专题01 有理数简便运算技巧专题突破（高效培优专项训练）数学新教材华东师大版七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数简便运算四大核心技巧，构建从运算律到裂项相消的递进式方法体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |运算律巧算乘除混合运算|6组题（含多道变式）|结合交换律、结合律、分配律简化运算|以有理数运算律为基础，通过符号意识优化运算步骤| |带分数拆分巧算|6组题（含对比解法）|整数与分数分离后分步运算|衔接分数与整数运算，培养数感与变形能力| |裂项相消法分数求和|6组题（含规律探究）|将分数拆分为差式实现消项|从具体算式到n阶公式推导，发展抽象能力与推理意识| |倒数法巧算有理数除法|6组题（含倒数转化）|先求商的倒数再取倒数得结果|利用倒数性质转化运算，体现数学思维的灵活性|

专题01 有理数简便运算技巧专题突破 题型一：运算律巧算乘除混合运算 题型二：带分数拆分巧算 题型三：裂项相消法分数求和 题型四：倒数法巧算有理数除法 题型一：运算律巧算乘除混合运算 1．下面各题，能简便计算的用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)8.4 (2)10 (3)2.4 (4) 【分析】本题考查了简单的四则混合运算，计算时先理清楚运算顺序，根据运算顺序逐步求解即可． （1）先同时计算除法和乘法，再算减法； （2）先把除法变成乘法，再根据乘法分配律简算； （3）根据减法的性质计算； （4）先根据乘法分配律简算，再根据加法结合律简算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 2．计算下面各题，能简便的 要简便． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)3 (2) (3)74 (4)2 【分析】本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算． （1）利用乘法的结合律计算； （2）先去括号，再计算即可； （3）运用乘法分配律和加法结合律计算； （4）先计算括号内的，再算乘除法，最后算加减． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 3．脱式计算（能简便的要简便运算） (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)2700 (2)66 (3)1000 (4) 【分析】本题考查有理数的四则混合运算、运算律，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）利用逆用乘法分配律简便运算即可； （2）利用加法交换律和结合律简便运算即可； （3）利用乘法交换律和结合律简便运算即可； （4）先把除法转化为乘法，再逆用乘法分配律简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．简便计算：必须用简便方法进行计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据有理数的加减运算进行计算即可求解； （2）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）解：              ； （2）解： ． 5．脱式计算（能简便的用简便方法计算）． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)19 (6)73 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先将除法转化为乘法，再算括号里的，最后计算乘法即可； （2）先将小数化为分数，再计算乘法即可； （3）先将除法化为乘法，再根据乘法计算，最后计算减法即可； （4）先将小数化为分数，再将除法化为乘法，根据乘法结合律计算即可； （5）先计算括号里的，再计算除法即可； （6）根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 6．计算： (1)； (2)简便计算：； (3)简便计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是有理数的混合运算. （1）先把减法化为加法运算，再计算即可. （2）根据有理数加减运算法则结合运算律求解即可； （3）根据有理数乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解： . （2）解： . （3）解： . 题型二：带分数拆分巧算 1．学习有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算． 有两位同学的解法如下： 小明：； 小军：． (1)以上解法，________的解法计算更为简便？ (2)你还有更好的解法吗？请写出来； (3)请你用简便方法计算：． 【答案】(1)小军 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了有理数的运算，解题关键是熟练运用乘法分配律进行简便运算； （1）根据两个人的解法判断即可； （2）可以把写成，再用乘法分配律进行计算； （3）按照上述方法求解即可． 【详解】（1）解：小军的解法更简便，计算量小，所以小军的解法较好， 故答案为：小军． （2）解：． （3）解：． 2．计算： 【答案】 【详解】解： . 3．拆项法．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加法计算，先将带分数拆分，利用加法交换律和结合律进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 4．对于可以如下计算： 解：原式 ___________ ___________ ___________ 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算： 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，解题的关键是理解题意． （1）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案； （2）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ， 故答案为：， （2） ， ， ． 5．阅读下列材料：计算：． 解：原式 ________________ ________________ ________________． 上面这种方法叫拆项法． 回答下列问题： (1)请补全以上计算过程． (2)类比上面的方法计算：． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算： （1）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案； （2）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： ． 6．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：类比上述方法，解决以下问题． 【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果： ； 【类比计算】（2）计算：； 【类比推理】（3）我们知道：；；；… ①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为： ． ②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：． 【答案】(1) ；（2）；（3）①；② 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据所给等式发现各部分的变化规律是解题的关键． （1）根据所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）结合上面发现的规律进行计算即可； （3）根据所给等式，发现规律，并据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知：，，⋯⋯， 所以，， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：①因为；；；… 所以，， 故答案为：； ② ． 题型三：裂项相消法分数求和 1．观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得： 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．规律应用： 计算：的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． 通过裂项求和法可以求得所求式子的值． 【详解】解： … 2．阅读材料： 在计算时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项——消项”法简化运算． ． 方法应用：试用“裂项—消项”法解下面各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． （1）根据题中的方法，进行“裂项——消项”法简化运算； （2）根据题中的方法，进行“裂项——消项”法简化运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果： ； 【类比计算】（2）计算：； 【类比推理】（3）我们知道：；；；；… ①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为： ②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②8432 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算法则和数字规律探索，理解题意是解决本题的关键． （1）根据题意即可得出结果； （2）先对式子提一个，再运用所得规律即可求解； （3）①根据题意即可得出结果；②先将原式变为，再提一个4，最后运用所得规律求解即可． 【详解】解：（1）由题意可得，， 故答案为：； （2）由题意可得， （3）①由题意可得，， 故答案为：； ②由题意可得， ． 4．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】 （1）猜想并写出：________； 【理解运用】 （2）类比裂项的方法：计算： 【迁移应用】 （3）探究并计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，会用裂项抵消法解答问题． （1）根据题目中的例子，可以写出相应的猜想； （2）根据式子的特点，采用裂项抵消法可以解答本题； （3）将题目中的式子变形，然后裂项抵消即可解答本题． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）由（1）得： ； （3） ． 5．观察下列各式： 我们把这一类恒等变形的过程叫做裂项．类似地，对于 ，可以用裂项的方法变形为类比上述方法，解答下列各题： (1)_________. (2)计算： _____. (3)计算： 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据题中给出的规律即可求出答案； （2）根据题中给出的规律展开计算即可求出答案； （3）先提取公因数，得到，再根据上面的规律裂项，对所求的式子进行整理，再求解即可． 【详解】（1）解：依规律可知：； （2）解： ； （3）解： ． 6．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程叫做裂项． 【类比探究】（1）猜想并写出： ① ； ② ． 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：． 【答案】 （1）① ，② ，（2） 【分析】（）根据题中材料即可求解； （）根据（）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算． 本题考查了有理数的四则混合运算，掌握裂项法是解题的关键． 【详解】解：（） ， 故答案为：，； （） ． 题型四：倒数法巧算有理数除法 1．数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明用了一种不同的方法解决了这个问题，他认为原式的倒数为，所以．请你运用小明的解法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，准确计算是解题的关键． 根据所给方法计算即可； 【详解】 ， ， ． 2．数学老师布置了一道思考题“计算：”小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题． 小明的解法： 原式 小红的解法： 原式的倒数为 故原式 请根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的简便算法，熟练掌握简便算法的技巧是解题的关键．先计算原式的倒数，利用乘法分配律可以更简便地计算，再取结果的倒数即可． 【详解】解：原式的倒数为 ， 故原式． 3．在学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法：“除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数．”请根据所学知识完成下列问题． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______； (2)计算：； (3)根据以上信息可知：______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的除法运算以及倒数，理解并掌握倒数的意义是解题的关键． （1）由题意直接根据倒数的定义即可求解； （2）先将除法运算化为乘法运算，再利用乘法分配律进行计算即可求解； （3）直接根据（2）的结果结合倒数的定义即可求解． 【详解】（1）解：，即， ， 即， 故答案为：； （2）解：原式， ， ； （3）解：由（2）可知，， ， 故答案为：． 4．我们知道对于非零有理数与互为倒数，所以求的值，就是求的值的倒数．现有一个计算题：． (1)若将看成，将看成，请写出的倒数，并利用上述方法将该题解答完整； (2)运用上述方法，计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查除法运算及倒数关系的应用，有理数的乘法运算．对于非零有理数 和 ，有 ． （1）先求出原式的倒数，再计算，取倒数即得到原式的值； （2）先求出原式的倒数，再计算，取倒数即得到原式的值，计算过程中需注意分数的通分和运算顺序． 【详解】（1）解：的倒数是：， ． ∴； （2）解：的倒数是：， ， 所以 ． 5．阅读下列材料：计算：； 解法一：原式； 解法二：原式； (1)上述得到的结果不同，你认为解法___________是错误的． (2)针对上述材料里的题目，下面是小明给出的解法，请把他的解法补充完整． 原式的倒数___________； 所以原式___________； (3)请你用（2）中小明的解法来计算：； 【答案】(1)一 (2)4； (3) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算、有理数的乘法分配律、倒数，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）解法一：使用除法分配律是错误的，解法二：先计算括号内的加减法，再计算除法是正确的，由此即可得； （2）先将除法转化为乘法，再计算乘法分配律，计算加减法，然后根据倒数的定义即可得； （3）先将除法转化为乘法，再计算乘法分配律，计算加减法，然后根据倒数的定义即可得． 【详解】（1）解：解法一：使用除法分配律是错误的，解法二：先计算括号内的加减法，再计算除法是正确的； 故答案为：一． （2）解：原式的倒数 ， 所以原式． 故答案为：4；． （3）解：原式的倒数 ， 所以原式． 6．（1）计算： （2）请你认真阅读下列材料：计算： 解：因为原式的倒数为 ． 所以原式 根据你对所提供材料的理解，计算： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先拆项，再利用加法结合律进行简便计算即可； （2）表示出原式的倒数，先将除法转化为乘法，然后利用乘法分配律求出值，进而确定出所求即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式的倒数 ． ∴原式． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数简便运算技巧专题突破 题型一：运算律巧算乘除混合运算 题型二：带分数拆分巧算 题型三：裂项相消法分数求和 题型四：倒数法巧算有理数除法 题型一：运算律巧算乘除混合运算 1．下面各题，能简便计算的用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 2．计算下面各题，能简便的 要简便． (1) (2) (3) (4) 3．脱式计算（能简便的要简便运算） (1) (2) (3) (4) 4．简便计算：必须用简便方法进行计算． (1) (2) 5．脱式计算（能简便的用简便方法计算）． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 6．计算： (1)； (2)简便计算：； (3)简便计算： 题型二：带分数拆分巧算 1．学习有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算． 有两位同学的解法如下： 小明：； 小军：． (1)以上解法，________的解法计算更为简便？ (2)你还有更好的解法吗？请写出来； (3)请你用简便方法计算：． 2．计算： 3．拆项法．计算：． 4．对于可以如下计算： 解：原式 ___________ ___________ ___________ 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算： 5．阅读下列材料：计算：． 解：原式 ________________ ________________ ________________． 上面这种方法叫拆项法． 回答下列问题： (1)请补全以上计算过程． (2)类比上面的方法计算：． 6．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：类比上述方法，解决以下问题． 【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果： ； 【类比计算】（2）计算：； 【类比推理】（3）我们知道：；；；… ①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为： ． ②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：． 题型三：裂项相消法分数求和 1．观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得： 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．规律应用： 计算：的值． 2．阅读材料： 在计算时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项——消项”法简化运算． ． 方法应用：试用“裂项—消项”法解下面各题： (1)； (2)． 3．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果： ； 【类比计算】（2）计算：； 【类比推理】（3）我们知道：；；；；… ①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为： ②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：． 4．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】 （1）猜想并写出：________； 【理解运用】 （2）类比裂项的方法：计算： 【迁移应用】 （3）探究并计算：． 5．观察下列各式： 我们把这一类恒等变形的过程叫做裂项．类似地，对于 ，可以用裂项的方法变形为类比上述方法，解答下列各题： (1)_________. (2)计算： _____. (3)计算： 6．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程叫做裂项． 【类比探究】（1）猜想并写出： ① ； ② ． 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：． 题型四：倒数法巧算有理数除法 1．数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明用了一种不同的方法解决了这个问题，他认为原式的倒数为，所以．请你运用小明的解法计算：． 2．数学老师布置了一道思考题“计算：”小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题． 小明的解法： 原式 小红的解法： 原式的倒数为 故原式 请根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 3．在学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法：“除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数．”请根据所学知识完成下列问题． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______； (2)计算：； (3)根据以上信息可知：______． 4．我们知道对于非零有理数与互为倒数，所以求的值，就是求的值的倒数．现有一个计算题：． (1)若将看成，将看成，请写出的倒数，并利用上述方法将该题解答完整； (2)运用上述方法，计算：． 5．阅读下列材料：计算：； 解法一：原式； 解法二：原式； (1)上述得到的结果不同，你认为解法___________是错误的． (2)针对上述材料里的题目，下面是小明给出的解法，请把他的解法补充完整． 原式的倒数___________； 所以原式___________； (3)请你用（2）中小明的解法来计算：； 6．（1）计算： （2）请你认真阅读下列材料：计算： 解：因为原式的倒数为 ． 所以原式 根据你对所提供材料的理解，计算： 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $