暑假培优：一次函数中的新定义问题培优讲义-2025-2026学年人教版八年级数学下册

暑假培优：一次函数中的新定义问题培优讲义 暑假培优：一次函数中的新定义问题培优讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 题型特征 给出课本没有的新概念、新运算、新距离、新函数名称、新判定法则，结合一次函数解析式、图像、交点、取值范围出题。 常用载体：自定义新运算、新距离（横纵距离）、新的“伴随函数”“关联函数”、分段型新定义函数。 2. 必备基础工具 1. 一次函数解析式：； 1. 函数图像、直线交点、自变量取值范围； 1. 两点间水平距离、竖直距离、坐标运算； 1. 不等式与自变量范围求解。 3. 常见新定义类别 1. 新运算：对两个一次函数规定加减乘除之外的新型运算； 1. 新函数：给出规则，由已知一次函数构造出新函数； 1. 新距离：定义两点之间的折线距离、曼哈顿距离； 1. 新位置关系：自定义两条直线“相交”“贴近”“伴随”的新标准； 1. 新最值规则：在限定区间内，按照新定义求最值。 二、解题原理（通用步骤） 1. 严格遵守题干规则，禁用固有结论 只使用题目给出的定义，不套用原有函数性质，读懂文字规则，把文字语言翻译成代数式。 1. 把定义翻译成数学式子（核心一步） 将文字描述转化为等式或者不等式。 例：曼哈顿距离，直接写成 。 1. 代入一次函数解析式，统一变量 把 代入新定义的式子，消去 ，式子只保留自变量 与参数 、。 1. 分类讨论去绝对值 新定义问题大量出现绝对值表达式，分区间去掉绝对值，化为一次函数分段表达式。 1. 结合自变量范围求解 求交点、求参数范围、求最值、判断存在性。 1. 图像辅助分析 画出分段直线，结合图像直观判断取值边界。 三、分题型解题思路 题型 1：自定义新型函数（伴随函数、同族函数） 思路：严格按照题干的转化规则，把原一次函数转化为新函数，再研究解析式、自变量范围。 题型 2：两点新距离（曼哈顿距离为主） 思路：写出距离公式，代入点的纵坐标，转化为含绝对值的函数，分段讨论求最小值。 题型 3：两条直线的新位置关系 思路：把“满足某种新条件”翻译成方程，联立两个一次函数，利用方程解的情况求参数。 题型 4：区间内的新定义最值 思路：去掉绝对值写成分段一次函数，结合自变量区间，利用一次函数单调性找最大值与最小值。 四、高频易错点 1. 凭经验套用一次函数原有性质，忽略新规则； 1. 处理绝对值时不分段，直接化简，造成范围出错； 1. 忽略一次函数中 这个限制条件； 1. 自变量有区间限制，只算端点，忽略分段转折点； 1. 文字定义翻译出错，代数式列错。 例题分析 例1．（25-26八年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系xOy中，有如下定义：任意两点 ，我们将称为点A与点B的“横2倍直角距离”，记作． 例如：点与的“横2倍直角距离”为． (1)已知点，，，则在这三个点中，与原点O的“横2倍直角距离”等于6的点是 ； (2)已知点，若点P与原点O的“横2倍直角距离”，请在下图中画出所有满足条件的点P组成的图形． (3)已知点，，点是x轴上的一个动点，正方形的顶点坐标分别为，，，．若线段上存在点T，正方形上存在点Q，使得，直接写出m的取值范围． 例2．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴不平行，点P为直线l外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即， 定义理解： （1）如图2，若直线l的表达式为 与x轴和y轴分别交于A，B两点，求．（点O为坐标原点） 定义运用： （2）如图3，将直线l： 沿y轴向上平移n个单位长度后得到直线 m，与x轴和y轴分别交于D，C两点，当 时 （点O为坐标原点），求平移距离n的值； 定义拓展： （3）在（2）的条件下，y轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形，且点Q关于直线l的“L路径”与直线m有交点．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26八年级下·北京·期中）阅读理解： 【新定义】对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”． 【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知个点：、、、，以上这四个点中______是线段的“等距点”，______是线段的“完美等距点”（填写大写字母）； (2)若点在第三象限，且，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (3)若点是线段的“完美等距点”，则称为的“完美等距三角形”．点在第一象限，是轴上一个动点，是否存在这样的点，使点在的“完美等距三角形”上且为线段的“完美等距点”．若存在，请直接写出点横坐标的取值范围______． 例4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）定义：一次函数与为常数，且互为“异号函数”．如：与互为“异号函数” (1)已知点在的“异号函数”的图象上，求的值， (2)请直接写出一次函数的“异号函数”，并求当时该“异号函数”的最大函数值； (3)一次函数的图象如图所示，若一次函数在范围内的部分记为函数，一次函数的“异号函数”在范围内的部分记为函数，和组成新函数，当时，，则__________，__________． 变式训练 变式1．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）新定义：对于给定的一次函数有（，、为常数），我们称一次函数为“原函数”，一次函数为“原函数”的“相关函数”． 例如：对于关于的一次函数的“相关函数”为． (1)直接写出“原函数”的“相关函数”的表达式． (2)若一次函数的“原函数”的图象与它的“相关函数”的图象交于点． ①求点的坐标； ②若直线与一次函数的“原函数”的图象与它的“相关函数”的图象分别交于点，，点在轴上，当的面积为6时，求点的坐标． (3)在平面直角坐标系中，点、的坐标分别是，，连接，将“原函数”的图象位于轴上半部分与它的“相关函数”的图象位于轴上半部分记作图形，当图形与线段的交点有且只有1个时，求的最大值与最小值． 变式2．（24-25八年级上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，给出如下新定义：对于任意一点和给定的正整数n，如果满足，则把点称作“精致点”． (1)是“精致点”，当，时， ； (2)在第一象限内，当时， ①设“精致点”的横坐标为x，那么纵坐标可以用含x的代数式表示为 ； ②如图直线l经过和，求出直线l所对应的函数表达式，并判断该直线在第一象限内是否存在“精致点”．如果有，请求出其“精致点”的坐标，如果没有，请说明理由； (3)若直线上存在“4−精致点”，请直接写出实数b的取值范围． 变式3．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）新定义问题 在平面直角坐标系中，点M的坐标为，点N的坐标为，且，．若M，N为长方形对角线上的两个顶点，且该长方形的边均与坐标轴垂直，则称该长方形为点M，N的“相关长方形”，如图①为点M，N的“相关长方形”示意图．若点，．    (1)当时，在图②中画出点P，Q的“相关长方形”（逆时针方向，下同），并求它的周长； (2)若点P，Q的“相关长方形”为正方形，求m的值； (3)已知一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，若在线段上存在一点C，使得点C，Q的“相关长方形”是正方形，写出满足条件的一个m的值． 变式4．（25-26八年级上·广东深圳·期末）【新定义】 若两条直线和的交点在x轴上，且直线l分别与直线交于点，与直线交于点（P、Q不与原点重合），则称直线l是和的“美好对应轴”． 例：如图1所示，与相交于点，直线分别与，交于点和点，称直线l是和的“美好对应轴”． （1）若直线l是和的“美好对应轴”，已知直线l与交点为，则另外一个交点Q（____，____）； （2）如图2所示，已知，，请判断是否为和的“美好对应轴”，并说明理由； （3）如图3所示，已知，，若l是和的“美好对应轴”，请求出的函数表达式． 【拓展研究】 （4）如图4所示，，直线l是和的“美好对应轴”，l和交于点P，l和交于点Q，连接、，若的面积和的面积存在两倍关系，请直接写出点P的坐标． 实战演练 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【材料：学习理解】 定义1：在平面直角坐标系中，点到点的“纵横值”定义为：．例如：到的“纵横值”． 定义2：在平面直角坐标系中，点到射线（或线段）的“纵横值”定义为：点到上所有的“纵横值”的最小值，此时上的对应点称为点在上的“纵横点”．例：求到射线的“纵横值”及在上的“纵横点”坐标． 分析：射线上任一点的坐标可表示为，则．结合正比例函数的图象可知，当时，的最小值为，即“纵横值”，此时在上的“纵横点”为． 【任务1：特值感悟】若坐标为， ①到的“纵横值” （直接写出）； ②求到线段的“纵横值”及在上的“纵横点”坐标（写过程）； 【任务2：拓展应用】若，，且，则与的关系式为： （直接写出）； 【任务3：能力提升】若点在某条线段上的“纵横点”坐标为，相应的“纵横值”是8，点在直线上， ①所有满足条件的点和直线以及轴组成了一个封闭图形，请在下图中的平面直角坐标系中画出该封闭图形； ②若，过点的直线将任务3的①中封闭图形的面积分成两部分，直接写出直线的表达式 ． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）阅读理解：在平面直角坐标系中，给出如下定义： 定义一：若有三点，，，且，则称点是，的轴美点； 定义二：若函数图像上存在某点到轴和轴的距离中，其中一个距离是另一个距离的2倍，则称点为该函数的“倍美点”，此函数称为“倍美函数”，如点是函数图像上的点，所以函数是“倍美函数”，点是该函数的“倍美点”．像、等则是特殊的“倍美函数”． 根据以上材料，完成下列问题： (1)已知函数与轴和轴分别相交于点A，，若有三点、、，则其中是A、“轴美点”的是__________．（只填字母） (2)已知两点、． ①请说明点、的“轴美点”在函数上； ②在①的条件下，若“倍美函数”上存在点，使得点既是，“轴美点”，又是此函数的“倍美点”，求出的值． (3)已知“倍美函数”，是否存在整数使得该函数恰好具有三个“倍美点”？若存在，直接写出值和“倍美点”坐标；若不存在，简要说理． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：一次函数中的新定义问题培优讲义 暑假培优：一次函数中的新定义问题培优讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 题型特征 给出课本没有的新概念、新运算、新距离、新函数名称、新判定法则，结合一次函数解析式、图像、交点、取值范围出题。 常用载体：自定义新运算、新距离（横纵距离）、新的“伴随函数”“关联函数”、分段型新定义函数。 2. 必备基础工具 1. 一次函数解析式：； 1. 函数图像、直线交点、自变量取值范围； 1. 两点间水平距离、竖直距离、坐标运算； 1. 不等式与自变量范围求解。 3. 常见新定义类别 1. 新运算：对两个一次函数规定加减乘除之外的新型运算； 1. 新函数：给出规则，由已知一次函数构造出新函数； 1. 新距离：定义两点之间的折线距离、曼哈顿距离； 1. 新位置关系：自定义两条直线“相交”“贴近”“伴随”的新标准； 1. 新最值规则：在限定区间内，按照新定义求最值。 二、解题原理（通用步骤） 1. 严格遵守题干规则，禁用固有结论 只使用题目给出的定义，不套用原有函数性质，读懂文字规则，把文字语言翻译成代数式。 1. 把定义翻译成数学式子（核心一步） 将文字描述转化为等式或者不等式。 例：曼哈顿距离，直接写成 。 1. 代入一次函数解析式，统一变量 把 代入新定义的式子，消去 ，式子只保留自变量 与参数 、。 1. 分类讨论去绝对值 新定义问题大量出现绝对值表达式，分区间去掉绝对值，化为一次函数分段表达式。 1. 结合自变量范围求解 求交点、求参数范围、求最值、判断存在性。 1. 图像辅助分析 画出分段直线，结合图像直观判断取值边界。 三、分题型解题思路 题型 1：自定义新型函数（伴随函数、同族函数） 思路：严格按照题干的转化规则，把原一次函数转化为新函数，再研究解析式、自变量范围。 题型 2：两点新距离（曼哈顿距离为主） 思路：写出距离公式，代入点的纵坐标，转化为含绝对值的函数，分段讨论求最小值。 题型 3：两条直线的新位置关系 思路：把“满足某种新条件”翻译成方程，联立两个一次函数，利用方程解的情况求参数。 题型 4：区间内的新定义最值 思路：去掉绝对值写成分段一次函数，结合自变量区间，利用一次函数单调性找最大值与最小值。 四、高频易错点 1. 凭经验套用一次函数原有性质，忽略新规则； 1. 处理绝对值时不分段，直接化简，造成范围出错； 1. 忽略一次函数中 这个限制条件； 1. 自变量有区间限制，只算端点，忽略分段转折点； 1. 文字定义翻译出错，代数式列错。 例题分析 例1．（25-26八年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系xOy中，有如下定义：任意两点 ，我们将称为点A与点B的“横2倍直角距离”，记作． 例如：点与的“横2倍直角距离”为． (1)已知点，，，则在这三个点中，与原点O的“横2倍直角距离”等于6的点是 ； (2)已知点，若点P与原点O的“横2倍直角距离”，请在下图中画出所有满足条件的点P组成的图形． (3)已知点，，点是x轴上的一个动点，正方形的顶点坐标分别为，，，．若线段上存在点T，正方形上存在点Q，使得，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）分别求出三个点与原点的“横2倍直角距离”，即可得到等于6的点； （2）求出点P与原点O的“横2倍直角距离”表达式，，根据的取值，去掉绝对值号，化简得到直线方程，根据取值范围，坐标轴交点，即可得到图形； （3）设，，，因为，根据的取值分情况讨论，求出的取值范围． 【详解】（1）解：， ， ， 与原点O的“横2倍直角距离”等于6的点是：． （2）解：， 分情况，去绝对值， ①，，即，在第一象限，坐标轴交点； ②，，即，在第二象限，坐标轴交点； ③，，即，在第三象限，坐标轴交点； ④，，即，在第四象限，坐标轴交点． 在直角坐标系中，画出这几条线段，效果如下 （3）解：设，，则， 根据题意得 ， 分两种情况讨论， ①当时， ， 当取最大值2，在点取得最大值，即时，取得最大值，如下图 ，解得， 当取最小值1，在点取得最小值，即时，取得最小值，如下图 ，解得 ． ②时， ， 当取最大值2，在点取得最大值，即时，取得最大值，如下图 ，解得， 当取最小值1，在点取得最小值，即时，取得最小值，如下图 ，解得， ， 综上所述，m的取值范围为：或． 例2．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴不平行，点P为直线l外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即， 定义理解： （1）如图2，若直线l的表达式为 与x轴和y轴分别交于A，B两点，求．（点O为坐标原点） 定义运用： （2）如图3，将直线l： 沿y轴向上平移n个单位长度后得到直线 m，与x轴和y轴分别交于D，C两点，当 时 （点O为坐标原点），求平移距离n的值； 定义拓展： （3）在（2）的条件下，y轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形，且点Q关于直线l的“L路径”与直线m有交点．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握求一次函数与坐标轴交点的方法以及讨论等腰三角形的存在性． （1）求出点A和点B的坐标，即可解答； （2）求出点C和点D的坐标，根据，列出方程，即可解答； （3）根据等腰三角形的性质，进行分类讨论：当点Q在y轴上时，分3种情况进行讨论，结合“L路径”的定义，即可解答． 【详解】解：（1）把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ； （2）∵将直线l： 沿y轴向上平移n个单位长度后得到直线 m， ∴直线m： ， 把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ， ， 解得：； （3）， 、， 根据勾股定理可得：， 点Q在y轴上，共分为三种情况： 第一种情况，当时， 或， 点关于直线l的“L路径”与直线m没有交点，故不符合题意， 即只有符合题意； 第二种情况，当时， ， ， ； 第三种情况，当时， 设， ， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：， ； 综上所述，存在，点的坐标为或或． 例3．（25-26八年级下·北京·期中）阅读理解： 【新定义】对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”． 【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知个点：、、、，以上这四个点中______是线段的“等距点”，______是线段的“完美等距点”（填写大写字母）； (2)若点在第三象限，且，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (3)若点是线段的“完美等距点”，则称为的“完美等距三角形”．点在第一象限，是轴上一个动点，是否存在这样的点，使点在的“完美等距三角形”上且为线段的“完美等距点”．若存在，请直接写出点横坐标的取值范围______． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（）先根据等距点定义，得出线段的等距点在的垂直平分线上，筛选出横坐标为的；再根据完美等距点需满足 的要求，用勾股定理逆定理验证，做出判断； （）先根据点在直线上且在第三象限、的条件，代入直线方程和两点间距离公式求出点坐标；再根据在轴上且为线段的等距点，利用列方程，解出点的纵坐标，得到其坐标； （）根据“完美等距点”定义，先设出直线上点的坐标，再结合同时为线段 的“完美等距点”的条件，利用垂直平分线的几何关系利用数形结合可得． 【详解】（1）解：线段端点、，“等距点”满足 ， 因此等距点在的垂直平分线上， 四个点中横坐标为的是、 、 ， ∴这三个是等距点， “完美等距点”还需要满足 ， 由勾股定理逆定理：点： ，，，，符合； 同理可得： ： ，不符合； ： ，不符合； ∴完美等距点只有； （2）解：∵在上， ∴， ∵在第三象限， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ， 解得：， ∴ ，即 ， 设 ，是的等距点， ∴，即：， 整理，得 ， 解得：， ∴坐标为； （3）解：∵点是直线上， ∴ （，第一象限）， ∵点是线段的“完美等距点”， ∴满足，， 此时四边形为正方形， ∵是轴上一个动点，使点在的“完美等距三角形”上且为线段的“完美等距点”． 如图：是的垂直平分线，是的垂直平分线，交于点， ∴点在过且与轴成的两条互相垂直的直线上， 当点与点重合时， ∵，点的坐标为， ∴，， ∴ ∴, ∴， ∴当正方形与过且与轴成的两条互相垂直的直线有交点时， ∴. 例4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）定义：一次函数与为常数，且互为“异号函数”．如：与互为“异号函数” (1)已知点在的“异号函数”的图象上，求的值， (2)请直接写出一次函数的“异号函数”，并求当时该“异号函数”的最大函数值； (3)一次函数的图象如图所示，若一次函数在范围内的部分记为函数，一次函数的“异号函数”在范围内的部分记为函数，和组成新函数，当时，，则__________，__________． 【答案】(1)2 (2)， (3)， 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质： （1）把点 代入的“异号函数”，即可求解； （2）根据题意可得一次函数的“异号函数”为，再根据一次函数的增减性解答即可； （3）根据题意画出新函数的图象，再结合一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：的“异号函数”为， ∵点在的“异号函数”的图象上， ∴，解得：； （2）解：一次函数的“异号函数”为， ∵， ∴函数的函数值y随x的增大而减小， ∴当时该“异号函数”的最大函数值为； （3）解：一次函数的“异号函数”为， 新函数的图象，如图： 对于一次函数，当时，y随x的增大而增大， 当时，，当时，， 对于一次函数，当时，y随x的增大而减小， 当时，，当时，， ∴当时，， ∵当时，， ∴． 故答案为：；2 变式训练 变式1．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）新定义：对于给定的一次函数有（，、为常数），我们称一次函数为“原函数”，一次函数为“原函数”的“相关函数”． 例如：对于关于的一次函数的“相关函数”为． (1)直接写出“原函数”的“相关函数”的表达式． (2)若一次函数的“原函数”的图象与它的“相关函数”的图象交于点． ①求点的坐标； ②若直线与一次函数的“原函数”的图象与它的“相关函数”的图象分别交于点，，点在轴上，当的面积为6时，求点的坐标． (3)在平面直角坐标系中，点、的坐标分别是，，连接，将“原函数”的图象位于轴上半部分与它的“相关函数”的图象位于轴上半部分记作图形，当图形与线段的交点有且只有1个时，求的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)①；②或 (3)； 【分析】本题考查了一次函数的性质，两直线交点问题，一次函数与坐标轴交点问题； （1）根据定义将一次项系数取相反数，常数项取相反数，即可求解； （2）①根据定义函数与相关函数的交点，联立方程，即可求解； ②分别求得的坐标，根据的面积为6，建立方程，解方程，即可求解； （3）根据题意得出“原函数”的“相关函数”为，则和都经过点，画出图形，找到临界值，代入的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：原函数为，根据定义，其相关函数为 答案：； （2）①原函数与相关函数的交点， 解得：，代入原函数得，故A点坐标为． ②原函数与直线联立： ， 解得： 把代入得，故点为． 相关函数与直线联立： ， 解得： 把代入得，故点为 如图，设与轴交于点， 当时，，则， 设． ∵的面积为6， ∴ ∴ 解得：或 故点的坐标为或． （3）“原函数”的“相关函数”为， 当时，， ∴和都经过点， 如图， 当经过点时，取得最小值， ∴，解得： 当经过点时，取得最大值， ∴，解得： 故答案为：；． 变式2．（24-25八年级上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，给出如下新定义：对于任意一点和给定的正整数n，如果满足，则把点称作“精致点”． (1)是“精致点”，当，时， ； (2)在第一象限内，当时， ①设“精致点”的横坐标为x，那么纵坐标可以用含x的代数式表示为 ； ②如图直线l经过和，求出直线l所对应的函数表达式，并判断该直线在第一象限内是否存在“精致点”．如果有，请求出其“精致点”的坐标，如果没有，请说明理由； (3)若直线上存在“4−精致点”，请直接写出实数b的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②，该直线在第一象限内不存在“精致点”，见解析 (3) 【分析】根据“精致点”的定义，将n和x代入即可得y值； ①根据“精致点”的定义，将n代入，再根据点在第一象限，去绝对值求解即可； ②求出直线l的表达式，再联立求出交点坐标，看其是否在第一象限即可判断； 利用解析式设P坐标为，根据“精致点”定义可知，去绝对值分类讨论，用b表示出m，进而建立不等式求解即可． 【详解】（1）， ， 当时，， 故答案为：； （2）①当时， ， 点P在第一象限， ， ， 即， 故答案为：； ②设直线l的表达式为， 直线l经过和， ， 解得， 直线l的表达式为； 结论：该直线在第一象限内不存在“精致点”， 由①知：在第一象限内有“精致点”， 可化为， 联立， 解得， 此时交点不在第一象限，即该直线在第一象限内不存在“精致点”； （3）在上， 设， 点P是“精致点”， ， ①当时， ， ， ， 解得：； ②当时， ， ， ， 解得； 综上， 变式3．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）新定义问题 在平面直角坐标系中，点M的坐标为，点N的坐标为，且，．若M，N为长方形对角线上的两个顶点，且该长方形的边均与坐标轴垂直，则称该长方形为点M，N的“相关长方形”，如图①为点M，N的“相关长方形”示意图．若点，．    (1)当时，在图②中画出点P，Q的“相关长方形”（逆时针方向，下同），并求它的周长； (2)若点P，Q的“相关长方形”为正方形，求m的值； (3)已知一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，若在线段上存在一点C，使得点C，Q的“相关长方形”是正方形，写出满足条件的一个m的值． 【答案】(1)，图形见解析 (2)或 (3)（或范围内均可） 【分析】本题主要考查新定义问题，一元一次函数的图像和性质，矩形的性质，正方形的性质，准确理解题目中的“相关长方形”的定义是解题的关键． （1）根据点、的“相关长方形”的定义画出图形，利用矩形的周长公式即可求出点、的“相关长方形”的周长； （2）利用点、的“相关长方形”的定义可得：，即，根据正方形的性质得到，即，解方程即可得到答案； （3）设，且，则，，得到，根据正方形的性质得到，得到，利用不等式的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：当时，，点、的“相关长方形”如图所示： 四边形是矩形， ， 矩形的周长；    （2）解：， 轴，轴，轴，轴， ， ， 四边形是正方形， ， ， 或； （3）解：在一次函数中，令，得， 令，得， ， 在线段上， 设，且，则，， 得点、的“相关长方形”是正方形， 即四边形是正方形， ，即， 或 当时， ，即； 当时， ，即； 综上所述，的取值范围为或． 则．    变式4．（25-26八年级上·广东深圳·期末）【新定义】 若两条直线和的交点在x轴上，且直线l分别与直线交于点，与直线交于点（P、Q不与原点重合），则称直线l是和的“美好对应轴”． 例：如图1所示，与相交于点，直线分别与，交于点和点，称直线l是和的“美好对应轴”． （1）若直线l是和的“美好对应轴”，已知直线l与交点为，则另外一个交点Q（____，____）； （2）如图2所示，已知，，请判断是否为和的“美好对应轴”，并说明理由； （3）如图3所示，已知，，若l是和的“美好对应轴”，请求出的函数表达式． 【拓展研究】 （4）如图4所示，，直线l是和的“美好对应轴”，l和交于点P，l和交于点Q，连接、，若的面积和的面积存在两倍关系，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）2，3；（2）是，理由见解析；（3）；（4）点P的坐标为或，， 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点，两个一次函数图象的交点，待定系数法求解析式，平面直角坐标系中三角形的面积，理解“美好对应轴”的定义是解题的关键． （1）根据直线l与直线，直线的交点坐标特点即可解答； （2）根据“美好对应轴”的定义判断即可； （3）求出直线与x轴的交点为，与直线l的交点为，根据“美好对应轴”的定义得到直线过点，，运用待定系数法求解即可； （4）由直线与x轴的交点为，得到，设，则，得到，，根据的面积和的面积存在两倍关系，得到或，分两种情况分别求解即可． 【详解】解：（1）∵直线l与交点为， ∴另一交点Q的坐标为． 故答案为：2，3． （2）直线l是和的“美好对应轴”，理由如下： ∵解方程组得， ∴直线与直线的交点为，该交点在x轴上； ∵解方程组得， ∴直线与直线的交点为， ∵解方程组得， ∴直线与直线的交点为， ∴是和的“美好对应轴”． （3）∵对于直线，令，则，解得， ∴直线与x轴的交点为， ∵解方程组得， ∴直线与直线的交点为， ∵l是和的“美好对应轴”， ∴直线过点，， 设直线的函数解析式为， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为． （4）直线与x轴的交点为， ∴，， ∵l和交于点P， ∴设， ∵l和交于点Q，直线l是和的“美好对应轴”， ∴， ∴， ， ∵的面积和的面积存在两倍关系， ∴或， ①当时，， 解得或， 当时，，则； 当时，，则； ②当时， 解得或， 当时，，则； 当时，，则； 综上所述，点P的坐标为或，，． 实战演练 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【材料：学习理解】 定义1：在平面直角坐标系中，点到点的“纵横值”定义为：．例如：到的“纵横值”． 定义2：在平面直角坐标系中，点到射线（或线段）的“纵横值”定义为：点到上所有的“纵横值”的最小值，此时上的对应点称为点在上的“纵横点”．例：求到射线的“纵横值”及在上的“纵横点”坐标． 分析：射线上任一点的坐标可表示为，则．结合正比例函数的图象可知，当时，的最小值为，即“纵横值”，此时在上的“纵横点”为． 【任务1：特值感悟】若坐标为， ①到的“纵横值” （直接写出）； ②求到线段的“纵横值”及在上的“纵横点”坐标（写过程）； 【任务2：拓展应用】若，，且，则与的关系式为： （直接写出）； 【任务3：能力提升】若点在某条线段上的“纵横点”坐标为，相应的“纵横值”是8，点在直线上， ①所有满足条件的点和直线以及轴组成了一个封闭图形，请在下图中的平面直角坐标系中画出该封闭图形； ②若，过点的直线将任务3的①中封闭图形的面积分成两部分，直接写出直线的表达式 ． 【答案】任务1：①，②，；任务2：；任务3：①见详解，②或 【分析】任务1：①由“纵横值”定义得，即可求解； ②设线段上任一点的坐标为，由“纵横值”定义即可求解； 任务2：由“纵横值”定义和得，即可求解； 任务3：①设，由“纵横点”和“纵横值”的定义得，根据要求画出图形，即可求解； ②设，，由“纵横点”求出，可得点为直线与直线的交点，由待定系数法求得直线的解析式为； 同理可求另一条直线，即可求解． 【详解】解：任务1： ①； 故答案为：； ②设线段上任一点的坐标为， ， ，， 当时， ， 即“纵横值”，此时在上的“纵横点”为． 任务2： ， ， 整理得：， 故答案为：； 任务3：①设， “纵横点”坐标为，“纵横值”是8， ， 整理得：， 所有满足条件的点和直线以及轴组成了一个封闭图形，如下： ②设，， ， ， 整理得：， ， 联立得， 解得， 点为直线与直线的交点， 由图得， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得， 直线的解析式为； 同理可求直线的解析式为； 故答案为：或． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）阅读理解：在平面直角坐标系中，给出如下定义： 定义一：若有三点，，，且，则称点是，的轴美点； 定义二：若函数图像上存在某点到轴和轴的距离中，其中一个距离是另一个距离的2倍，则称点为该函数的“倍美点”，此函数称为“倍美函数”，如点是函数图像上的点，所以函数是“倍美函数”，点是该函数的“倍美点”．像、等则是特殊的“倍美函数”． 根据以上材料，完成下列问题： (1)已知函数与轴和轴分别相交于点A，，若有三点、、，则其中是A、“轴美点”的是__________．（只填字母） (2)已知两点、． ①请说明点、的“轴美点”在函数上； ②在①的条件下，若“倍美函数”上存在点，使得点既是，“轴美点”，又是此函数的“倍美点”，求出的值． (3)已知“倍美函数”，是否存在整数使得该函数恰好具有三个“倍美点”？若存在，直接写出值和“倍美点”坐标；若不存在，简要说理． 【答案】(1)D (2)①见解析；②7或或 (3)或 【分析】（1）分别求出各点到点A、B的距离，若相等，即为A，B的“轴美点”，据此判断即可； （2）①设函数上一点M为，利用两点间的距离公式得到的长度，可得，那么点G、H的“轴美点”在函数上；②根据点P在上，设出点P的坐标，进而根据“倍美点”的定义一个距离是另一个距离的2倍得到点P的坐标，代入“倍美函数”上即可求得m的值； （3）易得“倍美函数”关于直线对称，那么画出相关图象，得到与直线，时恰好有3个交点时的位置，计算出相关交点即可． 【详解】（1）解：∵与x轴和y轴分别相交于点A，B， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∵点、、， ∴，；， ∵， ∴是A、B“轴美点”的是D． 故答案为：D． （2）解：①证明：设函数上一点M为， ∵、， ，， ∴， ∴G、H的“轴美点”在函数上； ②由题意得：点， Ⅰ、， ∴或，解得：或； Ⅱ、， ∴或，解得：或无解； 当时，点P为， ∴，解得：； 当时，点P为， ∴，解得：； 当时，点P为， ∴，解得：． 综上：m的值为7或或． （3）解：∵“倍美函数”恰好具有三个“倍美点”， ∴与和恰好有3个交点， 如图：当时，恰好具有三个“倍美点”，分别是； 当时，恰好具有三个“倍美点”， 或，解得：或． ∴“倍美点”分别是或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $