第22章 函数 单元复习（7大知识点总结+6大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学八年级下册易错题重难点培优讲义

第22章 函数 知识点框架 核心考点 易错警示 常量与变量 1.识别变化过程中的常量、变量 2.区分相对常量与变量 1.混淆常量与变量相对性 2.漏看同一过程中的变化量 函数的概念 1.判断y是否为x的函数 2.自变量、函数值的识别 1.忽略唯一确定对应关系 2.分不清自变量与函数 自变量取值范围 1.整式、分式、二次根式型 2.实际问题取值范围 1.分式分母≠0、根式被开方数≥0遗漏 2.实际问题忽略非负、整数限制 函数的三种表示法 1.解析式法、列表法、图象法 2.三种表示法互化 1.不会从表格/图象提炼解析式 2.忽略自变量取值范围 函数图象与信息提取 1.函数图象的识别（竖线法） 2.从图象读最值、变化趋势 1.不会用竖线法判断函数图象 2.看错横纵坐标意义 函数的实际应用 1.行程、几何面积、工程问题 2.结合物理、生活情境建模 1.找错变量关系 2.忽略实际意义导致范围错误 动点与函数图象 1.动点运动与面积/长度函数 2.分段函数图象判断 1.运动阶段划分错误 2.图象斜率/趋势判断错误 【易错题型】 【题型1】函数概念与自变量取值范围易错题 1.易错点总结 判断函数时，忽略唯一确定的对应关系 求取值范围时，分式分母为0、二次根式被开方数为负 实际问题中，自变量未考虑非负、整数、实际限制 混淆常量、变量、自变量、函数的概念 2.纠错技巧 函数判定：一个x，唯一y，竖线法检验图象 取值范围口诀：整式全体实数，分式分母不为0，根式被开方数非负 实际问题：时间、长度、数量≥0，人数为正整数 【例题1】.（25-26八年级下·山东德州·期中）下列各图表示的是的函数的是（   ） A．B．C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·北京·期中）下列图形中不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·河北衡水·月考）在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式题1-3】.（2026·黑龙江大庆·一模）在函数中，自变量x的取值范围是__________． 【基础题型】 【题型2】常量与变量的识别 1.核心考点 识别同一变化过程中的常量与变量 理解常量、变量的相对性 2.解题技巧 数值始终不变为常量，发生变化为变量 结合题意判断：谁随谁变化，被跟随的是自变量 【例题2】.（2026八年级下·全国·专题练习）在圆的周长公式中，下列关于变量、常量的说法正确的是（  ） A．、、均是变量，2是常量 B．和是变量，2和是常量 C．是变量，2，和是常量 D．是变量，是常量 【变式题2-1】.（24-25八年级下·山西临汾·期中）在圆的面积计算公式中，对于变量和常量的说法正确的是（   ） A．2是常量，S、、R是变量 B．2，是常量，S、R是变量 C．2，S，是常量，R是变量 D．2，，R是常量，S是变量 【变式题2-2】.（24-25八年级下·河北沧州·月考）河北省的特产丰富多样，其中赞皇大枣被誉为“枣中之王”，皮薄肉厚、甜度高、营养丰富．一份赞皇大枣的价格是50元，买m份赞皇大枣共支付n元，则50和m分别是（   ） A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量 【变式题2-3】.（24-25八年级下·河北沧州·期末）甲以每小时10的速度行驶时，他所走过的路程与时间之间可用公式来表示，则下列说法正确的是（   ） A．数10和s，t都是变量 B．s是常量，数10和t是变量 C．数10是常量，s和t是变量 D．t是常量，数10和s是变量 【题型3】求自变量的取值范围 1.核心考点 整式型、分式型、二次根式型、复合型 实际问题中的取值范围 2.解题技巧 分式：分母≠0；二次根式：被开方数≥0 复合型：多个条件同时满足，取公共部分 实际问题：结合题意限制，保证有意义 【例题3】.（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在函数中，自变量x的取值范围是________． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·河南南阳·期中）函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·重庆·期中）函数 中自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【变式题3-3】.（2026·江苏扬州·一模）已知函数，则自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【题型4】函数图象的识别与绘制 1.核心考点 用描点法画函数图象 根据情境选择对应的函数图象 2.解题技巧 画图三步：列表→描点→连线 情境图象：先判断增减、平缓/陡峭、分段，再选图 竖线法快速排除非函数图象 【例题4】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，小珍依据漏刻的基本原理做了一个底面积为，容积为的圆柱形漏刻（浮子体积忽略不计），观测并记录了水位（单位：）与时间（单位：）之间的数据如下： 0 1 2 3 4 5 … 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 … (1)请写出水位与时间之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． (2)当时，求对应的时间，并说明它表示的实际意义． 【变式题4-1】.（2026·北京石景山·一模）为研究新能源汽车的能耗表现，某科技小组探究不同行驶速度对两款纯电动汽车的百公里能耗的影响．该科技小组选取A，B两款纯电动汽车，记录了不同行驶速度（单位：）下的百公里能耗（单位：）数据，部分数据如下： 行驶速度 20 40 60 80 100 120 A款车百公里能耗 10.2 8.6 8.7 10.4 13.6 18.5 B款车百公里能耗 10.7 9.5 9.4 10.3 12.2 15.2 对以上数据进行分析，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，补充完成以下内容． (1)在平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，在同一坐标系中画出与的函数图象； (2)当A款车的行驶速度约为______（精确到个位）时，其百公里能耗最低；当B款车以的速度行驶时，其百公里能耗约为______（结果保留小数点后一位）； (3)小石和小京分别驾驶A，B两款车从甲地前往乙地，两地相距．两车都先以的速度行驶，随后立即切换至的速度继续行驶，直至到达乙地，则______（填“A”或“B”）款车行驶这的能耗更低． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·北京·期中）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． (1)下表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 … … … 写出表中的值：__________． (2)如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①当__________时，函数有最大值是__________； ②对于图象上两点，若，则__________（填“”，“”或“”）； ③对于函数，当时，的取值范围是__________． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·福建厦门·期中）探究：某班“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： (1)自变量x的取值范围是______． (2)下表是y与x的几组对应数值： x … 0 n 2 3 4 … y … m 0 5 2 … ①表格中的______；______； ②在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； (3)结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质； 【提升题型】 【题型5】函数值的计算与代入求值 1.核心考点 已知自变量求函数值，已知函数值求自变量 分段函数的代入求值 2.解题技巧 先判断自变量所在范围，再代入对应解析式 已知y求x时，注意解的个数与取值范围匹配 【例题5】.（25-26八年级下·全国·课后作业）同一温度的华氏度数y（）与摄氏度数x（）之间的函数关系是，如果某一温度的华氏度数是，那么它的摄氏度数是________． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）根据如图所示的程序计算函数值．若输入的x的值为，则输出的函数值为________． 【变式题5-2】.（2026·新疆昌吉·二模）对于正整数x，规定函数，在平面直角坐标系中，将点中的m，n分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中m，n均为正整数），例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，经过第3次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈．按上述规定，将点经过第2026次运算后得到点是________． 【变式题5-3】.（2026九年级下·上海徐汇·专题练习）已知，____________． 【题型6】从函数图象中提取信息 1.核心考点 读取图象中的最值、时间、速度、面积等信息 判断变化趋势：上升、下降、平稳 2.解题技巧 先看清横轴、纵轴代表的量 关键点：起点、终点、交点、转折点、最高点、最低点 斜率越大，变化越快；水平线段表示不变 【例题6】.（25-26九年级下·江苏无锡·期中）小美骑车从学校回家，中途在文具店买文具，然后继续骑车回家．若小美骑车的速度始终不变．从出发开始计时，小美离家的路程（单位：）与时间（单位：）的对应关系如图所示，则从文具店到小美家的路程是______． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）某周日上午，小明和家人一起驾车从家出发去美术馆，在馆内参观后，驾车去姑妈家．在姑妈家停留一段时间后，以的平均速度返回家中．如图所示的是他们离开家的距离与离开家的时间的关系图，根据图象解答下列问题： (1)上述过程中，自变量是 ，因变量是 ，点A的实际意义为 ； (2)从美术馆到姑妈家的速度为 ． (3)当小明和家人离开家多久时，他们离家的距离为． 【变式题6-2】.（25-26九年级下·湖北武汉·月考）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 … y … 0 0 0 6 … 下列五个结论： ①点在该函数图象上； ②该函数图象关于原点对称； ③当时，y随x的增大而增大； ④点、是函数图象的两点，若，则； ⑤若关于x的方程有三个不等实数根，则t的取值范围是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·福建厦门·期中）星期天小刚从家里出发，骑车去游泳馆训练，当他骑了一段路时，想起没有带装备，于是又折返回家，拿好装备后继续骑车去游泳馆．如图，是小刚离家的距离与所用时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)游泳馆距离小刚家①_____________米，本次去游泳馆的行程小刚一共骑行了②_____________米； (2)为了节约时间，小刚在拿好装备后以最初速度的两倍赶往游泳馆，求出小刚到达游泳馆所用的时间． 易错重难点总结 1.核心易错点 函数概念：忽略x对应唯一y，误判一对多为函数； 自变量范围：分式分母、二次根式条件遗漏，实际问题不限制； 图象识图：看错横纵坐标、误解变化趋势与斜率意义； 动点问题：分段不清、关系式写错、范围遗漏。 2.本章重难点 重点：函数概念、自变量取值范围、三种表示法； 重点：从图象提取信息、列实际问题函数解析式； 难点：动点函数图象、分段函数、数形结合转化； 难点：跨学科/新情境下的函数建模与规律探究。 3.解题通用步骤 判函数：看是否一对一，图象用竖线法； 求范围：式子里看限制，实际中看意义； 列解析式：找等量、设变量、写式子、定范围； 看图象：抓关键点、判趋势、用数形结合。 4.高分必备技巧 取值范围：分式不为0，根式大于等于0，实际要合理； 函数判定：一x唯一y，多对一可以，一对多不行； 图象解题：先看轴，再看点，三看趋势四算段； 实际应用：建模不忘范围，计算不忘检验。 5.素养提升关键 树立数形结合思想，用图象辅助理解式子； 强化建模能力，把生活/几何/物理问题转为函数； 注重规范表达，解析式必写取值范围，作答完整。 同步练习 一、单选题 1．下列各曲线中，表示是的函数的是（    ） A．B．C． D． 2．若物体运动的路程S（米）与时间t（秒）的关系式为，则当秒时，该物体所运动的路程为（   ） A．66米 B．36米 C．37米 D．26米 3．函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 二、填空题 4．一台机器上的轮子的转速为60转/分，轮子旋转的转数（单位：转）与时间（单位：分）之间的关系为；在上述问题中，常量是_____． 5．已知一个等腰三角形的周长为20，写出底边长关于腰长的函数解析式：______，该解析式中自变量的取值范围是_____． 6．水钟在我国又称漏刻、漏壶（如图所示），是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小王依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/ 1 2 3 4 5 6 水的高度/ 1.5 3 4.5 6 7.5 9 当时间为10分钟时，容器中水的高度为_____． 三、解答题 7．汽车以的速度匀速行驶，行驶路程（）与时间（）的关系为．指出其中的变量与常量． 8．指出下列问题中的变量和常量： (1)每本书的厚度为，现有n本书，把这些书摞在一起的总厚度为； (2)李明用100元到餐饮店里买每碗价格为6元的小吃，买了x碗，还剩下y元． 9．今年，果农小林家的刺梨喜获丰收．在销售过程中，刺梨的销售额y（元）与销量x（千克）满足如下关系： 销量x/千克 1 2 3 4 5 6 7 8 销售额y/元 3 6 9 12 15 18 21 24 (1)上表这个关系中，自变量是_______； (2)刺梨的销售额y与销量x之间的函数解析式为_______； (3)当刺梨的销量为50千克时，销售额是_______元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22章 函数 知识点框架 核心考点 易错警示 常量与变量 1.识别变化过程中的常量、变量 2.区分相对常量与变量 1.混淆常量与变量相对性 2.漏看同一过程中的变化量 函数的概念 1.判断y是否为x的函数 2.自变量、函数值的识别 1.忽略唯一确定对应关系 2.分不清自变量与函数 自变量取值范围 1.整式、分式、二次根式型 2.实际问题取值范围 1.分式分母≠0、根式被开方数≥0遗漏 2.实际问题忽略非负、整数限制 函数的三种表示法 1.解析式法、列表法、图象法 2.三种表示法互化 1.不会从表格/图象提炼解析式 2.忽略自变量取值范围 函数图象与信息提取 1.函数图象的识别（竖线法） 2.从图象读最值、变化趋势 1.不会用竖线法判断函数图象 2.看错横纵坐标意义 函数的实际应用 1.行程、几何面积、工程问题 2.结合物理、生活情境建模 1.找错变量关系 2.忽略实际意义导致范围错误 动点与函数图象 1.动点运动与面积/长度函数 2.分段函数图象判断 1.运动阶段划分错误 2.图象斜率/趋势判断错误 【易错题型】 【题型1】函数概念与自变量取值范围易错题 1.易错点总结 判断函数时，忽略唯一确定的对应关系 求取值范围时，分式分母为0、二次根式被开方数为负 实际问题中，自变量未考虑非负、整数、实际限制 混淆常量、变量、自变量、函数的概念 2.纠错技巧 函数判定：一个x，唯一y，竖线法检验图象 取值范围口诀：整式全体实数，分式分母不为0，根式被开方数非负 实际问题：时间、长度、数量≥0，人数为正整数 【例题1】.（25-26八年级下·山东德州·期中）下列各图表示的是的函数的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】由题意是的函数依据函数的概念可知对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，以此进行分析判断即可． 【详解】解：根据函数的定义：在一个变化的过程中有两个变量和，对于每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说是的函数， 因此B选项中的图象表示是的函数，其他三个选项均不表示是的函数． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·北京·期中）下列图形中不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数的定义是当自变量取一个值时，有唯一一个因变量与它相对应，解决本题的关键是根据函数的定义进行判断． 【详解】解：A选项：如下图所示， 当自变量取一个值时，有个与它相对应， 不能表示是的函数， 故A选项符合题意； B选项：当自变量取一个值时，有唯一一个因变量与它相对应， 能表示是的函数， 故B选项不符合题意； C选项：当自变量取一个值时，有唯一一个因变量与它相对应， 能表示是的函数， 故C选项不符合题意； D选项：当自变量取一个值时，有唯一一个因变量与它相对应， 能表示是的函数， 故D选项不符合题意． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·河北衡水·月考）在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】用二次根式被开方数非负、分式分母不为0的性质列不等式求解． 【详解】要使函数有意义，需同时满足两个条件： 二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不能为0， ∴， 解得：且. 【变式题1-3】.（2026·黑龙江大庆·一模）在函数中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，求解自变量的取值范围即可． 【详解】由题意可知，二次根式的被开方数为非负数，且分式的分母不为零， ∴， 解得：． 【基础题型】 【题型2】常量与变量的识别 1.核心考点 识别同一变化过程中的常量与变量 理解常量、变量的相对性 2.解题技巧 数值始终不变为常量，发生变化为变量 结合题意判断：谁随谁变化，被跟随的是自变量 【例题2】.（2026八年级下·全国·专题练习）在圆的周长公式中，下列关于变量、常量的说法正确的是（  ） A．、、均是变量，2是常量 B．和是变量，2和是常量 C．是变量，2，和是常量 D．是变量，是常量 【答案】B 【分析】本题考查常量与变量的定义，关键是明确在变化过程中，常量是数值固定不变的量，变量是数值可以发生变化的量．在圆的周长公式中，2是固定系数，是圆周率，二者数值固定不变，属于常量；半径可取不同值，对应的周长会随之改变，故和是变量，据此可判断正确选项． 【详解】解：根据常量与变量的定义，在中，2和是固定不变的量，为常量；随的变化而变化，因此和是变量． 故选：B． 【变式题2-1】.（24-25八年级下·山西临汾·期中）在圆的面积计算公式中，对于变量和常量的说法正确的是（   ） A．2是常量，S、、R是变量 B．2，是常量，S、R是变量 C．2，S，是常量，R是变量 D．2，，R是常量，S是变量 【答案】B 【分析】本题考查了函数的定义，根据变量是改变的量，常量是不变的量即可求解． 【详解】解：在圆的面积计算公式中， 变量是S、R，常量是2，是， 故选：B． 【变式题2-2】.（24-25八年级下·河北沧州·月考）河北省的特产丰富多样，其中赞皇大枣被誉为“枣中之王”，皮薄肉厚、甜度高、营养丰富．一份赞皇大枣的价格是50元，买m份赞皇大枣共支付n元，则50和m分别是（   ） A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量 【答案】C 【分析】本题考查了常量和变量，熟知相关概念是解题的关键． 根据常量和变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可判断． 【详解】解：∵一份赞皇大枣的价格是50元，买m份赞皇大枣共支付n元， ∴50和m分别是常量，变量 故选：C． 【变式题2-3】.（24-25八年级下·河北沧州·期末）甲以每小时10的速度行驶时，他所走过的路程与时间之间可用公式来表示，则下列说法正确的是（   ） A．数10和s，t都是变量 B．s是常量，数10和t是变量 C．数10是常量，s和t是变量 D．t是常量，数10和s是变量 【答案】C 【分析】本题考查变量和常量，熟练掌握基本概念是解决问题的关键． 根据变量和常量的概念，结合公式进行判断． 【详解】解：在中，数10是常量，s和t是变量， 故选：C． 【题型3】求自变量的取值范围 1.核心考点 整式型、分式型、二次根式型、复合型 实际问题中的取值范围 2.解题技巧 分式：分母≠0；二次根式：被开方数≥0 复合型：多个条件同时满足，取公共部分 实际问题：结合题意限制，保证有意义 【例题3】.（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件列出不等式求解即可. 【详解】解：由题意得： 解得： 【变式题3-1】.（25-26八年级下·河南南阳·期中）函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式有意义的条件为分母不能为，列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·重庆·期中）函数 中自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式解答即可求解． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 【变式题3-3】.（2026·江苏扬州·一模）已知函数，则自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】D 【详解】解：， 解得． 【题型4】函数图象的识别与绘制 1.核心考点 用描点法画函数图象 根据情境选择对应的函数图象 2.解题技巧 画图三步：列表→描点→连线 情境图象：先判断增减、平缓/陡峭、分段，再选图 竖线法快速排除非函数图象 【例题4】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，小珍依据漏刻的基本原理做了一个底面积为，容积为的圆柱形漏刻（浮子体积忽略不计），观测并记录了水位（单位：）与时间（单位：）之间的数据如下： 0 1 2 3 4 5 … 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 … (1)请写出水位与时间之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． (2)当时，求对应的时间，并说明它表示的实际意义． 【答案】(1)； (2)当时，．实际意义：当计时时长为时，漏刻的水位高度为． 【分析】（1）观察表格数据，判断水位与时间的函数类型（一次函数），利用待定系数法求解析式，再结合漏刻容积确定自变量取值范围； （2）将代入函数解析式求解t，并解释实际意义． 【详解】（1）解：由表格可知，与是一次函数关系，设解析式为． 当时，，代入得； 当时，，代入得，解得． ∴函数关系式为． 漏刻容积为，底面积为，则最大水位． 令，则， 解得：． 自变量的取值范围为． （2）解：当时，，解得． 实际意义：当计时时长为时，漏刻的水位高度为． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解题关键是通过表格判断函数类型，利用待定系数法求解析式，并结合实际场景确定自变量范围． 【变式题4-1】.（2026·北京石景山·一模）为研究新能源汽车的能耗表现，某科技小组探究不同行驶速度对两款纯电动汽车的百公里能耗的影响．该科技小组选取A，B两款纯电动汽车，记录了不同行驶速度（单位：）下的百公里能耗（单位：）数据，部分数据如下： 行驶速度 20 40 60 80 100 120 A款车百公里能耗 10.2 8.6 8.7 10.4 13.6 18.5 B款车百公里能耗 10.7 9.5 9.4 10.3 12.2 15.2 对以上数据进行分析，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，补充完成以下内容． (1)在平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，在同一坐标系中画出与的函数图象； (2)当A款车的行驶速度约为______（精确到个位）时，其百公里能耗最低；当B款车以的速度行驶时，其百公里能耗约为______（结果保留小数点后一位）； (3)小石和小京分别驾驶A，B两款车从甲地前往乙地，两地相距．两车都先以的速度行驶，随后立即切换至的速度继续行驶，直至到达乙地，则______（填“A”或“B”）款车行驶这的能耗更低． 【答案】(1)见解析 (2)50，9.7 (3)B 【分析】（1）根据描点、连线即可作图； （2）根据函数图象即可求解； （3）根据函数图象分别计算两款车的总能耗，再进行比较即可． 【详解】（1）解：如图，与的函数图象即为所求； （2）解：由函数图象可得，当A款车的行驶速度约为时，其百公里能耗最低；当B款车以的速度行驶时，其百公里能耗约为； （3）解：由图象可得，A款车前百公里能耗约为，后百公里能耗约为， 则总能耗为； 由图象可得，B款车前百公里能耗约为，后百公里能耗约为， 则总能耗为； 因为 所以B款车行驶这的能耗更低． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·北京·期中）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． (1)下表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 … … … 写出表中的值：__________． (2)如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①当__________时，函数有最大值是__________； ②对于图象上两点，若，则__________（填“”，“”或“”）； ③对于函数，当时，的取值范围是__________． 【答案】(1)0 (2)见解析 (3)0，0；； 【分析】（1）把代入即可求得； （2）先描点，再连线即可； （3）观察图象即可解决问题． 【详解】（1）解：当时，， ∴． （2）解：函数图象如图所示． （3）解：观察该函数图象： 当时，函数有最大值是0． 对于图象上两点，若，则． 对于函数，当时，的取值范围是． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·福建厦门·期中）探究：某班“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： (1)自变量x的取值范围是______． (2)下表是y与x的几组对应数值： x … 0 n 2 3 4 … y … m 0 5 2 … ①表格中的______；______； ②在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； (3)结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质； 【答案】(1) (2)①，②答案见解析 (3)当时，y随x的增大而减小 【分析】（1）由分式的分母不为0可得出答案； （2）①将，代入解析式即可求值；②连点成线，画出函数图像； （3）观察图像可得． 【详解】（1）解：由分式的分母不为0得：， 自变量x的取值范围是：； （2）①当时，， ； 当时，，解得：， ； ②图像如下： （3）当时，y随x的增大而减小． 【提升题型】 【题型5】函数值的计算与代入求值 1.核心考点 已知自变量求函数值，已知函数值求自变量 分段函数的代入求值 2.解题技巧 先判断自变量所在范围，再代入对应解析式 已知y求x时，注意解的个数与取值范围匹配 【例题5】.（25-26八年级下·全国·课后作业）同一温度的华氏度数y（）与摄氏度数x（）之间的函数关系是，如果某一温度的华氏度数是，那么它的摄氏度数是________． 【答案】15 【分析】将的数值代入函数关系式，解关于的方程即可得到结果． 【详解】解：根据题意，将代入得， 解得， 因此它的摄氏度数是． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）根据如图所示的程序计算函数值．若输入的x的值为，则输出的函数值为________． 【答案】 【详解】解：若输入的x的值为，则输出的函数值为． 【变式题5-2】.（2026·新疆昌吉·二模）对于正整数x，规定函数，在平面直角坐标系中，将点中的m，n分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中m，n均为正整数），例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，经过第3次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈．按上述规定，将点经过第2026次运算后得到点是________． 【答案】 【分析】先计算点每次运算后的结果，找出循环周期，再根据总次数确定最终结果 【详解】解：初始点为， 第1次运算：横坐标为偶数，，纵坐标为偶数，，得到点； 第2次运算：横坐标为偶数，，纵坐标为奇数，，得到点； 第3次运算：横坐标为奇数，，纵坐标为偶数，，得到点； 可得规律：从第1次运算开始，每次运算为一个循环，运算次数为奇数时结果为，运算次数为偶数时结果为， 是偶数， 经过第次运算后得到的点是 【变式题5-3】.（2026九年级下·上海徐汇·专题练习）已知，____________． 【答案】 【分析】将代入函数表达式，再利用平方差公式对分母进行有理化，化简后得到结果． 【详解】解：将代入函数表达式，得 ． 【题型6】从函数图象中提取信息 1.核心考点 读取图象中的最值、时间、速度、面积等信息 判断变化趋势：上升、下降、平稳 2.解题技巧 先看清横轴、纵轴代表的量 关键点：起点、终点、交点、转折点、最高点、最低点 斜率越大，变化越快；水平线段表示不变 【例题6】.（25-26九年级下·江苏无锡·期中）小美骑车从学校回家，中途在文具店买文具，然后继续骑车回家．若小美骑车的速度始终不变．从出发开始计时，小美离家的路程（单位：）与时间（单位：）的对应关系如图所示，则从文具店到小美家的路程是______． 【答案】500 【分析】由图可知：学校离家的距离是米，骑车用时3分钟到达文具店，买文具用时2分钟，再用了5分钟到家，总用时10分钟，骑车8分钟．先求出骑车的速度，即可计算从文具店到小美家的路程． 【详解】解：根据图示可得，小美行驶的速度为， ∴从文具店到小美家的路程是． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）某周日上午，小明和家人一起驾车从家出发去美术馆，在馆内参观后，驾车去姑妈家．在姑妈家停留一段时间后，以的平均速度返回家中．如图所示的是他们离开家的距离与离开家的时间的关系图，根据图象解答下列问题： (1)上述过程中，自变量是 ，因变量是 ，点A的实际意义为 ； (2)从美术馆到姑妈家的速度为 ． (3)当小明和家人离开家多久时，他们离家的距离为． 【答案】(1)离开家的时间； 离开家的距离；小明和家人驾车小时后到达离家处的美术馆； (2) (3)或 【分析】（1）根据因变量和自变量的定义，以及函数图象即可得到答案； （2）根据图象，用从美术馆到姑妈家的路程除以时间，即可求解， （3）由图象可知，在段和段，存在离家的距离为的时刻，结合函数图象根据路程等于速度乘以时间建立方程求解即可． 【详解】（1）解：上述过程中，自变量是离开家的时间，因变量是离开家的距离，点A的实际意义为小明和家人驾车小时后到达离家处的美术馆； （2）解：从美术馆到姑妈家的速度为； （3）解：由图象可知，在段和段，存在离家的距离为的时刻， 当在段时，根据题意得， 解得， 当在段时，根据题意得， 解得； 综上所述，当小明和家人离开家或时，他们离家的距离为． 【变式题6-2】.（25-26九年级下·湖北武汉·月考）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 … y … 0 0 0 6 … 下列五个结论： ①点在该函数图象上； ②该函数图象关于原点对称； ③当时，y随x的增大而增大； ④点、是函数图象的两点，若，则； ⑤若关于x的方程有三个不等实数根，则t的取值范围是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 【答案】② 【分析】把代入计算可判断①，由表格数据可判断②，根据函数图象可判断③，把和代入，再根据得出关于m的取值范围即可判断④，结合表格和数据结合函数图象即可判断⑤． 【详解】解：把代入得，故点不在该函数图象上，①错误． 根据表格可知，当时，，当x互为相反数时，y也互为相反数，函数大致图象如下： 即该函数图象关于原点对称，故②正确； 根据函数图象可知，当时，y先随x的增大而减小，然后y又随着x的增大而增大；故③错误， 当时，则， 当时，则， 若，即， 展开整理得：， 当时，，解得，不成立， 当时，，恒成立， 当时，，解得， ，即，故④错误， 方程有三个不等实数根，等于函数和直线有3个交点， 结合函数性质和表格， 当时，， t的取值可以比小，不是，故⑤错误． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·福建厦门·期中）星期天小刚从家里出发，骑车去游泳馆训练，当他骑了一段路时，想起没有带装备，于是又折返回家，拿好装备后继续骑车去游泳馆．如图，是小刚离家的距离与所用时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)游泳馆距离小刚家①_____________米，本次去游泳馆的行程小刚一共骑行了②_____________米； (2)为了节约时间，小刚在拿好装备后以最初速度的两倍赶往游泳馆，求出小刚到达游泳馆所用的时间． 【答案】(1)2000，4000 (2)14分钟 【分析】（1）从图象获取信息，直接得到游泳馆距家距离为2000米．计算先骑行、折返、再前往游泳馆的路程和，得出总行程4000米； （2）从图象得最初骑行1000米用时4分钟，算出最初速度．求出拿装备后速度，用游泳馆距家距离除以拿装备后速度，得重新出发后用时，加上之前的时间，得到答案． 【详解】（1）解：由图象可知，游泳馆距离小刚家米． 行程：先骑1000米，返回1000米，再从家到游泳馆2000米，一共骑行米； （2）解：由图象可知： 最初速度：（米/分钟）， ∵小刚在拿好装备后以最初速度的两倍赶往游泳馆， ∴拿装备后速度为（米/分钟）． ∴从家重新出发到游泳馆用时：（分钟）． ∴（分钟）． 易错重难点总结 1.核心易错点 函数概念：忽略x对应唯一y，误判一对多为函数； 自变量范围：分式分母、二次根式条件遗漏，实际问题不限制； 图象识图：看错横纵坐标、误解变化趋势与斜率意义； 动点问题：分段不清、关系式写错、范围遗漏。 2.本章重难点 重点：函数概念、自变量取值范围、三种表示法； 重点：从图象提取信息、列实际问题函数解析式； 难点：动点函数图象、分段函数、数形结合转化； 难点：跨学科/新情境下的函数建模与规律探究。 3.解题通用步骤 判函数：看是否一对一，图象用竖线法； 求范围：式子里看限制，实际中看意义； 列解析式：找等量、设变量、写式子、定范围； 看图象：抓关键点、判趋势、用数形结合。 4.高分必备技巧 取值范围：分式不为0，根式大于等于0，实际要合理； 函数判定：一x唯一y，多对一可以，一对多不行； 图象解题：先看轴，再看点，三看趋势四算段； 实际应用：建模不忘范围，计算不忘检验。 5.素养提升关键 树立数形结合思想，用图象辅助理解式子； 强化建模能力，把生活/几何/物理问题转为函数； 注重规范表达，解析式必写取值范围，作答完整。 同步练习 一、单选题 1．下列各曲线中，表示是的函数的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应． 【详解】解：A．对于的每一个确定的值，可能有两个值，故不是的函数，不符合题意； B．对于的每一个确定的值，可能有多个值，故不是的函数，不符合题意； C．对于的每一个确定的值，可能有两个值，故不是的函数，不符合题意； D．对于的每一个确定的值，只有一个值，故是的函数，符合题意． 2．若物体运动的路程S（米）与时间t（秒）的关系式为，则当秒时，该物体所运动的路程为（   ） A．66米 B．36米 C．37米 D．26米 【答案】A 【分析】把代入函数解析式求得相应的S的值即可． 【详解】解：当时， ， ∴当秒时，该物体所运动的路程为66米． 3．函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数非负）和分式有意义的条件（分母不为0），确定自变量需满足的条件，解不等式取公共范围即可． 【详解】解：∵要使函数有意义，需同时满足二次根式和分式的要求， ∴ ∴且． 二、填空题 4．一台机器上的轮子的转速为60转/分，轮子旋转的转数（单位：转）与时间（单位：分）之间的关系为；在上述问题中，常量是_____． 【答案】60 【分析】判断关系式中数值不变的量即可得到结果． 【详解】解：在中，常量是． 5．已知一个等腰三角形的周长为20，写出底边长关于腰长的函数解析式：______，该解析式中自变量的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据等腰三角形周长公式建立等式，整理得到底边长关于腰长的函数解析式，再利用三角形三边关系列不等式组，求解得到自变量的取值范围. 【详解】解：由等腰三角形周长等于两腰长与底边长的和，可得， 移项整理得 ， 根据三角形三边关系，边长为正数，且两边之和大于第三边，可得不等式组， 将代入不等式组，得， 解不等式，得 ， 解不等式，得 ， 因此自变量的取值范围是. 6．水钟在我国又称漏刻、漏壶（如图所示），是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小王依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/ 1 2 3 4 5 6 水的高度/ 1.5 3 4.5 6 7.5 9 当时间为10分钟时，容器中水的高度为_____． 【答案】15 【分析】根据表格数据，时间与水的高度成正比例关系，时间每增加，水的高度增加，即可求解． 【详解】解：观察表格可知当时间为时，水的高度为，时间每增加，水的高度增加， ∴水的高度与时间成正比例关系， ∴当时间为10分钟时，容器中水的高度为． 故答案为：15． 三、解答题 7．汽车以的速度匀速行驶，行驶路程（）与时间（）的关系为．指出其中的变量与常量． 【答案】变量是和，常量是 【详解】解：根据，可知变量是和，常量是． 8．指出下列问题中的变量和常量： (1)每本书的厚度为，现有n本书，把这些书摞在一起的总厚度为； (2)李明用100元到餐饮店里买每碗价格为6元的小吃，买了x碗，还剩下y元． 【答案】(1)变量是h，n，常量是 (2)变量是x，y，常量是100，6 【分析】本题主要考查了变量与常量的概念： （1）根据变量与常量的概念解答即可； （2）根据变量与常量的概念解答即可 【详解】（1）解：（1）变量是h，n，常量是； （2）解：（2）变量是x，y，常量是100，6 9．今年，果农小林家的刺梨喜获丰收．在销售过程中，刺梨的销售额y（元）与销量x（千克）满足如下关系： 销量x/千克 1 2 3 4 5 6 7 8 销售额y/元 3 6 9 12 15 18 21 24 (1)上表这个关系中，自变量是_______； (2)刺梨的销售额y与销量x之间的函数解析式为_______； (3)当刺梨的销量为50千克时，销售额是_______元． 【答案】(1)销量x (2) (3)150 【分析】本题重点把握函数的表示的方法---解析法： （1）（2）根据表格即可求解；（3）把代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：上表这个关系中，自变量是销量x； （2）解：由表格可得； （3）解：当刺梨的销量为50千克时，销售额是（元）． 学科网（北京）股份有限公司 $