4.1整式 教案 2026-2027学年青岛版数学七年级上册

该教案聚焦“整式”核心知识，涵盖单项式、多项式、整式的概念及相关要素。通过集装箱体积、黄豆蛋白质含量等生活情境导入，衔接上章代数式知识，搭建从具体到抽象的学习支架，引导学生发现特殊代数式的特点。 此资料以核心素养为导向，通过情境教学和探究发现法，培养数学抽象（从生活问题抽象整式概念）、逻辑推理（辨析单项式与多项式联系）和直观想象（概念关系图）能力。实例丰富如公寓面积计算，讲练结合含易错提示，助力学生准确掌握概念，也为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

课题 4.1 整式 课型 新授课 课时 1课时 教材版本 青岛版数学七年级上册 教学方法 情境教学法、讲练结合法、探究发现法、归纳类比法 教学用具 多媒体课件、投影、练习本 一、核心素养目标 • 【数学抽象】通过集装箱体积、黄豆蛋白质含量等生活情境，抽象出单项式、多项式、整式的概念，发展数学抽象能力 • 【逻辑推理】通过探究单项式与多项式的联系与区别，培养归纳推理和逻辑思维能力 • 【直观想象】借助概念关系图直观表示单项式、多项式、整式、代数式之间的关系，深化分类思想，发展直观想象 • 【数学运算】能正确确定单项式的系数和次数、多项式的项和次数，提高数学运算和概念辨析能力 二、教学重难点 教学重点：单项式、多项式、整式的相关概念；单项式的系数和次数；多项式的项和次数 教学难点：单项式次数的确定；多项式次数的确定；厘清单项式、多项式、整式、代数式之间的关系 三、教学过程 【情境导入：生活中的代数式】（3分钟） 【教师活动】同学们，上一章我们认识了代数式，知道了用字母可以表示数，代数式可以像数一样进行运算吗？今天我们就来学习一类特殊的代数式——整式。 【学生活动】回顾上一章代数式的相关知识，思考代数式是否可以像数一样进行运算。 【教师活动】2022年，我国上海港集装箱的吞吐量突破4730万标准箱，连续13年蝉联全球第一。在全球货物运输中，集装箱是被广泛使用的一种大型成组工具。为便于使用机械设备装卸和搬运，实现船舶、港口、公路等多种方式的高效联运，集装箱的规格、型号都有一定的标准。 【教师活动】图中两个集装箱均为长方体，宽均为a m，高均为b m，其中一个的长为9 m，另一个的长为6 m。它们的体积分别是多少？它们的总体积是多少？ 图1 集装箱示意图 【学生活动】思考并回答：长方体体积=长×宽×高，第一个集装箱体积是9ab m³，第二个是6ab m³，总体积是(9ab+6ab) m³。 【知识点】生活中的许多数量关系都可以用代数式来表示，本节课我们将研究一类特殊的代数式——整式。 理解要点：用字母表示数是代数的基础，代数式可以简洁地表示数量关系。本节课我们将学习整式的相关概念，为后续学习整式的运算打下基础。 【过渡语】下面我们通过几个具体的例子，来观察这些代数式有什么特点。 【探究一：观察与发现——生活中的代数式】（4分钟） 【教师活动】请同学们看下面几个问题，用代数式表示其中的数量关系。 【教师活动】(1) 黄豆是一种富含蛋白质的食物，每克黄豆的蛋白质含量约为0.363g，则x g黄豆的蛋白质含量约为多少？ 【学生活动】思考回答：每克含0.363g蛋白质，x克就有x个0.363g，所以蛋白质含量约为0.363x g。 【教师活动】很好！答案是0.363x g。 【教师活动】(2) 如何表示p²的相反数？ 【学生活动】思考回答：一个数的相反数就是在它前面加上负号，所以p²的相反数是-p²。 【教师活动】正确！p²的相反数是-p²。 【教师活动】(3) 某志愿团有八年级学生n人，七年级学生比八年级学生的一半少1人，用代数式表示该志愿团七年级学生的人数。 【学生活动】思考回答：八年级学生的一半是n/2人，比一半少1人就是(n/2 - 1)人。 【教师活动】非常好！七年级学生人数为(n/2 - 1)人。 【教师活动】(4) 下图是某公寓的建筑平面示意图，用代数式表示这间公寓的建筑面积。 【学生活动】思考：可以把公寓分成几个长方形来计算面积，然后相加。总面积应该是(x² + 5x + 3) m²。 【教师活动】对！这间公寓的建筑面积是(x² + 5x + 3) m²。 【知识点】我们得到了以下代数式：9ab，6ab，0.363x，-p²，n/2 - 1，x² + 5x + 3。 判断技巧：列代数式的关键是读懂题意，理清数量关系。注意'的相反数''比……少''建筑面积'等关键词的含义。 【过渡语】观察这些代数式，它们有什么不同呢？我们来分类研究一下。 【探究二：思考与交流——代数式的分类】（3分钟） 【教师活动】请同学们观察这些代数式，想一想它们的运算有什么特点。我们以9ab和x²+5x+3为例来分析。 【教师活动】9ab可以写成9×a×b，这里面只有乘法运算。也就是说，9ab是数字9与字母a、b的乘积。 【学生活动】观察并理解：9ab = 9×a×b，只有乘法运算，是数与字母的乘积。 【教师活动】再看-p²，它可以写成-1×p×p，同样只有乘法运算，是数字-1与字母p、p的乘积。 【学生活动】理解：-p² = -1×p×p，也只有乘法运算。 【教师活动】那么x²+5x+3呢？它既有乘法运算（x²=x·x，5x=5×x），又有加法运算。像这样的代数式，我们可以看成是几个单项式的和。 【学生活动】思考：x²+5x+3可以看成x²、5x、3这三部分的和，每一部分都是数与字母的乘积。 【教师活动】像9ab、0.363x、-p²这样，只有乘法运算的代数式，我们给它们起一个名字，叫做单项式。像x²+5x+3这样，几个单项式的和，我们叫做多项式。 【知识点】代数式可以分为两类：一类是只有乘法运算的（数与字母的乘积），叫做单项式；另一类是几个单项式的和，叫做多项式。 重点强调：判断一个代数式是不是单项式，关键看它是不是只有乘法运算（包括乘方）。如果有加减运算，那就是多项式了。 【过渡语】下面我们来系统学习单项式的概念。 【新知探究：单项式的概念】（4分钟） 【教师活动】由数与字母的乘积组成的代数式，叫做单项式。特别地，单独的一个数或一个字母也是单项式。比如5、a、-3都是单项式。 【学生活动】理解单项式的定义：数与字母的乘积。单独的数或字母也是单项式。 【教师活动】请同学们判断：下列代数式哪些是单项式？为什么？ ① 3x ② a+b ③ x² ④ 1/x ⑤ -5 ⑥ πr² 【学生活动】思考并回答：①3x是数3与字母x的乘积，是单项式；②a+b有加法运算，不是单项式；③x²是x与x的乘积，是单项式；④1/x分母有字母，不是数与字母的乘积，不是单项式；⑤-5是单独的一个数，是单项式；⑥πr²是数π与r²的乘积，是单项式。 【教师活动】非常好！①③⑤⑥是单项式，②④不是单项式。这里要特别注意：π是一个常数，是数字不是字母，所以πr²是单项式。 【知识点】单项式定义：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 易错提示：分母中含有字母的式子不是单项式，因为它不是数与字母的乘积，而是数与字母的商。例如x分之一、b分之a都不是单项式。 【过渡语】认识了单项式，我们再来学习单项式的两个重要概念：系数和次数。 【新知探究：单项式的系数和次数】（5分钟） 【教师活动】单项式中的数字因数，叫做这个单项式的系数。比如在单项式9ab中，数字因数是9，所以9ab的系数是9。 【学生活动】理解：单项式的系数就是单项式中的数字因数。9ab的系数是9。 【教师活动】再看-p²，它的数字因数是什么呢？-p²可以写成-1×p²，所以数字因数是-1，也就是说-p²的系数是-1。 【学生活动】理解：-p²的系数是-1，这里的负号不能丢。 【教师活动】一个单项式中，所有字母的指数的和，叫做这个单项式的次数。比如9ab中，a的指数是1，b的指数是1，所以所有字母指数的和是1+1=2，9ab的次数是2。 【学生活动】理解：单项式的次数是所有字母指数的和。9ab中a¹b¹，次数是1+1=2。 【教师活动】再看-p²，字母p的指数是2，所以-p²的次数是2。a³b中，a的指数是3，b的指数是1，所以次数是3+1=4。 【学生活动】计算并记忆：a³b的次数是3+1=4。 【教师活动】对于单独的一个非零的数，规定它的次数为0。比如6的次数是0，-3的次数也是0。 【学生活动】记住：单独一个非零数的次数是0。 【知识点】单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做单项式的次数。 单独的一个非零数的次数是0。 重点强调：确定单项式的系数时，要把数字因数（包括符号）全部带上。确定次数时，只算字母的指数，数字的指数不算。 【过渡语】下面我们通过填表练习，来巩固单项式的系数和次数。 【任务一：单项式系数次数填表练习】（4分钟） 【教师活动】请同学们填写下表，指出各单项式的系数和次数。 【教师活动】单项式：-2x²，a³b，6 【学生活动】独立思考，逐个分析： -2x²：数字因数是-2，系数是-2；字母x的指数是2，次数是2。 a³b：数字因数是1（省略不写），系数是1；a的指数是3，b的指数是1，次数是3+1=4。 6：单独的一个数，系数是6，次数是0。 【教师活动】我们来核对一下答案： -2x²的系数是-2，次数是2； a³b的系数是1，次数是4； 6的系数是6，次数是0。 大家都填对了吗？ 【学生活动】对照答案，检查自己的结果。注意系数为1时可以省略不写，但要知道它的存在。 【教师活动】这里有几个容易出错的地方，请同学们注意：当单项式的系数是1或-1时，1通常省略不写，比如a²的系数是1，-abc的系数是-1。但省略不等于没有，同学们心里要清楚。 【知识点】填表练习： -2x²的系数是-2，次数是2； a³b的系数是1，次数是4； 6的系数是6，次数是0。 易错提示：①单项式的系数包括前面的符号；②系数是1或-1时，1省略不写，但仍然存在；③次数只算字母的指数，数字的指数不算；④单独一个非零数的次数是0。 【过渡语】关于单项式我们就学到这里。下面我们来学习多项式的相关概念。 【新知探究：多项式的概念】（4分钟） 【教师活动】前面我们提到，像x²+5x+3这样的代数式，是几个单项式的和，我们把它叫做多项式。 【教师活动】多项式中的每个单项式，都叫做这个多项式的项。比如多项式x²+5x+3有三项，分别是x²、5x和3。 【学生活动】理解：多项式的项就是组成多项式的每个单项式。x²+5x+3有三项：x²、5x、3。 【教师活动】其中不含字母的项，叫做常数项。在x²+5x+3中，3不含字母，所以3是常数项。 【学生活动】理解：常数项就是不含字母的项。x²+5x+3中的常数项是3。 【教师活动】请同学们特别注意：多项式的每一项都包括它前面的符号。比如多项式2x²-3x-4，它的项是2x²、-3x和-4，而不是3x和4。 【学生活动】理解并记忆：多项式的项包括前面的符号。2x²-3x-4的各项是2x²、-3x、-4。 【教师活动】多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。比如在x²+5x+3中，x²的次数是2，5x的次数是1，3的次数是0，次数最高的项是x²，次数是2，所以这个多项式的次数是2。 【学生活动】理解：多项式的次数是次数最高的项的次数，不是所有项次数的和。x²+5x+3的次数是2。 【知识点】多项式定义：几个单项式的和叫做多项式。 多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项。 常数项：不含字母的项叫做常数项。 多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数。 理解要点：多项式的项要带符号，多项式的次数是'最高项的次数'，不是所有项次数的和，这一点和单项式不同。 【过渡语】学习了多项式的概念，下面我们通过例题来巩固一下。 【例题精讲：例1 判断单项式还是多项式】（5分钟） 【教师活动】例1 判断下列代数式是单项式还是多项式。如果是单项式，指出它的系数和次数；如果是多项式，指出它的各项，并指出这个多项式是几次几项式。 【教师活动】我们先看前三个：(1) -2x²；(2) a³b；(3) 6 【学生活动】思考回答： (1) -2x²是单项式，系数是-2，次数是2； (2) a³b是单项式，系数是1，次数是4； (3) 6是单项式，系数是6，次数是0。 【教师活动】很好！这三个都是单项式。接下来我们看后面三个：(4) n³-1；(5) a²+2ab+b²；(6) 2x²-3x-4 【学生活动】思考：这三个都有加减运算，应该是多项式。逐项分析它们的项和次数。 【教师活动】(4) n³-1是多项式，它的项分别为n³和-1。n³的次数是3，-1是常数项次数为0，次数最高的项是n³，次数是3，所以它是三次二项式。 【学生活动】记录：n³-1是三次二项式，各项是n³和-1。 【教师活动】(5) a²+2ab+b²是多项式，它的项分别为a²、2ab和b²。各项的次数都是2，次数最高的项的次数是2，所以它是二次三项式。 【学生活动】记录：a²+2ab+b²是二次三项式，各项是a²、2ab、b²。 【教师活动】(6) 2x²-3x-4是多项式，它的项分别为2x²、-3x和-4。次数最高的项是2x²，次数是2，所以它是二次三项式。 【学生活动】记录：2x²-3x-4是二次三项式，各项是2x²、-3x、-4。 【教师活动】请同学们注意：多项式的命名必须用大写，即'几次几项式'中的数字要用汉字大写。比如'三次二项式'，不能写成'3次2项式'。 【知识点】例1解答： (4) n³-1是三次二项式，各项为n³、-1； (5) a²+2ab+b²是二次三项式，各项为a²、2ab、b²； (6) 2x²-3x-4是二次三项式，各项为2x²、-3x、-4。 重点强调：命名多项式时，'几次几项式'的数字必须用汉字大写（如一、二、三……），不能用阿拉伯数字。 【过渡语】学习了多项式的项和次数，我们再来看多项式的排列方式。 【新知探究：多项式的升幂排列与降幂排列】（3分钟） 【教师活动】我们来看多项式2x²-3x-4，它的各项是2x²、-3x、-4，是按字母x的次数从大到小的顺序排列的。这种排列叫做多项式按字母x的降幂排列。 【学生活动】理解：降幂排列就是按某个字母的次数从高到低排列。2x²-3x-4是按x的降幂排列的。 【教师活动】反过来，我们还可以将这个多项式写成-4-3x+2x²的形式，这是按字母x的次数从小到大的顺序排列的，这种排列叫做多项式按字母x的升幂排列。 【学生活动】理解：升幂排列就是按某个字母的次数从低到高排列。-4-3x+2x²是按x的升幂排列的。 【教师活动】请同学们注意：在重新排列多项式的各项时，每一项都要连同它的符号一起移动。交换位置时，符号要跟着项走。 【学生活动】记住：移动多项式的项时，要连同前面的符号一起移动。 【知识点】降幂排列：按某个字母的次数从大到小排列。 升幂排列：按某个字母的次数从小到大排列。 重新排列时，各项要连同它的符号一起移动。 易错提示：重新排列多项式时，各项的符号不能丢！第一项是正号时可以省略，其他项的符号必须跟项一起移动。 【过渡语】下面我们做一道练习题，巩固多项式的相关知识。 【课堂练习：多项式的项与次数】（4分钟） 【教师活动】请同学们看下面的练习题：分别指出下列多项式的各项及各项的系数，并指出是几次几项式。 【教师活动】(1) 6x+1；(2) 2a+3b 【学生活动】独立思考，逐项分析： (1) 6x+1的各项是6x和1，6x的系数是6，1的系数是1，最高次项是6x，次数是1，所以是一次二项式。 (2) 2a+3b的各项是2a和3b，2a的系数是2，3b的系数是3，各项次数都是1，所以是一次二项式。 【教师活动】我们来核对答案： (1) 6x+1的项是6x和1，各项系数分别为6和1，它是一次二项式。 (2) 2a+3b的项是2a和3b，各项系数分别为2和3，它是一次二项式。 【学生活动】对照答案检查，有错的地方及时订正。 【教师活动】关于多项式，我们再强调几个注意事项： 【教师活动】(1) 多项式的各项应包括它前面的符号； (2) 多项式没有系数的概念，但其每一项均有系数，每一项的系数也包括前面的符号； (3) 要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项（单项式）的次数，然后找次数最高的； (4) 一个多项式的最高次项可以不唯一。 【学生活动】记录并理解这四条注意事项，特别是'最高次项可以不唯一'。 【知识点】多项式注意事项： ①各项包括前面的符号； ②多项式没有系数，但每项有系数，系数包括符号； ③多项式次数=次数最高的项的次数； ④最高次项可以不唯一。 判断技巧：判断多项式的次数，就是先算每一项的次数，然后找出最大的那个次数，就是多项式的次数。注意不要把各项次数加起来。 【过渡语】学习了单项式和多项式，我们来给它们起一个统一的名字——整式。 【新知探究：整式的概念与关系】（4分钟） 【教师活动】单项式和多项式统称为整式。也就是说，整式包括单项式和多项式两部分。 【学生活动】理解：整式 = 单项式 + 多项式。 【教师活动】请同学们仔细想一想：单项式、多项式、整式、代数式之间有什么联系与区别？ 【学生活动】思考讨论：代数式的范围最大，整式是代数式的一部分，整式又包括单项式和多项式。 【教师活动】我们来梳理一下它们的关系：代数式分为有理式和无理式，有理式又分为整式和分式，整式又分为单项式和多项式。所以，单项式和多项式都是整式，整式都是代数式，但代数式不一定是整式。 【学生活动】理解概念之间的包含关系：代数式 ⊃ 有理式 ⊃ 整式 ⊃ 单项式、多项式。 【教师活动】举个例子：1/x是代数式，但它是分式，不是整式，更不是单项式或多项式。√x是代数式，但它是无理式，不是有理式。 【学生活动】通过例子加深理解：分母含字母的是分式，不是整式；根号里有字母的是无理式。 【知识点】整式定义：单项式和多项式统称为整式。 概念关系：代数式包含有理式和无理式；有理式包含整式和分式；整式包含单项式和多项式。 理解要点：判断一个代数式是不是整式，关键看分母中有没有字母。分母不含字母的有理式是整式，分母含字母的是分式。 【过渡语】下面我们对本节课的内容做一个总结。 【课堂小结】（2分钟） 【教师活动】通过本节课的学习，你有什么收获？请同学们回顾一下。 【学生活动】回顾本节课内容：学习了单项式、多项式、整式的概念，单项式的系数和次数，多项式的项、常数项和次数，还有升幂排列和降幂排列。 【教师活动】很好！我们一起来梳理一下本节课的主要内容： 【教师活动】1. 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式。系数是单项式中的数字因数，次数是所有字母指数的和。 【教师活动】2. 多项式：几个单项式的和叫做多项式。每个单项式是多项式的项，不含字母的项是常数项，次数最高的项的次数是多项式的次数。 【教师活动】3. 整式：单项式和多项式统称为整式。 【教师活动】4. 升幂排列与降幂排列：按某个字母的次数从小到大排列叫升幂排列，从大到小排列叫降幂排列。 【学生活动】跟随教师一起回顾，整理知识框架。 【知识点】本节课主要内容：单项式的概念、系数、次数；多项式的概念、项、常数项、次数；整式的概念；升幂排列与降幂排列。 重点强调：本节课的核心是概念辨析，要准确区分单项式与多项式，正确确定系数和次数，理解各概念之间的包含关系。 四、板书设计 五、教学反思 1. 本节课学生哪些地方容易出错？ 2. 哪些学生需要特别关注？ 3. 教学时间分配是否合理？ 4. 实验/探究环节是否达到预期效果？ 5. 有哪些生成性问题？如何处理？ 6. 下节课如何改进？ 学科网（北京）股份有限公司 $