专题1.6 有理数的乘法与除法（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级上册

本讲义聚焦有理数的乘法与除法核心知识点，系统梳理从两数相乘法则、乘法运算律（交换律、结合律、分配律）、倒数概念，到除法法则及加减乘除混合运算的完整脉络，搭建从基础运算到综合应用的学习支架。 资料通过“即学即练”即时巩固、题型分层（如乘法分配律拆项逆用、倒数法混合运算）设计，培养学生运算能力与推理意识。实际应用题（如新能源汽车节省费用计算）提升应用意识，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺，强化知识掌握。

专题1.6 有理数的乘法与除法 教学目标 1.掌握有理数乘、除法的运算法则，能熟练进行有理数的乘除运算。 2.理解倒数的概念，会求任意非零有理数的倒数。 3.掌握乘法运算律，能灵活运用运算律进行简便计算。 4.能正确进行有理数加减乘除混合运算，运用乘除法解决实际问题，体会转化思想。 教学重难点 1.重点 （1）有理数乘、除法的运算法则 （2）乘法运算律与简便运算 （3）倒数的概念与求法 2.难点 （1）多个有理数相乘的符号判断 （2）乘除混合运算的符号处理与运算顺序 （3）乘法分配律的灵活运用（拆项、逆用） 知识点01：有理数的乘法法则 1.两数相乘法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与相乘，都得。 2.运算步骤：先判断乘法类型，确定积的符号，再计算积的绝对值。 3.特殊结论：任意数与相乘仍得原数，即；任意数与相乘得它的相反数，即。 【即学即练】 1．计算：（   ） A．12 B． C．8 D． 2．计算： (1) (2) 知识点02：有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变 乘法分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 1.运算律可推广到多个有理数相乘，分配律可推广到多个数的和，也可逆用分配律简化运算。 2.交换乘数位置时，需连同数的性质符号一起交换。 【即学即练】 1．计算下面各题，怎样简便就怎样算． (1)； (2)． 2．某同学计算过程如下： 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 上述步骤中，第一步主要依据的运算律是（　　） A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法结合律 知识点03：倒数 1.定义：乘积是的两个数互为倒数，即若与互为倒数，则；没有倒数。 2.不同类型数的倒数求法 数的类型 求法 非零整数 倒数为 分数（） 交换分子、分母位置，倒数为 带分数 先化为假分数，再交换分子分母 小数 先化为分数，再求倒数 3.核心性质：互为倒数的两个数符号相同；倒数等于它本身的数是。 【即学即练】 1．的倒数是（     ） A． B． C． D． 2．2的倒数是______，的倒数是______． 知识点04：有理数的除法法则 1.转化法则：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数，即。 2.符号法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；除以任何一个不等于的数，都得。 3.注意：不能作除数。 【即学即练】 1．计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 2．计算：（   ） A．8 B．5 C． D．12 知识点05：有理数的加减乘除混合运算 1.运算顺序：先算乘除，后算加减；有括号时，按小括号、中括号、大括号的顺序依次计算。 2.运算技巧：合理运用运算律简化计算，注意符号的准确处理。 【即学即练】 1．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 题型01两个有理数的乘法运算 先判断两数符号，按“同号得正、异号得负”定积的符号，再将绝对值相乘；因数含时直接得。 【典例1】. 计算 （     ） A． B． C． D． 【变式1】. 计算的结果为（     ） A．1 B． C．5 D． 【变式2】. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型02有理数的除法运算 能整除时直接用符号法则计算；不能整除时，转化为乘除数的倒数再约分。 【典例2】. 计算：________． 【变式1】. 计算的结果等于（     ） A． B．4 C． D．1 【变式2】. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式3】. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型03倒数的概念与求解 整数、分数、带分数、小数分别按对应方法求倒数；牢记没有倒数，的倒数是本身。 【典例3】. 2026的倒数是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. 的相反数的倒数是（     ） A．2026 B． C． D． 【变式2】. 在数轴上表示和它的相反数，和它的倒数，绝对值等于的数，再用 “” 将所有数连接起来． 【变式3】. 已知a和互为相反数，b和c互为倒数，d是负数且d的绝对值为，求． 题型04多个有理数相乘的符号判断与计算 先排查是否有因数，有则积为；无时数负因数个数，奇负偶正定符号，再算绝对值乘积。 【典例4】. 下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. 下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】. 四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，若积为负数，则被污染的有理数可能是（    ） A． B．0 C．0.5 D．10 【变式3】. 计算： (1)； (2)． 题型05乘法交换律与结合律的应用 将乘积为整数、互为倒数的数优先结合；交换位置时必须连同数的符号一起移动。 【典例5】. 计算：__________. 【变式1】. 计算时，用（ ）计算比较简便． A．加法结合律 B．乘法分配律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 【变式2】. 算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 【变式3】. 式子中，运用的运算律是（    ）． A．乘法交换律及结合律 B．乘法交换律及分配律 C．加法结合律及分配律 D．乘法结合律及分配律 题型06乘法分配律的应用 括号外的数分别乘括号内每一项，注意每项都要带自身符号，避免漏乘和符号错误。提取各项中相同的因数，将剩余部分按原符号相加减，简化运算。 【典例6】. 计算24×的结果是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1】. 计算：________． 【变式2】. 计算并按要求填空： 目的是：_______ 依据是：________ _____法则是：___________ _____．理由是：____________ 【变式3】. 黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整； (2)计算：． 题型07倒数法的混合运算 当除数是多个数的和式时，可先求原式的倒数，用分配律计算后再取倒数得到结果。 【典例7】. 【材料阅读】计算：． 解法一：原式 ． 解法二：原式的倒数为． ． 所以，原式． 【解法评价】 （1）你认为上述正确的解法是______；(填“解法一”或“解法二”) 【解法应用】 （2）利用上述正确的解法计算：． 【变式1】. 阅读下列材料：在计算时，某班三位同学分别给出了如下思路： 思路1 思路2 思路3 用分别除以，，，再把所得结果相加． 先求出，，的和，再用除以这个和． 先算，再求所得结果的倒数． (1)上述三种思路中，不正确的是思路______； (2)请选择一种正确的思路计算：． 【变式2】. 课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 甲：原式 乙：原式 丙：原式的倒数 故原式． 请认真阅读，解答下列问题： (1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”) (2)计算： ① ② 【变式3】. 阅读下列材料，计算：． 解法一：原式                ．                           解法二：原式的倒数为 ． 所以，原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：． 题型08有理数加减乘除混合运算 遵循“先乘除、后加减，有括号先算括号内”的顺序，能简便的优先运用运算律。 【典例8】. 用简便方法计算下列各题 (1) (2) 【变式1】. 用运算律简便运算 (1) (2) 【变式2】. 计算 (1) (2) (3) (4) 【变式3】. 脱式计算，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 题型09有理数乘除法的实际应用 明确正负数的实际意义，根据题意列算式，运用乘除法法则计算并结合实际作答。 【典例9】. 乐乐在比例尺是的房屋设计图上，量得自家房屋平面图长16厘米，宽8厘米． (1)乐乐的爸爸准备把房屋的地面铺上边长为0.8米的正方形地砖，需要多少块这样的地砖？ (2)如果每块地砖需12元钱，乐乐家买地砖需要多少钱？ 【变式1】. 近几年，新能源汽车产销量大幅增加．明明家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，如表，以50km为标准，多于50km的部分记为正，不足50km的部分记为负，刚好50km的记为零． 第天 1 2 3 4 5 6 7 路程/km (1)请求出明明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少千米？ (2)已知燃油车每行驶100km需用汽油8升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为16度，每度电为0.5元，请计算这7天明明家换成新能源汽车比开燃油车节省多少钱？ 【变式2】. 王明开着小轿车去“中石化”加油站加“92#”汽油（当天油价“92#”是元/升，“95#”是元/升，“98#”是元/升，“0#”柴油是元/升）．“中石化”加油站规定若用卡加油，“92#”汽油每升的单价在当天基础上可减元，“95#”汽油每升的单价在当天基础上可减元，正好该加油站当天也在搞促销活动，一张面值300元加油卡打九折出售，且两项活动可一起享受，他盘算了一下，决定这次买一张面值300元加油卡加油． (1)他实际花了多少钱购买了这张加油卡？ (2)假设这次加油他把这张卡内钱一次性全部用完，求：用卡加油比不用卡加油在加油量相等的条件下一共便宜了多少钱？ 【变式3】. 某通讯公司开设了两种通讯业务如下： 一、使用“全球通”手机卡用户电话费计费标准：每月月租费50元，接听和打出每分钟另需付通话费均为0.4元； 二、使用“神州行”手机卡用户电话费计费标准：不缴月租费，接听和打出每分钟通话费均为0.6元． 根据以上信息： (1)张华每月平均通话时间是150分钟，他应选择用哪种手机卡电话费比较便宜？每月需电话费多少元？ (2)陈烨每月平均通话时间是300分钟，他应选择用哪种手机卡电话费比较便宜？每月需电话费多少元？ 一、单选题 1．的倒数是（     ） A． B． C． D． 2．如果四个数的积为负数，其中有两个数异号，则另外两个数（　　） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定也异号 D．一定同号 3．如图是一个运算程序的示意图，若输入x的值为1，则输出的结果是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题 4．计算：_____． 5．一件商品原价元，打九折后的价格为__________元． 6．计算：________． 三、解答题 7．计算： (1) (2) (3) 8．阅读理解：规定符号表示a，b两个数中小的一个，符号表示a，b两个数中大的一个．例如：，． (1)______；______； (2)求式子的值； (3)求式子的值． 9．哈尔滨红肠是全国驰名的哈尔滨特产．某品牌哈尔滨红肠计划在国庆节期间开展一系列优惠活动，其中，针对一款原价48元/盒的哈尔滨红肠推出了两种优惠方案（两种方案只能选择一种）．方案一：每盒按九折销售．方案二：每买5盒，送1盒． (1)李阿姨需要买4盒这种哈尔滨红肠，她选择了方案一，李阿姨节约多少钱？ (2)王阿姨需要买8盒这种哈尔滨红肠，她选择了方案二，相当于每盒单价多少元？ (3)刘阿姨有一张满888元减168元的优惠券，这张优惠券不可与上述方案同享．刘阿姨需要买20盒哈尔滨红肠，怎样买最划算？写出判断过程． 1．下列说法：①最大的负整数是；②相反数是本身的数是正数；③有理数分为正有理数和负有理数；④数轴上表示的点一定在原点的左边；⑤几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数，其中错误的个数是（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 2．把四个数字分成横着两行、竖着两列，左右各画一根竖线包住，横着的一组数叫一行，从上往下是第一行、第二行；竖着的一组数叫一列，从左往右是第一列、第二列.这个整体就叫二阶行列式．例如我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，如，请你计算的值为______． 3．有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中：①；②；③；④，正确的是（   ） （图示：，且a到原点的距离大于b到原点的距离） A．①② B．①④ C．②③ D．①③ 4．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习的部分内容，阅读下列材料，并完成相应任务． 关于“用拆项法计算”的研究报告 博学小组 研究对象：用拆项法计算的值． 研究思路：由于2025与2024相差1，2033与2034相差1，因而可以将问题改写成． 研究方法：先利用拆项法，再利用乘法分配律． 研究步骤：解：原式（依据1） （依据2） = ▲ ． 任务： (1)上述研究报告中的依据1是指________，依据2是指________． (2)研究报告中的“▲”处空缺的内容为________． (3)请用另外一种拆分方法计算． 5．小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”） (3)求的值． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.6 有理数的乘法与除法 教学目标 1.掌握有理数乘、除法的运算法则，能熟练进行有理数的乘除运算。 2.理解倒数的概念，会求任意非零有理数的倒数。 3.掌握乘法运算律，能灵活运用运算律进行简便计算。 4.能正确进行有理数加减乘除混合运算，运用乘除法解决实际问题，体会转化思想。 教学重难点 1.重点 （1）有理数乘、除法的运算法则 （2）乘法运算律与简便运算 （3）倒数的概念与求法 2.难点 （1）多个有理数相乘的符号判断 （2）乘除混合运算的符号处理与运算顺序 （3）乘法分配律的灵活运用（拆项、逆用） 知识点01：有理数的乘法法则 1.两数相乘法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与相乘，都得。 2.运算步骤：先判断乘法类型，确定积的符号，再计算积的绝对值。 3.特殊结论：任意数与相乘仍得原数，即；任意数与相乘得它的相反数，即。 【即学即练】 1．计算：（   ） A．12 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数乘法运算，掌握有理数乘法法则即可直接计算出结果． 【详解】解：． 2．计算： (1) (2) 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加减混合运算法则计算； （2）先计算乘法，再计算加法． 【详解】（1）解： ； （2）解： 知识点02：有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变 乘法分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 1.运算律可推广到多个有理数相乘，分配律可推广到多个数的和，也可逆用分配律简化运算。 2.交换乘数位置时，需连同数的性质符号一起交换。 【即学即练】 1．计算下面各题，怎样简便就怎样算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用乘法分配律计算即可； （2）先把除法变为乘法，再利用乘法交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．某同学计算过程如下： 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 上述步骤中，第一步主要依据的运算律是（　　） A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法结合律 【答案】C 【分析】本题考查乘法分配律，核心是掌握不同运算律的定义．乘法分配律的内容为：一个数与几个数的和(或差)相乘，等于把这个数分别与这几个数相乘，再将所得的积进行相应的加减．第一步是将括号外的数与括号内的每一项分别相乘，符合乘法分配律的应用． 【详解】解：观察第一步运算：，是把分别与括号内的、、相乘，再将积相加，这符合乘法分配律的特征． 故选：C． 知识点03：倒数 1.定义：乘积是的两个数互为倒数，即若与互为倒数，则；没有倒数。 2.不同类型数的倒数求法 数的类型 求法 非零整数 倒数为 分数（） 交换分子、分母位置，倒数为 带分数 先化为假分数，再交换分子分母 小数 先化为分数，再求倒数 3.核心性质：互为倒数的两个数符号相同；倒数等于它本身的数是。 【即学即练】 1．的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】乘积为的两个数互为倒数. 【详解】解：， 的倒数是. 2．2的倒数是______，的倒数是______． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了倒数的定义，解题的关键是理解倒数定义：“乘积为1的两个数互为倒数”．根据倒数定义进行求解即可． 【详解】解：2的倒数是，的倒数是． 故答案为：；． 知识点04：有理数的除法法则 1.转化法则：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数，即。 2.符号法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；除以任何一个不等于的数，都得。 3.注意：不能作除数。 【即学即练】 1．计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除，即可计算出结果． 【详解】解：． 2．计算：（   ） A．8 B．5 C． D．12 【答案】C 【详解】解：． 知识点05：有理数的加减乘除混合运算 1.运算顺序：先算乘除，后算加减；有括号时，按小括号、中括号、大括号的顺序依次计算。 2.运算技巧：合理运用运算律简化计算，注意符号的准确处理。 【即学即练】 1．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先算乘法，除以转化为乘4，算出结果； （2）式子含乘数0，任何数乘0都得0，结果直接为0； （3）除法转乘法，提取公因数，括号内化简后相乘； （4）带分数化为假分数，约分后相乘得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)9 (2)0 (3) (4)1 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型01两个有理数的乘法运算 先判断两数符号，按“同号得正、异号得负”定积的符号，再将绝对值相乘；因数含时直接得。 【典例1】. 计算 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【变式1】. 计算的结果为（     ） A．1 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】根据“同号得正，异号得负，再把绝对值相乘”的规则计算即可． 【详解】解：． 【变式2】. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4)3 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据两个有理数乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式3】. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)30 (3) (4)8 【分析】本题主要考查了两个有理数的乘法运算，熟练掌握两个有理数乘法运算法则是解题的关键． 根据两数相乘，同号的正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍得0进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型02有理数的除法运算 能整除时直接用符号法则计算；不能整除时，转化为乘除数的倒数再约分。 【典例2】. 计算：________． 【答案】6 【分析】根据有理数除法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式1】. 计算的结果等于（     ） A． B．4 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查有理数的除法运算，利用除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数的法则计算，先确定符号再计算绝对值即可． 【详解】解：． 【变式2】. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)5 (3) (4) (5)0 (6) 【分析】本题考查了有理数的除法运算，熟练掌握有理数除法法则是解题的关键； （1）利用两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除计算即可； （2）利用两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除计算即可； （3）根据除以一个数等于乘以它的倒数即可解答； （4）根据除以一个数等于乘以它的倒数即可解答； （5）根据0除以任何一个非零的数等于0即可； （6）根据除以一个数等于乘以它的倒数即可解答；； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【变式3】. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3)21 (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了有理数的除法， 根据有理数的除法法则逐个计算，两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 题型03倒数的概念与求解 整数、分数、带分数、小数分别按对应方法求倒数；牢记没有倒数，的倒数是本身。 【典例3】. 2026的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】乘积为的两个数互为倒数. 【详解】解：， 的倒数是. 【变式1】. 的相反数的倒数是（     ） A．2026 B． C． D． 【答案】D 【分析】按照定义先求出的相反数，再计算该相反数的倒数即可得到结果． 【详解】解：的相反数为， 的倒数为， ∴的相反数的倒数是． 【变式2】. 在数轴上表示和它的相反数，和它的倒数，绝对值等于的数，再用 “” 将所有数连接起来． 【答案】在数轴上表示：， 【详解】解：4的相反数：； 的倒数：； 绝对值等于的数：， 在数轴上表示：略 用 “” 将所有数连接起来为． 【变式3】. 已知a和互为相反数，b和c互为倒数，d是负数且d的绝对值为，求． 【答案】5 【分析】本题考查了相反数，绝对值的化简，倒数，代数式的值，有理数的乘法，熟练掌握相反数，倒数的性质是解题的关键． 根据相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的积为1，绝对值的意义，负数的意义计算即可． 【详解】解：因为a和互为相反数，b和c互为倒数，d是负数且d的绝对值为， 所以，． 所以． 题型04多个有理数相乘的符号判断与计算 先排查是否有因数，有则积为；无时数负因数个数，奇负偶正定符号，再算绝对值乘积。 【典例4】. 下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数乘法的符号法则，同号为正，异号为负，积的符号由负因数的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负因数，积的符号为正，不符合题意； B、有3个负因数，积的符号为负，符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有4个负因数，积的符号为正，不符合题意． 【变式1】. 下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数乘法的运算法则，几个非0的有理数的乘法，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、原式有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、原式有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、原式有一个因数为0，故积为0，不符合题意； D、原式有3个负号，积的符号为负，符合题意． 【变式2】. 四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，若积为负数，则被污染的有理数可能是（    ） A． B．0 C．0.5 D．10 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法，根据有理数乘法的符号法则，根据“”的个数，奇负偶正，得到被污染的有理数是一个负数，进行判断即可． 【详解】解：∵四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，积为负数， ∴被污染的有理数是一个负数；故满足题意的只有A选项； 故选：A． 【变式3】. 计算： (1)； (2)． 【答案】(1)36 (2) 【分析】此题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 （1）先确定乘积的符号，再计算后两个数相乘，最后再计算乘法即可； （2）先确定乘积的符号，按照从左到右的顺序计算即可 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型05乘法交换律与结合律的应用 将乘积为整数、互为倒数的数优先结合；交换位置时必须连同数的符号一起移动。 【典例5】. 计算：__________. 【答案】0 【分析】本题考查有理数的乘法运算，核心在于理解零乘以任何数的结果都是零.本题的关键点在于识别乘数中存在0，直接利用乘法中乘零的特性快速得出结果，无需计算具体数值的乘积. 【详解】解：. 故答案为：0. 【变式1】. 计算时，用（ ）计算比较简便． A．加法结合律 B．乘法分配律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算与技巧，观察算式中的三个分数，发现第二个分数和第三个分数相乘时，分母和分子可以约分，从而简化计算．此时需要运用乘法结合律，将后两个分数先结合相乘即可． 【详解】解：原式为， 根据乘法结合律，将后两个分数结合：， 约分后得：， 通过改变乘法的结合顺序简化了计算，因此使用乘法结合律最简便， 故选：D． 【变式2】. 算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 【答案】D 【详解】解：原式变形为， 是将三个数相乘的运算顺序从“先算前两个数相乘”变为“先算后两个数相乘”， 符合乘法结合律的特征，故该变形的依据是乘法结合律． 【变式3】. 式子中，运用的运算律是（    ）． A．乘法交换律及结合律 B．乘法交换律及分配律 C．加法结合律及分配律 D．乘法结合律及分配律 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘法运算律的应用，区分交换律（改变顺序）和结合律（改变分组）是关键；等式右边通过改变因数的顺序和分组方式进行计算，使用了乘法的交换律和结合律，没有涉及分配律． 【详解】解：∵ 原式 中，将 与 3 交换位置，使 2 和 相邻，再分组为 ， ∴ 使用了乘法交换律和乘法结合律， 故选：A． 题型06乘法分配律的应用 括号外的数分别乘括号内每一项，注意每项都要带自身符号，避免漏乘和符号错误。提取各项中相同的因数，将剩余部分按原符号相加减，简化运算。 【典例6】. 计算24×的结果是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据乘法分配律求解即可． 【详解】解：． 【变式1】. 计算：________． 【答案】 9999900000 【分析】观察算式，将变形为，构造相同因数，再利用乘法结合律和乘法分配律进行简便计算． 【详解】 ． 【变式2】. 计算并按要求填空： 目的是：_______ 依据是：________ _____法则是：___________ _____．理由是：____________ 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数的减法法则、乘法分配律、有理数的乘法与加法法则． 先通过减法法则将减法转化为加法形式，再运用乘法分配律拆分计算，接着依据乘法法则计算各乘法项，最后根据加法法则完成加法运算得到最终结果． 【详解】解： 目的是：把减法运算转化为加法运算 依据是：乘法对加法的分配律 法则是：同号两数相乘得正，异号两数相乘得负 ．理由是：异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 【变式3】. 黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整； (2)计算：． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 题型07倒数法的混合运算 当除数是多个数的和式时，可先求原式的倒数，用分配律计算后再取倒数得到结果。 【典例7】. 【材料阅读】计算：． 解法一：原式 ． 解法二：原式的倒数为． ． 所以，原式． 【解法评价】 （1）你认为上述正确的解法是______；(填“解法一”或“解法二”) 【解法应用】 （2）利用上述正确的解法计算：． 【答案】（1）解法二； （2） 【分析】（1）除法没有分配律，解法一错误使用了分配律，解法二通过倒数转化为乘法，运用乘法分配律计算是正确的； （2）先计算原式的倒数，将除法转化为乘法后利用乘法分配律计算，最后取倒数得到原式的结果． 【详解】（1）解：解法一中将拆分为的做法不符合运算法则，除法不满足分配律，是错误的； 解法二先求原式的倒数，利用乘法分配律计算出倒数的值，再取倒数得到原式的结果，运算过程符合法则，是正确的． 正确的解法是解法二． （2）解：原式的倒数为， ． 原式． 【变式1】. 阅读下列材料：在计算时，某班三位同学分别给出了如下思路： 思路1 思路2 思路3 用分别除以，，，再把所得结果相加． 先求出，，的和，再用除以这个和． 先算，再求所得结果的倒数． (1)上述三种思路中，不正确的是思路______； (2)请选择一种正确的思路计算：． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算顺序解答即可； （2）利用思路2或3的计算方法解答即可． 【详解】（1）解：用分别除以，，，再把所得结果相加是错误的， 故答案为：1； （2）解：思路2： ； 思路3：原式的倒数为： ， 故． 【变式2】. 课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 甲：原式 乙：原式 丙：原式的倒数 故原式． 请认真阅读，解答下列问题： (1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”) (2)计算： ① ② 【答案】(1)乙、丙；甲； (2)①；② 【分析】本题考查有理数的混合运算，核心知识点为有理数的除法法则与混合运算顺序，关键在于明确除法不满足分配律，对于复杂的除法运算可通过倒数法简化计算． （1）根据除法运算的性质判断：除法没有分配律，甲错误运用分配律导致结果错误；乙按照“先括号内，再括号外”的运算顺序计算，步骤正确；丙利用倒数的性质，先计算原式的倒数再求原式，方法简便且正确． （2）①可先计算括号内的加减运算，再进行除法运算； ②由于括号内的项较多，采用倒数法计算更简便，先求原式的倒数，再通过倒数关系得到原式的值． 【详解】（1）解：除法不具有分配律，甲同学将除法错误地使用分配律，甲的解法错误； 乙同学先计算括号内的有理数加减，再进行除法运算，符合有理数混合运算顺序，解法正确； 丙同学先计算原式的倒数，再根据倒数关系求出原式的值，方法正确；故正确的是乙、丙，错误的是甲； 故答案为：乙、丙；甲． （2）①解： ； ②解：设原式为，则的倒数为， ， 的倒数为， ． 【变式3】. 阅读下列材料，计算：． 解法一：原式                ．                           解法二：原式的倒数为 ． 所以，原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算及倒数的性质． （1）根据除法没有分配律来判断解法的正误； （2）先求出原式的倒数，再根据倒数的性质求出原式的结果． 【详解】（1）解：解法一：根据除法的运算法则，除法没有分配律，即， 在解法一中，将错误地运用了分配律，得到，所以解法一错误； 解法二：先求出原式的倒数，再根据倒数的性质求出原式的结果，计算过程正确． 故答案为：一． （2）解：原式的倒数为 ． 所以，原式． 题型08有理数加减乘除混合运算 遵循“先乘除、后加减，有括号先算括号内”的顺序，能简便的优先运用运算律。 【典例8】. 用简便方法计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1)23 (2) 【分析】本题主要考查有理数乘除中的简便运算； （1）先把除法变乘法，再根据有理数乘法运算律计算即可； （2）把2020变为，再根据有理数乘法运算律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】. 用运算律简便运算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律即可求解； （）根据乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】. 计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)499 (2)7 (3)885 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律及裂项法是解题的关键. （1）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （2）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （3）根据同分母分数加法运算法则进行计算，再变形，根据同分母分数加法运算法则，进行计算即可； （4）将原式变形为，然后裂项，再根据加法交换律和结合律，结合裂项法，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：                   ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】. 脱式计算，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)80 (2)112 (3)45 (4)750 (5)75 (6)0.4 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则运算顺序． （1）先计算乘除，再计算加法； （2）将除法化为乘法，并利用结合律求解； （3）利用交换律和结合律进行简便计算； （4）先将原式变形，再利用结合律进行乘法计算； （5）先将百分数和分数化为小数，再逆用乘法分配律计算； （6）先计算小括号内加法，再计算中括号内除法，最后计算减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： ； （5）解： （6）解： 题型09有理数乘除法的实际应用 明确正负数的实际意义，根据题意列算式，运用乘除法法则计算并结合实际作答。 【典例9】. 乐乐在比例尺是的房屋设计图上，量得自家房屋平面图长16厘米，宽8厘米． (1)乐乐的爸爸准备把房屋的地面铺上边长为0.8米的正方形地砖，需要多少块这样的地砖？ (2)如果每块地砖需12元钱，乐乐家买地砖需要多少钱？ 【答案】(1)200块 (2)2400元 【分析】（1）根据比例尺求出房屋地面的实际长和宽，再计算出房屋地面的面积和每块地砖的面积，进而求出所需地砖的数量即可． （2）根据地砖数量和单价求出买地砖的总费用． 【详解】（1）解：房屋实际长，宽， 房屋面积为，正方形地砖面积 地砖数为 块． （2）解：费用为元． 【变式1】. 近几年，新能源汽车产销量大幅增加．明明家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，如表，以50km为标准，多于50km的部分记为正，不足50km的部分记为负，刚好50km的记为零． 第天 1 2 3 4 5 6 7 路程/km (1)请求出明明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少千米？ (2)已知燃油车每行驶100km需用汽油8升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为16度，每度电为0.5元，请计算这7天明明家换成新能源汽车比开燃油车节省多少钱？ 【答案】(1)/天 (2)元 【分析】（1）先求出7天总路程，再求平均数即可； （2）先分别求出燃油车和电动车的费用，再比较可得答案． 【详解】（1）解：总路程：，平均：/天； 所以这七天平均每天行驶了60千米； （2）解：燃油车费用：元， 电动车费用：元； 节省：元， 所以这7天明明家换成新能源汽车比开燃油车节省235.2元． 【变式2】. 王明开着小轿车去“中石化”加油站加“92#”汽油（当天油价“92#”是元/升，“95#”是元/升，“98#”是元/升，“0#”柴油是元/升）．“中石化”加油站规定若用卡加油，“92#”汽油每升的单价在当天基础上可减元，“95#”汽油每升的单价在当天基础上可减元，正好该加油站当天也在搞促销活动，一张面值300元加油卡打九折出售，且两项活动可一起享受，他盘算了一下，决定这次买一张面值300元加油卡加油． (1)他实际花了多少钱购买了这张加油卡？ (2)假设这次加油他把这张卡内钱一次性全部用完，求：用卡加油比不用卡加油在加油量相等的条件下一共便宜了多少钱？ 【答案】(1)他实际花了元购买了这张加油卡． (2)一共便宜了元． 【分析】（1）用加油卡的原价乘以折扣即可得到答案； （2）求出用加油卡所加的油量，进而求出不用卡加这些油需要的费用即可得到答案． 【详解】（1）解：（元）， 答：他实际花了元购买了这张加油卡． （2）解：（升）， （元）， （元）， 答：一共便宜了元． 【变式3】. 某通讯公司开设了两种通讯业务如下： 一、使用“全球通”手机卡用户电话费计费标准：每月月租费50元，接听和打出每分钟另需付通话费均为0.4元； 二、使用“神州行”手机卡用户电话费计费标准：不缴月租费，接听和打出每分钟通话费均为0.6元． 根据以上信息： (1)张华每月平均通话时间是150分钟，他应选择用哪种手机卡电话费比较便宜？每月需电话费多少元？ (2)陈烨每月平均通话时间是300分钟，他应选择用哪种手机卡电话费比较便宜？每月需电话费多少元？ 【答案】(1)张华应选择“神州行”，每月话费90元 (2)陈烨应选择“全球通”，每月话费170元 【分析】（1）根据张华的通话时间分别计算两种业务下的话费，再进行比较即可； （2）根据陈烨的通话时间分别计算两种业务下的话费，再进行比较即可． 【详解】（1）解：“全球通”电话费（元）， “神州行”电话费（元）， 因为，所以应选择“神州行”， 答：张华应选择“神州行”，每月话费90元． （2）解：“全球通”电话费（元）， “神州行”电话费（元）， 因为，所以应选择“全球通”， 答：陈烨应选择“全球通”，每月话费170元． 一、单选题 1．的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，， 的倒数是，即的倒数是． 2．如果四个数的积为负数，其中有两个数异号，则另外两个数（　　） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定也异号 D．一定同号 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法法则可得另外两个数的积为正数，由此即可得． 【详解】解：∵四个数的积为负数，其中有两个数异号（这两个数的积为负数）， ∴另外两个数的积一定为正数， ∴另外两个数一定同号． 3．如图是一个运算程序的示意图，若输入x的值为1，则输出的结果是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据运算程序示意图，将代入代数式进行计算，若结果大于等于1则输出，否则将结果重新代入计算． 【详解】解：当输入时，， ， 输出结果为． 二、填空题 4．计算：_____． 【答案】 【分析】先将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】解： ． 5．一件商品原价元，打九折后的价格为__________元． 【答案】 【详解】解：商品打九折指售价为原价的，根据题意列式计算得：． 6．计算：________． 【答案】236898 【详解】解：原式． 三、解答题 7．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)． (3)64 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 8．阅读理解：规定符号表示a，b两个数中小的一个，符号表示a，b两个数中大的一个．例如：，． (1)______；______； (2)求式子的值； (3)求式子的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据有理数的大小比较，结合新定义，即可求解； （2）根据新定义列出算式进行计算，即可求解； （3）根据新定义列出算式进行计算，即可求解． 【详解】（1）解：，； （2）解： ； （3）解： ． 9．哈尔滨红肠是全国驰名的哈尔滨特产．某品牌哈尔滨红肠计划在国庆节期间开展一系列优惠活动，其中，针对一款原价48元/盒的哈尔滨红肠推出了两种优惠方案（两种方案只能选择一种）．方案一：每盒按九折销售．方案二：每买5盒，送1盒． (1)李阿姨需要买4盒这种哈尔滨红肠，她选择了方案一，李阿姨节约多少钱？ (2)王阿姨需要买8盒这种哈尔滨红肠，她选择了方案二，相当于每盒单价多少元？ (3)刘阿姨有一张满888元减168元的优惠券，这张优惠券不可与上述方案同享．刘阿姨需要买20盒哈尔滨红肠，怎样买最划算？写出判断过程． 【答案】(1)李阿姨节约19.2元 (2)相当于每盒单价42元 (3)使用满888元减168元优惠券购买最划算 【分析】（1）分别计算出原价和按照方案一的价格，然后作差求解即可； （2）首先求出王阿姨只需要花费7盒的钱，然后计算出总价，再除以8即可求解； （3）分别求出三种方案的花费，然后判断即可． 【详解】（1）解：（元） （元） 节约钱数为（元） 答：李阿姨节约19.2元． （2）解：∵方案二每买5盒，送1盒，王阿姨需要买8盒， ∴可参与1次“买5送1”活动得到6盒（支付5盒的钱），再另购2盒，共需支付盒的钱， ∴（元） ∴（元） 答：相当于每盒单价42元． （3）解：①方案一总价：（元） ②方案二：可参与3次“买5送1”活动得到18盒（支付15盒的钱），再另购2盒，共需支付盒的钱， （元）； ③优惠券方案：（元）， ，可减168元． （元） ∵， ∴使用满888元减168元优惠券最划算． 答：使用满888元减168元优惠券购买最划算． 1．下列说法：①最大的负整数是；②相反数是本身的数是正数；③有理数分为正有理数和负有理数；④数轴上表示的点一定在原点的左边；⑤几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数，其中错误的个数是（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】解：对于①：最大的负整数是，故①正确； 对于②：相反数是本身的数是，不是正数，故②错误； 对于③：有理数分为正有理数、负有理数和零，故③错误； 对于④：当时，在原点的右边，故④错误； 对于⑤：若因数中包含零，则乘积为零，不是负数，故⑤错误； ∴一共有4个错误结论． 2．把四个数字分成横着两行、竖着两列，左右各画一根竖线包住，横着的一组数叫一行，从上往下是第一行、第二行；竖着的一组数叫一列，从左往右是第一列、第二列.这个整体就叫二阶行列式．例如我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，如，请你计算的值为______． 【答案】16 【分析】根据题干所给的运算法则，结合有理数的四则混合运算法则，计算即可得出结果． 【详解】解：∵把称作二阶行列式，规定它的运算法则为， ∴． 3．有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中：①；②；③；④，正确的是（   ） （图示：，且a到原点的距离大于b到原点的距离） A．①② B．①④ C．②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负性，利用数轴比较有理数的大小，绝对值的意义，有理数的加法运算，乘法运算，减法运算，据此相关性质内容进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：观察数轴得，， ∴，①符合题意， ，②不符合题意， ，③符合题意， ，④不符合题意， 综上，①③符合题意； 故选：D． 4．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习的部分内容，阅读下列材料，并完成相应任务． 关于“用拆项法计算”的研究报告 博学小组 研究对象：用拆项法计算的值． 研究思路：由于2025与2024相差1，2033与2034相差1，因而可以将问题改写成． 研究方法：先利用拆项法，再利用乘法分配律． 研究步骤：解：原式（依据1） （依据2） = ▲ ． 任务： (1)上述研究报告中的依据1是指________，依据2是指________． (2)研究报告中的“▲”处空缺的内容为________． (3)请用另外一种拆分方法计算． 【答案】(1)拆项法；乘法分配律 (2)9 (3)见解析 【分析】（1）根据拆项法和乘法分配律求解即可； （2）根据有理数的加减运算法则求解即可； （3）仿照题干方法，可将原式改写为，再利用乘法分配律和有理数的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解：研究报告中的依据1是指拆项法，依据2是指乘法分配律； （2）解：原式 ， 故“▲”处空缺的内容为9； （3）解：原式 ． 5．小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”） (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， ； （2）， ， ， ； （3）， ． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $