第1章 有理数（高效培优单元测试·提升卷）数学华东师大版2024七年级上册

第1章 有理数（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．1．下列各数中是负数的是（    ） A．0.1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负数的定义，根据负数的定义解题即可． 【详解】解：是负数， 故选：B． 2．下列说法正确的是（    ） A．0既是正数，也是负数 B．温度计上0℃表示没有温度 C．任意一个正数都比负数大 D．在和0之间只有一个负数 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数的基本概念及大小比较，需逐一分析各选项的正误． 【详解】解：A、0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界点，故A错误； B、0℃表示一个具体的温度值（如水的冰点），而非“没有温度”，故B错误； C、正数均大于0，负数均小于0，因此任意正数必大于所有负数，故C正确； D、在和0之间有无数个负数（如、等），并非仅一个，故D错误． 故选：C． 3．如果支出元记作元，那么收入81元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负数表示． 【详解】解：如果支出元记作元，那么收入81元记作元， 故选：A． 4．下列说法中，错误的有（   ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据有理数的两种分类方法判断即可． 【详解】解：① 是负分数，故①正确； ②是分数，不是整数，故②正确； ③非负有理数是大于或等于零的有理数，故③错误； ④是有理数，故④错误； ⑤没有最小的有理数，故⑤错误； ⑥有理数包括整数和分数，故⑥错误； 故选：D． 5．如图，如果把下面各数在数轴上表示出来，那么不在与2之间的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，先把分数化为小数，再得出，即可作答． 【详解】解：依题意，，， 则 ∴不在与2之间， 故选：C 6．点A在数轴上表示1，把点A沿数轴平移4个单位到点B，则点B所表示的数是（　　） A． B． C．5 D．或5 【答案】D 【分析】考查用数轴上的点表示有理数，利用数形结合思想和分类讨论思想在解决问题是解题的关键． 【详解】解点A在数轴上表示1，从点A沿数轴向左平移4个单位到点B，B点所表示的实数是，从点A沿数轴向右平移4个单位到点B，B点所表示的实数是． 故选D． 7．）若，则的值为（   ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了非负数的性质，正确得出，的值是解题关键． 直接利用偶次方和绝对值的非负性，非负数的性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ，， 解得，， 则． 故选：C． 8．已知，，在数轴上的位置如下图所示，则代数式的值等于（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】利用正数的绝对值等于本身，负数的绝对值是它的相反数解答即可．本题考查的是绝对值的意义，利用数轴判断式子的正负性，整式的加减运算等知识，考查学生对知识的综合运用能力． 【详解】解：由数轴知：，，， ∴ ． 故选：D． 9．观察下列数据：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】各数的符号规律为…，循环交替，将写成，即数列中各数的分母为自然数，分子则是分母的平方加1，据此即可作答． 【详解】将写成， 则有： ， ， ， ， ， 依次类推，可得：数列中，各数的符号规律为…，循环交替，各数的分母为自然数，分子则是分母的平方加1， 即第11个数为：， 故选：D． 10．已知，，且，则的值为（   ） A． B． C．或 D．2或12 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义．根据乘方的逆运算以及绝对值的意义得出符合题意的的值，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 当时，， 当时，， ∴的值为或， 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11．计算： ． 【答案】8 【分析】本题考查有理数的加法，利用相反数化简多重符合，绝对值，熟练掌握多重符号的运算和绝对值的运算是解题的关键． 先利用相反数和绝对值化简，再进行加法即可． 【详解】解： ， 故答案为：8． 12已知，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义求解即可，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 13.2024年9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋公海海域成功发射一枚携带训练模拟弹头的洲际弹道导弹，并准确落入预定海域，这次发射的东风41洲际弹道导弹最远射程．数据14000用科学记数法可表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成的形式，其中为整数，正确确定、的值是解题的关键． 将14000写成其中为整数的形式即可． 【详解】解：． 14．比较大小∶ ， ．(在横线上填“<”“>”或“=”) 【答案】 > > 【分析】本题主要考查绝对值及有理数的大小比较，熟练掌握绝对值的意义及有理数的大小比较是解题的关键；因此此题可根据“正数大于0和负数，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为＞，＞． 15．已知为有理数，记，当的值变化时，的值随之变化，若的值最小，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义．根据绝对值的几何意义可得到表示数轴上表示数x的点，到表示数的距离之和，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：表示数轴上表示数x的点，到表示数的距离之和， 要使这个距离之和S最小，只有当时，的值最小． 故答案为：． 16．已知一列数中第一个数是2，从第二个数开始，每一个数都等于2与前一个数的倒数的差，则第2016个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据题意，列出前几个数，不难得出，从而可求解． 【详解】解：把第n个数记为，由题意得：， ， 不难发现规律， 第2016个数为． 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题8分）把下列各数填在相应的集合里∶ 3，，，0，，，，，，． (1)正整数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　…}； (2)整数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； (3)正分数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　…}； (4)非负有理数集合{　　　　　　　　　　　　　　…}． 【答案】(1)3， (2)3，，0，， (3)，， (4)3，，0，，， 【分析】本题主要考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键； 根据有理数的分类可分别求解（1）（2）（3）（4）（5）． 【详解】（1）正整数集合{3，，…}； （2）整数集合{3，，0，，，…}； （3）正分数集合{，，，…}； （4）非负有理数集合{3，，0，，，，…}． 18．（本题8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查有理数加减法计算，熟练掌握运算法则是解题的关键： （1）先去括号，再计算同分母分数，最后计算加法即可； （2）先去括号，再计算同分母分数，最后计算加减法． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 19．（本题8分）我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据※，可以计算出所求式子的值； （2）根据※，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：由题意可得，※4 ； （2）解：由题意可得，※ ． 20．（本题8分）（1）小马虎在计算时，误将“＋”看成了“”结果得47，求的值． （2）阅读并解决问题． 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ①计算过程中，第一步把原式化成 的形式，体现了数学的 思想．为了计算简便，第二步应用的加法运算律 ．    ②根据以上的解题技巧计算下列式子． 【答案】（1）；（2）①省略加号和括号，转化，交换律和结合律；② 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算． （1）根据题意先求出的值，再计算即可； （2）①根据有理数的加减混合运算步骤及运算定律可得答案； ②仿照题意利用加法的交换律和结合律简便计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ； （2）①计算过程中，第一步把原式化成省略加号和括号的形式，体现了数学的转化思想，为了计算简便，第二步应用了加法的交换律和结合律． 故答案为：省略加号和括号，转化，交换律和结合律； ② ． 21．（本题10分）有理数、、在数轴上的位置如图所示：    (1)比较、、的大小（用“”连接）； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先在数轴上确定、、的位置，利用数轴上的数右边的数总是大于左边的数，从而确、、的大小关系，得出最后结果； （2）首先根据、、的位置得到，，，然后再把 化简即可． 【详解】（1）解：根据数轴的位置可知：， ， ； （2）解：，，， ，，， 原式 ． 22．（本题10分）出租车司机小李某天下午的运营全是在东西走向的长江路上进行． 如果规定方向向东为正，向西为负，他这天下午的行车里程(单位：千米)如下： ，，，，，，，，，、 (1)小李下午出发地记为0，他将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车时的出发地有多远？ (2)若汽车耗油量为 0.6升/千米，这天下午小李共耗油多少升？ (3)若小李家在距离出车地点的西边35千米处，送完最后一名乘客，小李还要行驶多少千米才能到家？ 【答案】(1)将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午的出发点39千米远 (2)这天下午小李共耗油39升 (3)74千米 【分析】本题考查了正数和负数的意义、有理数的加减运算的应用，有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据有理数的加法法则计算即可得解； （2）先求出总路程，再乘以0.6即可得解； （3）根据题意列式计算即可得解． 【详解】（1）解：（千米）， 故将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午的出发点39千米远； （2）解：（千米）， （升）， 故这天下午小李共耗油39升； （3）解：（千米）， 故小李还要行驶千米才能到家． 23．（本题10分）我们知道，与互为倒数，所以求的值，就是求的值的倒数． 数学老师布置了一道思考题“计算：，斌斌同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题． 斌斌的解法：原式的倒数为，所以． (1)a的倒数为______； (2)若a、b互为倒数，则______； (3)请你运用斌斌的解法解答问题，计算：． 【答案】(1)； (2)1； (3)． 【分析】本题主要考查了倒数的定义和运用，有理数的四则混合运算等知识． （1）利用倒数的定义即可得出答案； （2）利用倒数的定义即可得出答案； （3）求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 【详解】（1）解：a的倒数为： （2）解：若a、b互为倒数，则 （3）解：的倒数为： ∴ 24．一般用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．可借助数轴上两点之间的距离理解的意义，如图，表示2与的点A，B重合，所以；表示与的点C，D距离为，所以． (1)分别求与的值； (2)当时， ①的值为_______； ②已知，求的值； (3)当时，，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①0或1；②6 (3)0，， 【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是理解新定义的含义，并能灵活应用； （1）根据题干中给出的定义进行计算即可； （2）①根据题意可分两种情况：一是为整数时，，，故，二是不是整数时，等于的小数部分，等于的整数部分加后再减去，故； ②可知不是整数，再由①可知，从而有，列出算式进行计算即可； （3）由时，可知，与的小数部分相同，即的小数部分只能是或使得倍后小数部分不变的值，即可解答． 【详解】（1）， ； （2）①， 当为整数时，， ， ， 当不是整数时，由题意得 等于的小数部分，等于的整数部分加后再减去， ∴ 故答案是：或； ②， ， ； （3）时，， 与的小数部分相同， 的小数部分只能是或使得倍后小数部分不变的值， 即的小数部分为或或， 或或． 25．在数轴上点A在原点的左侧，点C在原点的右侧，点A距离原点2个单位长度，点C距离原点7个单位长度，点B表示的数是最小的正整数， (1)点A、B、C表示的数分别是：________，________，________； (2)点A与点B之间的距离为________，点A与点C之间的距离为________，点B与点C之间的距离为________； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，t秒钟过后，用含t的代数式分别表示点A与点B之间的距离，点A与点C之间的距离以及点B与点C之间的距离； (4)在（3）的条件下，若点B与点C之间的距离用BC表示，点A与点B之间的距离用AB表示，则的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由：若不变，请求其值． 【答案】(1)-2，1，7； (2)3，9，6； (3)点A与点B之间的距离为3t+3，点A与点C之间的距离为5t+9，点B与点C之间的距离为2t+6； (4)不变，12． 【分析】本题考查数轴、列代数式，掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键． （1）根据题意，直接写出点A、B、C表示的数即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （3）用含t的代数式写出点A、B、C表示的数，再分别表示出这三个点两两之间的距离即可； （4）将和分别代入并化简，根据其结果是否含有t即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，得点A、B、C表示的数分别是：，1，7． 故答案为：，1，7． （2）解：点A与点B之间的距离为，点A与点C之间的距离为，点B与点C之间的距离为． 故答案为：3，9，6． （3）解：t秒钟后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴t秒后，点A与B之间的距离为，点A与C之间的距离为，点B与C之间的距离为． （4）解：∵， ∴， ∴的值不随着时间t的变化而改变，其值为12． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 有理数（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．1．下列各数中是负数的是（    ） A．0.1 B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．0既是正数，也是负数 B．温度计上0℃表示没有温度 C．任意一个正数都比负数大 D．在和0之间只有一个负数 3．如果支出元记作元，那么收入81元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．下列说法中，错误的有（   ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 5．如图，如果把下面各数在数轴上表示出来，那么不在与2之间的数是（   ） A． B． C． D． 6．点A在数轴上表示1，把点A沿数轴平移4个单位到点B，则点B所表示的数是（　　） A． B． C．5 D．或5 7．若，则的值为（   ） A． B．8 C． D． 8．已知，，在数轴上的位置如下图所示，则代数式的值等于（   ） A． B． C． D．0 9．观察下列数据：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是（　　） A． B． C． D． 10．已知，，且，则的值为（   ） A． B． C．或 D．2或12 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11．计算： ． 12．已知，则等于 ． 13．2024年9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋公海海域成功发射一枚携带训练模拟弹头的洲际弹道导弹，并准确落入预定海域，这次发射的东风41洲际弹道导弹最远射程．数据14000用科学记数法可表示为 ． 14．比较大小∶ ， ．(在横线上填“<”“>”或“=”) 15．已知为有理数，记，当的值变化时，的值随之变化，若的值最小，则 ． 16．已知一列数中第一个数是2，从第二个数开始，每一个数都等于2与前一个数的倒数的差，则第2016个数是 ． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题8分）17．（本题8分）把下列各数填在相应的集合里∶ 3，，，0，，，，，，． (1)正整数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　…}； (2)整数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； (3)正分数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　…}； (4)非负有理数集合{　　　　　　　　　　　　　　…}． 18．（本题8分）计算： (1)； (2)． 19．（本题8分）我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)； (2)． 20．（本题8分）（1）小马虎在计算时，误将“＋”看成了“”结果得47，求的值． （2）阅读并解决问题． 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ①计算过程中，第一步把原式化成 的形式，体现了数学的 思想．为了计算简便，第二步应用的加法运算律 ．    ②根据以上的解题技巧计算下列式子． 21．（本题10分）有理数、、在数轴上的位置如图所示：    (1)比较、、的大小（用“”连接）； (2)化简． 22．（本题10分）出租车司机小李某天下午的运营全是在东西走向的长江路上进行． 如果规定方向向东为正，向西为负，他这天下午的行车里程(单位：千米)如下： ，，，，，，，，，、 (1)小李下午出发地记为0，他将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车时的出发地有多远？ (2)若汽车耗油量为 0.6升/千米，这天下午小李共耗油多少升？ (3)若小李家在距离出车地点的西边35千米处，送完最后一名乘客，小李还要行驶多少千米才能到家？ 23．（本题10分）我们知道，与互为倒数，所以求的值，就是求的值的倒数． 数学老师布置了一道思考题“计算：，斌斌同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题． 斌斌的解法：原式的倒数为，所以． (1)a的倒数为______； (2)若a、b互为倒数，则______； (3)请你运用斌斌的解法解答问题，计算：． 24．一般用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．可借助数轴上两点之间的距离理解的意义，如图，表示2与的点A，B重合，所以；表示与的点C，D距离为，所以． (1)分别求与的值； (2)当时， ①的值为_______； ②已知，求的值； (3)当时，，请直接写出的值． 25．在数轴上点A在原点的左侧，点C在原点的右侧，点A距离原点2个单位长度，点C距离原点7个单位长度，点B表示的数是最小的正整数， (1)点A、B、C表示的数分别是：________，________，________； (2)点A与点B之间的距离为________，点A与点C之间的距离为________，点B与点C之间的距离为________； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，t秒钟过后，用含t的代数式分别表示点A与点B之间的距离，点A与点C之间的距离以及点B与点C之间的距离； (4)在（3）的条件下，若点B与点C之间的距离用BC表示，点A与点B之间的距离用AB表示，则的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由：若不变，请求其值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $