精品解析：广东省深圳大学附属中学2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年广东省深圳大学附中七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图案中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示中国每年浪费食物总量折合粮食大约是3010000000人一年的口粮，用科学记数法表示3010000000为（　　） A. 3.01×109 B. 0.301×109 C. 3.1×108 D. 301×107 3. 下列计算正确是（ ） A. B. C D. 4. 昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（ ） A. B. C. D. 5. 光线在不同介质中传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，，，则的度数为（） A. B. C. D. 6. 下列事件中，是必然事件的是（　　） A. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 B. 同一平面内三条直线相交，交点的个数为3个 C. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6 D. 用长度分别为的三根小木棒摆成一个三角形 7. 如图，中，，E为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为D，若，，．记的面积为，的面积为，则的值为（ ）． A. 56 B. 66 C. 74 D. 84 8. 如图，在四边形中，，在上分别找一点M，N，使得的周长最小时，则的度数为（　　） A. B. C. D. 二、填空题： 9. 已知a+b＝3，a2+b2＝6，则ab＝_____． 10. 一个长方形的长是宽的2倍，写出这个矩形的面积关于宽的函数表达式_________． 11. 在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数为__________． 12. 中，O是两内角平分线的交点，，O到的距离是______． 13. 如图，在矩形中，，对角线，点，分别是线段，上的点，将沿直线折叠，点，分别落在点，处．当点落在折线上，且时，的长为______． 三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 计算： （1）计算： （2）先化简，再求值；其中 15. 小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 15 14 23 19 15 14 （1）计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率； （2）小明说：“根据这次试验结果可知，在每个掷骰子试验中出现3点朝上的概率最大．”小亮说：“若投掷1000次，则出现5点朝上的次数正好是150次．”小明和小亮的说法正确吗？为什么？ （3）小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数小于5的概率． 16. “五一”节假期间， 小亮一家到某度假村度假．小亮和他妈妈坐公交车先出发，他爸爸自驾车沿着相同的道路后出发，他爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村，如图是他们离家的距离与小亮离家的时间的关系图，请根据图回答下列问题： （1）小亮和妈妈坐公交车的速度为 ；爸爸自驾的速度为 （2）小亮从家到度假村期间，他离家的距离与离家的时间的关系式为 ；小亮从家到度假村的路途中，当他与他爸爸相遇时，离家的距离是 （3）当小亮和妈妈与他爸爸第次相遇后，一直到全家会和为止，为多少时小亮和妈妈与爸爸相距? 17. 下面是小芳同学设计的“过直线外一点作这条直线垂线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线l及直线l外一点P ． 求作：直线l的垂线，使它经过点P ． 作法：如图2， ① 以P为圆心，大于P到直线l的距离为半径作弧，交直线l于A、B两点； ② 连接PA和PB； ③ 作∠APB的角平分线PQ，交直线l于点Q． ④ 作直线PQ ． ∴ 直线PQ就是所求的直线． 根据小芳设计的尺规作图过程，解答下列问题： （1）使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）； （2）补全下面证明过程： 证明：∵ PQ平分∠APB， ∴ ∠APQ=∠QPB． 又∵ PA= ，PQ=PQ， ∴ △APQ≌△BPQ（ ）（填推理依据）． ∴ ∠PQA=∠PQB（ ）（填推理依据）． 又∵∠PQA ＋∠PQB ＝ 180°， ∴ ∠PQA=∠PQB ＝ 90°． ∴ PQ ⊥ l ． 18. 【操作探究】 （1）如图① ，四边形是长方形纸片，，点E，F分别在边，上，以为折痕折叠纸片，点A，B的对应点分别是点，，与相交于点G．探究和的数量关系，并说明理由； （2）如图② ，在（1）中折叠的基础上，再将纸片沿折叠，点C，D的对应点分别是点，，使得经过点E．探究两次折痕和的位置关系，并说明理由； 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，若的度数比的度数大，则的度数为多少度 19. 定义：如果，那么称为的布谷数，记为． 例如：因为，所以， （1）根据布谷数的定义填空： 因为，所以__________． （2）布谷数有如下运算性质：若正整数，则，． 根据运算性质解答下列各题： ①已知，求的值； ②已知，求． 20. 【问题初探】（1）数学课上，李老师给出在中，已知，求证：． 证明：作的平分线交于点D． ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴． 结论：有两个角相等的三角形是等腰三角形 接着出示了这样一个问题： 如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，并应用了李老师前面证明的结论得出此题结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答． 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】（3）如图5，在中，，平分，点E在线段的延长线上，过点E作，交于点N，交于点D，且， ，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省深圳大学附中七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图案中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】A．是轴对称图形，故本选项不合题意； B．是轴对称图形，故本选项不合题意； C．是轴对称图形，故本选项不合题意； D．不是轴对称图形，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. “厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示中国每年浪费食物总量折合粮食大约是3010000000人一年的口粮，用科学记数法表示3010000000为（　　） A. 3.01×109 B. 0.301×109 C. 3.1×108 D. 301×107 【答案】A 【解析】 【分析】直接用科学记数法的定义，写成的形式，其中． 【详解】3010000000= ． 故选A． 【点睛】本题考查了正整数指数科学记数法，解决本题的关键是熟练运用定义，对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成 的形式，其中（n是比原整数位数少1的数）． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式的加减乘除运算法则逐个分析即可. 【详解】解：选项A：，故选项A错误； 选项B：，故选项B错误； 选项C：，故选项C错误； 选项D：，故选项D正确 故答案为:D. 【点睛】本题考查了整式的加减乘除运算法则，熟练掌握运算法则及公式是解决此类题的关键. 4. 昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最短路径，先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，此时，满足A、B两小区到学校的距离之和最小，即可作答． 【详解】解：∵要使A、B两小区到学校的距离之和最小， ∴先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，学校C的位置如图所示： ∴此时， 故选：C． 5. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，，，则的度数为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．根据光在水中是平行的线，由平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 故选∶D． 6. 下列事件中，是必然事件的是（　　） A. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 B. 同一平面内三条直线相交，交点的个数为3个 C. 掷一枚质地均匀骰子，掷出的点数不超过6 D. 用长度分别为的三根小木棒摆成一个三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、车辆随机到达一个路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； B、同一平面内三条直线相交，交点的个数为3个，是随机事件，不符合题意； C、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6，是必然事件，符合题意； D、用长度分别为的三根小木棒摆成一个三角形，是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 7. 如图，中，，E为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为D，若，，．记的面积为，的面积为，则的值为（ ）． A. 56 B. 66 C. 74 D. 84 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形的面积．解题的关键是利用“割补法”将两三角形的面积差转化为另外两个三角形的面积差． 先利用勾股定理求得的长，然后再求得的长，根据题意推出再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵ ∴， 由知，又 ∴ 故选：B． 8. 如图，在四边形中，，在上分别找一点M，N，使得的周长最小时，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活应用轴对称的性质是解题的关键． 作A点关于的对称点E，作A点关于的对称点F，连接交于点M，交于点N，连接，根据轴对称图形的性质得出，再由三角形内角和定理及等量代换求解即可． 【详解】解：作A点关于的对称点E，作A点关于的对称点F，连接交于点M，交于点N，连接， ∵， ∴，此时周长最小， 由对称可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题： 9. 已知a+b＝3，a2+b2＝6，则ab＝_____． 【答案】． 【解析】 【分析】根据完全平方公式的结构特点解答即可． 【详解】解：∵a+b＝3，a2+b2＝6， ∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝32﹣6＝3， ∴ab＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式乘法的完全平方公式，属于基础题型，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键． 10. 一个长方形的长是宽的2倍，写出这个矩形的面积关于宽的函数表达式_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据长方形的面积公式写出函数表达式即可． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查用函数表达式表示变量之间的关系，解题的关键是掌握长方形的面积公式． 11. 在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数为__________． 【答案】22 【解析】 【分析】袋中黑球的个数为，利用概率公式得到，然后利用比例性质求出即可． 【详解】解：设袋中黑球个数为， 根据题意得，解得， 即袋中黑球的个数为个． 故答案为：22． 【点睛】本题主要考查概率的计算问题，关键在于根据题意对概率公式的应用． 12. 中，O是两内角平分线的交点，，O到的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理、角平分线的性质，连接，过点O作于D，于E，于F，根据勾股定理的逆定理得到，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作于D，于E，于F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵O是两内角平分线的交点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 则O到的距离是2， 故答案为：2． 13. 如图，在矩形中，，对角线，点，分别是线段，上的点，将沿直线折叠，点，分别落在点，处．当点落在折线上，且时，的长为______． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列出方程是解题的关键．分两种情况讨论：当点落在上时，当点落在上时，由折叠的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ，， ， 当点落在上时， 将沿直线折叠， ， ， ， ； 当点落在上时，如图2，连接，过点作于， ， ， ， ， ， 将沿直线折叠， ， ， ， ， 综上所述：的长为2或． 故答案为：2或． 三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 计算： （1）计算： （2）先化简，再求值；其中 【答案】（1）19 （2），7 【解析】 【分析】本体考查了整式运算，零指数幂和负指数幂等知识，解题的关键是： （1）根据负整数指数幂的意义，零指数幂的意义化简，同时逆用同底数幂相乘法则，逆用积的乘方法则计算即可； （2）先根据完全平方公式，平方差公式，多项式乘以多项式法则以及合并同类项法则化简，然后把x的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 15. 小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 15 14 23 19 15 14 （1）计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率； （2）小明说：“根据这次试验结果可知，在每个掷骰子试验中出现3点朝上的概率最大．”小亮说：“若投掷1000次，则出现5点朝上的次数正好是150次．”小明和小亮的说法正确吗？为什么？ （3）小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数小于5的概率． 【答案】（1）； （2）错误，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了模拟试验，概率公式解题的关键是掌握试验中的概率等于所求情况数与总情况数之比；实际概率是经过多次试验后得到的一个接近值． （1）由共做了100次试验，“1点朝上”和“6点朝上”的次数分别为15，14，即可求得“1点朝上”和“6点朝上”的频率． （2）由大量重复实验中频率可以估计概率，可得两位同学的说法不正确； （3）利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解:“1点朝上”的频率为；“6点朝上”的频率为； 【小问2详解】 解：两位同学的说法均错误； 小明的说法错误，因为实验100次的次数较少，只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近，每个点数概率都会趋于相同； 小亮的判断是错误，因为事件发生具有随机性，若投掷1000次，则出现5点朝上的次数不一定正好是150次； 【小问3详解】 解：朝上的点数小于5的概率． 16. “五一”节假期间， 小亮一家到某度假村度假．小亮和他妈妈坐公交车先出发，他爸爸自驾车沿着相同的道路后出发，他爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村，如图是他们离家的距离与小亮离家的时间的关系图，请根据图回答下列问题： （1）小亮和妈妈坐公交车的速度为 ；爸爸自驾的速度为 （2）小亮从家到度假村期间，他离家的距离与离家的时间的关系式为 ；小亮从家到度假村的路途中，当他与他爸爸相遇时，离家的距离是 （3）当小亮和妈妈与他爸爸第次相遇后，一直到全家会和为止，为多少时小亮和妈妈与爸爸相距? 【答案】（1）20，60；（2），30或45；（3）或时，小亮和妈妈与爸爸相距 【解析】 【分析】（1）根据函数图象可以分别求得小亮和妈妈坐公交车的速度和爸爸自驾的速度； （2）根据题意可以求得相应的函数解析式； （3）根据函数图象和各段对应的函数解析式可以解答本题． 【详解】解：（1）由图可得， 小亮和妈妈坐公交车的速度为：60÷3=20km/h，爸爸自驾的速度为：60×（2-1）=60km/h， 故答案为：20，60； （2）∵小亮和妈妈坐公交车的速度为20km/h， ∴小亮从家到度假村期间，他离家的距离s（km）与离家的时间（h）的关系式为：s=20t， 当1≤t≤2时，设小亮爸爸离家的距离s（km）与离家的时间（h）的关系式为：s=kt+b，则，得， 即当1≤t≤2时，小亮爸爸离家的距离s（km）与离家的时间（h）的关系式为：s=60t-60， 当2≤t≤3时，设小亮爸爸离家的距离s（km）与离家的时间（h）的关系式为：s=ct+d，则 ，得， 即当2≤t≤3时，小亮爸爸离家的距离s（km）与离家的时间（h）的关系式为：s=-60t+180， 令20t=60t-60，得t=1.5，此时，s=20×1.5=30， 20t=-60t+180，得t=2.25，此时s=20×2.25=45， 故答案为：，30或45； （3）解：由题意：第2次相遇时，小明离家，离家的时间（h）为45÷20=h， ①当爸爸在回家途中当≤t≤3时，20t-（-60t+180）=10，解得，， 即小明离家，小亮和妈妈与爸爸相距 ②当爸爸再次返回，3≤t≤4时，设小亮爸爸离家的距离s（km）与离家的时间（h）的关系式为：s=et+f，则 ，得， ∴当3≤t≤4时，小亮爸爸离家的距离s（km）与离家的时间（h）的关系式为： s=60t-180， 令60-（60t-180）=10，得， 即小明离家，小亮和妈妈与爸爸相距， 综上：或时，小亮和妈妈与爸爸相距． 【点睛】本题考查函数图象以及常量与变量、函数关系式，利用函数图象获取正确信息是解题关键． 17. 下面是小芳同学设计的“过直线外一点作这条直线垂线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线l及直线l外一点P ． 求作：直线l的垂线，使它经过点P ． 作法：如图2， ① 以P为圆心，大于P到直线l的距离为半径作弧，交直线l于A、B两点； ② 连接PA和PB； ③ 作∠APB的角平分线PQ，交直线l于点Q． ④ 作直线PQ ． ∴ 直线PQ就是所求的直线． 根据小芳设计的尺规作图过程，解答下列问题： （1）使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）； （2）补全下面证明过程： 证明：∵ PQ平分∠APB， ∴ ∠APQ=∠QPB． 又∵ PA= ，PQ=PQ， ∴ △APQ≌△BPQ（ ）（填推理依据）． ∴ ∠PQA=∠PQB（ ）（填推理依据）． 又∵∠PQA ＋∠PQB ＝ 180°， ∴ ∠PQA=∠PQB ＝ 90°． ∴ PQ ⊥ l ． 【答案】（1）见详解；（2）PB，两边及其夹角相等的两三角形全等，全等三角形对应角相等． 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图的步骤先做出PA，PB，然后再作出∠APQ的角平分线PQ即作出所求图； （2）根据作图过程知PA=PB，再根据三角形全等的判定定理知所用到的判定定理和性质． 【详解】（1）如图： （2）PB；两边及其夹角相等的两三角形全等；全等三角形对应角相等． 【点睛】此题考查学生的动手能力——尺规作图中角平分线和垂直平分线的作法，涉及到三角形全等的判定和性质，难度一般． 18. 【操作探究】 （1）如图① ，四边形是长方形纸片，，点E，F分别在边，上，以为折痕折叠纸片，点A，B的对应点分别是点，，与相交于点G．探究和的数量关系，并说明理由； （2）如图② ，在（1）中折叠的基础上，再将纸片沿折叠，点C，D的对应点分别是点，，使得经过点E．探究两次折痕和的位置关系，并说明理由； 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，若的度数比的度数大，则的度数为多少度 【答案】（1），理由见解析（2）理由见解析（3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质、折叠性质的综合应用，解题关键是利用这些性质找出角之间的等量关系来求解数量关系和位置关系． （1）利用长方形对边平行性质，得到 ，再结合折叠后对应角相等，即 ，通过等量代换得出结论 ． （2）先依据（1）的结论 ，再根据长方形对边平行推出 ，然后结合两次折叠中角的平分关系，得到 ，最后根据内错角相等判定关系． （3）设 ，根据已知条件表示出 ，利用（1）中角的关系及平行线同旁内角互补列出方程求解 ，再根据折叠性质求出 ，最后利用平行线性质得出答案 ． 【详解】（1）．理由： ∵四边形是长方形， ∴． ∴ ． ∵纸片以为折痕折叠， ∴ ． ∴ ， （2） ．理由： 由（1）已证得 ． ∵ ， ∴ ， ∵纸片以为折痕折叠，纸片沿折叠， ∴ ， ． ∴， ∴ （3）设， 的度数比的度数大， ∴． 由（1）可知 ∵． ∴ ． ∵． ∴ 即 解得，即． ∵纸片以为折痕折叠， ∴， ∵， ∴ ． 19. 定义：如果，那么称为的布谷数，记为． 例如：因为，所以， （1）根据布谷数的定义填空： 因为，所以__________． （2）布谷数有如下运算性质：若为正整数，则，． 根据运算性质解答下列各题： ①已知，求的值； ②已知，求． 【答案】（1）10；（2）①；②3.807 【解析】 【分析】（1）根据布谷数的定义，得出答案； （2）①根据布谷数的运算性质分别进行计算即可； ②根据题目中的运算性质分别进行计算即可． 【详解】（1）10； （2）①； ②g（14）=g（2×7）=g（2）+g（7）， ∵g（7）=2.807，g（2）=1， ∴g（14）=3.807． 【点睛】本题考查有理数的乘方，理解布谷数的意义，掌握布谷数的性质是正确解答的关键． 20. 【问题初探】（1）数学课上，李老师给出在中，已知，求证：． 证明：作平分线交于点D． ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴． 结论：有两个角相等的三角形是等腰三角形 接着出示了这样一个问题： 如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，并应用了李老师前面证明的结论得出此题结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答． 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】（3）如图5，在中，，平分，点E在线段的延长线上，过点E作，交于点N，交于点D，且， ，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）①在线段上截取，使，连接，证明，得到，由平行线的性质得到；过点A作平分交于H，证明，得到，则，由题设结论得：，则可证明； ②过点E作，交的延长线于点M，如图3所示：证明，得到，同理可得，则可证明，由题设结论得：，则； （2）延长到H，使，连接，如图4所示：证明，得到，再证明，由题设结论得：，则； （3）过点C作，交的延长线于点K，如图5所示：先导角证明，得到，则，证明，得到，则，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）①证明：在线段上截取，使，连接，如图2所示： 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②证明：过点E作，交的延长线于点M，如图3所示： ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得， 又∵， ∴， 由题设结论得：， ∴； （2）证明：延长到H，使，连接，如图4所示： ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 由题设结论得：， ∴； （3）解：过点C作，交延长线于点K，如图5所示： ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $