守恒定律在板块模型中的应用 核心知识点 1. 系统组成：滑块、木板；接触面滑动摩擦力，地面摩擦。 1. 能量转化路径 滑块、木板相对滑动时，二者动能减少，损耗的机械能全部转化为内能： · ：滑块相对木板滑动的路程，不是对地位移。 1. 两种场景能量方程 ① 地面光滑（水平动量守恒） 初总动能 = 末总动能 + 摩擦生热 · ② 地面粗糙（动量不守恒，只用能量+运动学） 滑块损失动能 = 木板获得动能 + 滑块与木板间摩擦热 + 木板与地面摩擦热 1. 临界条件 · 共速：无相对滑动，不再产生热量； · 滑块滑落：相对位移等于木板长度。 例1．（25-26高一下·河北保定·期末）如图所示，质量、长度的木板A静止在光滑水平面上，其左端上表面与半径的光滑竖直圆弧轨道相切，圆弧轨道所对的圆心角为37°，A的右侧某位置竖直固定一挡板P。一质量的物块B在光滑水平平台上，水平平台的左侧墙壁处固定一轻质弹簧，弹簧的原长小于水平平台长。现将物块B向左压缩弹簧，使弹簧具有的弹性势能，然后由静止释放物块B，物块B恰好无碰撞地沿圆弧轨道切线方向从左侧进入圆弧轨道，再滑上木板A，A、B共速后A与P发生碰撞，碰后A以某一速度反弹，A在向左运动的过程中，B最终恰好没有从A上滑离（不考虑在这之后的运动）。已知A、B间的动摩擦因数μ＝0.2，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，。求： (1)物块B做平抛时的初速度大小及进入圆弧轨道时的速度大小； (2)物块B滑上木板A时的速度大小及从B滑上A至A、B第一次共速，系统产生的热量； (3)A与P碰撞损失的机械能。 例2．（2026·云南昆明·模拟预测）如图甲所示，光滑水平地面上，小物块与木板以速度一起向右运动，在右侧的竖直墙面固定一轻弹簧，弹簧处于自然状态。木板足够长，物块与木板间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知弹簧始终处在弹性限度内，，，，重力加速度。 (1)已知用力缓慢拉动轻弹簧时，弹簧的拉力与形变量的变化关系如图乙所示，试根据图像求出弹簧的弹性势能与其形变量之间的关系； (2)求木板与弹簧接触以后，物块与木板之间即将相对滑动时弹簧的压缩量及此时木板速度的大小； (3)已知木板从与物块发生相对滑动到与物块加速度首次相同时的过程中所经历的时间为，求系统因摩擦产生的热量。 变式1．（25-26高三下·河南信阳·开学考试）如图所示，质量M=8kg、半径R=3.6m的四分之一光滑圆弧轨道P放置在水平平台上，轨道最低点与平台面相切，在P的最低点右侧d=3.6m处有木板B静止于光滑水平面上，木板上表面与平台面等高且紧靠平台，距木板右端某处有竖直挡板Q，木板B的质量m=0.5kg，有质量mA=1kg小物块A（视为质点）从轨道P与圆心等高处无初速释放，经过平台后以速度v=6m/s滑上木板B，当小物块刚好与木板B速度相同时，木板与挡板发生碰撞，碰撞过程中没有机械能损失，小物块与木板B间的动摩擦因数为μ=0.2，小物块没有脱离木板，忽略轨道P与平台间的摩擦，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，求： (1)小物块在轨道P上的下滑过程，轨道P的位移大小； (2)小物块与平台间的动摩擦因数； (3)木板右端到挡板的距离L。 变式2．（2026·河南南阳·模拟预测）某装置中，传送带长度为，与水平面夹角为，以加速度顺时针加速转动，当传送带速度为时，将质量的物块d轻放于传送带顶端A点，物块与传送带间动摩擦因数为，物块d经过各连接处速率不变，随后物块d经光滑水平面BC滑上质量的长木板c，长木板c及另一质量的小物块b初始静止，小物块b位于长木板右端。物块d与长木板c间动摩擦因数为，小物块b与长木板c间动摩擦因数为，长木板c与地面间动摩擦因数为。最终物块d、b恰好未碰撞。重力加速度g取，，，求： (1)物块与传送带共速时的速率； (2)整个过程传送带与d之间因摩擦产生的热量及传送带对d做的功； (3)长木板c的长度。 考点二 能量守恒定律在曲线运动中的应用 核心知识点 1. 适用曲线运动：平抛、圆周运动、滑块曲面、单摆、斜抛。 1. 受力与能量判断 · 只有重力做功（光滑无摩擦、不计空气阻力）：机械能守恒，动能、重力势能相互转化，无能量损耗； · 存在滑动摩擦力、空气阻力：机械能减少，损耗为内能； 1. 典型模型规律 ① 平抛/斜抛：同一高度动能相等，下落高度越大速度越大； ② 竖直圆周：最高点重力势能最大、动能最小；最低点动能最大； ③ 光滑曲面滑块：水平动量守恒+系统机械能守恒； ④ 粗糙曲面：摩擦力持续生热，每经过一圈机械能减少。 例1．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图所示，将原长为L的轻弹簧置于长为2L的光滑水平面AB上，F为AB的中点，弹簧一端固定在A点，另一端与可视为质点且质量为m的滑块P接触。AB左侧为半径为L的光滑半圆轨道BCD，C点与圆心O等高。现将滑块P压缩弹簧0.5L至E点（图中未标出）后由静止释放，滑块恰好能到达轨道的最高点D，重力加速度为g。 (1)求弹簧被压缩至E点时的弹性势能Ep； (2)在BF段铺一表面粗糙的薄膜，改用质量为2m的滑块Q仍将弹簧压缩到E点由静止释放，恰能运动到半圆轨道的C点，求滑块Q与薄膜间的动摩擦因数μ； (3)接第（2）问，求滑块Q在薄膜上运动的总路程s。 例2．（2026·浙江·二模）如下图所示为一游戏装置的示意图。一光滑轨道ABCDEF由3部分拼接而成，分别是半径为的半圆弧，半径为的半圆弧，和水平部分，两半圆弧直径与在同一竖直线上，的右侧有一光滑无限长直水平轨道，点左侧与等高处有一小段光滑水平轨道，水平轨道上有一弹簧，弹簧左端固定，右端与一质量为的小物块接触但不粘连。光滑水平面上放置一质量为的长方体小车，小车内竖直面内有一管道，管道由6段光滑圆弧和一段粗糙水平管道平滑连接，四段圆弧的半径均为，两段半圆弧的半径均为，各段圆弧管道圆心等高，水平粗糙管道部分长为，与小物块之间的摩擦系数为，已知圆弧半径远大于管道粗细，管道直径略大于小物块，管道左端入口处和出口处与水平面等高，现向左推小物块并弹簧压缩，使弹簧获得一定的弹性势能，然后由静止释放小物块，物块将被弹出。 (1)要使小物块能沿轨道运动到点，试求释放前弹簧具有的弹性势能； (2)若弹簧的弹性势能与（1）中相同，试求释放弹簧后，小物块第一次到达管道最高点时，小物块相对地面的速度和小物块对小车的作用力； (3)改变弹簧的弹性势能，使小物块能沿轨道运动并从进入管道，试求小车最终获得的速度与弹簧弹性势能之间的关系（假定小车始终不脱离地面）。 变式1．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）如图所示，质量为3m的木块A放在光滑水平面上，木块A上固定一竖直轻杆，轻杆上端的O点系一长为l的轻绳，轻绳另一端系一质量为m的球B。现将B球拉起使轻绳水平伸直，并以某一初速度竖直向下运动，球B始终在同一竖直平面内运动，不计空气阻力，轻绳不可伸长。，重力加速度大小为g。 (1)若木块A锁定，球B运动到轻杆左上方，且轻绳与水平方向夹角为53°时，轻绳恰好松弛，求小球释放时的初动能； (2)若将木块A解除锁定，球B运动到轻杆左上方，且轻绳与水平方向夹角为53°时，轻绳恰好松弛，求小球释放时的初动能。 变式2．（25-26高三上·浙江宁波·阶段检测）商场一款游戏装置的结构简图如图所示，小球能落在指定区域则可以领取相应的奖励。装置A端固定一个轻弹簧，AB段为光滑水平面，BC段为粗糙的水平面且BC段长度为L=0.95m，动摩擦因数μ=0.5，CD和EF为两段竖直放置的光滑圆弧轨道，H为圆弧轨道最左端，O为两个圆弧的圆心，O到圆弧轨道中轴线的距离为R=1m，圆弧轨道的摆放满足∠HOE=∠DOF=37°，FOC三点连线为竖直方向。在弹簧左端放一个小物块，C点放置一个直径略小于两个圆弧间距的小球，小球和小物块的质量均为m=1kg，现用物块压缩弹簧使弹簧的弹性势能增大为Ep，由静止释放物块。小球与物块的碰撞可视为弹性碰撞，弹簧原长小于AB段长度，小球和物块的大小可忽略不计，求： (1)若小球第一次碰撞后恰好能到达H点，则Ep为多少？ (2)要使小球不脱离轨道且能够从F点飞出，求小球在水平面上的落点到C点的距离范围。 (3)改变Ep，使小球不能脱离轨道且不能从F点飞出，求Ep的取值范围。 考点三 能量守恒定律在传送带模型中的应用 核心知识点 1. 能量组成：物体动能、物体重力势能、摩擦产生的内能、电动机输出电能。 1. 摩擦生热核心公式 物体与传送带存在相对滑动时： · ：传送带对地位移；：物体对地位移。 1. 水平传送带能量关系 电机输出能量 = 物体增加动能Q$ 1. 倾斜传送带能量关系 电机输出能量 = 物体增加动能+$摩擦生热 1. 临界状态：物体加速至与传送带速度相等，二者无相对滑动，不再生热，电机仅维持匀速。 例1．（2026·湖南长沙·三模）如图所示，传送带左、右两侧分别与粗糙平台及光滑平台紧密对接，传送带的上表面与两平台处于同一水平面，传送带以的速度顺时针转动，传送带两端点、之间的距离 。质量的滑块静置在点，、之间的距离 。滑块与平台及传送带间的动摩擦因数均为，质量为的小球与长度为的轻杆相连，轻杆的另一端通过铰链与质量为 的小滑块Q相连，小滑块Q套在光滑的水平杆上，水平杆固定且足够长。初始时轻杆竖直靠墙，小球P刚好处在平台的末端。现对滑块G施加水平向右的恒力，作用时间后撤去恒力。滑块G、小滑块Q和小球P均可视为质点，重力加速度取。求： (1)滑块经过点时的速度大小； (2)滑块在传送带上运动时，电动机多消耗的电能； (3)滑块G在的末端与小球P发生弹性正碰，轻杆在运动过程中不会和水平杆相碰，轻杆第一次水平时小球P的速度大小（结果可用根号表示）。 例2．（2026·江苏南通·模拟预测）物流分拣系统由多个相同的水平传送带组合而成。如图所示的是该装置中的一部分的俯视图。每个传送带的上表面都是正方形，运行速率均为v=3m/s。质量为m=1kg的可视为质点的快件沿垂直于传送带1的方向滑上传送带，初速度大小为=3m/s，恰好从传送带1的左侧中点垂直边界向左滑上传送带2。快件与两传送带间的动摩擦因数为=0.6，重力加速度g=10m/s2。 (1)快件刚滑上传送带时受到的摩擦力大小f； (2)传送带的边长L； (3)该系统因传送该快件多消耗的电能E。 变式1．（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）如图所示，水平传送带以的速度沿顺时针方向匀速运转，其上表面右端与固定于竖直平面内的以O点为圆心、半径的光滑圆弧轨道在C点平滑连接，圆弧轨道的最高点B与圆心O连线与水平方向的夹角。质量的物块（可视为质点）从A点以的速度水平向右抛出后，从B点沿圆弧轨道的切线方向进入轨道，沿圆弧轨道运动至C点后滑上传送带。已知传送带上表面水平部分CD的长度，物块与传送带间的动摩擦因数，忽略空气阻力，重力加速度g取，，，求： (1)物块做平抛运动的时间； (2)物块经过圆弧轨道C点时，对轨道的压力大小； (3)物块第一次离开传送带时，物块与传送带间因摩擦产生的热量。 变式2．（2026·广西桂林·一模）如图所示，快递公司分拣邮件使用倾角的传送带，将每个质量的邮件从地面运送到高的出发平台。传送带以的速度顺时针匀速转动。已知各邮件与传送带间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取，。求： (1)邮件刚轻放上传送带时的加速度大小； (2)机械手每隔就将一个邮件轻放到传送带底端，传送带上最多同时输送的邮件数量； (3)在机械手放置第一个邮件开始计时的1分钟内，电动机因运送邮件需多做的功。 2 学科网（北京）股份有限公司 $能量守恒定律在板块模型、曲线运动、传送带模型中的应用专项训练 能量守恒定律在板块模型、曲线运动、传送带模型中的应用专项训练 考点目录 能量守恒定律在板块模型中的应用 能量守恒定律在曲线运动中的应用 能量守恒定律在传送带模型中的应用 考点一 能量守恒定律在板块模型中的应用 核心知识点 1. 系统组成：滑块、木板；接触面滑动摩擦力，地面摩擦。 1. 能量转化路径 滑块、木板相对滑动时，二者动能减少，损耗的机械能全部转化为内能： · ：滑块相对木板滑动的路程，不是对地位移。 1. 两种场景能量方程 ① 地面光滑（水平动量守恒） 初总动能 = 末总动能 + 摩擦生热 · ② 地面粗糙（动量不守恒，只用能量+运动学） 滑块损失动能 = 木板获得动能 + 滑块与木板间摩擦热 + 木板与地面摩擦热 1. 临界条件 · 共速：无相对滑动，不再产生热量； · 滑块滑落：相对位移等于木板长度。 例1．（25-26高一下·河北保定·期末）如图所示，质量、长度的木板A静止在光滑水平面上，其左端上表面与半径的光滑竖直圆弧轨道相切，圆弧轨道所对的圆心角为37°，A的右侧某位置竖直固定一挡板P。一质量的物块B在光滑水平平台上，水平平台的左侧墙壁处固定一轻质弹簧，弹簧的原长小于水平平台长。现将物块B向左压缩弹簧，使弹簧具有的弹性势能，然后由静止释放物块B，物块B恰好无碰撞地沿圆弧轨道切线方向从左侧进入圆弧轨道，再滑上木板A，A、B共速后A与P发生碰撞，碰后A以某一速度反弹，A在向左运动的过程中，B最终恰好没有从A上滑离（不考虑在这之后的运动）。已知A、B间的动摩擦因数μ＝0.2，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，。求： (1)物块B做平抛时的初速度大小及进入圆弧轨道时的速度大小； (2)物块B滑上木板A时的速度大小及从B滑上A至A、B第一次共速，系统产生的热量； (3)A与P碰撞损失的机械能。 【答案】(1)， (2)，6J (3) 【详解】（1）根据题意，由能量守恒定律有 解得 在圆弧轨道最高点，由几何关系可得 （2）物块在圆弧轨道上由动能定理，得 解得 对A，根据牛顿第二定律有 对B，根据牛顿第二定律有 A、B第一次共速有 共速时二者速度为 由能量守恒定律得 联立可得 （3）如图分析可知 因为，   设碰撞后A的速度大小为v3，从碰撞后到第二次共速的时间为t2，则共速时 A向左运动位移大小 B向右运动位移大小   另有， 联立可得 例2．（2026·云南昆明·模拟预测）如图甲所示，光滑水平地面上，小物块与木板以速度一起向右运动，在右侧的竖直墙面固定一轻弹簧，弹簧处于自然状态。木板足够长，物块与木板间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知弹簧始终处在弹性限度内，，，，重力加速度。 (1)已知用力缓慢拉动轻弹簧时，弹簧的拉力与形变量的变化关系如图乙所示，试根据图像求出弹簧的弹性势能与其形变量之间的关系； (2)求木板与弹簧接触以后，物块与木板之间即将相对滑动时弹簧的压缩量及此时木板速度的大小； (3)已知木板从与物块发生相对滑动到与物块加速度首次相同时的过程中所经历的时间为，求系统因摩擦产生的热量。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）由图乙可知，弹簧劲度系数为 由弹性势能公式得 （2）木板与物块即将相对滑动时，二者仍共同运动，此时静摩擦力达到最大值。对整体有 对物块有 又，联立得 代入数据解得 从木板刚接触弹簧到即将相对滑动的过程中，系统机械能守恒，有 代入数据解得 （3）发生相对滑动后，物块受滑动摩擦力向左，做匀减速运动，加速度大小为 经过 时，物块速度为 木板与物块加速度首次再次相同时，有 解得，即此时弹簧形变量与刚发生相对滑动时相同。 在这段时间内木板回到刚发生相对滑动时的位置，物块一直向右运动，物块相对木板的位移大小等于物块对地位移。 由匀变速直线运动位移公式得 系统因摩擦产生的热量为 变式1．（25-26高三下·河南信阳·开学考试）如图所示，质量M=8kg、半径R=3.6m的四分之一光滑圆弧轨道P放置在水平平台上，轨道最低点与平台面相切，在P的最低点右侧d=3.6m处有木板B静止于光滑水平面上，木板上表面与平台面等高且紧靠平台，距木板右端某处有竖直挡板Q，木板B的质量m=0.5kg，有质量mA=1kg小物块A（视为质点）从轨道P与圆心等高处无初速释放，经过平台后以速度v=6m/s滑上木板B，当小物块刚好与木板B速度相同时，木板与挡板发生碰撞，碰撞过程中没有机械能损失，小物块与木板B间的动摩擦因数为μ=0.2，小物块没有脱离木板，忽略轨道P与平台间的摩擦，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，求： (1)小物块在轨道P上的下滑过程，轨道P的位移大小； (2)小物块与平台间的动摩擦因数； (3)木板右端到挡板的距离L。 【答案】(1)0.4m (2)0.35 (3)2m 【详解】（1）小物块从轨道P上下滑的过程中，小物块与轨道P组成的系统在水平方向动量守恒，设小物块滑到轨道底端时的速度为，轨道P的速度为，选取小物块的速度方向为正方向，根据动量守恒定律可得 结合 可得 又因为 联立解得，小物块在轨道P上的下滑过程，轨道P的位移大小 （2）结合上述分析，根据水平方向动量守恒可得 根据能量守恒可得 解得 设小物块与平台间的动摩擦因数为，对小物块，由动能定理可得 代入数据解得 （3）小物块滑上木板到共同速度，由动量守恒定律可得 对木板，根据动能定理可得 代入数据解得 变式2．（2026·河南南阳·模拟预测）某装置中，传送带长度为，与水平面夹角为，以加速度顺时针加速转动，当传送带速度为时，将质量的物块d轻放于传送带顶端A点，物块与传送带间动摩擦因数为，物块d经过各连接处速率不变，随后物块d经光滑水平面BC滑上质量的长木板c，长木板c及另一质量的小物块b初始静止，小物块b位于长木板右端。物块d与长木板c间动摩擦因数为，小物块b与长木板c间动摩擦因数为，长木板c与地面间动摩擦因数为。最终物块d、b恰好未碰撞。重力加速度g取，，，求： (1)物块与传送带共速时的速率； (2)整个过程传送带与d之间因摩擦产生的热量及传送带对d做的功； (3)长木板c的长度。 【答案】(1) (2)8J，20J (3) 【详解】（1）对物块，由牛顿第二定律得 解得 假设经过时间与传送带共速，对传送带，由运动学公式得 对物块，有 解得 在该阶段的位移为 假设之后与传送带相对静止一起运动，对，由牛顿第二定律有 解得，所以不会与传送带发生相对滑动； （2）作出传送带和物块的图像如图1所示，图中阴影部分面积为和传送带之间的相对位移 由 得 之后与传送带相对静止，没有相对滑动，对，由运动学公式得 解得 物块从到，由动能定理得 解得 （3）滑上，对由牛顿第二定律得 解得 假设、相对滑动，对，由牛顿第二定律得 解得 对，由牛顿第二定律得 解得 假设成立，假设滑上为0时刻，经过时间与共速，对由运动学公式得 对由运动学公式得 解得， 此时的速度为 假设之后、一起运动，对、，由牛顿第二定律得 解得，此时、之间摩擦力为 假设成立，设再经过时间、、共速， 解得 假设、、共速以后相对静止一起运动，对整体由牛顿第二定律得 解得 此时、之间摩擦力为 、之间摩擦力为 假设成立，作出、、的图像如图2所示 图中为、相对位移， 图中为、相对位移， 所以的长度为 考点二 能量守恒定律在曲线运动中的应用 核心知识点 1. 适用曲线运动：平抛、圆周运动、滑块曲面、单摆、斜抛。 1. 受力与能量判断 · 只有重力做功（光滑无摩擦、不计空气阻力）：机械能守恒，动能、重力势能相互转化，无能量损耗； · 存在滑动摩擦力、空气阻力：机械能减少，损耗为内能； 1. 典型模型规律 ① 平抛/斜抛：同一高度动能相等，下落高度越大速度越大； ② 竖直圆周：最高点重力势能最大、动能最小；最低点动能最大； ③ 光滑曲面滑块：水平动量守恒+系统机械能守恒； ④ 粗糙曲面：摩擦力持续生热，每经过一圈机械能减少。 例1．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图所示，将原长为L的轻弹簧置于长为2L的光滑水平面AB上，F为AB的中点，弹簧一端固定在A点，另一端与可视为质点且质量为m的滑块P接触。AB左侧为半径为L的光滑半圆轨道BCD，C点与圆心O等高。现将滑块P压缩弹簧0.5L至E点（图中未标出）后由静止释放，滑块恰好能到达轨道的最高点D，重力加速度为g。 (1)求弹簧被压缩至E点时的弹性势能Ep； (2)在BF段铺一表面粗糙的薄膜，改用质量为2m的滑块Q仍将弹簧压缩到E点由静止释放，恰能运动到半圆轨道的C点，求滑块Q与薄膜间的动摩擦因数μ； (3)接第（2）问，求滑块Q在薄膜上运动的总路程s。 【答案】(1)2.5mgL (2)0.25 (3)5L 【详解】（1）滑块恰好能到达轨道的最高点，则有 从E到D过程，由能量守恒有 联立解得 （2）题意可知滑块Q到C点时速度为0，则从E到C过程，由能量守恒有 联立解得 （3）分析可知滑块Q最终停在BF上，由能量守恒有 联立解得 例2．（2026·浙江·二模）如下图所示为一游戏装置的示意图。一光滑轨道ABCDEF由3部分拼接而成，分别是半径为的半圆弧，半径为的半圆弧，和水平部分，两半圆弧直径与在同一竖直线上，的右侧有一光滑无限长直水平轨道，点左侧与等高处有一小段光滑水平轨道，水平轨道上有一弹簧，弹簧左端固定，右端与一质量为的小物块接触但不粘连。光滑水平面上放置一质量为的长方体小车，小车内竖直面内有一管道，管道由6段光滑圆弧和一段粗糙水平管道平滑连接，四段圆弧的半径均为，两段半圆弧的半径均为，各段圆弧管道圆心等高，水平粗糙管道部分长为，与小物块之间的摩擦系数为，已知圆弧半径远大于管道粗细，管道直径略大于小物块，管道左端入口处和出口处与水平面等高，现向左推小物块并弹簧压缩，使弹簧获得一定的弹性势能，然后由静止释放小物块，物块将被弹出。 (1)要使小物块能沿轨道运动到点，试求释放前弹簧具有的弹性势能； (2)若弹簧的弹性势能与（1）中相同，试求释放弹簧后，小物块第一次到达管道最高点时，小物块相对地面的速度和小物块对小车的作用力； (3)改变弹簧的弹性势能，使小物块能沿轨道运动并从进入管道，试求小车最终获得的速度与弹簧弹性势能之间的关系（假定小车始终不脱离地面）。 【答案】(1)6J (2)，5N (3)①当时；②当时 【详解】（1）要使物块能进入轨道后不脱离 得 此时弹簧的弹性势能为 （2）先求到F点的速度 可得 假定小滑块能到第一个半圆弧最高点，且此时小物块的速度为，小车的速度为 由水平方向动量守恒 由能量守恒 可解得， 由指向圆心的合力提供向心力： 解得：，即小物块受小车的支持力为5N， 由牛顿第三定律，小物块对小车有向下的力，且为5N （3）首先要使得小物块不脱离左侧轨道， 假定物块恰好能冲上第2个半圆的最高点，设此时在F处的速度为，物块和小车有共同的速度 由水平方向动量守恒： 由能量守恒： 可解得， 此时 得 ①当时，小物块可越过第一个半圆弧最高点，不能越过第二个半圆弧最高点，后相对于小车中管道左右运动，并最终和管道相对静止。 根据 可得 小车的最终速度为 ②当时，小物块可通过第二个半圆最高点，并从小车右侧滑出管道。 由动量守恒： 由能量守恒 可解得：， 又 因此小车最终的速度为 变式1．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）如图所示，质量为3m的木块A放在光滑水平面上，木块A上固定一竖直轻杆，轻杆上端的O点系一长为l的轻绳，轻绳另一端系一质量为m的球B。现将B球拉起使轻绳水平伸直，并以某一初速度竖直向下运动，球B始终在同一竖直平面内运动，不计空气阻力，轻绳不可伸长。，重力加速度大小为g。 (1)若木块A锁定，球B运动到轻杆左上方，且轻绳与水平方向夹角为53°时，轻绳恰好松弛，求小球释放时的初动能； (2)若将木块A解除锁定，球B运动到轻杆左上方，且轻绳与水平方向夹角为53°时，轻绳恰好松弛，求小球释放时的初动能。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）木块A锁定，由轻绳恰好松弛可知，重力沿绳方向的分力提供向心力，则有 由释放到轻绳恰好松弛，对球B，根据动能定理有 联立解得 （2）木块A解除锁定，由A、B组成的系统水平方向动量守恒，则有 轻绳与水平方向夹角为，轻绳恰好松弛，以木块A为参考系，球B作圆周运动，则有 又根据速度的矢量图 可得 根据能量守恒，可得 联立解得 变式2．（25-26高三上·浙江宁波·阶段检测）商场一款游戏装置的结构简图如图所示，小球能落在指定区域则可以领取相应的奖励。装置A端固定一个轻弹簧，AB段为光滑水平面，BC段为粗糙的水平面且BC段长度为L=0.95m，动摩擦因数μ=0.5，CD和EF为两段竖直放置的光滑圆弧轨道，H为圆弧轨道最左端，O为两个圆弧的圆心，O到圆弧轨道中轴线的距离为R=1m，圆弧轨道的摆放满足∠HOE=∠DOF=37°，FOC三点连线为竖直方向。在弹簧左端放一个小物块，C点放置一个直径略小于两个圆弧间距的小球，小球和小物块的质量均为m=1kg，现用物块压缩弹簧使弹簧的弹性势能增大为Ep，由静止释放物块。小球与物块的碰撞可视为弹性碰撞，弹簧原长小于AB段长度，小球和物块的大小可忽略不计，求： (1)若小球第一次碰撞后恰好能到达H点，则Ep为多少？ (2)要使小球不脱离轨道且能够从F点飞出，求小球在水平面上的落点到C点的距离范围。 (3)改变Ep，使小球不能脱离轨道且不能从F点飞出，求Ep的取值范围。 【答案】(1) (2) (3)或者 【详解】（1）小球与物块质量相等，发生弹性碰撞后速度交换。从释放物块到小球到达H点，这个过程中使用能量守恒可得 （2）小球不脱离轨道经过E点需满足 解得 小球不脱离轨道经过D点需满足 解得 小球经过F点时，速度，且不脱离轨道需满足 解得 从C点到E点，由动能定理可得 从C点到D点，由动能定理可得 从C点到F点，由动能定理可得 解得， 平抛运动可得， （3）当小球第一次碰撞后到达的位置低于H点时，满足条件，所以 当小球第一次碰撞后经过E点，但到达不了F点，满足条件，根据第二问的分析得 从第一次经过C点到第二次返回C点，根据动能定理得 解得 当时，根据能量守恒得 小球会超过H点并脱离轨道，所以有 根据能量守恒得 综上或者 考点三 能量守恒定律在传送带模型中的应用 核心知识点 1. 能量组成：物体动能、物体重力势能、摩擦产生的内能、电动机输出电能。 1. 摩擦生热核心公式 物体与传送带存在相对滑动时： · ：传送带对地位移；：物体对地位移。 1. 水平传送带能量关系 电机输出能量 = 物体增加动能Q$ 1. 倾斜传送带能量关系 电机输出能量 = 物体增加动能+$摩擦生热 1. 临界状态：物体加速至与传送带速度相等，二者无相对滑动，不再生热，电机仅维持匀速。 例1．（2026·湖南长沙·三模）如图所示，传送带左、右两侧分别与粗糙平台及光滑平台紧密对接，传送带的上表面与两平台处于同一水平面，传送带以的速度顺时针转动，传送带两端点、之间的距离 。质量的滑块静置在点，、之间的距离 。滑块与平台及传送带间的动摩擦因数均为，质量为的小球与长度为的轻杆相连，轻杆的另一端通过铰链与质量为 的小滑块Q相连，小滑块Q套在光滑的水平杆上，水平杆固定且足够长。初始时轻杆竖直靠墙，小球P刚好处在平台的末端。现对滑块G施加水平向右的恒力，作用时间后撤去恒力。滑块G、小滑块Q和小球P均可视为质点，重力加速度取。求： (1)滑块经过点时的速度大小； (2)滑块在传送带上运动时，电动机多消耗的电能； (3)滑块G在的末端与小球P发生弹性正碰，轻杆在运动过程中不会和水平杆相碰，轻杆第一次水平时小球P的速度大小（结果可用根号表示）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）滑块在间做匀加速直线运动的加速度为，对滑块，根据牛顿第二定律有 解得 滑块做匀加速的位移 因为 从到，对滑块根据动能定理有 解得 （2）滑块在传送带上做匀加速运动的位移为，时间为，根据速度-位移公式有 根据牛顿第二定律可得加速度为 解得 根据速度-时间公式有 解得 在此阶段，电动机多消耗的电能 滑块与小球发生弹性碰撞后速度分别为和，根据动量守恒有 根据能量守恒有 联立解得，方向水平向左；，水平向右 滑块第二次在传送带上相对传送带运动时间为，则有 在此阶段，电动机多消耗的电能 所以，滑块在传送带上运动时，电动机多消耗的电能 （3）小滑块离开竖直墙壁时，轻杆与竖直墙壁的夹角为，根据牛顿第二定律，有 根据能量守恒，有 解得， 设轻杆第一次水平时，小球的水平速度和竖直速度分别为和 对PQ，根据动量守恒有 解得 设所求为，对PQ根据能量守恒有 解得 例2．（2026·江苏南通·模拟预测）物流分拣系统由多个相同的水平传送带组合而成。如图所示的是该装置中的一部分的俯视图。每个传送带的上表面都是正方形，运行速率均为v=3m/s。质量为m=1kg的可视为质点的快件沿垂直于传送带1的方向滑上传送带，初速度大小为=3m/s，恰好从传送带1的左侧中点垂直边界向左滑上传送带2。快件与两传送带间的动摩擦因数为=0.6，重力加速度g=10m/s2。 (1)快件刚滑上传送带时受到的摩擦力大小f； (2)传送带的边长L； (3)该系统因传送该快件多消耗的电能E。 【答案】(1)6N (2) (3)18J 【详解】（1） 快件对传送带的压力为FN=mg 两者有相对滑动，摩擦力为 （2） 快件滑上传送带时，两者相对速度方向与边界成，当快件从传送带1的左侧中点垂直边界向左滑上传送带2时，说明方向上的速度减为0 该方向上摩擦力的分力为 ，加速度为 由得 即传送带的边长为。 （3）在传送带1上，快件相对于传送带的初速度为 到左侧中点时，刚好相对速度为0，加速度为 相对位移 在传送带1上 在传送带2上重复传送带1上的运动 该系统因传送该快件多消耗的电能 变式1．（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）如图所示，水平传送带以的速度沿顺时针方向匀速运转，其上表面右端与固定于竖直平面内的以O点为圆心、半径的光滑圆弧轨道在C点平滑连接，圆弧轨道的最高点B与圆心O连线与水平方向的夹角。质量的物块（可视为质点）从A点以的速度水平向右抛出后，从B点沿圆弧轨道的切线方向进入轨道，沿圆弧轨道运动至C点后滑上传送带。已知传送带上表面水平部分CD的长度，物块与传送带间的动摩擦因数，忽略空气阻力，重力加速度g取，，，求： (1)物块做平抛运动的时间； (2)物块经过圆弧轨道C点时，对轨道的压力大小； (3)物块第一次离开传送带时，物块与传送带间因摩擦产生的热量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物块平抛到达B点时的竖直分速度大小 可知物块做平抛运动的时间 （2）设物块到达B点时的速度大小为，有 物块从B点到圆弧轨道最低点，有 解得 物块在C点，由牛顿第二定律，可得 解得 根据牛顿第三定律，可知物块经过C点时对轨道的压力大小 （3）物块滑上传送带后做匀减速直线运动，加速度大小 物块减速到零时，有 解得 物块向左减速到零的时间 此过程传送带的位移大小 物块反向加速到与传送带共速，有 此过程物块的位移大小 传送带的位移大小 则物块与传送带间因摩擦产生的热量 变式2．（2026·广西桂林·一模）如图所示，快递公司分拣邮件使用倾角的传送带，将每个质量的邮件从地面运送到高的出发平台。传送带以的速度顺时针匀速转动。已知各邮件与传送带间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取，。求： (1)邮件刚轻放上传送带时的加速度大小； (2)机械手每隔就将一个邮件轻放到传送带底端，传送带上最多同时输送的邮件数量； (3)在机械手放置第一个邮件开始计时的1分钟内，电动机因运送邮件需多做的功。 【答案】(1) (2)2个 (3) 【详解】（1）邮件刚放上传送带时，根据牛顿第二定律有 解得 （2）根据几何关系，可得传送带总长 对一个邮件分析，设达到共速所用时间为，有 解得 邮件的对地位移为 邮件与传送带共速后邮件相对传送带静止，一起斜向上做匀速直线运动，时间为，有 可得 隔放一个，则传送带上最多输送2个邮件。 （3）电动机多输出的能量转化为邮件的重力势能、动能和摩擦产生热量，有 解得 1分钟内8个邮件完成全程，多输出的能量 第9个邮件加速运动，有 解得 可得 2 学科网（北京）股份有限公司 $