精品解析：广东省深圳市高级中学2025-2026学年七年级下学期期末数学试卷

高级中学2025-2026学年第二学期期末测试 初一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将在答题卡写上姓名、班级，准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上． 3．考试结束，监考人员将答题卡收回． 第一部分选择题 一、选择题：（每小题只有一个选项，每小题3分，共计24分） 1. 下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【详解】解：观察可知，只有D选项的图形能找到一条直线，使图形折叠后能够完全重合，是轴对称图形，其余图形都不是轴对称图形． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，根据合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，逐项分析判断即可求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 3. 随着北斗系统全球组网的步伐，国产北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，支持北斗三号信号的22nm（即0.000000022m）工艺射频基带一体化导航定位芯片已实现规模化应用，其中0.000000022用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的数，可以用科学记数法表示为，其中，为原数左起第一个非0数前面所有0的个数． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，为原数左起第一个非0数前面所有0的个数，正确确定和的值是解题关键． 4. 端午节是我国四大传统节日之一，吃粽子是端午节的传统习俗，端午节这天小颖的妈妈买了只红豆粽和只红枣粽，这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同．小颖从中随意选一个，她选到红豆粽的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率公式直接求解即可． 【详解】解：只红豆粽和只红枣粽，这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同．小颖从中随意选一个，她选到红豆粽的概率是 故选：B． 【点睛】本题考查了概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 5. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等是解题的关键． 根据两直线平行同位角相等可得，再根据角的和差计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 6. 若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含x的一次项，即含x的一次项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵展开后不含x的一次项， ∴， 故选：C． 7. 如图，直线，直角三角板的直角顶点C在直线b上，若，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ． 8. 等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（ ） A. B. C. 或2 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义．分为腰长和底边长，两种情况进行讨论即可． 【详解】解：当为腰长时， ∵等腰的周长为20， ∴的底边长为：， ∴“优美比”为； 当为底边长时， 的腰长为：， ∴“优美比”为； 故选：D． 第二部分非选择题 二、填空题（5小题，每题3分，共15分） 9. 若，，则_____． 【答案】19 【解析】 【分析】首先把等式a+b=5的等号两边分别平方，即得a2+2ab+b2=25，然后根据题意即可得解． 【详解】解：∵a+b=5， ∴a2+2ab+b2=25， ∵ab=3， ∴a2+b2=19． 故答案为：19． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是掌握完全平方的变形公式． 10. 2026年中国国产工具已形成规模化落地态势．小明妈妈的手机共安装了款工具“豆包”、“千问”、“元宝”、“”．若小明从中随机选择1款查阅资料，恰好选择“千问”的概率是_______． 【答案】 【解析】 【详解】共有款不同的工具，随机选择款时，所有等可能的结果有种，其中恰好选择“千问”的结果有种， 根据概率公式可得，恰好选择“千问”的概率是． 11. 如图，某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题．如图所示，已知，，，则的度数是_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】作，利用平行线的性质求得，，进一步计算即可求解． 【详解】解：作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12. 实验人员为了解某型号汽车耗油量，在公路上做了试验，并将试验数据记录下来，制成下表： 汽车行驶时间（） 油箱剩余油量（） 则油箱剩余油量与汽车行驶时间之间的关系式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系，先根据表格确定汽车出发时的油箱油量，再求出汽车每小时耗油量，即可推导得到与的关系式． 【详解】解：由表格数据可得，当时，，即汽车出发时油箱原有油量． 观察表格可知，汽车每行驶，油箱剩余油量减少， 因此行驶小时后，总耗油量为， 则剩余油量． 13. 如图，某小区有一块四边形空地，其中，围墙，．现计划在围墙上分别设置健身点位M、N，从A处的休息亭走到M再到N，最后返回A．若要使行走路线的周长最小，则此时的度数是______． 【答案】##90度 【解析】 【分析】分别作点A关于的对称点E，F，连接，可得，从而得到当点E，M，N，F四点共线时，的周长最小，根据题意可得A，B，E三点共线，点A，D，F三点共线，从而得到，再由三角形内角和定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，分别作点A关于的对称点E，F，连接， ∴， ∴的周长， ∴当点E，M，N，F四点共线时，的周长最小， ∵，， ∴点A，B，E三点共线，点A，D，F三点共线， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（共6小题，共61分） 14. 计算： ． 【答案】1 【解析】 【分析】先运用有理数乘方、零次幂、负整数次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用整式的混合运算法则化简，然后将，的值代入求值即可． 【详解】解： ． 当，时，原式． 16. 如图，在中，，交于点D． （1）尺规作图：作的垂直平分线，交于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）分别以点A和点B为圆心，以大于的同样长度为半径画弧交于两点，过两个点作直线交于点E，交于点F； （2）利用余角的性质得到，又由，，可证得，即可得到． 【小问1详解】 解：如图所示，直线满足要求， 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了垂直平分线的作图和性质、三角形全等的判定和性质，熟练掌握垂直平分线的性质和三角形全等的判定是解题的关键． 17. 某校科技节启用无人机航拍活动，在操控无人机时可调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度（米）与操控无人机的时间（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： （1）图中的自变量是___________，因变量是___________；（用文字表达） （2）无人机在75米高的上空停留的时间是___________分钟； （3）在上升或下降过程中，无人机的速度为___________米／分； （4）图中___________，___________． 【答案】（1）操控无人机的时间，无人机的飞行高度 （2）5 （3）25 （4）2，15 【解析】 【分析】此题考查函数图象问题，从图象中获取信息是学习函数的基本功，要结合题意熟练掌握． （1）根据图象信息得出自变量和因变量； （2）根据图象信息得出无人机在75米高的上空停留的时间分钟； （3）根据“速度=路程÷时间”计算即可； （4）根据（3）中结果，计算时间即可． 【小问1详解】 解：横轴是时间，纵轴是高度，所以自变量是操控无人机的时间，因变量是无人机飞行的高度； 故答案为：操控无人机的时间，无人机飞行的高度； 【小问2详解】 解：无人机在75米高的上空停留的时间是（分）， 故答案为：5； 【小问3详解】 解：在上升或下降过程中，无人机的速度（米/分）， 故答案为：25． 【小问4详解】 ，， 故答案为：2；15． 18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B=50°，点D在线段BC上运动（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE=50°，DE交线段AC于点E． （1）当∠BDA＝100°时，∠BAD＝　 　°，∠DEC＝　 　°； （2）当DC＝AB时，△ABD和△DCE是否全等？请说明理由； （3）在点D的运动过程中，是否存在△ADE是等腰三角形的情形？若存在，请直接写出此时∠BDA的度数，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）30；100； （2）全等， 理由：∵∠B＝∠C＝50°， ∴∠DEC+∠EDC=180°﹣∠C＝130°， 又∵∠ADE＝50°， ∴∠ADB+∠EDC＝180°﹣∠ADE =130°， ∴∠ADB＝∠DEC， 在△ABD和△DCE中， ∴△ABD≌△DCE（AAS）． （3）存在，∠BDA的度数为100°或115°． 【解析】 【分析】（1）利用邻补角的性质、等边对等角和三角形内角和定理解题即可； （2）利用∠DEC+∠EDC＝130°，∠ADB+∠EDC＝130°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AAS即可得出△ABD≌△DCE； （3）根据等腰三角形的腰的情况分类讨论，再利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质即可分别求出∠BDA. 【详解】解：（1）∵在△BAD中，∠B＝∠50°，∠BDA＝100°，∠ADE＝50°， ∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝30°，∠EDC＝180°﹣∠BDA﹣∠ADE=30°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝50°， ∴∠DEC＝180°﹣∠C﹣∠EDC＝180°﹣50°﹣30°＝100°， 故答案为：30，100； （2）略 （3）当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数为100°或115°， ①当ED=EA时， ∴∠DAE＝∠EDA=50°， ∴∠BDA＝∠C＋∠DAE＝100°； ②当DA=DE时， ∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）＝65°， ∴∠BDA＝∠C＋∠DAE＝115°， ③当AD=AE时， ∠ADE=∠AED=50° ∵∠C=50° ∠AED是△EDC的外角 ∴∠AED＞∠C，与∠AED=50°矛盾 所以此时不成立； 综上所述：当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数为100°或115°． 【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和三角形外角的性质，掌握等边对等角、利用AAS判定两个三角形全等和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 19. “将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的A点出发，走到河旁边的C点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同侧有两个定点A、B，在直线上存在点P，使得的值最小． （1）请在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形；（保留作图痕迹） （2）应用： ①如图2，已知，其内部有一点P，，在的两边分别有C、D两点（不同于点），使的周长最小，则周长的最小值为______． ②如图3，边长为a的等边中，是上的中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是多少？此时为多少度？ 【答案】（1）如图，点P即为所求． （2）①12；②周长的最小值是， 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作出图形； （2）①分别作P关于、的对称点M、N，根据轴对称的性质得到的周长最小，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答； ②根据等边三角形的性质可得，，，据此得出，作点A关于的对称点M，连接交于，则，此时的值最小，此时，证明是等边三角形，再证明，得出，，最后得出周长的最小值，此时． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①分别作P关于、的对称点M、N，连接，交、于C、D，则的周长最小，连接、，如图： 由轴对称的性质可知，，，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长； ②连接，∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点E在射线上运动， 作点A关于的对称点M，连接交于，则， 此时的值最小，此时， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴周长的最小值是，此时点与重合，． 20. 在中，，点是射线上一点，点在线段上，连接并延长交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，于点，交于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，当，时，求的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：如图2，作于N， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （3）238 【解析】 【分析】（1）由等边对等角，三角形内角和定理可得，，由，，可得，根据，，可得，进而结论得证； （2）作于N，证明，则，由，可得，证明，则，，由，可得，则； （3）设，由（2）知，，，则，，证明，则，可求得，则，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 证明：略 【小问2详解】 证明：略 【小问3详解】 解：如图3， 设，由（2）知，，，则，， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴的面积为238． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高级中学2025-2026学年第二学期期末测试 初一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将在答题卡写上姓名、班级，准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上． 3．考试结束，监考人员将答题卡收回． 第一部分选择题 一、选择题：（每小题只有一个选项，每小题3分，共计24分） 1. 下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 随着北斗系统全球组网的步伐，国产北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，支持北斗三号信号的22nm（即0.000000022m）工艺射频基带一体化导航定位芯片已实现规模化应用，其中0.000000022用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 端午节是我国四大传统节日之一，吃粽子是端午节的传统习俗，端午节这天小颖的妈妈买了只红豆粽和只红枣粽，这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同．小颖从中随意选一个，她选到红豆粽的概率是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线，直角三角板的直角顶点C在直线b上，若，则度数为（ ） A. B. C. D. 8. 等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（ ） A. B. C. 或2 D. 或 第二部分非选择题 二、填空题（5小题，每题3分，共15分） 9. 若，，则_____． 10. 2026年中国国产工具已形成规模化落地态势．小明妈妈的手机共安装了款工具“豆包”、“千问”、“元宝”、“”．若小明从中随机选择1款查阅资料，恰好选择“千问”的概率是_______． 11. 如图，某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题．如图所示，已知，，，则的度数是_______． 12. 实验人员为了解某型号汽车耗油量，在公路上做了试验，并将试验数据记录下来，制成下表： 汽车行驶时间（） 油箱剩余油量（） 则油箱剩余油量与汽车行驶时间之间的关系式是______． 13. 如图，某小区有一块四边形空地，其中，围墙，．现计划在围墙上分别设置健身点位M、N，从A处的休息亭走到M再到N，最后返回A．若要使行走路线的周长最小，则此时的度数是______． 三、解答题（共6小题，共61分） 14. 计算： ． 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 如图，在中，，交于点D． （1）尺规作图：作的垂直平分线，交于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，求证：． 17. 某校科技节启用无人机航拍活动，在操控无人机时可调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度（米）与操控无人机的时间（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： （1）图中的自变量是___________，因变量是___________；（用文字表达） （2）无人机在75米高的上空停留的时间是___________分钟； （3）在上升或下降过程中，无人机的速度为___________米／分； （4）图中___________，___________． 18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B=50°，点D在线段BC上运动（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE=50°，DE交线段AC于点E． （1）当∠BDA＝100°时，∠BAD＝　 　°，∠DEC＝　 　°； （2）当DC＝AB时，△ABD和△DCE是否全等？请说明理由； （3）在点D的运动过程中，是否存在△ADE是等腰三角形的情形？若存在，请直接写出此时∠BDA的度数，若不存在，请说明理由． 19. “将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的A点出发，走到河旁边的C点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同侧有两个定点A、B，在直线上存在点P，使得的值最小． （1）请在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形；（保留作图痕迹） （2）应用： ①如图2，已知，其内部有一点P，，在的两边分别有C、D两点（不同于点），使的周长最小，则周长的最小值为______． ②如图3，边长为a的等边中，是上的中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是多少？此时为多少度？ 20. 在中，，点是射线上一点，点在线段上，连接并延长交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，于点，交于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，当，时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $