4.2 合并同类项（基础讲义） 2025－2026学年青岛版（2024）数学七年级上册

本讲义聚焦“合并同类项”核心知识点，承接上节整式认识，通过生活实例（如集装箱体积、菜地面积）引入，引导学生探究同类项概念（所含字母相同且相同字母指数相同）及合并法则（系数相加、字母指数不变），构建从具体到抽象的学习支架。 资料以生活化情境（买早饭、上海港集装箱）培养数学眼光，通过问题链自主推理（用乘法分配律说明合并依据）发展数学思维，结合规范步骤梳理与例题练习强化数学语言。课中助教师引导学生主动建构知识，课后便于学生回顾法则与步骤，查漏补缺。

2024新版·7年级上册数学讲义·青岛版 第4章 整式的加法与减法 4.2 合并同类项 上一节我们认识了整式，整式是不是可以像数一样进行运算呢？ 引言 2022年，我国上海港集装箱的吞吐量突破4730万标准箱，连续13年蝉联全球第一。在全球货物运输中，集装箱是被广泛使用的一种大型成组工具。为便于使用机械设备装卸和搬运，实现船舶、港口、公路等多种方式的高效联运，集装箱的规格、型号都有一定的标准。 图中两个集装箱均为长方体，宽为a m，高为b m，其中一个的长为9 m，另一个的长为6 m。 导入新课 根据自身经验,买的时候小明可以直接买4+2+3=9(根)油条,3杯豆浆,而不是一份一份地去买。 早上妈妈让小明去买早饭,其中爸爸要四根油条,一杯豆浆;妈妈要两根油条,一杯豆浆;小明要三根油条,一杯豆浆.小明来到快餐店,先买了爸爸的四根油条,一杯豆浆;又买了妈妈的两根油条,一杯豆浆;最后买了自己的三根油条,一杯豆浆.他在买的过程中周围的人都被他逗笑了,你们知道他们为什么笑吗? 观察与发现 活动一：自主探究同类项的概念、合并同类项法则 问题: 请认真阅读下列问题及章引言,完成问题的解答。 问题1：小明家有一块菜地,分别种植了黄瓜和西红柿,黄瓜菜地和西红柿菜地都是长方形,其中黄瓜菜地的长为5 米,宽为a 米,西红柿菜地的长为a 米,宽为2 米,小明家的菜地总面积是多少? 问题2 章引言中的两个集装箱的体积分别为9ab 和6ab ,它们的总体积是多少? 思考： ① 小明家菜地的总面积怎么表示? 两个集装箱的总体积怎么表示? ② 它们能组合在一起吗? 如果能,分别可以组合成什么图形? ③ 组合后的新图形面积或体积是多少? ④ 根据等量关系,你能得到什么等式? ① 根据上图可得，小明家的菜地总面积是两块菜地的面积之和,为(5a+2a); 集装箱的总体积是两个集装箱的体积之和,为(9ab+6ab)。 组合 组合 ② 小明家的两块菜地可以组合成一个长为7米,宽为a 米的新长方形;两个集装箱可以组合成一个长为15 米,宽为a 米,高为b 米的新长方体,如上图所示。 ③ 新长方形的面积为7a ,新长方体的体积为15ab 。 ④ 根据组合前后的长方形面积和集装箱体积分别相等,得到5a+2a=7a;9ab+6ab=15ab。所以,小明家的菜地总面积是7a ;两个集装箱的总体积是15ab 。 思考与交流 活动二：识别同类项和合并同类项 5a+2a=(5+2)a=7a； 9ab+6ab=(9+6)ab=15ab。 问题3:你能用乘法对加法的分配律来说明为什么5a+2a=7a;9ab+6ab=15ab吗? 这就是说，运用乘法对加法的分配律可以将5a和2a,9ab和6ab分别合并成一项7a和15ab。 问题4:在多项式3-5y++y中,哪些项可以像问题3中的5a 和2a,9ab和6ab一样合并为一项? 它们有什么特征? 发现:3与所含字母都是x,且x的指数都是2.根据乘法对加法的分配律,得3+=(3+1)=4。 类似地,-5y与y所含字母都是x与y,且x的指数都是2,y的指数都是1,所以-5y+x2y=(-5+1)y=-4y。 问题5:你认为,在多项式中,什么样的项可以合并成一项? 怎样合并? 含有相同的字母,并且相同字母的指数也相同的项,能根据乘法的分配律结合在一起。把字母(连同指数)提出来,把系数相加。 概括与表达 (1)像3与,-5y与y这样,所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项。常数项都是同类项。 (2)把多项式中的同类项合并成一项,叫作合并同类项. (3)合并同类项法则:合并同类项时,把同类项的系数相加,所得的和作为系数,字母与字母的指数不变。 问题6:现在你知道导入中的买早饭涉及什么知识点了吗? 认识同类项及合并同类项后,明白了一个普通的买早饭蕴含着同类项和合并同类项的数学知识。 例题讲解 例1 下列整式中，不是同类项的是 。 ① 3b与-2b; ② -与a； ③ 与-； ④ 5与π。 解析： 1 3b与-2b所含字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项； 2 -与a所含字母相同，相同字母的指数不相同，不是同类项； 3 不含字母，-含字母x，不是同类项； 4 5和π都是常数项，所有常数项都是同类项。 故不是同类项的是②③ 答案: ②③ 归纳小结：判别是不是同类项时，只需看所含字母及其指数是否相同（常数项的同类项只能是常数项），跟系数和字母排列顺序无关。 【练一练】6xy 1. 在 - 5y + 6xy - 3 - 4y 中没有同类项的项是 。 2 2 2. 如果 2 与 -4是同类项，那么 m = ， n = 。 例2 合并下列各式中的同类项： （1）3+2； （2） -y - 6y； （3）2mn-5mn+10mn； （4）-3b+b+2b。 思考: （1）每个问题中的同类项分别有哪些? 请把它们写出来。 （2）你认为合并同类项实质上是在合并什么? 解析： (1)3+2中的同类项有3与2; -y - 6y中的同类项有-y与-6y; 2mn-5mn+10mn中的同类项有2mn,-5mn,10mn;-3b+b+2b中的同类项有-3b,b,2b. (2) 根据合并同类项法则,合并同类项实质上是在合并系数。 解：（1）3+2=（3+2）=5。 （2） -y - 6y=（-1-6）y = -7y。 （3） 2mn-5mn+10mn =（2-5+10）mn =7mn。 （4） -3b+b+2b=（-3+1+2）b=0。 例3 合并下列各式中的同类项： （1）4-7x+5-3+2+6x; （2）3+9+2ab-5-9。 思考:(1)每个问题中同类项分别有哪些? 请用不同的标记标出来,做标记的时候要注意什么? (2)存在没有同类项的项吗? 若存在怎么办? (3)能把同类项放到一起吗? 如果能,运用了什么原理? 移动同类项的时候要注意什么问题? (4)每组同类项之间用什么符号连接? 解析：(1)4-7x+5-3+2+6x中的同类项分别是4与-3;-7x与6x;5与2三组; 3+9+2ab-5-9中的同类项分别是3与-5;9与-9。做标记的时候,要注意连同符号一起做标记。 (2)3+9+2ab-5-9中2ab没有同类项,虽然2ab没有同类项,但它也是多项式中的一项,所以在计算中要跟着下来。 (3)根据加法交换律,可以移动同类项,从而能把同类项放到一起.移动同类项时,要注意连同符号一起移动。 (4)每组同类项之间是并列的关系,用加号连接。 解：（1）4-7x+5-3+2+6x =4-3-7x+6x+5+2 （加法交换律） =（4-3）+（-7x+6x）+（5+2） （加法结合律） =（4-3）+（-7+6）x+（5+2） （乘法对加法的分配律） =-x+7 （2）3+9+2ab-5-9 =3-5+9-9+2ab =（3-5）+（9-9）+2ab =-2+2ab。 归纳小结：合并同类项的一般步骤:(1)确定同类项(连同它的符号);(2)移动同类项(不是同类项的要跟着下来);(3)合并同类项。 【练一练】 1. 合并同类项： （1） y- y+3xy; （2）4+3+2ab-4-3；（3）3b-2ab+2+3ab-b-7。 解：（1） y- y+3xy =（1- ）y+3xy =y+3xy （按字母x的降幂排列） （2）4+3+2ab-4-3 =（4-4）+（3-3）+2ab = 2ab。 （3）3b-2ab+2+3ab-b-7 =（3-1）b+（-2+3）ab+（2-7） =-2b+ab-5。 例4 当x=，y=-2时，求多项式2y-2x+5y+x-4y的值。 思考：你认为怎么计算更简便? 是直接将x,y的值代入求值,还是先将这个多项式进行合并“瘦身”后,再代入求值? 提示：先化简,再代入求值更简单。 解： 2y-2x+5y+x-4y =2y+5y-4y-2x+x =3y - x， 当x=，y=-2时，原式=3××（-2）-×=- - = -2。 【练一练】 1.当a=-1,b=2时，求多项式4ab-3ab+ab-2的值。 解： 4ab-3ab+ab-2 =4ababab-3+-2 =-3-， 当a=-1,b=2时，原式=-3×-=-3-4=-7。 知识点梳理 知识点一 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项。常数项都是同类项。 归纳：（1）同类项要同时具备两个“相同”：①所含字母相同；②相同字母的指数相同。二者缺一不可。 （2） 同类项有两个“无关”：①同类项与系数“无关”；②与字母的排列顺序无关。 （3） 单独的一项不能说是同类项，同类项至少是对两项而言。 知识点二 合并同类项 1. 合并同类项的定义 把多项式的同类项合并成一项，叫作合并同类项。 2. 合并同类项的法则（简记为“一相加，两不变”） 合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的和作为系数，字母与字母的指数不变。 助记：合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母、指数留原样。 3. 合并同类项的步骤 （1） 一找：找出同类项，当项数较多时，通常在同类项的下面作上相同的标记； （2） 二移：运用加法的交换律、结合律将多项式中的同类项结合； （3） 三并：利用合并同类项法则，合并同类项； （4） 四写：合并后的结果按某个字母的降幂（或升幂）排列。 提示： （1） 只有同类项才能合并，不能合并的项，每步都要写上。 （2） 移动某一项的位置时，不要漏掉它的符号，特别注意“-”号。 （3） 合并同类项后的结果，若系数是带分数，则要化成假分数。 （4） 若合并同类项后系数是1或-1，则省去1。 （5） 合并同类项的依据是逆用乘法对加法的分配律。 练习（p88） 1. 合并下列各式中的同类项: （1）3x-5x; （2）-xy + xy; （3）-b - b。 解：（1）3x-5x=（3-5）x=-2x。 （2） -xy + xy=（- + ）xy=0。 （3） -b - b=（-1- ）b=- b。 2. 下列各式中的两项是否为同类项？如果是，请合并。 （1） +; （2）b+; （3）-3+2。 解：（1）不是同类项。 （2） 是同类项，b+=（+）b=b。 （3） 不是同类项。 练习（p89） 1. 合并下列各式中的同类项:· （1）3x-4y-2x+y; （2）-2xy-4+6xy; （3）b-5a-b+5a; （4）-+ -+x。 解：（1）3x-4y-2x+y=（3x-2x）+（-4y+y）=x-3y。 （2）-2xy-4+6xy=（-4）+（-2xy+6xy）=-3+4xy。 （3）b-5a-b+5a=（b-b）+（-5a+5a）=b。 （4）-+ -+x=（+ ）+（-）+x=-2+x。 2. 先化简，再求值：3-6y+1-+2y-4，其中y=-2。 解：3-6y+1-+2y-4=3--6y+2y+1-4=2-4y-3， 当y=-2时，原式=2×-4×（-2）-3=13。 重点内容总结合并同类项 同类项概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项 合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项 合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得的和作为系数，字母与字母的指数不变 化简求值：先合并同类项，再代入数值进行计算 1 学科网（北京）股份有限公司 $