第22章《函数》暑假复习与巩固练习（知识框架+知识点复习+易错点提醒+知识点练习）2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版八年级上册预习 第22章 函数 本章复习目标 结合生活实例理解常量、变量与函数的核心概念，掌握判断函数关系的本质标准，能准确求解不同情境下自变量的取值范围与对应函数值，发展数学抽象核心素养。 掌握函数的三种表示方法，能熟练用描点法绘制简单函数图象，能从图象中提取变量变化规律与关键信息，强化几何直观与数据分析能力。 能运用函数知识刻画生活中的分段计费、行程变化等真实问题，建立函数模型解决实际场景问题，体会数学的应用价值，提升数学建模与应用意识。 本章知识框架 知识点复习 22.1 函数的概念 知识点 1：变量与常量 在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做___变量___，数值始终保持不变的量叫做___常量___。 注意：常量与变量是相对变化过程而言的，同一个量在不同情境下，可能是常量，也可能是变量。 知识点 2：函数的定义 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有___唯一___确定的值与其对应，那么我们就说x是___自变量___，y是x的___函数___。 判断函数关系的核心标准：① 存在两个变量；② 自变量每取一个确定值，函数值有且只有一个对应值（“一对一”“多对一” 是函数，“一对多” 不是函数）。 知识点 3：自变量的取值范围 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围，常见类型如下： 整式型：函数解析式是整式时，自变量的取值范围是__全体实数____； 分式型：函数解析式是分式时，自变量的取值范围是使___分母___不为 0 的实数； 二次根式型：函数解析式含二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数___大于或等于0___的实数； 综合型：同时包含多种形式时，需列不等式组求解公共解集； 实际问题型：除满足解析式有意义外，还必须使___实际问题___有意义（如长度、时间为非负数，人数为正整数等）。 知识点 4：函数值 对于自变量x在取值范围内的某个确定值a，函数y对应的取值叫做当x=a时的___函数值___。 求函数值的本质：将自变量的取值代入解析式，通过代数运算求出对应结果。 22.2 函数的表示方法 知识点 1：函数的三种表示方法 解析式法：用含自变量的数学式子表示函数关系的方法，优点是__关系准确清晰____，便于计算与理论分析； 列表法：把自变量x的一系列取值和对应的函数值y列成表格，优点是___数据直观对应___，可直接读取对应数值； 图象法：用平面直角坐标系中的图象表示函数关系，优点是___形象直观___，能直观呈现变量的变化趋势。 三种表示方法各有优势，实际应用中常结合使用，实现数形结合分析问题。 知识点 2：描点法画函数图象 画函数图象的一般步骤： ___列表___：取自变量的一些值，算出对应的函数值，列成表格； ___描点__：在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，对应函数值为纵坐标，描出表格中的点； __连线___：按照横坐标由小到大的顺序，用平滑的曲线把所描的点依次连接起来。 知识点 3：从函数图象读取信息 解读函数图象的核心要点： 先明确横、纵轴分别代表哪个变量，理解图象的实际背景； 关注图象的起点、终点、最高点、最低点、交点，对应变化过程的特殊状态； 趋势判断：图象从左向右上升，表示y随x的增大而___增大___；图象从左向右下降，表示y随x的增大而___减小___；图象水平，表示y不随x变化。 知识点 4：分段函数 在不同的自变量取值范围内，函数有不同的解析式，这样的函数叫做___分段___函数。 生活中的阶梯水费、阶梯电价、出租车计费等问题，都可以用分段函数模型来刻画。 注意：分段函数是一个函数，不是多个函数；计算函数值时，要先判断自变量属于哪一段区间，再代入对应解析式。 本章核心数学思想 数形结合思想：通过函数解析式与图象的相互转化，从数与形两个维度分析变量关系，是本章的核心思想方法。 数学建模思想：将生活中的行程、计费、工程等实际问题，抽象为函数关系，用数学方法解决真实问题。 分类讨论思想：求解自变量取值范围、分析分段函数时，根据不同条件分类讨论，确保结果完整无遗漏。 抽象概括思想：从具体的生活实例中，抽象出变量与函数的一般概念，实现从具象到抽象的认知升级。 本章易错点提醒 函数概念理解偏差：忽略 “唯一对应” 的核心要求，误将 “一对多” 的关系判定为函数。例如y2=x中，y不是x的函数，因为一个正数x对应两个y值。 自变量取值范围漏条件：综合型解析式只考虑部分限制条件，忽略分母不为 0、被开方数非负的叠加要求；实际问题忽略变量的现实意义。 描点画图不规范：连线时用折线替代平滑曲线，或未按自变量从小到大的顺序连接，导致图象趋势错误。 图象信息误读：未看清横纵轴的单位与意义，错误判断变量的变化趋势与关键节点的数值。 分段函数分段不清：计算时错用区间对应的解析式，忽略分段点的取值归属。 知识点练习 一、 选择题 1.下列各图中，不能表示y是x的函数的是（        ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：对于函数，给定一个自变量x的值，y都有唯一的值与其对应， A, C, D能表示y是x的函数，都不符合题意，B不能表示y是x的函数，符合题意. 2.健康骑行，快乐同行．周末，淇淇从家出发，以的速度匀速骑行，用时骑行，自变量是（       ） A. B.用时 C.骑行 D.用时和骑行 【答案】 B 【解析】 先根据路程、速度、时间的关系得到函数关系式，再结合自变量的定义即可判断. 【解答】 解：∵ 路程 = 速度 × 时间，速度为定值10km/h， ∴ 得到关系式y = 10x， 其中10是常量，y随x的变化而变化， 根据函数定义，x是自变量，y是因变量， 因此自变量是用时xh. 3.某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）： 温度/ 0 10 20 30 声速/（） 318 324 330 336 342 348 下列说法错误的是（       ） A.在这个变化中，自变量是温度 B.温度越高，声速越快 C.当空气温度为时，声速为 D.当温度每升高，声速增加 【答案】 D 【解析】 本题主要考查了自变量，因变量，用表格表示函数关系，从表格抽象出自变量与因变量关系是解题的关键. 根据自变量、因变量的概念，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可. 【解答】 解：A、 在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速， 说法正确，故此选项不符合题意； B、 根据表格中数据，可得温度越低，声速越慢，温度越高，声速越快， 说法正确，故此选项不符合题意； C、根据表格中数据可知，当空气温度为20℃时，声速为342m/s， 说法正确，故此选项不符合题意； D、根据表格中数据可知： 324-318=6(m/s)，330-324=6(m/s)，336-330=6(m/s)，342-336=6(m/s)，348-342=6(m/s) ，当温度每升高10℃，声速增加6m/s， 说法不正确，故此选项符合题意； 故选：D. 4.小明周末从家骑车去图书馆看书，家距图书馆，骑车的平均速度为，小时后小明距图书馆，则与之间的函数关系式为（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解： 骑车的平均速度为 ， 行驶的路程为 ， 小明距图书馆的路程 等于家到图书馆的总路程减去已经骑行的路程， ，即 5.如图，将“一个圆柱形的空玻璃杯固定在一个与其形状相同的无水鱼缸内”看作一个容器．现对准玻璃杯杯口匀速注水，直到容器注满为止，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部中央．则能刻画容器最高水位h（厘米）与注水时间t（分）的函数关系的图象大致是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题考查了一次函数的应用，熟练掌握函数的图象是解题关键．设圆柱形的空玻璃杯的高度为a厘米，注入水的速度为v厘米/分，分三种情况： ①在将水匀速注满圆柱形的空玻璃杯前、②在水注满圆柱形的玻璃杯后，且水位未超过圆柱形的玻璃杯的高度前、③当水位超过圆柱形的玻璃杯的高度后，据此求解即可得． 【解答】 解：设圆柱形的空玻璃杯的高度为a厘米，注入水的速度为v厘米/分， 由题意可知，①在将水匀速注满圆柱形的空玻璃杯前，，是一条经过原点的直线的一部分； ②在水注满圆柱形的玻璃杯后，且水位未超过圆柱形的玻璃杯的高度前，，是平行于x轴的直线的一段； ③当水位超过圆柱形的玻璃杯的高度后，容器最高水位开始匀速上升，但由于鱼缸的底面大于玻璃杯的底面，所以此时水位匀速上升的速度比开始慢，h与t的函数图象是直线的一部分； 故选：A. 6.下列关于变量关系的四种表述中，错误的是（        ）．     1 2 3 8 3 2 A.上图中，是的函数 B.式子中，是的函数 C.观察表中对应关系，是的函数 D.平面直角坐标系中一点的纵坐标是该点到原点的距离的函数 【答案】 D 【解析】 根据函数定义：在一个变化过程中，有两个变量x、y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数来判断四个选项. 【解答】 解：选项A、图像满足垂直x轴的直线与图像最多只有一个交点，即对每一个确定的x，仅有唯一y与之对应，符合函数定义，因此y是x的函数，A正确； 选项B、式子(x)，任取一个非负数x，开算术平方根后只会得到唯一的y，满足函数定义，y是x的函数，B正确; 选项C、观察表格：每一个m的值，都只对应唯一一个n值，满足函数定义，n是m的函数，C正确; 选项D、举反例：点(3,4)和点(3,-4)，两点到原点的距离s均为，即当距离s=5时，纵坐标y有4和-4两个不同的值与之对应，不满足“一个s对应唯一y”的函数定义，因此纵坐标y不是距离s的函数，D错误. 7.小明和妈妈同时出门沿同一条路线散步，走路较快的小明到公共阅报栏看了一会儿报，待妈妈到达后一起散步回家．他们离家的距离s（单位：m）和散步时间t（单位：）之间的函数关系图象如图所示．根据图中的信息，下列说法中，错误的是（        ） A.公共阅报栏距离小明家 B.妈妈散步的速度始终不变 C.出门时，小明的速度比妈妈快 D.小明看报的时长为 【答案】 C 【解析】 先分析s-t图象的物理意义，纵轴最大距离对应阅报栏离家的距离，可直接判断A选项相关信息。分析妈妈的运动图像：0到15min是去程，15到30min是返程，因为匀速运动的s-t图象为直线，所以可通过计算两段的速度判断是否相等，验证B选项。计算小明出门后到10min的速度，以及妈妈0到15min去程的速度，两者作差可验证C选项。小明10min到达阅报栏，妈妈15min到达阅报栏，两者的时间差即为小明看报的时长，可验证D选项。 【解答】 解：选项A：由图象可知，小明到达公共阅报栏时，离家距离为800m，因此描述正确。 选项B：妈妈的s-t图象为两段线段： 走800m到阅报栏用时15min， 回家走800m也用时15min， 速度始终为 m/min，速度不变，描述正确。 选项C：小明出发速度为 ， 妈妈速度为 ， 速度差为 ，描述错误。 选项D：小明10min到达阅报栏， 妈妈15min到达阅报栏， 小明看报时长为 ，描述正确。 综上，错误的是选项C。 8.某厂今年前五个月生产某种产品的总产量Q（件）与时间t（月）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（        ） A.1月至3月每月产量不变，4、5两月停止生产 B.1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月停止生产 C.1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月每月产量逐月减少 D.1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月每月产量与3月持平 【答案】 A 【解析】 本题是一个分段函数1，2，3月该产品的总产量 Q(件)与时间t(月)的函数图象是正比例函数图象，4，5月总产量 Q(件)没有变化. 【解答】 解：根据图象得：1月至3月，该产品的总产量 Q(件)与时间t(月)的函数图象是正比例函数图象，所以每月产量是一样的，4月至5月，产品的总产量 Q(件)没有变化，即4月，5月停止了生产. 故A符合题意. 9.根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为5时，输出的y的值为7，则输入x的值为2时，输出的y的值为（       ） A.0 B. C. D. 【答案】 D 【解析】 直接利用已知运算公式得出b的值，进而代入求出x=2时对应的值． 【解答】 解：输入的x的值为5时，输出的y的值为7， ， 解得：， 若输入x的值是2，则输出的y的值是：. 10.已知函数，则当函数值时，自变量的值是     A.或 B. C. D.或 【答案】 A 【解析】 把代入函数，即可求得的值. 【解答】 把代入函数得， 先代入上边的方程得； 再代入下边的方程得， 综上，的值为或． 故选 二、 填空题 11.“早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，气温随时间的变化而变化，其中自变量是____时间____． 【答案】 时间 【解析】 根据定义，主动发生变化的量是自变量，随自变量变化而变化的量是因变量，据此即可判断求解． 【解答】 解：由题意可知，气温随时间的变化而变化，其中时间是主动变化的量，气温是随时间变化的量，因此自变量是时间． 12.在函数中，自变量x的取值范围是___且_____． 【答案】 且. 【解析】 根据分式与二次根式有意义的条件可得答案. 【解答】 解：根据题意得：且， 解得：且. 故答案为：且. 13.热力学温度与摄氏温度之间有如下数量关系：，，当时，相应的热力学温度是____________． 【答案】 【解析】 将代入相应的关系式，即可得到的值，本题得以解决． 【解答】 解： ， 当时，， 故答案为：．  14.自变量x与函数y的关系如图所示，当x增加1时，y增加___2_____． 【答案】 2 【解析】 本题考查了求自变量的值或函数值，根据自变量x与函数y的关系图，得y=2x+1，再分析当x增加1时，y1=y+2，即可作答. 【解答】 解：依题意，y=2x+1， 则当x增加1时，y1=2(x+1)+1=2x+3=2x+1+2， 此时y1=y+2， 即当x增加1时，y增加2， 故答案为：2 15.某班同学在探究弹簧的长度随外力的变化关系时，使用50克的砝码进行实验，记录得到的相应数据如表，则弹簧的长度（厘米）与砝码的个数（个）之间的函数关系式是________（，且为整数） 砝码的个数 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧长度（厘米） 5 6 7 8 9 10 11 12 【答案】 【解析】 观察表格中两个变量的变化规律，砝码个数x每增加1，弹簧长度y增加1厘米，x=0时y=5，据此可推导得到函数关系式. 【解答】 解：根据表格数据，当x=0时，y=5，当砝码个数x每增加1，弹簧长度y增加1厘米， 因此弹簧长度y与砝码个数x之间的函数关系式为： 16.某快递公司每天上午点至点为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与工作时间（分）之间的函数图像如图所示． （1）开始工作分钟后，甲仓库内快件数量为___130_____件； （2）乙仓库每分钟派送快件数量为___4_____件； （3）上午点时，甲仓库的快件数量为____400____件． 【答案】 【解析】 （1）根据图象可知分钟后，甲仓库内快件数量为件，据此可得甲仓库揽收快件的速度，进而得出时，甲仓库内快件数；由图象可知分钟，乙仓库派送快件数量为件，可得乙仓库每分钟派送快件的数量， （2）根据图象可知分钟后，甲仓库内快件数量为件，据此可得甲仓库揽收快件的速度，进而得出时，甲仓库内快件数；由图象可知分钟，乙仓库派送快件数量为件，可得乙仓库每分钟派送快件的数量， （3）根据图象可知分钟后，甲仓库内快件数量为件，据此可得甲仓库揽收快件的速度，进而得出时，甲仓库内快件数；由图象可知分钟，乙仓库派送快件数量为件，可得乙仓库每分钟派送快件的数量， 【解答】 （1）解：由题意结合图像可知：分钟后，甲仓库内快件数量为件， 故答案为：. （2）（分），即分钟乙仓库派送快件数量为件， 所以乙仓库每分钟派送快件的数量为：（件）， 故答案为：. （3）甲仓库揽收快件的速度为：（件/分）， 所以时，甲仓库内快件数为：（件）， 故答案为：. 三、 解答题   17.把一个长，宽的长方形的宽增加，长不变，长方形的面积随x的变化而变化． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）若增加宽度后的长方形的面积为，求x的值． 【答案】 【解析】 （1）利用长方形的面积公式，列出函数关系式即可. （2）求出y=540时的自变量的值即可. 【解答】 （1）解：由题意， （2）解：当y=540时，20x+180=540， 解得x=18. 18.某网店销售一款护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销售单价为60元时，每星期卖出100个，如果调整销售单价，每降价1元，每星期就可多卖出2个．现网店决定降价销售，设销售单价为元，每星期的销售量为个． （1）求关于的函数解析式，并指出自变量的取值范围； （2）当销售单价为52元时，求每星期的销售总额． 【答案】 ，自变量的取值范围是 每星期的销售总额为6032元 【解析】 （1）根据销售量等于60加上每星期多买的个数可得关系式，再根据得出自变量的取值范围； （2）先令求出，再根据销售总额等于销售单价乘以销售量可得答案. 【解答】 （1）解：， ，且， 解得； （2）解：当时，， 则， 所以每星期销售总额是6032元.  19.一种苹果的销售数量千克与销售额元的关系如下： 数量千克 销售额元 （1）求出两个变量之间的函数关系； （2）请估计销售量为千克时销售额是多少？ 【答案】 销售量为千克时销售额是元 【解析】 （1）观察表格中的数据发现：销售额是销售数量的倍，据此列出函数关系式； （2）由题意可知将自变量代入中函数关系式求出函数的值． 【解答】 （1）解：由表格得两个变量的函数关系为：， （2）当时，， 答：销售量为千克时销售额是元． 20.为配合道路修整扩建施工，保障道路交通顺畅，白银市在交通主干道设置隔离护栏．某道路中间的隔离护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为米，立柱间距为米． （1）根据图示，将表格补充完整； 立柱根数 ．．． 护栏总长度/米 ．．． （2）设有根立柱，护栏总长度为米，求与之间的函数关系式并求当护栏总长度为米时立柱的根数． 【答案】 当立柱根数为时，护栏总长度为米；当立柱根数为时，护栏总长度为米． 与的函数关系式为，当护栏总长度为米时，立柱根数为 【解析】 （1）根据图示列出式子求解即可． （2）由题意得与之间的关系式为：；当时，代入与之间的关系式，求解． 【解答】 （1）解：当有根立柱时，（米）， 当有根立柱时，（米）； 将表格补充完整： 立柱根数 护栏总长度（米） （2）解：根据题意得：与之间的关系式为： ； 当时，， 解得：， 即护栏总长度为米时立柱的根数为  21.周末，小华和爸爸骑自行车从家出发去森林公园游玩，当他骑了一段路时，想起要在新华书店买一本书，于是原路返回到刚经过的新华书店，买到书后继续前往森林公园，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小华家离森林公园的距离是_____3200______米； （2）小华在新华书店停留了_____8______分钟； （3）买到书后，小华从新华书店到森林公园骑车的平均速度是______300_____米/分； （4）本次去森林公园途中，小华一共行驶了______4800_____米． 【答案】 3200 8 300 4800 【解析】 （1）从函数图象中得到纵轴代表离家距离的含义，从而得到答案. （2）根据线段水平、上升、下降分别代表的运动状态为停留、前进、返回，根据函数图像中的时间差得到停留时间. （3）在函数图象中读取信息，根据运动距离=运动速度 运动时间，计算即可得到答案. （4）根据行驶距离等于家到森林公园的距离加上折返的距离，即可得到答案. 【解答】 （1）解：根据函数图象知，小华家离森林公园的距离是3200米; 故答案为：3200; （2）解： (分钟), 小华在新华书店停留了8分钟; 故答案为：8; （3）解：小华从新华书店到森林公园的路程为 (米), 所用时间为 (分钟), 小华从新华书店到森林公园骑车的平均速度是： (米/分); 故答案为：300; （4）解：根据函数图象可知，小华一共行驶了 (米). 故答案为：4800. 22.问题情境：国庆假期，小李陪爸爸一起去种子公司购买一种新品种玉米种子，经过多次协商，种子公司销售玉米种子，零售价格为每千克元，并提出多买可优惠：如果一次性购买千克以上的种子，超过千克部分的种子的价格打八折，销售价表格如下： 购买种子的数量/千克 … 付款金额/元 … 任务一：由于表格中有两处印刷不清，爸爸要求小李直接写出表格中空缺的值，你能否帮小李完成？请直接写出； 任务二：爸爸说这次购买数量大于千克，但不确定具体数量，小李想利用所学知识为爸爸建立一个数量关系，便于爸爸计算，若设购买种子数量为千克，付款金额为元，请你为小李建立与的函数关系式； 任务三：小李爸爸计划第一次购买种子千克，第二次再购买千克，若考虑两次购买种子的数量合在一起购买，请你帮小李爸爸计算出可省多少钱？ 【答案】 任务一：，；任务二：； 任务三：可省元 【解析】 本题考查了有理数的混合运算、求函数关系式， 任务一：根据有理数的混合运算的法则列式计算即可； 任务二：根据题意写出与的函数关系式即可； 任务三：分别计算出两次购买的金额，再求和，再计算合在一起购买时花费的钱，进行比较即可． 【解答】 解：任务一：，， 故填表如下 购买种子的数量/千克 … 付款金额/元 … 任务二：； 任务三：购买千克付款金额（元）， 购买千克付款金额（元）， 一起购买付款金额（元）， （元）， 答：一起购买可省元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版八年级上册预习 第22章 函数 本章复习目标 结合生活实例理解常量、变量与函数的核心概念，掌握判断函数关系的本质标准，能准确求解不同情境下自变量的取值范围与对应函数值，发展数学抽象核心素养。 掌握函数的三种表示方法，能熟练用描点法绘制简单函数图象，能从图象中提取变量变化规律与关键信息，强化几何直观与数据分析能力。 能运用函数知识刻画生活中的分段计费、行程变化等真实问题，建立函数模型解决实际场景问题，体会数学的应用价值，提升数学建模与应用意识。 本章知识框架 知识点复习 22.1 函数的概念 知识点 1：变量与常量 在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做______，数值始终保持不变的量叫做______。 注意：常量与变量是相对变化过程而言的，同一个量在不同情境下，可能是常量，也可能是变量。 知识点 2：函数的定义 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有______确定的值与其对应，那么我们就说x是______，y是x的______。 判断函数关系的核心标准：① 存在两个变量；② 自变量每取一个确定值，函数值有且只有一个对应值（“一对一”“多对一” 是函数，“一对多” 不是函数）。 知识点 3：自变量的取值范围 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围，常见类型如下： 整式型：函数解析式是整式时，自变量的取值范围是______； 分式型：函数解析式是分式时，自变量的取值范围是使______不为 0 的实数； 二次根式型：函数解析式含二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数______的实数； 综合型：同时包含多种形式时，需列不等式组求解公共解集； 实际问题型：除满足解析式有意义外，还必须使______有意义（如长度、时间为非负数，人数为正整数等）。 知识点 4：函数值 对于自变量x在取值范围内的某个确定值a，函数y对应的取值叫做当x=a时的______。 求函数值的本质：将自变量的取值代入解析式，通过代数运算求出对应结果。 22.2 函数的表示方法 知识点 1：函数的三种表示方法 解析式法：用含自变量的数学式子表示函数关系的方法，优点是______，便于计算与理论分析； 列表法：把自变量x的一系列取值和对应的函数值y列成表格，优点是______，可直接读取对应数值； 图象法：用平面直角坐标系中的图象表示函数关系，优点是______，能直观呈现变量的变化趋势。 三种表示方法各有优势，实际应用中常结合使用，实现数形结合分析问题。 知识点 2：描点法画函数图象 画函数图象的一般步骤： ______：取自变量的一些值，算出对应的函数值，列成表格； _____：在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，对应函数值为纵坐标，描出表格中的点； _____：按照横坐标由小到大的顺序，用平滑的曲线把所描的点依次连接起来。 知识点 3：从函数图象读取信息 解读函数图象的核心要点： 先明确横、纵轴分别代表哪个变量，理解图象的实际背景； 关注图象的起点、终点、最高点、最低点、交点，对应变化过程的特殊状态； 趋势判断：图象从左向右上升，表示y随x的增大而______；图象从左向右下降，表示y随x的增大而______；图象水平，表示y不随x变化。 知识点 4：分段函数 在不同的自变量取值范围内，函数有不同的解析式，这样的函数叫做______函数。 生活中的阶梯水费、阶梯电价、出租车计费等问题，都可以用分段函数模型来刻画。 注意：分段函数是一个函数，不是多个函数；计算函数值时，要先判断自变量属于哪一段区间，再代入对应解析式。 本章核心数学思想 数形结合思想：通过函数解析式与图象的相互转化，从数与形两个维度分析变量关系，是本章的核心思想方法。 数学建模思想：将生活中的行程、计费、工程等实际问题，抽象为函数关系，用数学方法解决真实问题。 分类讨论思想：求解自变量取值范围、分析分段函数时，根据不同条件分类讨论，确保结果完整无遗漏。 抽象概括思想：从具体的生活实例中，抽象出变量与函数的一般概念，实现从具象到抽象的认知升级。 本章易错点提醒 函数概念理解偏差：忽略 “唯一对应” 的核心要求，误将 “一对多” 的关系判定为函数。例如y2=x中，y不是x的函数，因为一个正数x对应两个y值。 自变量取值范围漏条件：综合型解析式只考虑部分限制条件，忽略分母不为 0、被开方数非负的叠加要求；实际问题忽略变量的现实意义。 描点画图不规范：连线时用折线替代平滑曲线，或未按自变量从小到大的顺序连接，导致图象趋势错误。 图象信息误读：未看清横纵轴的单位与意义，错误判断变量的变化趋势与关键节点的数值。 分段函数分段不清：计算时错用区间对应的解析式，忽略分段点的取值归属。 知识点练习 一、 选择题 1.下列各图中，不能表示y是x的函数的是（        ） A. B. C. D. 2.健康骑行，快乐同行．周末，淇淇从家出发，以的速度匀速骑行，用时骑行，自变量是（       ） A. B.用时 C.骑行 D.用时和骑行 3.某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）： 温度/ 0 10 20 30 声速/（） 318 324 330 336 342 348 下列说法错误的是（       ） A.在这个变化中，自变量是温度 B.温度越高，声速越快 C.当空气温度为时，声速为 D.当温度每升高，声速增加 4.小明周末从家骑车去图书馆看书，家距图书馆，骑车的平均速度为，小时后小明距图书馆，则与之间的函数关系式为（       ） A. B. C. D. 5.如图，将“一个圆柱形的空玻璃杯固定在一个与其形状相同的无水鱼缸内”看作一个容器．现对准玻璃杯杯口匀速注水，直到容器注满为止，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部中央．则能刻画容器最高水位h（厘米）与注水时间t（分）的函数关系的图象大致是（       ） A. B. C. D. 6.下列关于变量关系的四种表述中，错误的是（        ）．     1 2 3 8 3 2 A.上图中，是的函数 B.式子中，是的函数 C.观察表中对应关系，是的函数 D.平面直角坐标系中一点的纵坐标是该点到原点的距离的函数 7.小明和妈妈同时出门沿同一条路线散步，走路较快的小明到公共阅报栏看了一会儿报，待妈妈到达后一起散步回家．他们离家的距离s（单位：m）和散步时间t（单位：）之间的函数关系图象如图所示．根据图中的信息，下列说法中，错误的是（        ） A.公共阅报栏距离小明家 B.妈妈散步的速度始终不变 C.出门时，小明的速度比妈妈快 D.小明看报的时长为 8.某厂今年前五个月生产某种产品的总产量Q（件）与时间t（月）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（        ） A.1月至3月每月产量不变，4、5两月停止生产 B.1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月停止生产 C.1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月每月产量逐月减少 D.1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月每月产量与3月持平 9.根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为5时，输出的y的值为7，则输入x的值为2时，输出的y的值为（       ） A.0 B. C. D. 10.已知函数，则当函数值时，自变量的值是     A.或 B. C. D.或 二、 填空题 11.“早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，气温随时间的变化而变化，其中自变量是________． 12.在函数中，自变量x的取值范围是________． 13.热力学温度与摄氏温度之间有如下数量关系：，，当时，相应的热力学温度是__________． 14.自变量x与函数y的关系如图所示，当x增加1时，y增加______． 15.某班同学在探究弹簧的长度随外力的变化关系时，使用50克的砝码进行实验，记录得到的相应数据如表，则弹簧的长度（厘米）与砝码的个数（个）之间的函数关系式是________（，且为整数） 砝码的个数 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧长度（厘米） 5 6 7 8 9 10 11 12 16.某快递公司每天上午点至点为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与工作时间（分）之间的函数图像如图所示． （1）开始工作分钟后，甲仓库内快件数量为________件； （2）乙仓库每分钟派送快件数量为_______件； （3）上午点时，甲仓库的快件数量为________件． 三、 解答题   17.把一个长，宽的长方形的宽增加，长不变，长方形的面积随x的变化而变化． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）若增加宽度后的长方形的面积为，求x的值． 18.某网店销售一款护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销售单价为60元时，每星期卖出100个，如果调整销售单价，每降价1元，每星期就可多卖出2个．现网店决定降价销售，设销售单价为元，每星期的销售量为个． （1）求关于的函数解析式，并指出自变量的取值范围； （2）当销售单价为52元时，求每星期的销售总额． 19.一种苹果的销售数量千克与销售额元的关系如下： 数量千克 销售额元 （1）求出两个变量之间的函数关系； （2）请估计销售量为千克时销售额是多少？ 20.为配合道路修整扩建施工，保障道路交通顺畅，白银市在交通主干道设置隔离护栏．某道路中间的隔离护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为米，立柱间距为米． （1）根据图示，将表格补充完整； 立柱根数 ．．． 护栏总长度/米 ．．． （2）设有根立柱，护栏总长度为米，求与之间的函数关系式并求当护栏总长度为米时立柱的根数． 21.周末，小华和爸爸骑自行车从家出发去森林公园游玩，当他骑了一段路时，想起要在新华书店买一本书，于是原路返回到刚经过的新华书店，买到书后继续前往森林公园，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小华家离森林公园的距离是___________米； （2）小华在新华书店停留了__________分钟； （3）买到书后，小华从新华书店到森林公园骑车的平均速度是__________米/分； （4）本次去森林公园途中，小华一共行驶了__________米． 22.问题情境：国庆假期，小李陪爸爸一起去种子公司购买一种新品种玉米种子，经过多次协商，种子公司销售玉米种子，零售价格为每千克元，并提出多买可优惠：如果一次性购买千克以上的种子，超过千克部分的种子的价格打八折，销售价表格如下： 购买种子的数量/千克 … 付款金额/元 … 任务一：由于表格中有两处印刷不清，爸爸要求小李直接写出表格中空缺的值，你能否帮小李完成？请直接写出； 任务二：爸爸说这次购买数量大于千克，但不确定具体数量，小李想利用所学知识为爸爸建立一个数量关系，便于爸爸计算，若设购买种子数量为千克，付款金额为元，请你为小李建立与的函数关系式； 任务三：小李爸爸计划第一次购买种子千克，第二次再购买千克，若考虑两次购买种子的数量合在一起购买，请你帮小李爸爸计算出可省多少钱？ 学科网（北京）股份有限公司 $