第1章 有理数单元复习（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级上册

该初中数学有理数单元复习讲义通过表格分类和层级化知识点梳理构建知识体系，涵盖有理数概念、运算、应用三大模块，用对比表格呈现有理数分类标准，以思维导图形式串联数轴、相反数、绝对值的内在联系，突出混合运算、绝对值应用等重难点。 讲义亮点在于“典例+变式”的分层练习设计，如结合古代“结绳记数”考查正负数应用，通过乘方规律探究培养推理意识，每种题型配套解题技巧指导，基础学生可掌握运算规则，优秀学生能提升综合应用能力，助力教师实施精准化复习教学。

第1章 有理数 教学目标 1.构建有理数全章知识体系，巩固有理数的相关概念，熟练掌握有理数的各类运算法则。 2.掌握数轴、相反数、绝对值的性质，能运用非负性、分类讨论思想解决相关问题。 3.熟练掌握科学记数法的表示与还原，能准确判断近似数的精确度，解决实际应用问题。 4.提升有理数混合运算的准确率与简便运算能力，能运用有理数知识解决实际生活问题。 教学重难点 1.重点 （1）有理数的混合运算与简便计算 （2）绝对值、乘方的性质与应用 （3）科学记数法与近似数的核心考点 2.难点 （1）绝对值的分类讨论与最值问题 （2）有理数运算中的符号处理与运算律灵活运用 （3）数轴动点、规律探究类综合问题 知识点01：有理数的基本概念 1.正负数的意义：大于0的数是正数，正数前加“-”号的数是负数；0既不是正数也不是负数，是正负数的分界，可作为基准量。正负数用于表示一对具有相反意义的量。 2.有理数的定义：整数和分数统称为有理数；整数包括正整数、0、负整数，分数包括正分数、负分数。 3.有理数的分类 分类标准 类别 包含内容 按定义分 整数 正整数、0、负整数 分数 正分数、负分数 按性质分 正有理数 正整数、正分数 0 —— 负有理数 负整数、负分数 知识点02：数轴 1.数轴三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 2.点与数的对应关系：所有有理数都可以用数轴上的点表示；数轴上右边的数总大于左边的数。 3.两点间距离：数轴上表示数和数的两点之间的距离为。 知识点03：相反数 1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0。 2.性质：若与互为相反数，则；数轴上互为相反数的两个点到原点的距离相等。 3.多重符号化简：结果的符号由负号的个数决定，负号个数为奇数时结果为负，为偶数时结果为正，正号不影响符号。 知识点04：绝对值 1.几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离，记作。 2.代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即 3.非负性：任意有理数的绝对值都是非负数，即。 知识点05：有理数的大小比较 1.数轴比较法：在数轴上，左边的数小于右边的数。 2.法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 3.作差比较法：若，则；若，则；若，则。 知识点06：有理数的加减运算 1.有理数加法法则 类型 法则 同号两数相加 取相同的符号，并把绝对值相加 异号两数相加 绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值；互为相反数的两数相加得0 与0相加 仍得这个数 2.加法运算律：交换律；结合律。 3.减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即。 4.加减混合运算：先将减法统一为加法，写成省略加号的和的形式，再运用运算律简化计算。 知识点07：有理数的乘除运算 1.乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0。 2.乘法运算律：交换律；结合律；分配律。 3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数；0没有倒数；求带分数的倒数先化为假分数，再交换分子分母。 4.除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。 5.多个有理数相乘符号法则：几个不为0的数相乘，负因数的个数为偶数时，积为正；负因数的个数为奇数时，积为负；有一个因数为0，积就为0。 知识点08：有理数的乘方 1.乘方的定义：求个相同因数的积的运算叫做乘方，记作；其中是底数，是指数，乘方的结果叫做幂。 2.符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。 3.易混辨析：的底数是，表示个相乘的相反数；的底数是，表示个相乘。 知识点09：有理数的混合运算 1.运算分级：加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。 2.运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右依次进行；有括号时，先算小括号内，再算中括号内，最后算大括号内。 3.简便运算技巧：灵活运用运算律，通过相反数结合、凑整结合、同分母结合、逆用分配律等方法简化计算。 知识点10：科学记数法 1.定义：把绝对值大于10的数表示成的形式（其中，为正整数），这种记数法叫做科学记数法。 2.的确定方法：等于原数的整数位数减1，也等于小数点向左移动的位数。 3.还原方法：将的小数点向右移动位，位数不足时补0；还原后数的整数位数为。 知识点11：近似数 1.准确数与近似数：与实际完全符合的数是准确数；与实际接近、存在偏差的数是近似数。 2.精确度：近似数四舍五入到哪一位，就说精确到哪一位；带计数单位、科学记数法形式的数，需还原后判断末位数字的数位。 3.取近似数的方法 四舍五入法：最常用，对精确数位的下一位四舍五入； 去尾法：保留数位后数字全舍去，适用于求“最多数量”的问题； 进一法：保留数位后只要有余数就进1，适用于求“最少数量”的问题。 4.准确数的取值范围：遵循“含小不含大”原则，如近似数，则准确数范围为。 题型01正负数的意义与有理数分类 根据正负数定义判断相反意义的量；按定义或性质对有理数分类，注意0既不是正数也不是负数，属于整数。 【典例1】. 5月12日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，将卫星精准送入预定轨道，发射任务圆满成功．若向上飞行5千米记作千米，向下降落3千米记作（     ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】B 【分析】根据“正”“负”的相对性，确定相反意义的量的表示方法． 【详解】解：∵题目规定向上飞行记为正，向下与向上是一对相反意义的量， ∴向下降落应记为负， ∴向下降落3千米记作千米． 【变式1】. 在，，，，，中，非负整数有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】非负整数指大于或等于0的整数，只需逐个判断给出的数，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：是负整数，不符合；是分数，不是整数，不符合；是大于等于的整数，符合；是负小数，不符合；是负分数，不符合；是大于的整数，符合； ∴ 符合条件的非负整数共有个． 【变式2】. 在零件尺寸检测中，如果一个零件的尺寸超出标准尺寸记作，那么低于标准尺寸记作__________． 【答案】 【详解】解：由题意可知，低于标准尺寸记作． 【变式3】. 将下列各数按照分类，填入下面对应的大括号内： ，，，，，0，，12，，，（7和8之间依次多一个0）． 整数集合：{_______…} 正有理数集合：{_______…} 分数集合：{_______    } 【答案】 整数集合：， 正有理数集合：， 分数集合：． 【分析】本题考查了有理数的分类． 根据整数、正有理数、分数的定义，进行分类即可． 【详解】解：，是无理数， 整数集合：， 正有理数集合：， 分数集合：． 题型02数轴、相反数、绝对值的基础化简 借助数轴确定点的位置与距离；求相反数直接改变符号；去绝对值先判断数的正负，再按代数法则化简。 【典例2】. 计算（或化简）： (1)； (2)； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了有理数的混合运算、整式的加减等知识． （1）化为省略加号的加法计算即可； （2）先计算乘方，再计算除法，最后计算加减法即可； （3）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2） （3） 【变式1】. 若，则________．化简________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的应用，化简多重符号．第一空根据绝对值的定义求解；第二空通过多重符号的化简规则计算． 【详解】解：由，得； 故答案为：； 【变式2】. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示： 化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值及整式的加减，熟知数轴上的点所表示数的特征及绝对值的性质是解题的关键． 先判断绝对值里面式子的正负，再根据绝对值的性质化简绝对值，然后去括号合并同类项即可． 【详解】解：由所给数轴可知，，且， ∴， ∴原式 ． 【变式3】. 化简：______     比较大小：______（填“”、“ ”或“”） 【答案】 / 【分析】先判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质去绝对值；根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，先比较绝对值的大小，再得到结果． 【详解】解： ， ∴， ∴； ，， ∴， ∴． 题型03有理数的大小比较 正数大于0大于负数；两个负数比较时，先求绝对值，绝对值大的数反而小；复杂情况可选用作差法或数轴法辅助判断。 【典例3】. 在数，0，1，4中，绝对值最小的数是（     ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】B 【详解】解 ，，，， 又 ， 绝对值最小的数是． 【变式1】. 如图，在数轴上有，，三个点． (1)，，这三个点表示的数分别是多少？ (2)，两点间的距离是多少？，两点间的距离是多少？ (3)若将点向右移动个单位长度后，则，，这三个点所表示的数谁最大？表示的数最大的点与表示的数最小的点的距离是多少？ 【答案】(1)，，这三个点表示的数分别是，， (2)； (3)点表示的数最大，表示的数最大的点与表示的数最小的点的距离是 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点距离计算，有理数比较大小，数轴上点的平移，解题的关键是理解数轴上两点之间的距离的计算方法，以及数轴上点的平移规律． （1）根据数轴直接解答即可． （2）根据数轴上两点距离公式直接解答即可． （3）根据点移动的规律求出点移动后表示的数，利用有理数的大小比较法则比较大小，然后计算两点之间的距离即可． 【详解】（1）解：观察数轴可知，，，这三个点表示的数分别是，，． （2）解：根据数轴可知；． （3）解：将点向右移动个单位长度后，点表示的数是（如图所示的点），此时点表示的数是，点表示的数是， ， 点表示的数最大，点表示的数最小， ，即表示的数最大的点与表示的数最小的点的距离是． 【变式2】. （1）把下列各式化为最简后，填在横线上； ①_____；②_____；③_____． （2）比较下各小题中两个数的大小，并简单的说明理由． ①与；   ②与；   ③与0 【答案】（1）①；②；③2；（2）①，理由见解析；②，理由见解析；③，理由见解析 【分析】本题考查了化简多重符号和绝对值、有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题关键． （1）根据化简多重符号和绝对值的方法求解即可得； （2）有理数的大小比较法则：正数大于0、负数小于0、正数大于负数、负数绝对值大的反而小，据此逐个解答即可得． 【详解】解：（1）①；②；③， 故答案为：①；②；③2． （2）①∵，，且， ∴． ②∵，， ∴． ③∵，， ∴． 【变式3】. 如图，数轴上每个刻度为个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是______； (2)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大连接起来． ，，，． 【答案】(1)4 (2) 有理数，，，在数轴上表示如图： 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离计算，有理数与数轴，化简多重符号和求一个数的绝对值： （1）根据题意可得点A与原点的距离为3，那么从点A的位置向右数3格即为原点位置，据此画出原点，再求出点B表示的数即可； （2）先计算绝对值和化简多重符号，再在数轴上表示出各数，最后根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】（1）解：如图所示， 点B表示的数是， 故答案为：； （2）解：，，，， 由数轴可知：． 题型04有理数乘方的运算 先判断底数的正负与指数的奇偶性，确定幂的符号，再计算绝对值的乘方；注意区分与的底数差异。 【典例4】. 下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据乘方的定义计算每个选项，即可判断正误． 【详解】解：对选项A， ， A错误； 对选项B， ， B错误； 对选项C， ， C错误； 对选项D， ， D正确． 【变式1】. 下列数字中最大的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简各选项的数，再根据实数大小比较法则判断最大数． 【详解】解：A、； B、； C、； D、∵，∴， 将四个数从小到大排列为： ． 【变式2】. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】（1）；（2）；（3）； （4）0.001；（5）；（6）1 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：. 【变式3】. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解：； （4）解：． 题型05有理数混合运算 严格遵循“先乘方、再乘除、后加减，括号优先”的顺序；以加减号为界分段计算，优先观察式子特点，运用运算律简便计算。 【典例5】. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算减法即可； （2）先计算乘方，再计算除法，最后计算减法即可； （3）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加法即可； （4）先计算乘方，再利用乘法结合律计算即可； （5）先计算乘方并把除法变为乘法，再计算乘法即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： =． （4）解： =． （5）解： ． 【变式1】. 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算，再把除法转化为乘法，用； （2）先算中括号内为，再算，再把两个得数相加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】. 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 【变式3】. 计算： (1)； (2)． 【答案】(1)（或或） (2) 【详解】（1）解： ， （2）解：． 题型06科学记数法与近似数 科学记数法先确定（满足），再按整数位数求；判断精确度先还原原数，看末位数字对应的数位；取近似数后末尾的0不可省略。 【典例6】. 据统计，贵州省2025年总量约为23600亿元，数据23600用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法的标准形式为，要求满足，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】解：∵把23600的小数点向左移动4位可得到，满足，， ∴． 【变式1】. 地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 【答案】A 【分析】用科学记数法表示绝对值大于的数，其科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，且的值为原数的整数位数减，据此求解即可． 【详解】解：，故A正确，B错误； 该数是一个位数，故C，D错误． 【变式2】. 用四舍五入法将数字精确到百分位得到的近似数是_____． 【答案】 【分析】本题考查近似数与精确度，精确到百分位，需对千分位的数字进行四舍五入即可得到结果． 【详解】解：精确到百分位即保留两位小数可得． 【变式3】. 用四舍五入法将130542精确到千位得到的近似数是（    ） A．131 B．130 C． D． 【答案】C 【分析】先用科学记数法表示，再根据近似数的要求将下一位数字四舍五入． 【详解】解： 130542用科学记数法表示为， 精确到千位得到的近似数是． 题型07非负性的综合应用 利用“若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0”列方程，求出字母的值后代入代数式计算；常见非负数有绝对值、偶次幂。 【典例7】. 若，则（   ） A．3 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值． 平方项和绝对值均非负，和为零则每项为零，从而求出 x 和 y 的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴且， ∴，， 解得，， ∴． 故选：D． 【变式1】. 已知，则的值是（ ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查非负数的性质，即几个非负数的和为零，则每个非负数均为零．也考查了有理数的加法． 根据非负数的性质，平方和绝对值均非负，它们的和为零，则每个部分必为零，据此求解即可． 【详解】解：∵且，且， ∴且， ∴，即， ∴，即， ∴． 故选B． 【变式2】. ，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根和平方的非负性，有理数的乘方，解题的关键是正确求得，的值，并掌握有理数乘方的性质． 根据算术平方根和平方的非负性得到，，求得，，得到，再根据乘方的性质求解代数值的值即可． 【详解】解：由题意可得，由可得且， 即，且， 解得，， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 【变式3】. 若，则、的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查偶次方、绝对值的非负性，解二元一次方程组，理解绝对值、偶次方的非负性是正确解答的关键．根据偶次方，绝对值的非负性，列出二元一次方程组，求出、的值即可． 【详解】解：，而，， ， 解得， 故选：C． 题型08有理数的实际应用 先确定基准量，用正负数表示各数据与基准的差值，再根据题意列式计算；结合生活实际判断结果的合理性。 【典例8】. 我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天． 【答案】38 【分析】由题意可知满五进一符合五进制计数规则，将各数位的打结数乘以对应数位的权重，再求和即可得到总天数． 【详解】解：根据满五进一的计数规则，从右起第位的权重为，因此总天数为： 天． 【变式1】. 将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，…，第n次对折后得到的图形面积为，则________． 【答案】 【分析】根据翻折变换表示出所得图形的面积，再根据各部分图形的面积之和等于正方形的面积减去剩下部分的面积进行计算即可得解． 【详解】解：由题意知，，，，…，， 剩下部分面积为， ∴． 【变式2】. 所有的放射性物质都有自己的半衰期，放射性物质的半衰期是其质量缩减为原来一半所用的时间，是一个不变的量．2025年河南核医疗产业发展迅速，某医用放射性物质的初始质量为mg，经历3个半衰期后，剩余质量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 半衰期是放射性物质质量缩减为原来一半所用的时间，初始质量为， ∴ 经过个半衰期后，剩余质量为， 经过个半衰期后，剩余质量为， 经过个半衰期后，剩余质量为. 【变式3】. 一根1米长的绳子第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，剪第六次后，剩下的绳子的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：第一次后剩下的绳子的长度为， 第二次后剩下的绳子的长度为米； 第三次后剩下的绳子的长度为米； ； ∴第六次后剩下的绳子的长度为米． 题型09数轴折叠与距离问题 折叠问题先求对称中心（两点表示数的平均数），再利用对称中心求对应点；距离问题需分类讨论点在参考点的左侧和右侧两种情况。 【典例9】. 如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是，那么点B表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据数轴上点的位置关系，通过点A表示的数以及A、B两点间的距离来确定点B表示的数． 【详解】解：∵点A表示的数是， ∴从数轴上可以看出点A到点B的距离是4个单位长度， ∵点B在点A右侧， ∴点B表示的数比点A表示的数大4，即． 【变式1】. 对于图上点M所表示的数，下列说法不正确的是（    ） A．与3相比，点M表示的数离0更接近 B．2.1和点M表示的数之间有5个整数 C．点M表示的数在与之间 D．点M表示的数和0之间有3个负数 【答案】D 【详解】解：A、与3相比，点M表示的数离0更接近，说法正确，该选项不符合题意； B、2.1和点M表示的数之间有5个整数，说法正确，该选项不符合题意； C、点M表示的数在与之间，说法正确，该选项不符合题意； D、点M表示的数和0之间有无数个负数，原说法错误，该选项符合题意． 【变式2】. 如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上处，且，则C点表示的数是_______． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的减法运算，先求出的长，再由折叠的性质得到，再分当点在的右侧时，当点在的左侧时，两种情况分别求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵点A、B表示的数分别是，10， ∴， 由折叠可知， 当点在的右侧时， ∵， ∴， ∴， ∴点C表示的数为； 当点在的左侧时， ∵， ∴， ∴， ∴点C表示的数为； 故答案为：4或 【变式3】. 一条数轴，从数轴上面剪下6个单位长度（从到4）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是______． 【答案】或1或 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键．设三条线段的长分别是，，，由题意可得，求出，再分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解即可． 【详解】解：∵三条线段的长度之比为， ∴设三条线段的长分别是，，， ∵到4的距离是6， ， ， 三条线段的长分别为，，3， ①当时，折痕点表示的数是； ②当时，折痕点表示的数是； ③当时，折痕点表示的数是； 综上所述：折痕处对应的点表示的数可能或1或． 故答案为：或1或． 题型10乘方与运算规律探究 先计算前3-4项的结果，观察数字的周期变化、递推关系，归纳通用规律；等比数列求和可使用错位相减法。 【典例10】. 观察下列等式： … (1)根据你发现的规律，写出第5个等式． (2)请用含有正整数n的等式表示上述规律． (3)利用你发现的规律计算： 【答案】(1) (2) (3)3025 【分析】本题主要考查了数字类规律的探索，有理数的乘方运算，解题的关键是找出规律． （1）根据示例，写出第5个等式即可； （2）根据示例，列出规律表达式即可； （3）根据规律进行求解即可． 【详解】（1）解：第5个等式为； （2）解：根据题意得，； （3）解： ． 【变式1】. 学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况 （1）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到； （2）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到3； （3），然后求和即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：，； （3）解： ， 故答案为：，． 【变式2】. 仔细观察下列式子的规律：；；；根据上述规律，计算：______； 【答案】 【分析】本题考查了数字类变化规律，归纳总结出式子的规律是解题的关键． 观察给定式子的规律，可得，再代入即可求解． 【详解】解：由题意得，， ， ， …… 依此类推，， 当时，； 故答案为：． 【变式3】. 观察下列各式： ，，，…… 个位数字是5的两位数平方后，结果末尾的两个数字有什么规律？为什么？你还能找到哪些类似的规律？试举一例． 【答案】 解：观察已知算式，，， 可得规律：结果末尾的两个数字都是， 设个位为5的两位数的十位数字为（是到的正整数）， 则该两位数为， 对其平方得：， ∵是正整数， ∴是整数，是的倍数， 因此结果的末尾两个数字一定是， 类似规律：任意个位是5的整数平方后，末尾两个数字都是， 例如，符合该规律，或其他合理规律均可． 【分析】先观察给出的三个算式，总结出结果末尾两位的规律，再设两位数的十位数字为，将两位数表示出来后，利用完全平方公式展开推导证明规律，最后列举类似规律即可．本题用到完全平方公式，整式化简的知识点． 【详解】略 题型11新定义运算 严格按照题目给出的运算法则，将新运算转化为常规的有理数四则与乘方运算，注意代入数值的符号，按运算顺序计算。 【典例11】. 小明同学在学习完第一章有理数后，对运算产生了浓厚的兴趣，在有理数的范围内定义了一种新运算“”，并写出了一些按照新定义的运算规则进行计算的算式： ； ； ； ； …… (1)请你写出小明同学定义的的运算规则；（用含，的式子表示） (2)计算：； (3)有理数的加法和乘法均满足交换律，请你判断满足交换律吗？请举例验证．（写出一个例子即可） 【答案】(1) (2) (3) 满足交换律 ， ， ， 故满足交换律． 【分析】（1）观察题目给出的算式，归纳出的通用运算公式； （2）先计算括号内的，再将结果代入外层算式计算最终结果； （3）根据交换律的定义，分别计算与，验证二者是否相等． 【详解】（1）解：根据题意可知，． （2）解：， ． （3）略 【变式1】. 定义一种新运算“□”，即，例如：．根据定义解答下列问题： (1)求的值； (2)通过计算说明：与的值是否相等． 【答案】(1) (2)，计算说明见解析 【分析】（1）根据题意可得，据此求解即可； （2）根据定义分别求出和的值即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ， ∴． 【变式2】. 先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】（1）数轴上表示和的两点之间的距离是____；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为____． （2）若，，且数，在数轴上表示的点分别是点、点，则，两点间的最大距离是____，最小距离是____． （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是____． 【应用】（4）小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作，那么距离和的最小值是____． 【拓展】（5）的最小值是____． 【答案】（），或；（），；（）；（）；（）． 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值，解题的关键在于根据数轴上点的位置去掉绝对值符号，解题过程中要注意分类讨论． （）根据绝对值的意义即可求解； （）由，，得或，或，当，时，，两点间有最大距离；当，时，，两点间有最小距离； （）当，则有，然后求出整数点的值，再相加即可； （）当时，距离和有最小值，再利用两点之间的距离即可求解； （）当时，距离和有最小值，再利用两点之间的距离即可求解． 【详解】解：（）数轴上表示和的两点之间的距离是， 表示数和的两点之间的距离是，则有， ∴或， 故答案为：，或； （）∵，， ∴或，或， ∴当，时，，两点间有最大距离， 当，时，，两点间有最小距离， 故答案为：，； （）∵， ∴， ∴符合条件的整数点的值为，，，，，，，， ∴点表示的数的和是， 故答案为：； （）由表示与，的距离之和， 当时，距离和有最小值， 故答案为：； （）当时，距离和有最小值，为 ， 故答案为：． 【变式3】. 阅读材料：对数轴上的点进行如下操作：将点沿数轴水平方向，以每秒个单位长度的速度，向右平移秒，得到点，称这样的操作为点的“速移”， 点称为点的“速移”点． 阅读材料：若点表示的数分别为，则线段的长度可以这样计算：或，那么当点表示的数分别为时，线段的长度可以表示为或． (1)当，时， ①如果点表示的数为，那么点的“速移”点表示的数为 ； ②点的“速移”点表示的数为，那么点表示的数为 ； (2)数轴上的点表示的数为，表示的数为，点向右平移秒，得到点的“速移”点，那么的长度可以表示为 ； (3)数轴上两点间的距离为，且点在点的左侧，点通过“速移”分别向右平移，秒得到点，，如果，请直接用等式表示，的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【分析】（）根据“速移”点定义及数轴上两点间距离公式解答即可； （）根据“速移”点定义及数轴上两点间距离公式解答即可； （）设点在数轴上表示的数为，则点在数轴上表示的数为，再根据“速移”点定义及数轴上两点间距离公式解答即可； 本题数轴与有理数，数轴上两点间距离，数轴上的动点问题，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①由题意可得，点表示的数为， 故答案为：； ②由题意可得，点表示的数为， 故答案为：； （2）解：由题意可得，点表示的数为， ∴的长度可以表示为， 故答案为：； （3）解：设点在数轴上表示的数为，则点在数轴上表示的数为， ∴点，在数轴上表示的数分别为，， ∵， ∴， 即， ∴或， ∴或． 一、单选题 1．我国几个城市某年1月份的平均气温如下表所示，其中最低气温是（     ） 城市 北京 广州 重庆 哈尔滨 平均气温/ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的大小比较，利用有理数比较大小的规则即可找出最低气温； 【详解】解：四个城市的平均气温分别为，，，. ∵ 正数大于一切负数， ∴ 和都大于两个负数，只需比较两个负数的大小. ∵ ，，且， ∴ 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得. ∴ 最低气温是； 2．将统一为加法运算，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的加减法法则，即可求解． 【详解】解：把统一为加法运算为． 3．下列各数中，绝对值最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的定义求出各选项数的绝对值，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：，，， 绝对值最大的是． 二、填空题 4．2026年3月29日，扬州半程马拉松鸣枪开跑，这是扬马创办20周年的里程碑赛事，也是赛事升级为世界田联白金标后的首次亮相．本次赛事规模达23000人，数23000用科学记数法可表示为______________． 【答案】 【分析】根据科学记数法的定义，确定和的值，即可求解． 【详解】解：． 5．点在数轴上，位于原点的右侧，距离原点5个单位长度，则此点对应数值为________． 【答案】 【详解】解：数轴上原点的右侧5个单位长度的点对应数值为5． 6．如图，实数，在数轴上对应点的位置，则_____（填“>”“<”或“=”）． 【答案】＜ 【详解】解：∵， ∴． 三、解答题 7．在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”把它们连接起来． ，，，，0． 【答案】 如图 ． 【详解】解： 8．解决下列问题： (1)把下列各数填在相应的大括号里（只填序号） ①；②0；③；④（两个1之间的6的个数依次增加1）⑤；⑥；⑦；⑧；⑨； ⑩0.618． 负数集合{___________} 分数集合{_________} 正有理数集合{_______}； (2)在数轴上表示下列各数：0，，，，，并按从小到大顺序排列． 【答案】(1)③⑥⑦⑧；③⑤⑨⑩；①⑤⑨⑩ (2)图见解析， 【分析】（1）根据有理数的分类，即可求解； （2）根据数轴上点对应的数的特点即可求解． 【详解】（1）解：⑦， 负数集合{③⑥⑦⑧} 分数集合{③⑤⑨⑩} 正有理数集合{①⑤⑨⑩} （2） 解： 从小到大顺序排列：． 9．一艘轮船在海面上沿着东西方向航行，约定向东为正，早晨轮船从地出发，晚上到达地，当天航行记录如下：(单位：千米)：，，，，，，，，问： (1)地在地何方，相距多少千米？ (2)若船行驶每千米耗油.升，则这天共耗油多少升？ 【答案】(1)地在地的正东方，相距千米 (2)这天共耗油升 【分析】本题考查有理数的加减混合运算及绝对值的实际应用． （1）通过将所有航行记录的数值相加，根据结果的正负判断方向，绝对值判断距离； （2）通过计算所有航行记录数值的绝对值之和得到总路程，再结合单位耗油量求出总耗油量． 【详解】（1）解：计算所有航行记录的和：， ∵约定向东为正，结果为正， ∴地在地的正东方向，相距千米； （2）解：∵船行驶的总路程为所有航行记录数值的绝对值之和， ∴总路程为(千米)， ∵每千米耗油升， ∴总耗油量为(升)． 1．对于有理数，下列说法正确的有（     ） ①若，则与互为相反数； ②若，则一定异号； ③若且两数同号，则； ④若，两数异号，则； ⑤若，则． A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 【答案】A 【分析】通过定义判断、举反例、分类讨论验证每个说法的正误即可． 【详解】解：①若，则与互为相反数，故①正确； ②若，举反例：取，，满足，但、同为负，是同号，故②错误； ③若且两数同号，根据同号两数相加的法则：同号相加取相同符号，若两数同为负，和一定为负，无法满足和大于0，因此两数只能同为正，即，故③正确； ④若且两数异号，举反例：取，，满足且两数异号，，不符合结论，故④错误； ⑤若，因为， 因此可得， 分类讨论：若，则，可得； 若，则，整理得， 因此无论取何值，都有，故⑤正确． 综上，正确的说法共3个． 2．国际数学教育大会（）是全球数学教育水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，于2021年在中国上海举办，大会标识右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数换算成十进制数是表示的举办年份．八进制数换算成十进制数是_______． 【答案】 【分析】根据题干的运算规则进行计算即可． 【详解】解：． 3．写出数轴上A，B，C各点所表示的分数． 点A表示的数为_____________；点B表示的数为_____________； 点C表示的数为_____________． 【答案】 ，， 【分析】观察数轴，确定单位长度被平均分成的份数，从而得出每个小格代表的分数值，再根据各点相对于整数点的位置读出数值． 【详解】解：由数轴可知，相邻两个整数（如0和1、1和2之间）被平均分成了份，所以每一份表示， 点在原点右侧第个刻度处，所以点表示的数为， 点在右侧第个刻度处，所以点表示的数为 ， 点在右侧第个刻度处，所以点表示的数为． 4．如图，在长方形中，，，且边在数轴上，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上，记为；继续翻滚，点第二次落回到数轴上，记为；……；以此类推． (1)若点与原点重合，点表示的数为_____． (2)若点表示的数为，点表示的数为_____， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，点第一次落回到数轴上时向右滚动的距离为长方形的周长，则可得到，从而得到答案； （2）长方形向右每滚动12个单位长度，点A就会回到数轴上，用点A表示的数加上滚动的距离即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，若点与原点重合，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上时，，即点表示的数为； （2）解：由题意可得，长方形向右每滚动12个单位长度，点A就会回到数轴上， ∴若点表示的数为，点表示的数为． 5．【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（ ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C． D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： 【答案】(1)1， (2)D (3)12 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，，故正确； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，，故正确； C．，，且，则，故正确； D．，或1，故错误；故选D； （3） 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 有理数 教学目标 1.构建有理数全章知识体系，巩固有理数的相关概念，熟练掌握有理数的各类运算法则。 2.掌握数轴、相反数、绝对值的性质，能运用非负性、分类讨论思想解决相关问题。 3.熟练掌握科学记数法的表示与还原，能准确判断近似数的精确度，解决实际应用问题。 4.提升有理数混合运算的准确率与简便运算能力，能运用有理数知识解决实际生活问题。 教学重难点 1.重点 （1）有理数的混合运算与简便计算 （2）绝对值、乘方的性质与应用 （3）科学记数法与近似数的核心考点 2.难点 （1）绝对值的分类讨论与最值问题 （2）有理数运算中的符号处理与运算律灵活运用 （3）数轴动点、规律探究类综合问题 知识点01：有理数的基本概念 1.正负数的意义：大于0的数是正数，正数前加“-”号的数是负数；0既不是正数也不是负数，是正负数的分界，可作为基准量。正负数用于表示一对具有相反意义的量。 2.有理数的定义：整数和分数统称为有理数；整数包括正整数、0、负整数，分数包括正分数、负分数。 3.有理数的分类 分类标准 类别 包含内容 按定义分 整数 正整数、0、负整数 分数 正分数、负分数 按性质分 正有理数 正整数、正分数 0 —— 负有理数 负整数、负分数 知识点02：数轴 1.数轴三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 2.点与数的对应关系：所有有理数都可以用数轴上的点表示；数轴上右边的数总大于左边的数。 3.两点间距离：数轴上表示数和数的两点之间的距离为。 知识点03：相反数 1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0。 2.性质：若与互为相反数，则；数轴上互为相反数的两个点到原点的距离相等。 3.多重符号化简：结果的符号由负号的个数决定，负号个数为奇数时结果为负，为偶数时结果为正，正号不影响符号。 知识点04：绝对值 1.几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离，记作。 2.代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即 3.非负性：任意有理数的绝对值都是非负数，即。 知识点05：有理数的大小比较 1.数轴比较法：在数轴上，左边的数小于右边的数。 2.法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 3.作差比较法：若，则；若，则；若，则。 知识点06：有理数的加减运算 1.有理数加法法则 类型 法则 同号两数相加 取相同的符号，并把绝对值相加 异号两数相加 绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值；互为相反数的两数相加得0 与0相加 仍得这个数 2.加法运算律：交换律；结合律。 3.减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即。 4.加减混合运算：先将减法统一为加法，写成省略加号的和的形式，再运用运算律简化计算。 知识点07：有理数的乘除运算 1.乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0。 2.乘法运算律：交换律；结合律；分配律。 3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数；0没有倒数；求带分数的倒数先化为假分数，再交换分子分母。 4.除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。 5.多个有理数相乘符号法则：几个不为0的数相乘，负因数的个数为偶数时，积为正；负因数的个数为奇数时，积为负；有一个因数为0，积就为0。 知识点08：有理数的乘方 1.乘方的定义：求个相同因数的积的运算叫作乘方，记作；其中是底数，是指数，乘方的结果叫作幂。 2.符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。 3.易混辨析：的底数是，表示个相乘的相反数；的底数是，表示个相乘。 知识点09：有理数的混合运算 1.运算分级：加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。 2.运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右依次进行；有括号时，先算小括号内，再算中括号内，最后算大括号内。 3.简便运算技巧：灵活运用运算律，通过相反数结合、凑整结合、同分母结合、逆用分配律等方法简化计算。 知识点10：科学记数法 1.定义：把绝对值大于10的数表示成的形式（其中，为正整数），这种记数法叫作科学记数法。 2.的确定方法：等于原数的整数位数减1，也等于小数点向左移动的位数。 3.还原方法：将的小数点向右移动位，位数不足时补0；还原后数的整数位数为。 知识点11：近似数 1.准确数与近似数：与实际完全符合的数是准确数；与实际接近、存在偏差的数是近似数。 2.精确度：近似数四舍五入到哪一位，就说精确到哪一位；带计数单位、科学记数法形式的数，需还原后判断末位数字的数位。 3.取近似数的方法 四舍五入法：最常用，对精确数位的下一位四舍五入； 去尾法：保留数位后数字全舍去，适用于求“最多数量”的问题； 进一法：保留数位后只要有余数就进1，适用于求“最少数量”的问题。 4.准确数的取值范围：遵循“含小不含大”原则，如近似数，则准确数范围为。 题型01正负数的意义与有理数分类 根据正负数定义判断相反意义的量；按定义或性质对有理数分类，注意0既不是正数也不是负数，属于整数。 【典例1】. 5月12日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，将卫星精准送入预定轨道，发射任务圆满成功．若向上飞行5千米记作千米，向下降落3千米记作（     ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【变式1】. 在，，，，，中，非负整数有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】. 在零件尺寸检测中，如果一个零件的尺寸超出标准尺寸记作，那么低于标准尺寸记作__________． 【变式3】. 将下列各数按照分类，填入下面对应的大括号内： ，，，，，0，，12，，，（7和8之间依次多一个0）． 整数集合：{_______…} 正有理数集合：{_______…} 分数集合：{_______    } 题型02数轴、相反数、绝对值的基础化简 借助数轴确定点的位置与距离；求相反数直接改变符号；去绝对值先判断数的正负，再按代数法则化简。 【典例2】. 计算（或化简）： (1)； (2)； (3)化简：． 【变式1】. 若，则________．化简________． 【变式2】. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示： 化简：． 【变式3】. 化简：______     比较大小：______（填“”、“ ”或“”） 题型03有理数的大小比较 正数大于0大于负数；两个负数比较时，先求绝对值，绝对值大的数反而小；复杂情况可选用作差法或数轴法辅助判断。 【典例3】. 在数，0，1，4中，绝对值最小的数是（     ） A． B．0 C．1 D．4 【变式1】. 如图，在数轴上有，，三个点． (1)，，这三个点表示的数分别是多少？ (2)，两点间的距离是多少？，两点间的距离是多少？ (3)若将点向右移动个单位长度后，则，，这三个点所表示的数谁最大？表示的数最大的点与表示的数最小的点的距离是多少？ 【变式2】. （1）把下列各式化为最简后，填在横线上； ①_____；②_____；③_____． （2）比较下各小题中两个数的大小，并简单的说明理由． ①与；   ②与；   ③与0 【变式3】. 如图，数轴上每个刻度为个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是______； (2)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大连接起来． ，，，． 题型04有理数乘方的运算 先判断底数的正负与指数的奇偶性，确定幂的符号，再计算绝对值的乘方；注意区分与的底数差异。 【典例4】. 下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. 下列数字中最大的数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【变式3】. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型05有理数混合运算 严格遵循“先乘方、再乘除、后加减，括号优先”的顺序；以加减号为界分段计算，优先观察式子特点，运用运算律简便计算。 【典例5】. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式1】. 计算： (1)； (2)． 【变式2】. 计算： (1)； (2)． 【变式3】. 计算： (1)； (2)． 题型06科学记数法与近似数 科学记数法先确定（满足），再按整数位数求；判断精确度先还原原数，看末位数字对应的数位；取近似数后末尾的0不可省略。 【典例6】. 据统计，贵州省2025年总量约为23600亿元，数据23600用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式1】. 地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 【变式2】. 用四舍五入法将数字精确到百分位得到的近似数是_____． 【变式3】. 用四舍五入法将130542精确到千位得到的近似数是（    ） A．131 B．130 C． D． 题型07非负性的综合应用 利用“若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0”列方程，求出字母的值后代入代数式计算；常见非负数有绝对值、偶次幂。 【典例7】. 若，则（   ） A．3 B．1 C． D． 【变式1】. 已知，则的值是（ ） A． B．1 C．2 D．3 【变式2】. ，则的值是（　　） A． B． C． D． 【变式3】. 若，则、的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 题型08有理数的实际应用 先确定基准量，用正负数表示各数据与基准的差值，再根据题意列式计算；结合生活实际判断结果的合理性。 【典例8】. 我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天． 【变式1】. 将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，…，第n次对折后得到的图形面积为，则________． 【变式2】. 所有的放射性物质都有自己的半衰期，放射性物质的半衰期是其质量缩减为原来一半所用的时间，是一个不变的量．2025年河南核医疗产业发展迅速，某医用放射性物质的初始质量为mg，经历3个半衰期后，剩余质量为（   ） A． B． C． D． 【变式3】. 一根1米长的绳子第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，剪第六次后，剩下的绳子的长度为（   ） A． B． C． D． 题型09数轴折叠与距离问题 折叠问题先求对称中心（两点表示数的平均数），再利用对称中心求对应点；距离问题需分类讨论点在参考点的左侧和右侧两种情况。 【典例9】. 如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是，那么点B表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式1】. 对于图上点M所表示的数，下列说法不正确的是（    ） A．与3相比，点M表示的数离0更接近 B．2.1和点M表示的数之间有5个整数 C．点M表示的数在与之间 D．点M表示的数和0之间有3个负数 【变式2】. 如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上处，且，则C点表示的数是_______． 【变式3】. 一条数轴，从数轴上面剪下6个单位长度（从到4）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是______． 题型10乘方与运算规律探究 先计算前3-4项的结果，观察数字的周期变化、递推关系，归纳通用规律；等比数列求和可使用错位相减法。 【典例10】. 观察下列等式： … (1)根据你发现的规律，写出第5个等式． (2)请用含有正整数n的等式表示上述规律． (3)利用你发现的规律计算： 【变式1】. 学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 【变式2】. 仔细观察下列式子的规律：；；；根据上述规律，计算：______； 【变式3】. 观察下列各式： ，，，…… 个位数字是5的两位数平方后，结果末尾的两个数字有什么规律？为什么？你还能找到哪些类似的规律？试举一例． 题型11新定义运算 严格按照题目给出的运算法则，将新运算转化为常规的有理数四则与乘方运算，注意代入数值的符号，按运算顺序计算。 【典例11】. 小明同学在学习完第一章有理数后，对运算产生了浓厚的兴趣，在有理数的范围内定义了一种新运算“”，并写出了一些按照新定义的运算规则进行计算的算式： ； ； ； ； …… (1)请你写出小明同学定义的的运算规则；（用含，的式子表示） (2)计算：； (3)有理数的加法和乘法均满足交换律，请你判断满足交换律吗？请举例验证．（写出一个例子即可） 【变式1】. 定义一种新运算“□”，即，例如：．根据定义解答下列问题： (1)求的值； (2)通过计算说明：与的值是否相等． 【变式2】. 先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】（1）数轴上表示和的两点之间的距离是____；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为____． （2）若，，且数，在数轴上表示的点分别是点、点，则，两点间的最大距离是____，最小距离是____． （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是____． 【应用】（4）小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作，那么距离和的最小值是____． 【拓展】（5）的最小值是____． 【变式3】. 阅读材料：对数轴上的点进行如下操作：将点沿数轴水平方向，以每秒个单位长度的速度，向右平移秒，得到点，称这样的操作为点的“速移”， 点称为点的“速移”点． 阅读材料：若点表示的数分别为，则线段的长度可以这样计算：或，那么当点表示的数分别为时，线段的长度可以表示为或． (1)当，时， ①如果点表示的数为，那么点的“速移”点表示的数为 ； ②点的“速移”点表示的数为，那么点表示的数为 ； (2)数轴上的点表示的数为，表示的数为，点向右平移秒，得到点的“速移”点，那么的长度可以表示为 ； (3)数轴上两点间的距离为，且点在点的左侧，点通过“速移”分别向右平移，秒得到点，，如果，请直接用等式表示，的数量关系． 一、单选题 1．我国几个城市某年1月份的平均气温如下表所示，其中最低气温是（     ） 城市 北京 广州 重庆 哈尔滨 平均气温/ A． B． C． D． 2．将统一为加法运算，正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各数中，绝对值最大的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．2026年3月29日，扬州半程马拉松鸣枪开跑，这是扬马创办20周年的里程碑赛事，也是赛事升级为世界田联白金标后的首次亮相．本次赛事规模达23000人，数23000用科学记数法可表示为______________． 5．点在数轴上，位于原点的右侧，距离原点5个单位长度，则此点对应数值为________． 6．如图，实数，在数轴上对应点的位置，则_____（填“>”“<”或“=”）． 三、解答题 7．在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”把它们连接起来． ，，，，0． 8．解决下列问题： (1)把下列各数填在相应的大括号里（只填序号） ①；②0；③；④（两个1之间的6的个数依次增加1）⑤；⑥；⑦；⑧；⑨； ⑩0.618． 负数集合{___________} 分数集合{_________} 正有理数集合{_______}； (2)在数轴上表示下列各数：0，，，，，并按从小到大顺序排列． 9．一艘轮船在海面上沿着东西方向航行，约定向东为正，早晨轮船从地出发，晚上到达地，当天航行记录如下：(单位：千米)：，，，，，，，，问： (1)地在地何方，相距多少千米？ (2)若船行驶每千米耗油.升，则这天共耗油多少升？ 1．对于有理数，下列说法正确的有（     ） ①若，则与互为相反数； ②若，则一定异号； ③若且两数同号，则； ④若，两数异号，则； ⑤若，则． A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 2．国际数学教育大会（）是全球数学教育水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，于2021年在中国上海举办，大会标识右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数换算成十进制数是表示的举办年份．八进制数换算成十进制数是_______． 3．写出数轴上A，B，C各点所表示的分数． 点A表示的数为_____________；点B表示的数为_____________； 点C表示的数为_____________． 4．如图，在长方形中，，，且边在数轴上，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上，记为；继续翻滚，点第二次落回到数轴上，记为；……；以此类推． (1)若点与原点重合，点表示的数为_____． (2)若点表示的数为，点表示的数为_____， 5．【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫作除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（ ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C． D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $