专题1.5 有理数的加法与减法（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级上册

本讲义聚焦有理数的加法与减法，系统梳理加法法则（同号、异号、相反数及与0相加）、加法运算律（交换律、结合律）、减法法则（转化为加法）及加减混合运算（统一加法、省略加号），构建从基础运算到作差比较大小、实际问题解决的递进学习支架。 资料以“即学即练+典例变式”分层设计，结合阅兵直升机高度、露营路线等情境，培养学生用数学眼光观察现实世界。规律探究与新定义问题提升运算能力和推理意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题1.5 有理数的加法与减法 教学目标 1.掌握有理数加法、减法的运算法则，能熟练进行有理数的加减运算。 2.理解加法运算律，能灵活运用运算律完成加减混合运算的简便计算。 3.能运用有理数加减运算解决实际问题，体会转化思想与数形结合思想。 4.掌握数轴两点距离公式与作差比较法，提升综合运用知识的能力。 教学重难点 1.重点 （1）有理数加法、减法的运算法则 （2）加法运算律与加减混合运算的简便计算 （3）有理数加减运算的实际应用 2.难点 （1）异号两数相加的符号判断与绝对值运算 （2）加减混合运算中符号的准确处理 （3）简便运算技巧的灵活选择与运用 知识点01：有理数的加法法则 1.法则分类 运算类型 具体法则 同号两数相加 取与加数相同的符号，并把绝对值相加 绝对值不等的异号两数相加 取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 互为相反数的两数相加 和为 一个数与相加 仍得这个数 2.运算步骤：先判断加法类型，再确定和的符号，最后计算和的绝对值。 3.核心性质：若与互为相反数，则；反之，若，则与互为相反数。 【即学即练】 1．计算的结果是（  ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【详解】解：∵与互为相反数，根据有理数加法法则，互为相反数的两个数的和为， ∴． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题考查了有理数的加法运算，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数． （）根据有理数加法法则进行计算即可； （）根据有理数加法法则进行计算即可； （）根据有理数加法法则进行计算即可； （）根据有理数加法法则进行计算即可； （）根据有理数加法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 知识点02：有理数加法运算律 1.基本运算律 运算律 文字表述 字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变 2.常用简便技巧：相反数结合法、同号结合法、凑整法、同分母结合法、拆项结合法。 【即学即练】 1．嘉淇同学在计算时，将式子变形成后再进行计算，其过程运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【答案】C 【分析】本题考查加法运算律的应用，需根据变形过程判断所使用的运算律． 根据加法交换律和加法结合律进行变形即可得解． 【详解】原式为变为， 将原式中的和交换位置，使同分母分数与相邻，属于交换加法的位置； 将与相结合，与相结合，属于加法结合律； 综上，变形过程中运用了加法交换律和结合律； 故选． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)18 (2) (3) (4)7 【分析】本题主要考查了有理数的加法，熟记运算法则是解答本题的关键． （1）能凑整的两数先相加，然后再进行运算； （2）能凑整的两数先相加，然后再进行运算； （3）同分母两数先相加，然后再进行运算； （4）能凑整的两数先相加，然后再进行运算； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 知识点03：有理数的减法法则 1.法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即。 2.运算要点：转化时遵循“两变一不变”——减号变加号，减数变相反数，被减数保持不变。 3.拓展结论 （1）减去任何数等于这个数的相反数，任何数减去仍得这个数； （2）作差法比较大小：若，则；若，则；若，则。 【即学即练】 1．计算的值为（   ） A．6 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】解：． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了有理数的减法运算和有理数的加减混合运算，解决本题的关键是根据有理数的减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，再根据有理数的加法法则进行计算． （1）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （2）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （3）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （4）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （5）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （6）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：； （5）解： ； （6）解： ． 知识点04：有理数的加减混合运算 1.运算思路：利用减法法则将所有减法转化为加法，统一为只有加法运算的和式。 2.省略加号的和式：可将和式中的括号与加号省略，写成省略加号的代数和形式，例如。 3.两种读法：可按性质符号读作“负8、正5、正2的和”，也可按运算符号读作“负8加5加2”。 4.运算技巧：运用加法交换律、结合律分组简便计算；交换加数位置时，需连同数的性质符号一起移动。 【即学即练】 1．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加减混合运算法则，是解题的关键．根据有理数加减混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 2．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据有理数加减运算法则求解即可； （2）根据有理数加减运算法则求解即可； （3）首先将带分数化为假分数，再运用加法运算律求解即可； （4）首先化简绝对值，再根据有理数减法法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型01有理数加法基础运算 先区分同号、异号、与0相加等类型，同号取同号并加绝对值，异号取大绝对值符号并大减小。 【典例1】. 计算结果是（     ） A． B． C．0 D．4 【答案】C 【分析】利用互为相反数的加法法则直接计算出结果即可． 【详解】解：∵和互为相反数，根据有理数加法法则，互为相反数的两个数相加得． ∴． 【变式1】. 与相加得的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相反数的定义进行计算即可． 【详解】解：， 故． 【变式2】. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解∶原式． 【变式3】. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 题型02有理数减法基础运算 按“减号变加号、减数变相反数”的规则转化为加法，再按加法法则计算。 【典例2】. 计算的结果是（     ） A．1 B．3 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据有理数减法法则计算即可得到结果． 【详解】解： 【变式1】. 计算： 【答案】 【详解】解： = ． 【变式2】. 计算：___________． 【答案】0 【详解】解：． 【变式3】. 计算的结果等于（   ） A．-12 B．12 C． D．2 【答案】D 【详解】解：. 题型03加减算式改写为省略加号的形式 先将所有减法统一为加法，再去掉括号与多余加号，保留每个数的性质符号。 【典例3】. 将算式写成省略括号的和的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加减法，去括号时注意符号变化．根据有理数运算法则，加上一个负数等于减去这个数，减去一个负数等于加上这个数解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 【变式1】. 将写成省略加号和括号的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据有理数的加减运算法则去掉括号，即可求解． 【详解】解：将写成省略加号和括号的形式为． 故选：C． 【变式2】. 不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、， A错误； B、， B正确； C、， C错误； D、， D错误． 【变式3】. 不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，需根据有理数运算法则省略括号和加号后，比较是否与给定算式一致． 【详解】解：选项A：； 选项B：； 选项C：，与给定算式一致； 选项D：． 故选：C． 题型04有理数加减混合运算计算 先统一成加法并写成省略加号的形式，再按顺序计算或合理分组计算。 【典例4】. 计算：． 【答案】 【分析】把减法转化为加法，再利用加法交换律与结合律将同分母分数结合，计算即可． 【详解】解： ． 【变式1】. 计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】. 计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型05加法运算律的简便计算 优先结合互为相反数的数，再将同号、同分母、能凑整的数分别结合，简化运算步骤。 【典例5】. 用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的加法，掌握运算律是解题的关键． （1）根据有理数加法的运算律将同号两数先相加，再计算即可； （2）根据有理数加法的运算律将同分母的先相加，再计算即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 . 【变式1】. 填空： _______+_____________+____________． 从中可知，分别把 ____数和 ____数结合在一起相加，计算更简便． 【答案】 正 负 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，解题关键是熟练掌握有理数加法运算律． 先交换加数的位置，然后根据加法的结合律，把正数和正数，负数和负数相结合，进行简便计算即可． 【详解】解： ， 从中可知，分别把正数和负数结合在一起相加，计算更简便， 故答案为：，，，，，正，负． 【变式2】. 阅读下面的解题过程并解决问题 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） …… (1)计算过程中，第一步变形的依据是___________，从第___________步开始出现错误； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了___________（填数学定律） (3)请将正确解答过程补充完整． 【答案】(1)有理数的减法法则，二 (2)加法交换律，加法结合律 (3)见详解 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算，加法交换律，加法结合律，解题的关键是熟练掌握有理数的减法法则． （1）利用有理数的减法法则即可得出结果； （2）利用加法交换律和加法结合律即可得出结果； （3）利用有理数的加减运算法则和加法运算律进行计算即可． 【详解】（1）解：第一步变形的依据是有理数的减法法则，从第二步开始出现错误，因为移动时未移动负号， 故答案为：有理数的减法法则，二； （2）解：第二步应用了加法交换律，第三步应用了加法结合律， 故答案为：加法交换律，加法结合律； （3）解：原式（第一步） （第二步） （第三步） ． 【变式3】. 阅读下面的解题过程并解决问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） … (1)上面的计算过程中，第一步变形的依据是_____________； (2)为了计算简便，第二步应用的运算律是_____________；（用符号表示） (3)上面的计算过程，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是_____________； (4)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)有理数减法法则 (2) (3)二；写成了 (4) 【分析】（1）根据“减法变加法（减一个数等于加它的相反数）”确定第一步的变形依据； （2）第二步调整数的位置，对应加法交换律； （3）检查步骤中符号是否正确，发现第二步，将误写为； （4）先通过加法交换律调整数的顺序，再用结合律分组计算（小数与小数结合、分数与分数结合），最终得出结果． 【详解】（1）解：有理数的减法法则（减去一个数等于加上这个数的相反数）． （2）解：加法交换律：； （3）解：从第二步开始出错，错误原因是：将误写为，符号处理错误； （4）解： ． 题型06带分数加减的拆项简便运算 将带分数拆为整数与真分数的和，负带分数的分数部分保留负号，再分别合并整数、分数部分。 【典例6】. 用简便方法计算：． 【答案】111111 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式变形后，计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 【变式1】. 阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. (1)仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； (2)用拆项法计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减混合运算法则，准确计算． （1）根据题干信息进行解答即可； （2）利用题干提供的信息，运用有理数加减混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：拆为，拆为， 故答案为：，； （2）解： ． 【变式2】. 阅读下列的计算方法，解决问题： (1)． 解：原式． 上面这种方法叫拆项法．按这种方法，可将拆为_____，拆为______． (2)类比上述计算方法，请计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了有理数的加减运算，正确理解题意、掌握解答的方法是关键； （1）根据有理数的加法作答即可； （2）按照题干中的拆项法结合有理数的加减混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：可将拆为，拆为； 故答案为：，； （2）解： ． 【变式3】. 阅读下面的材料，并完成相应任务． 计算：． 解：因为，，____①____，， 所以原式 ． 上面这种计算方法叫拆项法． 任务： (1)上述材料中，序号①的内容为________． (2)试用上述方法计算： ①________； ②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查有理数的加法运算，解题的关键是掌握拆项法，将带分数拆成整数和分数两部分，再分别相加． （1）根据拆项法的规则，将带分数拆分为整数17和分数； （2）①利用拆项法把带分数拆成整数和分数，然后分别对整数部分和分数部分进行计算； ②运用拆项法拆分带分数，再分别结合整数与整数、分数与分数进行计算。 【详解】（1）解：由拆项法可知，． （2）解：① ② ． 题型07作差法比较有理数大小 计算两数的差，差为正则被减数更大，差为负则减数更大，差为0则两数相等。 【典例7】. 比较与的大小．（请用两种方法比较） 【答案】 【分析】本题考查有理数比较大小，有理数的减法，掌握相关知识是解决问题的关键．方法1：两负数比较，绝对值大的负数反而小；方法2：两数比较用做差法，差为正数则被减数大，差为负数则减数大，差为零则一样大． 【详解】解：法1：， ∵， ∴； 法2：， ∴． 【变式1】. 已知有理数a，b在数轴上的位置，a在原点左侧，b在原点右侧，且，． (1)求a和b的值； (2)比较和的大小； (3)计算的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据绝对值，数轴求解即可； （2）根据有理数的加减运算求解即可； （3）根据绝对值，有理数的减法求解即可． 【详解】（1）解：， ， a在原点左侧， ， ， ， b在原点右侧， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值，有理数的大小比较，有理数的加减运算，解题的关键是掌握数轴知识，绝对值的定义，有理数的大小比较和有理数的运算法则． 【变式2】. 比较与的大小可用以下方法： ，，， ，即． (1)你能对照上述方法比较与的大小吗？ (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数大小的比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解题的关键． （1）根据与的大小得出结论即可； （2）根据与的大小得出结论即可． 【详解】（1）解：，，， ， ； （2）解：，，， ， ． 【变式3】. 阅读下列材料，解决问题． 比较两个有理数大小的方法有一种叫作作差法，例如：比较与的大小． 解：∵ 这种利用作差法比较大小的原理是： （1）若则 （2）若，则 （3）若则 解决下列问题： 比较与的大小； 【答案】 【分析】本题主要考查的是有理数的大小以及有理数的减法运算，依据材料作差法即可比较大小． 【详解】解：， ∴； 题型08有理数加减的实际应用 明确正负数的实际意义，求和判断最终位置，求绝对值之和计算总路程、总消耗等。 【典例8】. 2025年9月3日的盛大阅兵式上，空中梯队的直升机编队飞越天安门广场上空，其中26架直升机组成了巨大的“80”字样，以纪念抗战胜利80周年． (1)阅兵仪式上，一架执行摄影任务的直升机先在海拔米的高度飞行，为了避开气流，它先上升了米，随后又下降了米．请问此时直升机的海拔高度是多少米？ (2)另一架直升机在执行任务时，从海拔米的高度开始下降，先下降了米后，又下降了米．请问它现在的飞行高度是多少米？ 【答案】(1)此时直升机的海拔高度是850米 (2)直升机现在的飞行高度是2500米 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数的加减运算，解题的关键是掌握正负数的实际意义和有理数加减运算法则． （1）根据正负数的实际意义，列出算式，利用有理数的加减运算法则进行计算即可； （2）根据正负数的实际意义，列出算式，利用有理数的加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：记上升为正，下降为负，则 （米） 答：此时直升机的海拔高度是850米； （2）解： （米） 答：直升机现在的飞行高度是2500米． 【变式1】. 【项目主题】露营基地野餐 【背景】当下露营正成为人们一种新的周末休闲娱乐方式，李明和朋友约定周末去郊外露营基地野餐，出发前，李明需要驾车去购买一些露营的食物、水果等． 【素材】从家出发，先向西行驶到炸鸡店，继续向西行驶到达面包店，然后向东行驶到达水果店，继续向东行驶到烧烤店，接着向西行驶到寿司店，最后向东行驶到露营基地． 【任务】以家为原点，向东为正，向西为负，李明的行动记录如下：，，，，，； (1)露营基地在家的哪个方向，距家多远？ (2)李明一共行驶了多少千米？ 【答案】(1)露营基地在家的东边，离家有 (2)李明一共行驶了 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算，根据向东为正，向西为负即可得出答案； （2）根据绝对值的实际意义，将各数的绝对值相加并计算即可． 【详解】（1）解：； 答：露营基地在家的东边，离家有； （2）解：， 答：李明一共行驶了． 【变式2】. 某玩具厂计划一天生产300个马年玩偶，但由于各种原因，实际每天生产马年玩偶的数量与计划每天生产马年玩偶的数量相比有出入．下表是某一周的生产情况（超过计划数量的部分记作正数，不足计划数量的部分记作负数，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录可知这一周生产马年玩偶最多的一天是星期______，比生产马年玩偶最少的一天多生产______个； (2)该玩具厂这一周前三天共生产了多少个马年玩偶？ (3)求该玩具厂这一周平均每天生产马年玩偶的数量． 【答案】(1)六，19 (2)910个 (3)301个 【分析】（1）根据表格中每天生产玩偶与计划数量的差值，找出最多和最少的一天，再计算差值； （2）先求出前三天生产玩偶与计划数量的差值总和，再加上前三天计划生产的数量； （3）先求出这一周生产玩偶与计划数量的差值总和，再计算平均每天的生产数量． 【详解】（1）解：根据题意可知，周六那天生产的玩偶最多，比计划多生产12个，生产最少的一天比计划少生产7个， 则周六那天比生产马年玩偶最少的一天多生产个． （2）解：（个）， 答：该玩具厂这一周前三天共生产了910个马年玩偶． （3）解：（个）． 答：该玩具厂这一周平均每天生产301个马年玩偶． 【变式3】. 随着科技的迅猛发展，机器人正以前所未有的速度渗透进各行各业，逐渐取代工人承担起诸多重复性、高强度以及危险环境下的工作任务．某钢铁生产车间有一机器人在一条东西走向的流水线上来回走动进行调试设备、检测温度等工作．机器人从点A出发，规定向东为正，向西为负，下表是某一段时间内从点A出发的行走记录（单位：米）． 第次 第次 第次 第次 第次 (1)该机器人第5次完成工作后在出发点的什么方向？距离出发点多远？ (2)若该机器人每千米耗电千瓦时，在这段行走过程中机器人共耗电多少千瓦时？ 【答案】(1)西边，米 (2)千瓦时 【分析】本题考查了正负数的实际意义，有理数的运算，熟练掌握相关运算和定义是解题的关键． （1）将5次运动的行走记录相加，即可求解； （2）将表格中所给数据的绝对值相加，求得总行走距离，再乘以每千米耗电量，即可得到总耗电量，注意单位换算． 【详解】（1）解：（米）， 该机器人第5次完成工作后在出发点的西边，距离出发点米． （2）解：（米）， 则（千瓦时）． 答：在这段行走过程中机器人共耗电千瓦时． 题型09加减运算中的规律探究 方法常用分组求和法两两配对计算；分数类加减可使用裂项相消法，拆分后抵消中间项。 【典例9】. 在数字1，2，3，…，99，100的前面添加符号“+”或者“-”，使它们的和为0．你有几种不同的添加方法？你能找到添加的一般规律吗？ 【答案】方法无限多种，规律见解析 【分析】本题考查了规律型∶数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 根据题意每相邻4个数的和等于0，可以让前两个数的和为，后两个数的和为，以此类推． 【详解】解∶； 一般规律为：每相邻4个数的和等于0，可以让前两个数的和为，后两个数的和为，即可使得和为0． 【变式1】. 用计算器探索按一定规律排列的一组数：，，，，，若从中选出若干个数，使它们的和大于0.5，则需选择的数的个数至少是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查实数的计算规律，要使选出的数的个数最少，应从大到小依次选择这组数中的数相加，直至和大于0.5，此时所选数的个数即为所求． 【详解】解：从最大的开始，从大到小逐个求和，即 当它们的和大于0.5时停止．计算可得， 所以需选择的数的个数至少是7． 故选：C． 【变式2】. 观察下列等式： (1)依照上述规律，请你写出第⑤和第⑥个等式； (2)运用（1）的发现，计算： 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，找到一般规律，并能应用规律运算是解题的关键． （1）通过观察，直接可写出； （2）由（1）的发现，可得原式，再运算即可． 【详解】（1）解：第④个等式为， 第⑤个等式为， 第⑥个等式为； （2）解： 【变式3】. 我国宋朝数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，图1有1颗弹珠，图2有3颗弹珠，图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…，若用表示图n的弹珠数，其中n＝1，2，3，… (1)根据以上规律，可得 ； ； (2)计算： 【答案】(1)15， (2) 【分析】本题主要考查图形规律问题及有理数的运算，解题的关键是得到图形的一般规律； （1）根据题意易得图1有1颗弹珠，图2有颗弹珠，图3有颗弹珠，图4有颗弹珠，然后问题可求解； （2）根据（1）可代入进行求解． 【详解】（1）解：由图可知： 图1有1颗弹珠，图2有颗弹珠，图3有颗弹珠，图4有颗弹珠，图5有颗弹珠，……； ∴； 故答案为15，； （2）解：由（1）可得： 原式= = =． 题型10加减混合运算的新定义问题 读懂新运算的规则，将其转化为常规有理数加减运算，按定义逐步代入计算。 【典例10】. 高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如，现定义，例如，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的加减计算，熟练掌握新定义是解题的关键． 先根据新定义求出，再根据代入计算即可． 【详解】解：因为表示不超过的最大整数， 所以． ． 故答案为：． 【变式1】. 定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫作“极差数”．例如三位数231，因为3-1=2，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数853是否为“极差数”？_____．（填“是”或“不是”） 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为______； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）；（2）能，理由见解析 【分析】本题考查数字类问题，整式加减的应用，旨在考查学生的信息处理能力． 理解定义：根据定义进行验证即可； 建模推理： （1）根据“极差数”的定义即可求出答案； （2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证． 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为8， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 理由：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴ ， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 【变式2】. 甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）—运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： ______；______；______；______． (2)请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则．两数进行*（加乘）运算时，同号得_____、异号得_____、并把_____相加．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，______． (3)我们知道有理数的加法有结合律，请判断这种新运算“*”是否具有结合律？并举一个例子验证你的结论． 【答案】(1)； (2)正；负；绝对值；等于这个数的绝对值； (3)新运算不具有结合律；见解析 【分析】本题考查的是新定义运算，同时考查的是有理数的加法运算，绝对值的含义，理解新定义，归纳总结运算法则是解本题的关键． （1）根据题干提供的运算特例的运算特点分别进行计算即可； （2）根据题意归纳可得加乘运算的运算法则即可； （3）对于加乘运算的结合律，可举例，进行运算后再判断即可． 【详解】（1）解：根据加乘运算的运算法则可得： ；；， ； 故答案为：； （2）解：两数进行*（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加． 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，等于这个数的绝对值． 故答案为：正；负；绝对值；等于这个数的绝对值； （3）解：新运算不具有结合律， 例如：， ， ∴ 故新运算不具有结合律． 【变式3】. 小东对有理数定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式： ， ， ， 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同， ①用“乘减法”计算：______． ②小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即．但是结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立，请你举一个例子说明不成立． 【答案】(1)正，负，用较大的绝对值减去较小的绝对值 (2)①②结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，根据题中给出的例子读懂题意是解题的关键． （1）根据题中给出的例子即可得出结论； （2）①根据（1）中的“乘减法”进行计算即可； ②设代入式子进行计算，看结果是否相同即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． 故答案为：正，负，用较大的绝对值减去较小的绝对值； （2）解：① ． 故答案为：； ②设， 左边， 右边， 左边≠右边， ∴结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立． 一、单选题 1．根据有理数加法法则，计算过程正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数加法法则：异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值．先判断两个加数是异号，再判断绝对值大小，根据加法法则解答即可． 【详解】解：∵3与异号，且，，， ∴． 2．如图是一台冰箱的显示屏，则这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将冷藏室温度减去冷冻室温度即可解答． 【详解】解：， 答：这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为． 3．魏晋时期，数学家刘徽在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负）．图1表示的是的计算过程，则图2表示的计算过程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，即可列式计算． 【详解】解：由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，可得图2表示的计算过程是． 二、填空题 4．一个点从数轴上表示的点开始，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，则此时这个点表示的数是______． 【答案】 【分析】本题考查数轴的概念，有理数的加减法，明确移动方向与运算的关系是解题关键． 根据数轴上点的移动规律，向右移动为正方向，增加数值；向左移动为负方向，减少数值，结合题意计算即可． 【详解】解：起点为，先向右移动个单位长度，得；再向左移动个单位长度，得． 故答案为：． 5．计算：________． 【答案】50 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式两项合并正好得50个1，最后计算结果即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：50． 6．已知表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则______． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算与有理数的减法运算，需先根据给定定义分别求出和的值，再利用有理数减法法则计算最终结果． 【详解】解：∵， ； ∵， ∴； ∴， 故答案为：． 三、解答题 7．计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，关键是运用加法交换律和结合律，将同分母的数结合凑整，简化计算流程．首先根据去括号法则去掉原式中的括号，再将同分母的带分数与分数分组结合，最后分别计算各组结果并求和． 【详解】解：原式 ． 8．微信支付是当下快捷方便的一种支付方式，下表是李叔叔某天的微信账单 微信红包 元 美团外卖 元 淘宝网 元 银行卡转账 元 微信转账 元 (1)元表示___________元，元表示___________元．(填收入或支出) (2)李叔叔这天结余多少钱？ 【答案】(1)支出；收入 (2)元 【分析】本题主要考查正负数的应用、有理数加减运算等知识， （1）根据正负数表示相反意义的量，即可获得答案； （2）将李叔叔这天所有微信账单数值相加，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据正负数表示相反意义的量，在微信账单中，负数对应支出行为，正数对应收入行为， 则元表示支出元，元表示收入元． （2）解：李叔叔这天的结余为李叔叔这天， (元) 答：李叔叔这天结余元． 9．当前，人们对健康愈加重视，跑步成了人们进行体育锻炼的首要选择．爸爸计划每天跑3千米，他记录了一周跑步路程变化的情况如下表：（正数表示比计划增加的路程，负数表示比计划减少的路程） 星期 一 二 三 四 五 六 日 路程/千米 (1)星期二爸爸的跑步路程是 千米； (2)爸爸跑步路程最多的一天是星期 ； (3)爸爸这七天一共跑步多少千米？ 【答案】(1)4 (2)五 (3)爸爸这七天一共跑步千米 【分析】本题考查有理数加法在实际生活中的应用，核心是正确理解表格中增减量的含义，即实际路程为计划路程与对应增减量的和． （1）直接通过计划路程加星期二的增减量计算实际路程； （2）根据表格找出比计划跑步路程多跑最远的一天即可； （3）用七天计划总路程加上所有增减量的总和来计算总路程． 【详解】（1）解：星期二爸爸的跑步路程为（千米）， 故答案为：4； （2）解：由表格可知，比计划增加的路程最多的一天多跑了2千米，即星期五， 所以爸爸跑步路程最多的一天是星期五， 故答案为：五； （3）解：七天计划跑步总路程为（千米）， 一周路程增减量的总和为（千米） 所以七天实际总路程为（千米）， 答：爸爸这七天一共跑步千米． 1．如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把到这6个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和P都相等，那么P的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法，解答的关键是判断出把六个数中较大的数填在三个顶点处．根据三角形的每条边上的三个数的和P都相等，且P最大，只需把六个数中较大的三个数填在三个顶点处即可求解． 【详解】解：到这6个连续整数分别为，，，，，， ∵要求三角形的每条边上的三个数的和P都相等，且和P最大， ∴只需把三个较大的数，，填入三角形的三个顶点处，如图， ∴， 故选：B． 2．下面是小梦做的一道计算题的解题过程，和代表的计算依据分别是（    ） 解： ． A．有理数减法法则、加法结合律 B．加法结合律、加法交换律 C．加法交换律、加法结合律 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，运算律，根据有理数加法法则，运算律即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∴第一步到第二步交换了加数的位置，使用了加法交换律；第二步到第三步改变了加法的分组方式，使用了加法结合律， ∴和代表的计算依据分别是加法交换律、加法结合律， 故选：． 3．法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了，下面是用法国“小九九”计算和的两个示例，且左手伸出的手指数不大于右手伸出的手指数，若用法国的“小九九”计算，左、右手未伸出手指的总个数是______．   因为两手伸出的手指数的和为5，未伸出的手指数的积为6，所以，．       因为两手伸出的手指数的和为7，未伸出的手指数的积为2，所以，． 【答案】6 【分析】本题考查了有理数的乘法与减法，根据和的计算过程得出计算左手应伸出个手指，右手伸出个手指是解此题的关键．根据和的计算过程得出计算左手应伸出个手指，右手伸出个手指进而计算出左、右手未伸出手指的总个数是． 【详解】解：∵计算的过程为：左手应伸出个手指，右手伸出个手指，计算的过程为：左手应伸出个手指，右手伸出个手指， ∴计算的过程为：左手应伸出个手指，右手伸出个手指， ∴左、右手未伸出手指的总个数是 故答案为：． 4．如图1，点是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的有理数为，，，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度，则数轴上点所对应的数为______． 【答案】 【分析】分别求出数轴上和刻度尺上点A和点C的距离，则可求出刻度尺上在数轴上表示的长度，再求出刻度尺上点A和点B的距离，进而求出数轴上点A和点B的距离，则可得到答案． 【详解】解：∵在数轴上点A表示的数为，点C表示的数为， ∴在数轴上点A与点C的距离为； ∵在刻度尺上，数字0对应点A，数字对应点C， ∴在刻度尺上点A与点C的距离为， ∴刻度尺上在数轴上表示个单位长度， ∵在刻度尺上点对应刻度， ∴在刻度尺上点A与点B的距离为， ∴在数轴上点A与点B的距离为， ∴． 5．【问题情境】随着时代的发展，月饼的馅料越来越丰富．不仅和每个地方的饮食文化结合，出现广式、晋式、京式、苏式等口味，而且富有想象力的大厨们还发明了抹茶冰皮、山楂蔓越莓等各种各样的月饼．中秋节又要到了，乐乐和妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计枚）． 【提出问题】回家后，妈妈要求乐乐用称重不超过克的电子秤，结合所学知识判断这盒月饼的总质量是否合格． 【分析问题】乐乐仔细地看了标签和包装盒上的有关说明，包装说明上标记的总质量合格标准为克，确定了以下解决方案． 【解决问题】把枚月饼称重后统计列表如下（单位：克） 第枚 质量克 为了简化运算，乐乐选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，他把超出部分记为正，不足部分记为负，列出表格如表（数据不完整） 第枚 质量克 请你解答以下问题： (1)乐乐选取的这个标准质量是___________克； (2)表中的___________，___________，___________； (3)乐乐对妈妈说这盒月饼总质量是合格的，请你通过计算替乐乐说明理由． 【答案】(1) (2)，， (3)这盒月饼总质量是合格的，理由见详解 【分析】此题考查了正数和负数以及有理数的运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解题的关键． （）根据题意可知，标准质量为克； （）由标准质量为克，进行运算即可； （）计算这盒月饼记录之和，再进行判断是否在至之间即可． 【详解】（1）解：对比表格可知：标准质量为克， 故答案为：； （2）解：，，， 故答案为：，，； （3）解：这盒月饼总质量是合格的，理由如下， 由（克）， ∵， ∴这盒月饼总质量是合格的． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 有理数的加法与减法 教学目标 1.掌握有理数加法、减法的运算法则，能熟练进行有理数的加减运算。 2.理解加法运算律，能灵活运用运算律完成加减混合运算的简便计算。 3.能运用有理数加减运算解决实际问题，体会转化思想与数形结合思想。 4.掌握数轴两点距离公式与作差比较法，提升综合运用知识的能力。 教学重难点 1.重点 （1）有理数加法、减法的运算法则 （2）加法运算律与加减混合运算的简便计算 （3）有理数加减运算的实际应用 2.难点 （1）异号两数相加的符号判断与绝对值运算 （2）加减混合运算中符号的准确处理 （3）简便运算技巧的灵活选择与运用 知识点01：有理数的加法法则 1.法则分类 运算类型 具体法则 同号两数相加 取与加数相同的符号，并把绝对值相加 绝对值不等的异号两数相加 取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 互为相反数的两数相加 和为 一个数与相加 仍得这个数 2.运算步骤：先判断加法类型，再确定和的符号，最后计算和的绝对值。 3.核心性质：若与互为相反数，则；反之，若，则与互为相反数。 【即学即练】 1．计算的结果是（  ） A． B． C．0 D． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 知识点02：有理数加法运算律 1.基本运算律 运算律 文字表述 字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变 2.常用简便技巧：相反数结合法、同号结合法、凑整法、同分母结合法、拆项结合法。 【即学即练】 1．嘉淇同学在计算时，将式子变形成后再进行计算，其过程运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点03：有理数的减法法则 1.法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即。 2.运算要点：转化时遵循“两变一不变”——减号变加号，减数变相反数，被减数保持不变。 3.拓展结论 （1）减去任何数等于这个数的相反数，任何数减去仍得这个数； （2）作差法比较大小：若，则；若，则；若，则。 【即学即练】 1．计算的值为（   ） A．6 B．4 C． D． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 知识点04：有理数的加减混合运算 1.运算思路：利用减法法则将所有减法转化为加法，统一为只有加法运算的和式。 2.省略加号的和式：可将和式中的括号与加号省略，写成省略加号的代数和形式，例如。 3.两种读法：可按性质符号读作“负8、正5、正2的和”，也可按运算符号读作“负8加5加2”。 4.运算技巧：运用加法交换律、结合律分组简便计算；交换加数位置时，需连同数的性质符号一起移动。 【即学即练】 1．计算：． 2．计算： (1) (2) (3) (4) 题型01有理数加法基础运算 先区分同号、异号、与0相加等类型，同号取同号并加绝对值，异号取大绝对值符号并大减小。 【典例1】. 计算结果是（     ） A． B． C．0 D．4 【变式1】. 与相加得的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型02有理数减法基础运算 按“减号变加号、减数变相反数”的规则转化为加法，再按加法法则计算。 【典例2】. 计算的结果是（     ） A．1 B．3 C．3 D．2 【变式1】. 计算： 【变式2】. 计算：___________． 【变式3】. 计算的结果等于（   ） A．-12 B．12 C． D．2 题型03加减算式改写为省略加号的形式 先将所有减法统一为加法，再去掉括号与多余加号，保留每个数的性质符号。 【典例3】. 将算式写成省略括号的和的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】. 将写成省略加号和括号的形式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】. 不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】. 不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 题型04有理数加减混合运算计算 先统一成加法并写成省略加号的形式，再按顺序计算或合理分组计算。 【典例4】. 计算：． 【变式1】. 计算： (1)； (2)． 【变式2】. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】. 计算： (1) (2) (3) (4) 题型05加法运算律的简便计算 优先结合互为相反数的数，再将同号、同分母、能凑整的数分别结合，简化运算步骤。 【典例5】. 用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式1】. 填空： _______+_____________+____________． 从中可知，分别把 ____数和 ____数结合在一起相加，计算更简便． 【变式2】. 阅读下面的解题过程并解决问题 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） …… (1)计算过程中，第一步变形的依据是___________，从第___________步开始出现错误； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了___________（填数学定律） (3)请将正确解答过程补充完整． 【变式3】. 阅读下面的解题过程并解决问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） … (1)上面的计算过程中，第一步变形的依据是_____________； (2)为了计算简便，第二步应用的运算律是_____________；（用符号表示） (3)上面的计算过程，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是_____________； (4)请写出正确的解答过程． 题型06带分数加减的拆项简便运算 将带分数拆为整数与真分数的和，负带分数的分数部分保留负号，再分别合并整数、分数部分。 【典例6】. 用简便方法计算：． 【变式1】. 阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. (1)仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； (2)用拆项法计算：． 【变式2】. 阅读下列的计算方法，解决问题： (1)． 解：原式． 上面这种方法叫拆项法．按这种方法，可将拆为_____，拆为______． (2)类比上述计算方法，请计算：． 【变式3】. 阅读下面的材料，并完成相应任务． 计算：． 解：因为，，____①____，， 所以原式 ． 上面这种计算方法叫拆项法． 任务： (1)上述材料中，序号①的内容为________． (2)试用上述方法计算： ①________； ②． 题型07作差法比较有理数大小 计算两数的差，差为正则被减数更大，差为负则减数更大，差为0则两数相等。 【典例7】. 比较与的大小．（请用两种方法比较） 【变式1】. 已知有理数a，b在数轴上的位置，a在原点左侧，b在原点右侧，且，． (1)求a和b的值； (2)比较和的大小； (3)计算的值． 【变式2】. 比较与的大小可用以下方法： ，，， ，即． (1)你能对照上述方法比较与的大小吗？ (2)比较与的大小． 【变式3】. 阅读下列材料，解决问题． 比较两个有理数大小的方法有一种叫做作差法，例如：比较与的大小． 解：∵ 这种利用作差法比较大小的原理是： （1）若则 （2）若，则 （3）若则 解决下列问题： 比较与的大小； 题型08有理数加减的实际应用 明确正负数的实际意义，求和判断最终位置，求绝对值之和计算总路程、总消耗等。 【典例8】. 2025年9月3日的盛大阅兵式上，空中梯队的直升机编队飞越天安门广场上空，其中26架直升机组成了巨大的“80”字样，以纪念抗战胜利80周年． (1)阅兵仪式上，一架执行摄影任务的直升机先在海拔米的高度飞行，为了避开气流，它先上升了米，随后又下降了米．请问此时直升机的海拔高度是多少米？ (2)另一架直升机在执行任务时，从海拔米的高度开始下降，先下降了米后，又下降了米．请问它现在的飞行高度是多少米？ 【变式1】. 【项目主题】露营基地野餐 【背景】当下露营正成为人们一种新的周末休闲娱乐方式，李明和朋友约定周末去郊外露营基地野餐，出发前，李明需要驾车去购买一些露营的食物、水果等． 【素材】从家出发，先向西行驶到炸鸡店，继续向西行驶到达面包店，然后向东行驶到达水果店，继续向东行驶到烧烤店，接着向西行驶到寿司店，最后向东行驶到露营基地． 【任务】以家为原点，向东为正，向西为负，李明的行动记录如下：，，，，，； (1)露营基地在家的哪个方向，距家多远？ (2)李明一共行驶了多少千米？ 【变式2】. 某玩具厂计划一天生产300个马年玩偶，但由于各种原因，实际每天生产马年玩偶的数量与计划每天生产马年玩偶的数量相比有出入．下表是某一周的生产情况（超过计划数量的部分记作正数，不足计划数量的部分记作负数，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录可知这一周生产马年玩偶最多的一天是星期______，比生产马年玩偶最少的一天多生产______个； (2)该玩具厂这一周前三天共生产了多少个马年玩偶？ (3)求该玩具厂这一周平均每天生产马年玩偶的数量． 【变式3】. 随着科技的迅猛发展，机器人正以前所未有的速度渗透进各行各业，逐渐取代工人承担起诸多重复性、高强度以及危险环境下的工作任务．某钢铁生产车间有一机器人在一条东西走向的流水线上来回走动进行调试设备、检测温度等工作．机器人从点A出发，规定向东为正，向西为负，下表是某一段时间内从点A出发的行走记录（单位：米）． 第次 第次 第次 第次 第次 (1)该机器人第5次完成工作后在出发点的什么方向？距离出发点多远？ (2)若该机器人每千米耗电千瓦时，在这段行走过程中机器人共耗电多少千瓦时？ 题型09加减运算中的规律探究 方法常用分组求和法两两配对计算；分数类加减可使用裂项相消法，拆分后抵消中间项。 【典例9】. 在数字1，2，3，…，99，100的前面添加符号“+”或者“-”，使它们的和为0．你有几种不同的添加方法？你能找到添加的一般规律吗？ 【变式1】. 用计算器探索按一定规律排列的一组数：，，，，，若从中选出若干个数，使它们的和大于0.5，则需选择的数的个数至少是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】. 观察下列等式： (1)依照上述规律，请你写出第⑤和第⑥个等式； (2)运用（1）的发现，计算： 【变式3】. 我国宋朝数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，图1有1颗弹珠，图2有3颗弹珠，图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…，若用表示图n的弹珠数，其中n＝1，2，3，… (1)根据以上规律，可得 ； ； (2)计算： 题型10加减混合运算的新定义问题 读懂新运算的规则，将其转化为常规有理数加减运算，按定义逐步代入计算。 【典例10】. 高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如，现定义，例如，则_________． 【变式1】. 定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如三位数231，因为3-1=2，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数853是否为“极差数”？_____．（填“是”或“不是”） 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为______； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【变式2】. 甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）—运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： ______；______；______；______． (2)请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则．两数进行*（加乘）运算时，同号得_____、异号得_____、并把_____相加．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，______． (3)我们知道有理数的加法有结合律，请判断这种新运算“*”是否具有结合律？并举一个例子验证你的结论． 【变式3】. 小东对有理数定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式： ， ， ， 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同， ①用“乘减法”计算：______． ②小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即．但是结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立，请你举一个例子说明不成立． 一、单选题 1．根据有理数加法法则，计算过程正确的是(     ) A． B． C． D． 2．如图是一台冰箱的显示屏，则这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为(     ) A． B． C． D． 3．魏晋时期，数学家刘徽在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负）．图1表示的是的计算过程，则图2表示的计算过程是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．一个点从数轴上表示的点开始，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，则此时这个点表示的数是______． 5．计算：________． 6．已知表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则______． 三、解答题 7．计算：． 8．微信支付是当下快捷方便的一种支付方式，下表是李叔叔某天的微信账单 微信红包 元 美团外卖 元 淘宝网 元 银行卡转账 元 微信转账 元 (1)元表示___________元，元表示___________元．(填收入或支出) (2)李叔叔这天结余多少钱？ 9．当前，人们对健康愈加重视，跑步成了人们进行体育锻炼的首要选择．爸爸计划每天跑3千米，他记录了一周跑步路程变化的情况如下表：（正数表示比计划增加的路程，负数表示比计划减少的路程） 星期 一 二 三 四 五 六 日 路程/千米 (1)星期二爸爸的跑步路程是 千米； (2)爸爸跑步路程最多的一天是星期 ； (3)爸爸这七天一共跑步多少千米？ 1．如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把到这6个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和P都相等，那么P的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．下面是小梦做的一道计算题的解题过程，和代表的计算依据分别是（    ） 解： ． A．有理数减法法则、加法结合律 B．加法结合律、加法交换律 C．加法交换律、加法结合律 D．无法确定 3．法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了，下面是用法国“小九九”计算和的两个示例，且左手伸出的手指数不大于右手伸出的手指数，若用法国的“小九九”计算，左、右手未伸出手指的总个数是______．   因为两手伸出的手指数的和为5，未伸出的手指数的积为6，所以，．       因为两手伸出的手指数的和为7，未伸出的手指数的积为2，所以，． 4．如图1，点是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的有理数为，，，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度，则数轴上点所对应的数为______． 5．【问题情境】随着时代的发展，月饼的馅料越来越丰富．不仅和每个地方的饮食文化结合，出现广式、晋式、京式、苏式等口味，而且富有想象力的大厨们还发明了抹茶冰皮、山楂蔓越莓等各种各样的月饼．中秋节又要到了，乐乐和妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计枚）． 【提出问题】回家后，妈妈要求乐乐用称重不超过克的电子秤，结合所学知识判断这盒月饼的总质量是否合格． 【分析问题】乐乐仔细地看了标签和包装盒上的有关说明，包装说明上标记的总质量合格标准为克，确定了以下解决方案． 【解决问题】把枚月饼称重后统计列表如下（单位：克） 第枚 质量克 为了简化运算，乐乐选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，他把超出部分记为正，不足部分记为负，列出表格如表（数据不完整） 第枚 质量克 请你解答以下问题： (1)乐乐选取的这个标准质量是___________克； (2)表中的___________，___________，___________； (3)乐乐对妈妈说这盒月饼总质量是合格的，请你通过计算替乐乐说明理由． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $