河南许昌市2025-2026学年第二学期期末质量检测高二数学试题

**基本信息** 聚焦高中数学核心内容，通过梯度化问题设计与真实情境创设，考查抽象能力、推理能力及数据意识，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|6/82|函数与导数、立体几何、概率统计|结合科技情境考查模型意识，通过多问设计体现推理能力梯度|

02 合年 「合素—科班一流 2025一2026学年第二学期期末质量检测 高二数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，迭出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求。 1.已知向量a=(2,3,4),b=(m,n,8),若a∥b,则m+n的值为 A.14 B.10 C.8 D.7 2.已知等差数列1a,满足4=6，a,=3,则公差为 A.1 B.2 C.-2 D.-1 3.若抛物线C的焦点F关于准线1的对称点为(-3,0)，则C的标准方程为 A.y=4x B.y'=2x C.x=4y D.x'=2y 4,已知M是四面体ABCD的棱BC的中点，点N在线段DM上，且DN=2NM,P为线段AW 的中点，若D=xDi+yD+:DC,则xy= A号 B D.1 5.某高校选派5名大学生志愿者到A,B,C三所学校开展义务帮扶活动，其中每所学校至少 去一名志愿者，每名志愿者只去一所学校，若志愿者甲必须去A学校，乙不能单独去任一 所学校，则不同的选派方案共有 A.30种 B.36种 C.48种 D.54种 6.已知P为直线1：x-y+2=0上一点，M为圆C:(x-1)2+y2=2上一点，且PM⊥MC,则PM ·P元的最小值为 A号 B号 D.3 7.已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值，则f代x)在[1,8]上的值域为 A.[1,32] B.[0,25] C.[0,32] D.[25,32] 高二数学第1页（共4页） 8.在正方体ABCD-A,B,C,D,中，点O为线段AC的中点，点P在线段A,C,上，直线OP与 平面A,BC,所成的角为6，则cos0的最小值为 A号 号 c 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小丽给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是 A.若两个变量的相关性越强，则相关系数，越大 B.(x+F)‘的展开式中x项的系数为6 C.随机变量X-N(a,g2),若P(xo1)+P(x>3)=1,则A=2 D.若一组不完全相同的数据，x,…,x,的平均数为，则当x=x时，函数f(x) 片名化一取得最小值 10.根据2019年发布的（中国城市餐饮食物浪费报告》显示，我国仅餐饮业餐桌的粮食浪费 每年就高达1800万吨，相当于5000万人一年的食物量.为营造“节约光荣，浪费可趾”的 氛围，某市发起了“光盘行动“，某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型 餐厅中随机调查了90位来店就餐的客人，制成如下列联表，已知P(X2≥6.635)=0.010， PX≥10.828)=0.001，则下列判断正确的是 认可情况 年龄 认可 不认可 40岁以下 20 20 40岁以上（含40岁】 为 J A.在该餐厅用餐的客人中大约有72.2%的客人认可“光盘行动 B.在该餐厅用餐的客人中大约有99%的客人认可“光盘行动 C.有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄无关 D.在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“光盘行动"的认可情况与年龄有关 11.已知函数f代x)=e'-ar,aeR,则下列结论正确的是 A.若a>0,则函数f八x)在(1na,+o)上单调递增 B.若a=0,不等式l代x)-x)川≥小x-x在区间〔1,4]上恒成立，则≤c C.若方程f代x)=0有解，则实数a的取值范围为(e,+o) D,若不等式m)≥hr-(cmm-1:对任意o0恒成立，则m≥} 高二数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若等比数列1a,l的前n项之积为T,且T,=T,则a,= 13.袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有n(2≤n≤5，且n≠3)个， 其余的球为红球从袋子中任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是行则 红球的个数为 14已知双曲线c:-广 C云1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为R,R,在C的右支上存在异于 顶点的一点P,使PF,交y轴于点M,若MF,为∠PF,F,的角平分线，则C的离心率e 的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(12分) 某地区卫生部门为探究居民锻炼习惯与健康状况的关系，开展了一项大规模抽样调查 通过分析，研究人员将人群分为“有定期锻炼习惯”和“无定期最炼习惯”两类调查结果 显示，银炼习惯与健康指标存在显著关联具体而言，在坚持定期锻炼的居民中，体检指标 正常的比例为80%；而在缺乏锻炼习惯的居民中，这一比例仅为20%，综合全部样本数据， 该地区全体居民体检指标正常的比例为40%.用样本频率估算总体概率 (1)从该地区随机抽取一人，求此人具有定期锻炼习惯的概率： (2)现从该地区全体居民中随机抽取3人，记其中具有定期锻炼习惯的人数为X,求X 的分布列与数学期望E(X) 16.(14分) 。1 an 已知数列|a.1中，4=4a3-2a (1)证明：数列-1为等比数列； a。 （2若b.= -)，求数列1b,的前n项和T, 1-1). 高二数学第3页（共4页） 17.(15分) 如图，在四棱维P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,PD=3,四边形ABCD是边长为2的菱 形，∠DAB=60 (1)证明：AC⊥平面PBD: (2)若P呢=武，P示=2F (i)求平面AEF与平面PBD的夹角； (i)若P元=2G品，证明：AGC平面AEF. 18.(17分) 已知椭圆E:疗疗=1(ob>0)经过点 115 24 离心率为号 (1)求E的标准方程； (2)若直线1y=+m(m≠1)与E交于A、B两点，M为E的上顶点，且M·M=0, 证明：直线1过定点P; (3)在(2)的条件下，若0为坐标原点，求的取值范固， 19.(17分) 已知函数f八x)=(x+a)sinr-ar(aeR) ()当4=0时求曲线y水)在点行，孕)处的切线方程： (2)若x=0是f(x)的导函数f'(x)的极大值点，求a的取值范围： (3)证明：5in0.001+sin0.003+sin0.005++sin0.999<240. 五、卷面分(2分) 高二数学第4页（共4页） 2025-2026学年下学期期末高二数学参考答案 一，单选题：本题共8小题.每小题5分，共40分 题号12345■678 答案BDACBACB 二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 题号91011 答案BCD AD ABD 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.113.314.(23 四.解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解：()记“具有定期锻炼习惯”为事件A,则“不具有定期锻炼习惯”为事件A “体检指标正常”为事件B。由题意可知： PB|A)=80%,P(B1A)=20%,P(B)=40% 2分 P(A)+P(A)=1 4443分 由全概率公式： P(B)=P(4)P(BI4)+P()P(BI) 4分 代入P八A)=1-P(4)可得 40%=P(A)80%+P)20% ……5分 解得：P()= …6分 所以，从该地区随机抽取一人，此人具有定期假炼习惯的概率为 …7分 3 (②由第一何可知从该地区隆机抽取一人此人具有定期发炼习横的情率为了不具 有定期假炼习惯的概奉为 ,故随机变量X的可能取值为0、1、2、3 ……8分 Ax.0-G x==c)-号 rx=2=c間-号 x=c周 所以，X的分布列为 0 P …11分 所以数学期望为： 8 4 2 1 E0=0x元+1x亏+2x号+327=1 …12分 备注：第二问以下写法也可得分 (②)由第一问可知：从该地区随机抽取一人，此人其有定期鲲炼习惯的概率为行，不具有定 用习预的版车为 ,故随机变量X的可能取位为0、2、3 因为能机变量X鼠从二项分布X~B3 所x的防：=G目 (k=0,123 1 数学期里E(0=3×写=1. 16解：（1)证明因为4=3-2a, a。 所以1-1=3以- 3分 a. 收侵-小宁瑞有为靴制 …6分 a (2)由(4)知-1=33=3 …7分 所以6=n3”, …8分 T=1x3+2×32+…+n×3”, ① 3订n=1×32+2×33+…+n×3,② …10分 ②①得： 27=mx3.3x0-32.2m-l3+3 1-3 2 故7=2m-少3+3 …14分 4 I7.解：(1)证明：PD⊥平面ABCD,ACC平面ABCD, PD⊥AC, …分 又：四边形ABCD为菱形， AC⊥BD, 2分 且PDOBD=D,PD,BDC平面PBD, .AC⊥平面PBD 4分 (2)(i)取AB的中点M,连接DM,由已知及平面几何知识可知△ABD为等边三角 形，因此，DM⊥AB, 又AB∥CD,:DM⊥DC 以点D原点，以DM,DC,DP所在直线分别为x,y,:轴 建立空间直角坐标系，如图所示： 则由已知可得： D0.0,0,P0,0,3,AV5,-1,0.B(51,0,C(0.2,0, 别 因此， （引F剖 4C=(-53,0) ……6分 设平面AEF的一个法向量为n=(x,y,:), E.n=0. +2y+3 =0, 则有 即{ 55 ,得n=(1,-525), …8分 4F.n=0, 3x+3+:=0, 又由(1)可知AC为平面的一个法向量，AC=(-√53,0)， 设平面AEF与平面PBD的夹角为0(0°<0≤90) 则cos0=eos<AC n.AC 45 4×25 又0°<0≤90° 因此，平面AEF与平面PBD的夹角为6O° (i)由PG=2GD,得G0.0,,AG=6√5,1： :平面AEF的一个法向量为n=(1,-√5,25) nAG=-5-5+25=0, 又：A∈平面AEF∴.AGC平面AEF 4 18.解：(1)由题意得： 65 e-a=2 15 =1 a=2 即 +166 b=1 以酷圆E的杯准方程为大、 (2)设Ax,片人武2,2)】 y=红+m 由 ,得：0+422+8km+4m2-4=0. …9分 .0=60 ……1分 44…12分 ……小3分 …15分 …2分 3分 …4分 △=(8mP-40+424m2-4>0 8km 46m2- 名+=1+探西 1+4k2 :上顶点为MO,且M4.AMB=0 =片-AMB=为2-) M4.AMB=x+(-1y2-) 又：y=k气+m,乃=点，+m 4MB=x西2++m-+m-) =1+k2kx2+km-1,+x2)+(m-1月 6+e-0a-=0 1+4k ,m本】 二40+2m+1)-8km+(m-10+4k2)=0 5m+3=0m=- 5 :直线的方程为：y= 3 直线过定点0-引 )2将：当m=-2时，x+=- 24k -64 0+45250+4R prkl_kl_k pr阿同 -64 “20+网0 =% ,+.+2西+x2=五+2+五 3 242k2 又+_250+4 9k2 2 -64 -三1+4W 25+4k码 ……6分 …8分 …9分 …10分 ……12分 …13分 9k2 9k2 若+2+空令毫1则+2+1 1 …15分 当k=0时，x=-:c=-五= 当k≠0时，1++2=-9 >09<-」 9 <- -<0 示 4 +4 9 …16分 -4<1++2c0-4<1<-且*- 4<<-且点 <-点<4组-五1 …4为 3 ,1am<4且o+1 综上所述：的取值高围任 …17分 19.解：(1)当a=0时，f(x)=x'sinx ……1分 则/代)=2xsmx+r,c05x,切线斜率为了受=元 …2分 又学：子放自在仔到的俊方为型-一 =0.…4分 4 4 (2)g(x)=f'(x)=2x.sinx+(x2+a).cosx-a, g'(x)=2smx+2 x.COSx+2x·cosx-(x2+a）snx 4……5分 =(2-x2-a).sinx+4x.cosx. 令Mx)=g(x,M-x)=-Mx)Mx)为奇函数， h(x)=-6x.sinx+(6-x2-a).cosx,h'(0)=6-a. …6分 ①当a26时，有(0)≤0 有h气x)=-6 x.sinx+(6-a-x2)casx<0, :从连引单满是，有：为奇漏政。准受到单男碳。 且O)=0,即x [小时g团=>0=8)在x-受单调指 时， g=x)<h0)=0,g)t在0， 单调递减 2 又g'(0)=0,∴x=0是g(x)的极大值点. 8分 ②当a<6时，有(0)>0， 令u(x)=h'x,则u(x)=-8 .COSx-(12-a-x2)simx 有-8 x.coSx<0,(2-a-x2)simx>0,∴'(x)<0, 则)在0引单莲流。“)为属函数，)在x[受单调运增， 又因为经=-空=-5<0M0=0=6-a>0 …9分 由零点存在性定理得，)在x[受O利引各有一个零点。分别记为 x,2,则x∈(x,x2)时，h(x)=Mx)>(x,)=ux2)=0,Mx)在(x,x2)单调递增： 即x∈(x,0)时，g'(x)=x)<hMO)=0,g(x)在化，0)上单调递减： x∈0,2)时，g'(x)=Mx)>0)=0g(x)在(0，与)上单调递增 又因为g(0)=0,则x=0是g(x)的极小值点，不符合避意。 4……10分 综上所述，a26。 …11分 （3》:smx+sn1-)=2sm吃c050s2sim2 …13分 由e)知a=6时，f)在引单调建减。了o)=0 fe<ar引 六j田)<f0,即smx<+6 6x …14分 1 3= …15分 * 12 sn0.001+sn0.003+sin0.005++sn0.99<500:sim2<500 25 =240 4*…17分 五，卷面分 ……2分