第24讲 多项式 小升初衔接 2026--2027学年人教版七年级数学上册

4.1.2 多项式 人教版·数学·七年级上册（2024 新版） 第四章 第一节 第二课时 · 教师版 一、学习目标 1. 概念理解 —— 理解多项式的定义：几个单项式的和；准确识别多项式的项、系数、次数、常数项四要素；明确整式 = 单项式 + 多项式的家族关系。 2. 方法内化 —— 熟练运用「项·次·排」三步法：① 数项数（含符号）→ ② 定次数（最高次项的次数）→ ③ 排列（升幂 / 降幂）；能规范书写含 π 和分数系数的多项式。 3. 迁移应用 —— 将 §3.1 列代数式、§3.2 求值、§4.1.1 单项式的老朋友按整式家族树重新归类；通过几何情境（周长、面积、体积）主动构造多项式，为 §4.2 合并同类项打下地基。 二、重难点 类别 内容 重点 多项式的三要素：项（含符号）、次数（最高次项的次数）、常数项；「项·次·排」三步法；升幂 / 降幂规范排列。 难点 项前符号是本命（-5x 的项是 -5x，不是 5x）；常数项 也算 一项；次数不是所有项次数之和而是「最高次项」的次数；含 π 或分数系数时仍是单项。 易错点 ① 项漏符号（5x + 2y - 3 的三项是 5x、2y、-3）；② 常数项被误当作「非项」漏掉；③ 次数算成各项次数之和；④ 升幂降幂首项符号漏；⑤ 单独一个数或字母被误认作「不是多项式」（其实是单项式，属于整式）；⑥ πx² + 3x 里 π 是数，进系数不进次数。 三、复习回顾 回顾一 · §4.1.1 单项式识·系·次 快速热身 请对下列 5 个单项式说出系数与次数（教师引导 3 分钟）： 表达式 系数 次数 -x³y -1 4 2πr 2π 1 a²b 3 5 5 0 m 1 1 回顾二 · 四不能口诀（§4.1.1 灵魂） 单项式 = 数与字母的乘积（一个数或一个字母也算），必须同时满足：① 不含加减号 · ② 分母不含字母 · ③ 字母指数为正整数。 【教学提示】2 分钟快速温故，注意强调「-x³y 的系数是 -1（不是 -）」这一 §4.1.1 的最大陷阱，为 §4.1.2 项含符号做铺垫。 回顾三 · 老朋友导入 —— 它们究竟是单项式还是多项式？ 请看下列 4 个表达式： 1. ① 3xy ② 3x + 2y - 5 1. ③ πr² ④ 2ab + 2bc + 2ac 【答案与引导】 ① 3xy —— 单项式（1 项，系 3，次 2） ② 3x + 2y - 5 —— 多项式（3 项，含加减号！本节主角登场） ③ πr² —— 单项式（1 项，π 入系，次 2） ④ 2(ab + bc + ac) 展开 = 2ab + 2bc + 2ac —— 多项式（3 项，每项均为单项式） 【引出定义】含加减号 = 多项式；不含加减号 = 单项式。多项式就是几个单项式的和。 四、新知探究 ★★★ 探究一 · 项·次·排 三步法（本节灵魂） 【定义速览】 多项式：几个单项式的和。多项式中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 【三步法口诀】 ① 数项 · 项前符号是本命！ —— 用「+」把多项式切开，每一段（含前面的正负号）就是一项。常数项也算一项。 ② 定次 · 只看最高次项！ —— 每一项各自算次数（字母指数之和），全部项里最高的那一个就是多项式的次数。 ③ 排列 · 升幂或降幂选一种！ —— 按同一个字母的指数从小到大（升幂）或从大到小（降幂）重排各项；首项符号别丢。 案例 1｜3x + 2y - 5 ① 数项：3 项 —— 3x、2y、-5（-5 是常数项，本命符号是「-」） ② 定次：3x →1次，2y →1次，-5 次 0，最高 = 1 ⇒ 一次多项式 ③ 排列：含 x、y 两个字母，若按 字母表顺序 x 降幂：3x + 2y - 5（本身就已排好，常数项放最后是惯例） 【结论】3x + 2y - 5 是一次三项式（含义：次数是 1，项数是 3）。 案例 2｜含分数系数与二次幂 多项式： -x² + 5x - ① 数项：3 项 —— -x²（本命 -1）、5x、- （常数项） ② 定次：-x² →2次，5x →1次，- →0次，最高 = 2 ⇒ 二次多项式 ③ 排列：降幂（按 x 的指数从大到小）：-x² + 5x - （首项符号「-」不省）；升幂：- + 5x - x² 【结论】这是一个二次三项式。 案例 3｜含 π 与多字母（圆柱侧面 + 圆锥体积） 多项式： πr² - 2πrh + πr²h ① 数项：3 项 —— πr²（系 π · 次 2）、-2πrh（系 -2π · 次 2）、πr²h（系 π· 次 3） ② 定次：2, 2, 3 → 最高 = 3 ⇒ 三次多项式 ③ 排列：按 r 降幂：πr²h + πr² - 2πrh；按 h 升幂：πr² - 2πrh + πr²h（本身就是升幂） 【结论】三次三项式；π 始终作为数入系数，不进次数。 【教学提示】三个案例难度递进：案例 1 只训练「切分与常数项」；案例 2 引入「分数系数 + 负号本命」；案例 3 引入「π + 多字母 + 混合次数」。每个案例耗时 3~5 分钟，共 15 分钟。板书重点：把「+」标红作切分线，把常数项系数框住。 探究二 · 项的正确写法（本命符号） 请把下列多项式的所有项正确写出（含符号）： 多项式 各项（含符号） 常数项 2x - 3y + 7 2x , -3y , 7 7 -a² + 4a - 1 -a² , 4a , -1 -1 x³ - 2x² + x x³ , -2x² , x 无（0） 5m + 2 5m , 2 2 -πr² + 2πrh - 8 -πr² , 2πrh , -8 -8 【提炼命门】① 减号 = 该项系数的负号，必须跟着这一项走；② 常数项没有字母，单独一个数也是项；③ 若没有常数项（如 x³ - 2x² + x），可说常数项为 0或无常数项。 ★★ 探究三 · 整式家族树（大局观） 【家族关系图】 ┌──── 单项式 （§4.1.1，如 3xy、πr²、5、m） 整式 ───────┤ └──── 多项式 （§4.1.2，如 3x + 2y - 5、-x² + 5x -） 【关键结论】 ① 单项式 + 多项式 = 整式 ② 一个单独的数 或 一个单独的字母，只是 单项式，不叫多项式（因为不满足「几个单项式的和」） ★★ 探究四 · 章节链接·回看 §4.1.1 老朋友 §4.1.1 学的是识·系·次三步法（单项式），本节学的是项·次·排三步法（多项式）。两者对照一下： 对照项 单项式（§4.1.1） 多项式（§4.1.2） 三步法名字 识·系·次 项·次·排 第一步 识：四不能自检 项：数项数（含符号） 第二步 系：数字因数（含 ± / π / 分数） 次：所有项里的最高次 第三步 次：所有字母指数之和 排：升幂 / 降幂 次数含义 所有字母指数之和 最高次项的次数（不是相加！） 项的个数 1（永远 1 项） ≥ 2（等于 1 就退化为单项式） 典型代表 3xy , πr² , -a²b 3x + 2y - 5 , -x² + 5x - 【关键区分（易错第 ①/② 号）】 多项式的次数 ≠ 各项次数之和！例：3x²y + xy - 1 的次数是 3（来自 3x²y），不是 3 + 2 + 0 = 5。只看最高次项！这是学生本节最大陷阱。 单项式退化情形：若多项式只剩 1 项（如 5x），它就退化成单项式；反之，只有 1 项的表达式不叫多项式。 五、例题精讲 例 1 ★★★ 项·次·排 综合训练（6 小题） 请对下列多项式指出：项数、各项（含符号）、次数、常数项。 多项式 项数 各项 次数 常数项 (1) 4x + 3y - 2 3 4x , 3y , -2 1 -2 (2) -a² + 2ab - b² 3 -a² , 2ab , -b² 2 无（0） (3) x³ - 3x²y + 3xy² - y³ 4 x³ , -3x²y , 3xy² , -y³ 3 无（0） (4) 5m² - 7 2 5m² , -7 2 -7 (5) πr² + 2πrh 2 πr² , 2πrh 2 无（0） (6) -x²y + xy - 1 3 -x²y , xy , -1 3 -1 【解析要点】 (3) 四项式，每项次数都是 3（x³→3次、x²y→3次、xy²→3次、y³→3次），最高次3；这类每项次数都相等的多项式叫「齐次多项式」，实际是 (x-y)³ 展开式（八年级会证）。 (6) 含分数系数；第一项 -x²y 的字母指数和 = 2+1 = 3，是次数最高的项。 例 2 · 升幂 / 降幂 排列（5 小题） 按指定字母把下列多项式重新排列。注意首项符号！ 1. (1) 将 5x - x² + 3 - 2x³ 按 x 的降幂 排列 → -2x³ - x² + 5x + 3 1. (2) 将 5x - x² + 3 - 2x³ 按 x 的升幂 排列 → 3 + 5x - x² - 2x³ 1. (3) 将 4a²b - a³ + 2ab² - b³ 按 a 的降幂 排列 → -a³ + 4a²b + 2ab² - b³ 1. (4) 将 4a²b - a³ + 2ab² - b³ 按 b 的升幂 排列 → -a³ + 4a²b + 2ab² - b³ 1. (5) 将 πr² - 2πrh + h² 按 h 的降幂 排列 → h² - 2πrh + πr² 【口诀】「一个字母排幂次，其他字母陪跟走；首项符号别丢掉，常数项一般垫底」。(3)(4) 展示同一多项式按不同字母排列结果相同（因为按 a 降幂 = 按 b 升幂 ≈ 关于 a 与 b 的次数是负相关）。 例 3 ★★★ 几何情境构造多项式（5 小题） 【题目】请用代数式表示下列几何量，然后指出所得多项式的项数、次数、常数项。 (1) 长方形的周长（长 a，宽 b） 周长 C = 2a + 2b；项数 2，次数 1，常数项 无 (2) 三角形的周长（三边 a、b、c） 周长 C = a + b + c；项数 3，次数 1，常数项 无 (3) 梯形的面积（上底 a，下底 b，高 h） 面积 S = (a + b)h = ah + bh 展开后：项数 2，次数 2，常数项 无 (4) ★ 圆环的面积（外圆半径 R，内圆半径 r） 面积 S = πR² - πr²；项数 2，次数 2，常数项 无 (5) ★★ 圆柱的表面积（底面半径 r，高 h） 表面积 S = 2πr² + 2πrh；项数 2，次数 2，常数项 无 【解析要点】 (3) 梯形面积先写成整体形式 (a+b)h，展开后才是多项式：ah + bh；。学生易漏 —— 强调「面积除以 2」不能省。 (4) 圆环面积是 §4.1.2 最经典的双单项式差，恰好是两个 §4.1.1 单项式的差 —— 完美体现「多项式 = 单项式的和」。 (5) 圆柱表面积回顾 §4.1.1 例 3⑤ 长方体 2(ab+bc+ac) 的多项式版本；进一步：若展开成 §4.1.2 多项式，则明确 2πr² 和 2πrh 各是一项，系数分别是 2π。 六、当堂检测 Part 1 · 项数与常数项（6 题） 多项式 项数 常数项 (1) 2x - 5 2 -5 (2) a² + b² - c² 3 无（0） (3) -3m + 4n - 6 3 -6 (4) x³ - x² + x - 1 4 -1 (5) -πr + 2π 2 2π (6) 5 1（单项式，不叫多项式） 5（该单项式本身） 【关键陷阱】(5) 中 2π 是常数项（因为 π 是数）；(6) 5 属单项式（1 项），本题目的是提醒学生：单项式家族与多项式互斥，但都属整式。 Part 2 · 次数（6 题） 多项式 次数 最高次项 (1) 3x²y - 2xy + y 3 3x²y (2) a³ - a²b + ab² - b³ 3 多个（次数均为 3） (3) -5m⁴ + 2m³ - m 4 -5m⁴ (4) πr² - 2πrh + h² 2 多个（次数均为 2） (5) x² - 6 2 x² (6) -x³y² + xy 5 -x³y² 【关键陷阱】(1) 3x²y 次数 = 2 + 1 = 3（不是 2+1+... 全部相加）；(2)(4) 齐次多项式的最高次项有多个；(6) -x³y² 次数 = 3 + 2 = 5。 Part 3 · 升幂 / 降幂排列（4 题） 1. (1) 按 x 降幂 排列 2 - x + 3x² - 4x³： -4x³ + 3x² - x + 2 1. (2) 按 x 升幂 排列 2 - x + 3x² - 4x³： 2 - x + 3x² - 4x³ 1. (3) 按 y 降幂 排列 x² - xy + y² + 2x - 3y + 5： y² - xy - 3y + x² + 2x + 5 1. (4) 按 a 降幂 排列 2a²b - 3ab² + 4a³ - b³： 4a³ + 2a²b - 3ab² - b³ Part 4 ★★★ 章节链接·§3.2 燃油车 / BMI 家族判定 请判断下列 §3 / §4.1.1 出现过的表达式：① 是否为多项式？ 若是，写出项数与次数；② 若不是，说明属于哪一家族。 出处 表达式 是否多项式 项数 / 次数 / 家族 §3.1.1 3x + 2y ✓ 是多项式 2 项 · 次 1 · 整式 §3.1.3 s = vt（表达式 vt） ✗ 单项式 1 项 · 次 2 · 整式（单项式） §3.2 变式 a + b + c 三角形周长 ✓ 是多项式 3 项 · 次 1 · 整式 §3.2 BMI ✗ 不是 分母含字母 §3.2 燃油车 ✗ 不是 分母含 x §4.1.1 例 3 圆锥体积 ✗ 单项式 1 项 · 次 3 · 整式（单项式） 【总决战】这张表整合了 §3.1 → §3.2 → §4.1.1 → §4.1.2 的全部老朋友，让学生用「整式家族树」再回看一次：整式 = 单项式 + 多项式。 七、思维导图 + 三大黄金口诀 【本节思维导图】 ┌── ① 数项：项前符号是本命，常数项也是项 │ 多项式 ── ┼── ② 定次：只看「最高次项」的次数（不是相加！） §4.1.2 │ ├── ③ 排列：升幂 / 降幂选一种，首项符号别丢 │ └── 家族：单项式 + 多项式 = 整式 【三大黄金口诀 · 护身符】 ① 项的护身符：「减号是本命，常数项也算项」 —— 用「+」切分，负号跟着项走。 ② 次的护身符：「只找最高峰，各项别相加」 —— 每项独立算次数，全表最高者胜出。 ③ 排的护身符：「一字母排幂，其他字母陪；首项符号在，常数垫底队」 —— 一次只对一个字母排幂。 八、分层作业（🅰 基础巩固 · 🅱 能力拓展 · 🅲 挑战冲刺） 🅰 基础巩固（面向全体） A-1 填表：写出下列多项式的项数、次数、常数项。 多项式 项数 次数 常数项 (1) 3x - 5y + 2 3 1 2 (2) a³ - 4a² + a 3 3 无（0） (3) x²y + xy² - 2xy 3 3 无（0） (4) -m + 7 2 1 7 (5) πR² - πr² 2 2 无（0） (6) -x²y³ + xy - 2 3 5 -2 A-2 下列表达式中，多项式有＿＿＿个，单项式有＿＿＿个，非整式有＿＿＿个。 ① 3xy ② x + y ③ 5 ④ πr² - 2r ⑤ ⑥ -a²b ⑦ -m + n - 3 【答案】多项式：②④⑦（3 个）；单项式：①③⑥（3 个）；非整式：⑤（1 个）。 A-3 按 x 的降幂排列：4x - 2x² + 3 - x³ = -x³ - 2x² + 4x + 3 🅱 能力拓展（面向多数） B-1 若多项式 3 - 2x²+ 5 是三次三项式，求 m 的值。 【解】三次三项式 ⇒ 项数 3、次数 3。已知 3 项都存在（3 , -2x² , 5），项数已满足。次数 = 3 ⇒ 最高次项次数 = 3 ⇒ m 只能来自 3 这一项 ⇒ m = 3。若 m ≤ 2，则次数 = 2 不满足；若 m ≥ 4，则次数 > 3 不满足。故 m = 3。 B-2 下列说法中正确的是（　　） A. 单项式一定是整式，多项式一定是整式 B. 常数项就是不含字母的项，一定是正数 C. 多项式 -3x² + 5x - 2 的二次项系数是 3 D. 多项式 πr² + 2r 的次数是 3 【答案】A、D 正确；B 错（常数项可以是负数，如 -5）；C 错（二次项系数含符号，是 -3 不是 3）；D 错（π 是数入系数，次数只看 r² 的 2）。 B-3 已知多项式 + 3x² - 4 是五次三项式，第一项 的次数是最高的，求 m、n 应满足的条件。 【解】 五次 ⇒ 最高次 = 5。 是最高次项 ⇒ m = 5。 此时 3x² 的次数 = 2 + n，须 5≤n≤ 3；同时 n 是正整数⇒ n=1, 2, 3。 综上：m = 5，n = 1 或 2 或 3（若题目还要求「唯一最高次项」，则 n < 3，n ∈ {1, 2}）。 🅲 挑战冲刺（面向拔尖） 🅲-1｜梯形面积展开与升幂重排 梯形上底 a，下底 b，高 h。面积 S = (a + b)h。请： (1) 将 S 展开为多项式，写出各项、项数、次数。 (2) 按 h 的降幂排列。若 a = 3, b = 5, h = t（t 为变量），则 S 关于 t 的多项式是什么？ 【解】 (1) 展开 S = ah + bh；项数 2，次数 2，常数项 无。 (2) 按 h 降幂：S = ah + bh（h 都是一次，可合并同类项预告 §4.2）。代入 a = 3, b = 5 ⇒ S = h + h = 4h（是关于 t 的一次多项式，也是正比例函数 S = 4t，八年级）。 🅲-2｜圆环面积（承接 §4.1.1 圆面积） 圆环外圆半径 R，内圆半径 r。请： (1) 写出圆环面积多项式 S。 (2) 写出项数、次数、常数项。 (3) 若 R = 2r，S 可化简为哪个单项式？ 【解】 (1) S = πR² - πr²（也可写成 π(R² - r²)）。 (2) 项数 2，次数 2，常数项 无。 (3) R = 2r ⇒ S = π(2r)² - πr² = 4πr² - πr² = 3πr²（多项式化简后退化为单项式，系 3π，次 2；预告 §4.2 合并同类项）。 🅲-3 ★★★｜整式家族大总决战（§3 → §4.1.1 → §4.1.2 全通关） 下面 8 个表达式全部来自 §3 / §4.1.1，请按整式家族树填表分类： ① 3xy ② 3x + 2y - 5 ③ ④ vt ⑤ ⑥ a + b + c ⑦ 2ab + 2bc + 2ac 家族 表达式编号 说明 / 依据 单项式 ① ④ ① 系 3 次 2；④ vt 系 1 次 2 多项式 ② ⑥ ⑦ ② 3 项 次 1；⑥ 3 项 次 1；⑦ 展开是 3 项 次 2 整式 ① ② ④ ⑥ ⑦（单项式 + 多项式的并集） 分式 ③, ⑤ 分母含字母 九、学习反思 反思维度 我的回答 ① 我能一句话说清 　 　 　 ② 三步法我记住了吗 　 　 　 ③ 我最容易错在哪 　 　 　 ④ 家族树帮我理清了什么 　 　 　 ⑤ 我把 §3 老朋友放对家了吗 　 　 　 ⑥ 我还有一个问题 　 　 　 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1.2 多项式 人教版·数学·七年级上册（2024 新版） 第四章 第一节 第二课时 · 学生版 一、学习目标 1. 概念理解 —— 理解多项式的定义：几个单项式的和；准确识别多项式的项、系数、次数、常数项四要素；明确整式 = 单项式 + 多项式的家族关系。 2. 方法内化 —— 熟练运用「项·次·排」三步法：① 数项数（含符号）→ ② 定次数（最高次项的次数）→ ③ 排列（升幂 / 降幂）；能规范书写含 π 和分数系数的多项式。 3. 迁移应用 —— 将 §3.1 列代数式、§3.2 求值、§4.1.1 单项式的老朋友按整式家族树重新归类；通过几何情境（周长、面积、体积）主动构造多项式，为 §4.2 合并同类项打下地基。 二、重难点 类别 内容 重点 多项式的三要素：项（含符号）、次数（最高次项的次数）、常数项；「项·次·排」三步法；升幂 / 降幂规范排列。 难点 项前符号是本命（-5x 的项是 -5x，不是 5x）；常数项 也算 一项；次数不是所有项次数之和而是「最高次项」的次数；含 π 或分数系数时仍是单项。 易错点 ① 项漏符号（5x + 2y - 3 的三项是 5x、2y、-3）；② 常数项被误当作「非项」漏掉；③ 次数算成各项次数之和；④ 升幂降幂首项符号漏；⑤ 单独一个数或字母被误认作「不是多项式」（其实是单项式，属于整式）；⑥ πx² + 3x 里 π 是数，进系数不进次数。 三、复习回顾 回顾一 · §4.1.1 单项式识·系·次 快速热身 请对下列 5 个单项式说出系数与次数（教师引导 3 分钟）： 表达式 系数 次数 -x³y __________ __________ 2πr __________ __________ a²b __________ __________ 5 __________ __________ m __________ __________ 回顾二 · 四不能口诀（§4.1.1 灵魂） 单项式 = 数与字母的乘积（一个数或一个字母也算），必须同时满足：① 不含加减号 · ② 分母不含字母 · ③ 字母指数为正整数。 回顾三 · 老朋友导入 —— 它们究竟是单项式还是多项式？ 请看下列 4 个表达式： 1 3xy ② 3x + 2y - 5 ③ πr² ④ 2ab + 2bc + 2ac 四、新知探究 ★★★ 探究一 · 项·次·排 三步法（本节灵魂） 【定义速览】 多项式：几个单项式的和。多项式中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 【三步法口诀】 ① 数项 · 项前符号是本命！ —— 用「+」把多项式切开，每一段（含前面的正负号）就是一项。常数项也算一项。 ② 定次 · 只看最高次项！ —— 每一项各自算次数（字母指数之和），全部项里最高的那一个就是多项式的次数。 ③ 排列 · 升幂或降幂选一种！ —— 按同一个字母的指数从小到大（升幂）或从大到小（降幂）重排各项；首项符号别丢。 案例 1｜3x + 2y - 5 ① 数项：3 项 —— 3x、2y、-5（-5 是常数项，本命符号是「-」） ② 定次：3x →1次，2y →1次，-5 次 0，最高 = 1 ⇒ 一次多项式 ③ 排列：含 x、y 两个字母，若按 字母表顺序 x 降幂：3x + 2y - 5（本身就已排好，常数项放最后是惯例） 【结论】3x + 2y - 5 是一次三项式（含义：次数是 1，项数是 3）。 案例 2｜含分数系数与二次幂 多项式： -x² + 5x - ① 数项：3 项 —— -x²（本命 -1）、5x、- （常数项） ② 定次：-x² →2次，5x →1次，- →0次，最高 = 2 ⇒ 二次多项式 ③ 排列：降幂（按 x 的指数从大到小）：-x² + 5x - （首项符号「-」不省）；升幂：- + 5x - x² 【结论】这是一个二次三项式。 案例 3｜含 π 与多字母（圆柱侧面 + 圆锥体积） 多项式： πr² - 2πrh + πr²h ① 数项：3 项 —— πr²（系 π · 次 2）、-2πrh（系 -2π · 次 2）、πr²h（系 π · 次 3） ② 定次：2, 2, 3 → 最高 = 3 ⇒ 三次多项式 ③ 排列：按 r 降幂：πr²h + πr² - 2πrh；按 h 升幂：πr² - 2πrh + πr²h（本身就是升幂） 【结论】三次三项式；π 始终作为数入系数，不进次数。 探究二 · 项的正确写法（本命符号） 请把下列多项式的所有项正确写出（含符号）： 多项式 各项（含符号） 常数项 2x - 3y + 7 __________ __________ -a² + 4a - 1 __________ __________ x³ - 2x² + x __________ __________ 5m + 2 __________ __________ -πr² + 2πrh - 8 __________ __________ ★★ 探究三 · 整式家族树（大局观） 【家族关系图】 ┌──── 单项式 （§4.1.1，如 3xy、πr²、5、m） 整式 ───────┤ └──── 多项式 （§4.1.2，如 3x + 2y - 5、-x² + 5x -） 【关键结论】 ① 单项式 + 多项式 = 整式 ② 一个单独的数 或 一个单独的字母，只是 单项式，不叫多项式（因为不满足「几个单项式的和」） ★★ 探究四 · 章节链接·回看 §4.1.1 老朋友 §4.1.1 学的是识·系·次三步法（单项式），本节学的是项·次·排三步法（多项式）。两者对照一下： 对照项 单项式（§4.1.1） 多项式（§4.1.2） 三步法名字 识·系·次 项·次·排 第一步 识：四不能自检 项：数项数（含符号） 第二步 系：数字因数（含 ± / π / 分数） 次：所有项里的最高次 第三步 次：所有字母指数之和 排：升幂 / 降幂 次数含义 所有字母指数之和 最高次项的次数（不是相加！） 项的个数 1（永远 1 项） ≥ 2（等于 1 就退化为单项式） 典型代表 3xy , πr² , -a²b 3x + 2y - 5 , -x² + 5x - 五、例题精讲 例 1 ★★★ 项·次·排 综合训练（6 小题） 请对下列多项式指出：项数、各项（含符号）、次数、常数项。 多项式 项数 各项 次数 常数项 (1) 4x + 3y - 2 ___ __________ ___ _____ (2) -a² + 2ab - b² ___ __________ ___ _____ (3) x³ - 3x²y + 3xy² - y³ ___ __________ ___ _____ (4) 5m² - 7 ___ __________ ___ _____ (5) πr² + 2πrh ___ __________ ___ _____ (6) -x²y + xy - 1 ___ __________ ___ _____ 例 2 · 升幂 / 降幂 排列（5 小题） 按指定字母把下列多项式重新排列。注意首项符号！ 1. (1) 将 5x - x² + 3 - 2x³ 按 x 的降幂 排列 → __________________________ 1. (2) 将 5x - x² + 3 - 2x³ 按 x 的升幂 排列 → __________________________ 1. (3) 将 4a²b - a³ + 2ab² - b³ 按 a 的降幂 排列 → __________________________ 1. (4) 将 4a²b - a³ + 2ab² - b³ 按 b 的升幂 排列 → __________________________ 1. (5) 将 πr² - 2πrh + h² 按 h 的降幂 排列 → __________________________ 例 3 ★★★ 几何情境构造多项式（5 小题） 【题目】请用代数式表示下列几何量，然后指出所得多项式的项数、次数、常数项。 (1) 长方形的周长（长 a，宽 b） 周长 C = _______________；项数 __，次数 __，常数项 __ (2) 三角形的周长（三边 a、b、c） 周长 C = _______________；项数 __，次数 __，常数项 __ (3) 梯形的面积（上底 a，下底 b，高 h） 面积 S = _______________ 展开后：项数 __，次数 __，常数项 __ (4) ★ 圆环的面积（外圆半径 R，内圆半径 r） 面积 S = _______________；项数 __，次数 __，常数项 __ (5) ★★ 圆柱的表面积（底面半径 r，高 h） 表面积 S = _______________；项数 __，次数 __，常数项 __ 六、当堂检测 Part 1 · 项数与常数项（6 题） 多项式 项数 常数项 (1) 2x - 5 ____ __________ (2) a² + b² - c² ____ __________ (3) -3m + 4n - 6 ____ __________ (4) x³ - x² + x - 1 ____ __________ (5) -πr + 2π ____ __________ (6) 5 ____ __________ Part 2 · 次数（6 题） 多项式 次数 最高次项 (1) 3x²y - 2xy + y ____ __________ (2) a³ - a²b + ab² - b³ ____ __________ (3) -5m⁴ + 2m³ - m ____ __________ (4) πr² - 2πrh + h² ____ __________ (5) x² - 6 ____ __________ (6) -x³y² + xy ____ __________ Part 3 · 升幂 / 降幂排列（4 题） 1. (1) 按 x 降幂 排列 2 - x + 3x² - 4x³：________________________ 1. (2) 按 x 升幂 排列 2 - x + 3x² - 4x³：________________________ 1. (3) 按 y 降幂 排列 x² - xy + y² + 2x - 3y + 5：________________________ 1. (4) 按 a 降幂 排列 2a²b - 3ab² + 4a³ - b³：________________________ Part 4 ★★★ 章节链接·§3.2 燃油车 / BMI 家族判定 请判断下列 §3 / §4.1.1 出现过的表达式：① 是否为多项式？ 若是，写出项数与次数；② 若不是，说明属于哪一家族。 出处 表达式 是否多项式 项数 / 次数 / 家族 §3.1.1 3x + 2y ____ __________ §3.1.3 s = vt（表达式 vt） ____ __________ §3.2 变式 a + b + c 三角形周长 ____ __________ §3.2 BMI ____ __________ §3.2 燃油车 ____ __________ §4.1.1 例 3 圆锥体积 ____ __________ 七、思维导图 + 三大黄金口诀 【本节思维导图】 ┌── ① 数项：项前符号是本命，常数项也是项 │ 多项式 ── ┼── ② 定次：只看「最高次项」的次数（不是相加！） §4.1.2 │ ├── ③ 排列：升幂 / 降幂选一种，首项符号别丢 │ └── 家族：单项式 + 多项式 = 整式 【三大黄金口诀 · 护身符】 ① 项的护身符：「减号是本命，常数项也算项」 —— 用「+」切分，负号跟着项走。 ② 次的护身符：「只找最高峰，各项别相加」 —— 每项独立算次数，全表最高者胜出。 ③ 排的护身符：「一字母排幂，其他字母陪；首项符号在，常数垫底队」 —— 一次只对一个字母排幂。 八、分层作业（🅰 基础巩固 · 🅱 能力拓展 · 🅲 挑战冲刺） 🅰 基础巩固（面向全体） A-1 填表：写出下列多项式的项数、次数、常数项。 多项式 项数 次数 常数项 (1) 3x - 5y + 2 ____ ____ _______ (2) a³ - 4a² + a ____ ____ _______ (3) x²y + xy² - 2xy ____ ____ _______ (4) -m + 7 ____ ____ _______ (5) πR² - πr² ____ ____ _______ (6) -x²y³ + xy - 2 ____ ____ _______ A-2 下列表达式中，多项式有＿＿＿个，单项式有＿＿＿个，非整式有＿＿＿个。 ① 3xy ② x + y ③ 5 ④ πr² - 2r ⑤ ⑥ -a²b ⑦ -m + n - 3 A-3 按 x 的降幂排列：4x - 2x² + 3 - x³ = _____________________ 🅱 能力拓展（面向多数） B-1 若多项式 3 - 2x²+ 5 是三次三项式，求 m 的值。 B-2 下列说法中正确的是（　　） A. 单项式一定是整式，多项式一定是整式 B. 常数项就是不含字母的项，一定是正数 C. 多项式 -3x² + 5x - 2 的二次项系数是 3 D. 多项式 πr² + 2r 的次数是 3 B-3 已知多项式 + 3x² - 4 是五次三项式，第一项 的次数是最高的，求 m、n 应满足的条件。 🅲 挑战冲刺（面向拔尖） 🅲-1｜梯形面积展开与升幂重排 梯形上底 a，下底 b，高 h。面积 S = (a + b)h。请： (1) 将 S 展开为多项式，写出各项、项数、次数。 (2) 按 h 的降幂排列。若 a = 3, b = 5, h = t（t 为变量），则 S 关于 t 的多项式是什么？ 🅲-2｜圆环面积（承接 §4.1.1 圆面积） 圆环外圆半径 R，内圆半径 r。请： (1) 写出圆环面积多项式 S。 (2) 写出项数、次数、常数项。 (3) 若 R = 2r，S 可化简为哪个单项式？ 🅲-3 ★★★｜整式家族大总决战（§3 → §4.1.1 → §4.1.2 全通关） 下面 8 个表达式全部来自 §3 / §4.1.1，请按整式家族树填表分类： ① 3xy ② 3x + 2y - 5 ③ ④ vt ⑤ ⑥ a + b + c ⑦ 2ab + 2bc + 2ac 家族 表达式编号 说明 / 依据 单项式 __________ __________ 多项式 __________ __________ 整式 __________ __________ 分式 __________ __________ 九、学习反思 反思维度 我的回答 ① 我能一句话说清 　 　 　 ② 三步法我记住了吗 　 　 　 ③ 我最容易错在哪 　 　 　 ④ 家族树帮我理清了什么 　 　 　 ⑤ 我把 §3 老朋友放对家了吗 　 　 　 ⑥ 我还有一个问题 　 　 　 学科网（北京）股份有限公司 $