1.2 第2课时 空间向量基本定理的应用 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以数学思维为导向，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，构建从单一向量运算到立体几何综合应用的知识巩固路径，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|空间向量基本定理直接应用|选择题1-3、填空题7-8，如正方体中向量位置关系判断，强化概念理解| |能力提升|多知识点综合应用|选择题4-6（多选）、填空题9，如斜三棱柱中向量表示与夹角计算，培养逻辑推理| |综合应用|立体几何复杂情境应用|解答题10，直三棱柱中垂直证明与异面直线夹角计算，发展数学建模与运算能力|

1.2 空间向量基本定理 第2课时 空间向量基本定理的应用 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 一、选择题 1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是底面A1B1C1D1的中心，则AC1与CE的位置关系是（　 　） A.重合 B.垂直 C.平行 D.无法确定 2.已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝2，CC1＝2，AA1与AB，AC都成60°角，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　 　） A. B. C. D. 3.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，＝，点N为B1B的中点，则｜｜＝（　 　） A. B. C. D. 4.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在棱BB1和DD1上，且DF＝DD1，记＝x＋y＋z，若x＋y＋z＝，则＝（　 　） A. B. C. D. 5.如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值为（　 　） A. B. C. D. 6.（多选）如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝，∠BAA1＝，∠CAA1＝，AB＝AC＝1，AA1＝2，点O是B1C与BC1的交点，则下列结论正确的是（　 　） A.＝（＋＋） B.｜｜＝ C.AO⊥BC D.平面ABC⊥平面B1BCC1 二、填空题 7.已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，则MN　 　AB（填“∥”或“⊥”）. 8.空间四边形OABC的各边及对角线长均为2，E是AB的中点，F在OC上，且＝2. （1）用{，，}表示＝ ； （2）与所成角的余弦值为 . 9.在如图所示的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1.若BD⊥AN，则λ的值为　　. 三、解答题 10.如图，已知在直三棱柱ABC－A'B'C'中，AC＝BC＝AA'，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB'的中点. （1）求证：CE⊥A'D； （2）求异面直线CE与AC'所成角的余弦值. 解析版 一、选择题 1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是底面A1B1C1D1的中心，则AC1与CE的位置关系是（　B　） A.重合 B.垂直 C.平行 D.无法确定 2.已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝2，CC1＝2，AA1与AB，AC都成60°角，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　D　） A. B. C. D. 3.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，＝，点N为B1B的中点，则｜｜＝（　A　） A. B. C. D. 4.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在棱BB1和DD1上，且DF＝DD1，记＝x＋y＋z，若x＋y＋z＝，则＝（　B　） A. B. C. D. 解析：设＝λ，因为＝＋＋＋＝－λ－＋＋＝－λ－＋＋＝－＋＋（－λ）·，所以x＝－1，y＝1，z＝－λ.因为x＋y＋z＝－λ＝，所以λ＝.故选B. 5.如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值为（　A　） A. B. C. D. 解析：因为＝8×6×cos 60°＝24，＝8×4×cos 135°＝－16，设异面直线OA与BC的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝. 6.（多选）如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝，∠BAA1＝，∠CAA1＝，AB＝AC＝1，AA1＝2，点O是B1C与BC1的交点，则下列结论正确的是（　AD　） A.＝（＋＋） B.｜｜＝ C.AO⊥BC D.平面ABC⊥平面B1BCC1 解析：＝＋＝＋（＋）＝＋（－＋）＝（＋＋），A正确.设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}构成空间的一个基底.｜｜2＝［（a＋b＋c）］2＝（a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c）＝×（1＋1＋4＋0＋2×1×2×cos ＋2×1×2×cos ）＝，所以｜｜＝，B不正确.因为＝b－a，所以＝（a＋b＋c）·（b－a）＝1≠0，C不正确.如图，取BC的中点E，连接AE，则＝（＋）＝（a＋b）.因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.因为＝（a＋b）·c＝×（1×2×cos ＋1×2×cos ）＝0，所以AE⊥BB1.因为BC∩BB1＝B，BB1，BC⊂平面B1BCC1，所以AE⊥平面B1BCC1.又AE⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面B1BCC1，D正确. 二、填空题 7.已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，则MN　⊥　AB（填“∥”或“⊥”）. 8.空间四边形OABC的各边及对角线长均为2，E是AB的中点，F在OC上，且＝2. （1）用{，，}表示＝　－－＋　； （2）与所成角的余弦值为　－　. 解析：（1）连接OE（图略），{，，}构成空间的一个基底，因为E是AB的中点，F在OC上，且＝2，所以＝（＋），＝，则＝－＝－（＋）＝－－＋. （2）由（1）得＝（＋），＝－＝－，因此｜｜＝｜＋｜＝×＝，｜｜＝｜－｜＝＝，又因为＝（＋）·（－）＝－，所以与所成角的余弦值为cos＜，＞＝＝＝－. 9.在如图所示的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1.若BD⊥AN，则λ的值为　－1　. 答案： 三、解答题 10.如图，已知在直三棱柱ABC－A'B'C'中，AC＝BC＝AA'，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB'的中点. （1）求证：CE⊥A'D； （2）求异面直线CE与AC'所成角的余弦值. 解：（1）证明：设＝a，＝b，＝c， 根据题意，得｜a｜＝｜b｜＝｜c｜且a·b＝b·c＝c·a＝0. ＝b＋c， ＝－c＋b－a. 所以＝－c2＋b2＝0， 所以⊥， 即CE⊥A'D. （2）因为｜｜＝｜a｜，｜｜＝｜a｜， 又＝－a＋c， ＝（－a＋c）·（b＋c） ＝c2＝｜a｜2， 所以cos＜，＞＝＝. 所以异面直线CE与AC'所成角的余弦值为. 页 学科网（北京）股份有限公司 $