第04讲 平面上的距离（知识清单+易错+4必考题型）-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（苏教版2019选修一）

第04讲 平面上的距离 题型梳理 易错分析 易错点一 处理距离的综合问题时分类讨论不全致误 题型方法 题型一 平面上两点间距离公式的应用 题型二 运用解析法解决平面几何问题 题型三 点到直线的距离公式的应用 题型四 两条平行直线间的距离公式的应用 知识清单 知识点01 两点间的距离 　　平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式为P1P2=. 知识点02 中点坐标公式 　　对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，则x0=，y0=. 知识点03 点到直线的距离 1. 点P0(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0(A，B不全为0)的距离d=. 2. 两条平行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0(A，B不全为0，C1≠C2)间的距离d=. 3. 注意：应用两条平行直线间的距离公式时，两条平行直线的方程需为一般式，且x，y的系数对应相等. 知识点04 常见的对称问题 1. 点关于点的对称 求点P1(x1，y1)关于点P2(x2，y2)的对称点P(x，y)时，可由中点坐标公式得 则有 2. 点关于直线的对称 (1)如图，已知点P(x，y)，直线l：Ax+By+C=0， 求点P关于直线l的对称点P'(x'，y')的步骤如下： 　　第一步，由直线PP'和l垂直，得kPP'·kl=-1①. 　　第二步，由线段PP'的中点在直线l上，得满足直线方程Ax+By+C=0，即A·+B·+C=0②. 　　第三步，联立①②两式可以解出x'，y'. (2)点关于直线对称的常用结论： ①点(x0，y0)关于直线y=0(即x轴)的对称点为(x0，-y0)； ②点(x0，y0)关于直线x=0(即y轴)的对称点为(-x0，y0)； ③点(x0，y0)关于直线y=x的对称点为(y0，x0)； ④点(x0，y0)关于直线y=-x的对称点为(-y0，-x0)； ⑤点(x0，y0)关于直线x=m(m≠0)的对称点为(2m-x0，y0)； ⑥点(x0，y0)关于直线y=n(n≠0)的对称点为(x0，2n-y0). 3. 直线关于点的对称：直线关于点的对称实际上可以转化为点关于点的对称. 4. 直线关于直线的对称 　　已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，求直线l1关于直线l2的对称直线的方程： (1)如果l1∥l2，则设所求直线的方程为A1x+B1y+m=0(m≠C1，m≠C2)，然后在l1上找一点P(x，y)，求出点P关于直线l2的对称点P'(x'，y')，再将(x'，y')代入A1x+B1y+m=0，即可解出m； (2)如果l1与l2相交，则先求出l1与l2的交点N，然后在l1上确定一点M(不同于交点N)，找出点M关于l2的对称点M'，由点N，M'即可确定所求直线的方程. 知识点05 对称在求最值中的应用 1. 在直线l上求一点P，使P到两个定点的距离之和最小的求法 (1)当两定点A，B在直线l的异侧时，如图①，连接AB，线段AB交直线l于点P，此时AB与l的交点P到两定点的距离之和最小，最小值为线段AB的长. 在直线l上任取一点P'，则P'A+P'B≥AB. (2)当两定点A，B在直线l的同侧时，如图②，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，此时点P到两定点的距离之和最小. 2. 在直线l上求一点P，使P到两定点的距离之差的绝对值最大的求法 (1)当两定点A，B在直线l的同侧时(A，B连线与l不平行)，连接BA并延长，交直线l于点P. 此时点P到两定点的距离之差的绝对值最大，最大值为线段AB的长. 如图①，在l上任意取一点P'，则有|P'B-P'A|≤AB. (2)当两定点A，B在直线l的异侧时，作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'(BA'所在直线与l不平行)并延长，交l于点P. 此时点P到两定点距离之差的绝对值最大，最大值为线段A'B的长，即|PB-PA|=|PB-PA'|=A'B. 如图②，在l上任取一点P'，则有|P'B-P'A|=|P'B-P'A'|≤A'B. 知识点06 平面上两点间的距离 　　平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离公式为P1P2=. 　　注：两点间的距离公式与两点的先后顺序无关，即公式既可以写成P1P2= ，也可以写成P1P2=，利用此公式可以实现几何问题与代数问题的相互转化. 知识点07 点到直线的距离 1. 应用点到直线的距离公式时的注意事项 (1)当点在直线上时，点到该直线的距离为0，点到直线的距离公式仍然适用. (2)点到直线的距离公式对于直线的一般式方程中A=0或B=0的情况仍然适用. (3)在应用点到直线的距离公式时，若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式. 知识点08 两条平行线之间的距离 1. 当直线的方程为一般式时， 可利用两平行线间的距离公式，其步骤如下： 　解题时必须注意两直线方程中x，y的系数要对应相等，若不相等，则先将系数化为相等，再代入公式求解. 2. 当直线的方程为斜截式，即l1：y=kx+b1，l2：y=kx+b2，且b1≠b2时，d=. 3. 利用化归思想将求两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离. 知识点09 在利用直线系方程证明平面几何问题的过程中培养学生数学抽象的核心素养 　　直线系是指具有某种共同性质的直线的集合，在解析几何中，常见的直线系有平行直线系、垂直直线系、在两坐标轴截距满足一定关系的直线系、过定点的直线系等，利用直线系方程解决有关问题，可以把握研究对象的数学特征，将直线的几何性质与方程的代数特征结合起来，进一步理解数学结论的一般性，感悟通性通法的数学原理及其中蕴含的数学思想，有助于培养学生数学抽象的核心素养. 易错分析 【易错点一】处理距离的综合问题时分类讨论不全致误 【例1】（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知点在直线上，且点到直线的距离等于，则的坐标（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据题意设点的坐标为，利用点到直线的距离公式可得出关于实数的等式，解出的值，即可得出点的坐标. 【详解】因为点在直线上，设点的坐标为， 则点到直线的距离等为，解得或， 当时，点的坐标为；当时，点的坐标为. 综上所述，点的坐标为或. 故选：B. 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知直线与直线平行，且两条直线之间的距离为，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】设与直线平行的直线的方程为，再根据两平行线距离公式求出的值即可求解. 【详解】设与直线平行的直线的方程为， 所以 解得或. 所以所求直线的方程为或. 故答案为：或. 【变式2】（2023高二上·江苏·专题练习）求经过两直线与的交点，且与点的距离为5的直线l的方程. 【答案】或 【分析】先求出交点坐标，对直线l的斜率分类讨论，结合点到直线的距离公式即可得到答案. 【详解】联立方程，解得，即直线与直线的交点为， 当直线l的斜率不存在时，直线， 可知点到直线l的距离为5，满足题意； 当直线l的斜率存在时，可设直线，即， 所以点到直线l的距离为，解得， 此时直线l的方程为，即； 综上所述：直线l的方程为或. 【变式3】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知直线l过点，O为坐标原点． (1)若l与垂直，求直线l的方程； (2)若O到l的距离为1，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出直线的斜率，根据两直线垂直斜率之积为-1求出直线的斜率，再利用点斜式方程求出直线的方程.（2）设出直线的方程（分斜率存在与不存在两种情况），根据点到直线的距离公式求出直线的方程. 【详解】（1），因为直线与垂直，所以直线的斜率. 又过点，根据点斜式可得直线方程为，整理得. （2）当的斜率不存在时，直线的方程为，此时原点到直线的距离为，满足条件. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 根据点到直线的距离公式（这里，已知，则. 两边平方得，展开得，解得. 此时直线的方程为，整理得.   综上所得，直线的方程为或. 题型方法 【题型一】平面上两点间距离公式的应用 【例1】（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析得直线过定点，当与直线垂直时距离有最大值，利用两点间距离公式计算可得结果. 【详解】 由得， 由得，故直线过定点. 记点为点，当与直线垂直时，点到直线的距离有最大值， 最大值为. 故选：D. 解题技巧 将条件转化为参数的方程或不等式(方程组或不等式组)求解 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先求出BC的中点D的坐标，利用两点间的距离公式求出BC边上的中线长. 【详解】设BC的中点为D， 因为，，所以, 所以BC边上的中线长. 故选：B 【变式2】（21-22高二上·江苏连云港·期中）若不等式对于任意的实数恒成立，则的最大值是 ，此时 ． 【答案】 18 7 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，利用代数式的几何意义可求代数式的最小值，从而可得取值范围. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设，    则四边形为平行四边形， 而即为： . 而， 当且仅当为平行四边形的对角线的交点时等号成立，此时， 故的最小值为18，此 时即 故答案为：18，7. 【变式3】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知△的三个顶点为，，. (1)求证：△为直角三角形； (2)求边上的中线长及中线所在的直线方程. 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】（1）根据两点间距离公式求出,,的长度，可得，即证△为直角三角形； （2）边上的中线长为，求出中点的坐标，再根据点斜式求出边上的中线所在的直线方程. 【详解】（1）由已知条件得， ,, 则, 所以△为直角三角形； （2）设的中点坐标为，则边上的中线, 由中点坐标公式可得，，即的坐标为， 直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线方程为，即. 【题型二】运用解析法解决平面几何问题 【例2】（22-23高二上·江苏连云港·阶段练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记点、、，可得出，数形结合可求得的最小值. 【详解】因为， 记点、、，则， 当且仅当点为线段与轴的交点时，等号成立，即的最小值为. 故选：C. 解题技巧 (1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”． (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 ①建立坐标系，用坐标表示有关的量． ②进行有关代数运算． ③把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 【举一反三】【变式1】（21-22高二·江苏）用坐标法证明：在△ABC中，AO为边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2（AO2＋BO2)． 【答案】证明见解析 【分析】建立平面直角坐标系，结合两点间的距离公式证得结论成立. 【详解】如图，以O为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． 设B（－a，0)， C（a，0)， A（m，n)， 则AB2＝（m＋a)2＋n2 ，AC2＝（m－a)2＋n2， 故AB2＋AC2＝2（m2＋n2＋a2)． 又AO2＝m2＋n2，BO2＝a2， 所以AB2＋AC2＝2（AO2＋BO2)． 【变式2】（21-22高二·江苏）求函数的最小值． 【答案】 【分析】化简，转化为到点距离之和，结合对称法，即可求解． 【详解】由题意，函数 ， 根据两点距离公式的几何意义得，函数表示到点距离之和， 如图所示，作出点关于的对称点， 连接，交轴于点，连接， 可得 又由， 当且仅当点与重合时，等号成立， 所以，即函数的最小值为． 【变式3】（2023高二上·江苏·专题练习）已知，为直角，，，建立适当的坐标系，写出顶点A，B，C的坐标，并求证斜边AC的中点M到三个顶点的距离相等． 【答案】答案见解析，证明见解析 【分析】建立平面直角坐标系，求出各点的坐标，利用两点间距离公式证明结论. 【详解】以B为坐标原点，以边BA所在的直线为x轴，边BC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则三个顶点的坐标分别为，，． 由中点坐标公式得斜边AC的中点M的坐标为. 所以， ， . 所以. 【题型三】点到直线的距离公式的应用 【例3】（24-25高二上·江苏·期中）已知，为上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】的最小值即为与的距离的平方的最小值，然后求点到直线的距离即可求解. 【详解】由于， 所以的最小值即为与的距离的平方的最小值， 则点到直线上的最小值即为点到直线的距离， 故，所以的最小值为. 故选：C. 解题技巧 两点到直线的距离相等，可用几何法，即直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，此类题型也可用代数法． 求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式；直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)中A＝0或B＝0时，公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可采用数形结合法求点到直线的距离． 解决有限制条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的． 【举一反三】【变式1】（23-24高一下·江苏泰州·期中）已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的方程，利用点到直线距离公式求解. 【详解】根据题意，， 所以直线的方程为，即， 点到直线的距离为. 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知两点到直线的距离相等，则的值为 . 【答案】或 【分析】根据点到直线的距离公式列式求解即可. 【详解】由题意可得，，即， 解得或. 故答案为：或. 【变式3】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知直线：及点 (1)证明直线过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【分析】（1）直线方程整理为关于的方程，然后由的系数为0求得定点坐标； （2）记定点为，由直线可得． 【详解】（1）直线方程整理为， 由解得， 所以直线过定点． （2）记定点为，易知点到直线的距离，当时，， ，∴， 直线方程为，即． 【题型四】两条平行直线间的距离公式的应用 【例4】（24-25高二上·江苏徐州·期末）两条平行直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线平行的充要条件求出，再由平行线间的距离公式求解. 【详解】因为直线与平行， 所以且，解得， 所以直线方程为与， 故， 故选：C 解题技巧 求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝. 对于已知两直线间的距离求参数的问题，一般可列出关于距离的等式，解方程即可． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知两平行直线与之间的距离是，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两直线平行得到，结合条件，利用两平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】因为直线与平行，则，得到， 所以两平行线为与， 由题有，得到，又，所以，此时两直线不重合，符合题意， 得到， 故选：D. 【变式2】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知直线l与直线：和：的距离相等，则l的方程是 . 【答案】 【分析】先根据题意设出直线的方程为，然后根据平行线间的距离公式即可列式求解. 【详解】和平，所以直线l也与和平行， 根据题意设直线l的方程， 因l与直线和距离相等，所以根据平行线距离公式可得， 将上式化简可求出，则直线l的方程. 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）的四条边所在直线的方程分别是，，，. (1)求对角线交点的坐标； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立四条边所在直线方程可求得顶点坐标，再由中点坐标公式可求得结果； （2）由两点坐标求得线段长，再利用两平行线间的距离公式计算可得结果. 【详解】（1）根据题意联立直线方程，解得，不妨取交点为； 同理联立可得，联立可得，联立可得； 对角线交点坐标即为中点坐标，即， 即对角线交点的坐标为 （2）易知， 点到边的高即为两平行线之间的距离，即， 所以的面积为. 好题必刷 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）两点间的距离为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两点间距离公式可得. 【详解】由两点间距离公式得. 故选：C 2．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用倾斜角求出，然后利用两点间距离公式即可得出答案. 【详解】由题知，， 解得，故， 则两点间的距离为. 故选：C 3．（24-25高二上·江苏常州·期中）平行直线与之间的距离为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】利用两平行线间的距离公式求解即可. 【详解】由，得， 又，所以两平行线间的距离. 故选：C. 4．（24-25高二上·江苏无锡·期末）若直线和直线平行，则直线与直线间距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先讨论直线的斜率不存在时，检验两直线是否平行，再讨论直线的斜率存在时，两直线平行，斜率相等，即可求得的值，再利用两条平行线之间的距离公式即可求解. 【详解】由题可知直线的斜率一定存在，且为， 若，则直线的斜率不存在且方程为：，即， 直线：，即， 此时直线与直线不平行，舍去； 若，则直线的斜率存在，且为， ，，即，或， 当时，，，两直线重合，不符合题意，舍去； 当时，，，两直线平行. 则直线与直线之间距离为：. 故选：C. 5．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知直线与直线垂直，点在直线上运动，且点，点，则的最大值是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由垂直求出，作点关于直线的对称点为，求出点坐标，由几何关系易知，当且仅当三点共线时等号成立，由此可知的最大值. 【详解】直线,直线， 因为与垂直，所以，解得， ， 设点关于直线的对称点为， 则的中点在直线上，且， 所以，解得， 当且仅当三点共线时等号成立 的最大值为, 故选：D. 6．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知，，，均为实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】表示两点与之间的距离，表示两点与之间的距离，进而可得点的轨迹方程为两平行直线，可求最小值. 【详解】表示两点与之间的距离， 表示两点与之间的距离， 又点是直线上的动点，点是直线上的动点， 且直线与直线平行， 所以的最小值即为直线与直线之间的距离， 所以的最小值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键在于把两根式转化两点间的距离问题，进而可得的最小值即为直线与直线之间的距离，从而求解. 二、多选题 7．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）下列说法中正确的有（   ） A．直线过定点 B．点关于直线的对称点为 C．两条平行直线与之间的距离为 D．当实数时，直线和互相垂直 【答案】BCD 【分析】对于A，由直线过定点，按参数整理，令参数的系数为0求解即可；对于B，利用点关于直线的对称的性质求解；对于C，利用平行线之间的距离公式求解；对于D，利用直线垂直的系数关系判定即可. 【详解】对于A，，，故直线过定点，故A错误； 对于B，设点关于直线的对称点为,则 即点关于直线的对称点为，B正确； 对于C， ，，故C正确； 对于D， 时，，故直线和互相垂直，故D正确； 故选：BCD. 8.（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知点，且点在直线上，则（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．的最小值为 D．若，则的最小值为2 【答案】BCD 【分析】分类讨论可得不存在这样的点点，使得判断A；设，由已知可得方程有解判断B；设关于直线的对称点为，求解可判断C；利用二次函数的配方法求得最小值判断D. 【详解】对于A：设，若时，此时的斜率不存在， 与不垂直，同理时与不垂直， 当且时， 若，则， 去分母整理得，方程无解，故与不垂直，故A错误； 对于B：设，若， 则，即， 由，所以方程有解， 则存在点，使得，故B正确； 对于C：如图设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以， 当且仅当三点共线时取等号（在线段之间），故C正确： 对于D，因为， 当时等号成立，所以的最小值为2，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 9．（24-25高二上·江苏连云港·期中）点关于直线的对称点坐标为 ． 【答案】 【分析】点关于直线对称，抓住“垂直”和“平分”，即可列出两个方程，求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点坐标为， 则， 解得a＝，b＝， ∴点关于直线的对称点坐标为． 故答案为：． 10．（24-25高二上·江苏镇江·期中）函数的最大值为 . 【答案】 【分析】可表示为点与点的距离减去点与点的距离，然后可得答案. 【详解】， 表示为点与点的距离减去点与点的距离， 所以， 又，当共线，且P在B的外侧时取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 11．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知直线过原点，且到直线的距离等于4，则直线的斜率为 . 【答案】 【分析】根据题意设出斜率，整理一般式，利用点到直线距离公式列方程，可得答案. 【详解】由题意可知直线的斜率存在，设其为，则方程为， 由题意可得，解得 故答案为：. 12．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）若直线与在第二象限相交于点，且点到原点的距离为，则的值为 . 【答案】 【分析】求出两直线的交点坐标，并根据其在第二象限，得到不等式组，求出，由两点间距离公式列出方程，求出的值. 【详解】两直线不平行，故， 联立与，解得， 因为点在第二象限，故，解得， 由题意得，解得或（舍去）， 故. 故答案为： 13．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线平行，则与之间的距离是 ． 【答案】/0.8 【分析】根据直线平行求出，再由平行线间的距离公式得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以且， 解得， 所以两平行线间的距离， 故答案为： 四、解答题 14．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知的顶点，直线的方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求顶点，的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）联立直线与方程，可得点，设，表示中点，根据在直线上，在直线上，可列方程，解方程即可； （2）根据点与的坐标可得，再根据点到直线的距离可得面积. 【详解】（1）由已知，， 则，解得，即， 设，则中点， 又点在直线上，点在直线上， 即，解得，即； （2）由（1）得， 点到直线的距离， 则. 15．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知直线与直线． (1)当时，求a的值； (2)当时，求与之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由垂直的条件列方程求解； （2）由平行求得参数值，再由平行间距离公式计算． 【详解】（1）由，则，解得． （2）由得，解得， 直线的方程为，即， 直线的方程为， 因此，与之间的距离为． 16．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知直线：（a为实数），与相交于点M． (1)若过点M，求a的值； (2)设直线过定点N，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）联立直线求得交点，代入求参数值即可； （2）根据直线确定直线过定点，再应用两点距离公式求. 【详解】（1）由，得，即， 因为过点，所以，即． （2）因为，所以直线过定点， 所以. 17．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知三个顶点分别是． (1)当时，求边的高所在的直线方程； (2)若的面积为，求点的坐标满足的关系． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出，即可得到边的高所在直线的斜率，再由点斜式计算可得； （2）首先求出直线的方程与，设点到直线的距离为，由面积公式求出，再利用点到直线的距离公式计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 当时，所以边的高所在直线的斜率， 所以边的高所在的直线方程为，即； （2）因为直线的方程为，即， 又， 设点到直线的距离为，因为的面积为，所以，即，解得； 又，则或，即或， 所以点的坐标满足的关系为或. 18．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知，点在直线上. (1)若点的横坐标为，求的面积； (2)若的周长最小，求点的坐标及的周长. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先求点，再根据向量数量积求夹角进而求面积；应用点到直线距离求高进而求面积； （2）应用点关于线对称，求出距离和最小，进而求点的坐标及的周长. 【详解】（1），代入，解得，即， 解法一：， . 解法二：根据得出， 到的距离为， . （2）设点关于直线的对称点为， 由题意得，解得，即， 因为， 所以三点共线距离和最小，即的周长最小， ，交于点，解得， 此时. 19．（22-23高二上·江苏连云港·阶段练习）过点作直线，使它被直线和直线截得的线段的中点恰好为. (1)求直线的方程； (2)求直线被和截得的线段长. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)设出直线方程，通过联立直线方程，分别求出直线与直线和直线与直线的交点，的坐标，然后利用中点坐标公式即可求解；(2)结合(1)中结论，利用两点间距离公式求解即可. 【详解】（1）设直线与直线和直线与直线的交点分别为，， 若直线斜率不存在，则直线的方程：， 将代入可得，，即， 将代入可得，，即， 显然线段中点不是，不符合题意； 若直线斜率存在，设直线的方程为：，（且） 由，即， 由，即， 因为线段中点是， 所以且，解得， 从而直线的方程为：，即. （2）由(1)中结论可知，，， 从而， 故直线被和截得的线段长为 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 平面上的距离 题型梳理 易错分析 易错点一 处理距离的综合问题时分类讨论不全致误 题型方法 题型一 平面上两点间距离公式的应用 题型二 运用解析法解决平面几何问题 题型三 点到直线的距离公式的应用 题型四 两条平行直线间的距离公式的应用 知识清单 知识点01 两点间的距离 　　平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式为P1P2=. 知识点02 中点坐标公式 　　对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，则x0=，y0=. 知识点03 点到直线的距离 1. 点P0(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0(A，B不全为0)的距离d=. 2. 两条平行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0(A，B不全为0，C1≠C2)间的距离d=. 3. 注意：应用两条平行直线间的距离公式时，两条平行直线的方程需为一般式，且x，y的系数对应相等. 知识点04 常见的对称问题 1. 点关于点的对称 求点P1(x1，y1)关于点P2(x2，y2)的对称点P(x，y)时，可由中点坐标公式得 则有 2. 点关于直线的对称 (1)如图，已知点P(x，y)，直线l：Ax+By+C=0， 求点P关于直线l的对称点P'(x'，y')的步骤如下： 　　第一步，由直线PP'和l垂直，得kPP'·kl=-1①. 　　第二步，由线段PP'的中点在直线l上，得满足直线方程Ax+By+C=0，即A·+B·+C=0②. 　　第三步，联立①②两式可以解出x'，y'. (2)点关于直线对称的常用结论： ①点(x0，y0)关于直线y=0(即x轴)的对称点为(x0，-y0)； ②点(x0，y0)关于直线x=0(即y轴)的对称点为(-x0，y0)； ③点(x0，y0)关于直线y=x的对称点为(y0，x0)； ④点(x0，y0)关于直线y=-x的对称点为(-y0，-x0)； ⑤点(x0，y0)关于直线x=m(m≠0)的对称点为(2m-x0，y0)； ⑥点(x0，y0)关于直线y=n(n≠0)的对称点为(x0，2n-y0). 3. 直线关于点的对称：直线关于点的对称实际上可以转化为点关于点的对称. 4. 直线关于直线的对称 　　已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，求直线l1关于直线l2的对称直线的方程： (1)如果l1∥l2，则设所求直线的方程为A1x+B1y+m=0(m≠C1，m≠C2)，然后在l1上找一点P(x，y)，求出点P关于直线l2的对称点P'(x'，y')，再将(x'，y')代入A1x+B1y+m=0，即可解出m； (2)如果l1与l2相交，则先求出l1与l2的交点N，然后在l1上确定一点M(不同于交点N)，找出点M关于l2的对称点M'，由点N，M'即可确定所求直线的方程. 知识点05 对称在求最值中的应用 1. 在直线l上求一点P，使P到两个定点的距离之和最小的求法 (1)当两定点A，B在直线l的异侧时，如图①，连接AB，线段AB交直线l于点P，此时AB与l的交点P到两定点的距离之和最小，最小值为线段AB的长. 在直线l上任取一点P'，则P'A+P'B≥AB. (2)当两定点A，B在直线l的同侧时，如图②，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，此时点P到两定点的距离之和最小. 2. 在直线l上求一点P，使P到两定点的距离之差的绝对值最大的求法 (1)当两定点A，B在直线l的同侧时(A，B连线与l不平行)，连接BA并延长，交直线l于点P. 此时点P到两定点的距离之差的绝对值最大，最大值为线段AB的长. 如图①，在l上任意取一点P'，则有|P'B-P'A|≤AB. (2)当两定点A，B在直线l的异侧时，作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'(BA'所在直线与l不平行)并延长，交l于点P. 此时点P到两定点距离之差的绝对值最大，最大值为线段A'B的长，即|PB-PA|=|PB-PA'|=A'B. 如图②，在l上任取一点P'，则有|P'B-P'A|=|P'B-P'A'|≤A'B. 知识点06 平面上两点间的距离 　　平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离公式为P1P2=. 　　注：两点间的距离公式与两点的先后顺序无关，即公式既可以写成P1P2= ，也可以写成P1P2=，利用此公式可以实现几何问题与代数问题的相互转化. 知识点07 点到直线的距离 1. 应用点到直线的距离公式时的注意事项 (1)当点在直线上时，点到该直线的距离为0，点到直线的距离公式仍然适用. (2)点到直线的距离公式对于直线的一般式方程中A=0或B=0的情况仍然适用. (3)在应用点到直线的距离公式时，若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式. 知识点08 两条平行线之间的距离 1. 当直线的方程为一般式时， 可利用两平行线间的距离公式，其步骤如下： 　解题时必须注意两直线方程中x，y的系数要对应相等，若不相等，则先将系数化为相等，再代入公式求解. 2. 当直线的方程为斜截式，即l1：y=kx+b1，l2：y=kx+b2，且b1≠b2时，d=. 3. 利用化归思想将求两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离. 知识点09 在利用直线系方程证明平面几何问题的过程中培养学生数学抽象的核心素养 　　直线系是指具有某种共同性质的直线的集合，在解析几何中，常见的直线系有平行直线系、垂直直线系、在两坐标轴截距满足一定关系的直线系、过定点的直线系等，利用直线系方程解决有关问题，可以把握研究对象的数学特征，将直线的几何性质与方程的代数特征结合起来，进一步理解数学结论的一般性，感悟通性通法的数学原理及其中蕴含的数学思想，有助于培养学生数学抽象的核心素养. 易错分析 【易错点一】处理距离的综合问题时分类讨论不全致误 【例1】（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知点在直线上，且点到直线的距离等于，则的坐标（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知直线与直线平行，且两条直线之间的距离为，则直线的方程为 . 【变式2】（2023高二上·江苏·专题练习）求经过两直线与的交点，且与点的距离为5的直线l的方程. 【变式3】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知直线l过点，O为坐标原点． (1)若l与垂直，求直线l的方程； (2)若O到l的距离为1，求直线l的方程． 题型方法 【题型一】平面上两点间距离公式的应用 【例1】（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 解题技巧 将条件转化为参数的方程或不等式(方程组或不等式组)求解 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【变式2】（21-22高二上·江苏连云港·期中）若不等式对于任意的实数恒成立，则的最大值是 ，此时 ． 【变式3】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知△的三个顶点为，，. (1)求证：△为直角三角形； (2)求边上的中线长及中线所在的直线方程. 【题型二】运用解析法解决平面几何问题 【例2】（22-23高二上·江苏连云港·阶段练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 解题技巧 (1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”． (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 ①建立坐标系，用坐标表示有关的量． ②进行有关代数运算． ③把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 【举一反三】【变式1】（21-22高二·江苏）用坐标法证明：在△ABC中，AO为边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2（AO2＋BO2)． 【变式2】（21-22高二·江苏）求函数的最小值． 【变式3】（2023高二上·江苏·专题练习）已知，为直角，，，建立适当的坐标系，写出顶点A，B，C的坐标，并求证斜边AC的中点M到三个顶点的距离相等． 【题型三】点到直线的距离公式的应用 【例3】（24-25高二上·江苏·期中）已知，为上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 解题技巧 两点到直线的距离相等，可用几何法，即直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，此类题型也可用代数法． 求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式；直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)中A＝0或B＝0时，公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可采用数形结合法求点到直线的距离． 解决有限制条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的． 【举一反三】【变式1】（23-24高一下·江苏泰州·期中）已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知两点到直线的距离相等，则的值为 . 【变式3】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知直线：及点 (1)证明直线过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程. 【题型四】两条平行直线间的距离公式的应用 【例4】（24-25高二上·江苏徐州·期末）两条平行直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 解题技巧 求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝. 对于已知两直线间的距离求参数的问题，一般可列出关于距离的等式，解方程即可． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知两平行直线与之间的距离是，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知直线l与直线：和：的距离相等，则l的方程是 . 【变式3】（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）的四条边所在直线的方程分别是，，，. (1)求对角线交点的坐标； (2)求的面积. 好题必刷 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）两点间的距离为（      ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏常州·期中）平行直线与之间的距离为（    ） A．1 B． C． D．3 4．（24-25高二上·江苏无锡·期末）若直线和直线平行，则直线与直线间距离为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知直线与直线垂直，点在直线上运动，且点，点，则的最大值是（） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知，，，均为实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 二、多选题 7．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）下列说法中正确的有（   ） A．直线过定点 B．点关于直线的对称点为 C．两条平行直线与之间的距离为 D．当实数时，直线和互相垂直 8.（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知点，且点在直线上，则（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．的最小值为 D．若，则的最小值为2 三、填空题 9．（24-25高二上·江苏连云港·期中）点关于直线的对称点坐标为 ． 10．（24-25高二上·江苏镇江·期中）函数的最大值为 . 11．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知直线过原点，且到直线的距离等于4，则直线的斜率为 . 12．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）若直线与在第二象限相交于点，且点到原点的距离为，则的值为 . 13．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线平行，则与之间的距离是 ． 四、解答题 14．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知的顶点，直线的方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求顶点，的坐标； (2)求的面积． 15．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知直线与直线． (1)当时，求a的值； (2)当时，求与之间的距离． 16．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知直线：（a为实数），与相交于点M． (1)若过点M，求a的值； (2)设直线过定点N，求． 17．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知三个顶点分别是． (1)当时，求边的高所在的直线方程； (2)若的面积为，求点的坐标满足的关系． 18．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知，点在直线上. (1)若点的横坐标为，求的面积； (2)若的周长最小，求点的坐标及的周长. 19．（22-23高二上·江苏连云港·阶段练习）过点作直线，使它被直线和直线截得的线段的中点恰好为. (1)求直线的方程； (2)求直线被和截得的线段长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$