专题2.4 直线的交点坐标与距离公式（特色专题卷）-2024-2025学年高二数学特色专题卷（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.4 直线的交点坐标与距离公式 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（23-24高二上·新疆·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 2．（2024高二上·新疆昌吉·阶段练习）两平行直线之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（    ） A．4 B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·单元测试）已知点，点在直线上．若直线垂直于直线，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高二上·江苏南京·开学考试）已知直线：，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 6．（2024高二下·安徽芜湖·阶段练习）点为y轴上一点，且点到直线的距离等于1，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或. 7．（2024高一·全国·单元测试）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·福建泉州·期中）曲线：上到直线距离最短的点坐标为（    ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2024高二下·全国·课后作业）【多选】若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（    ） A．0 B． C． D． 10．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点到坐标原点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·全国·单元测试）已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．若，则直线，一定相交 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2024高二下·全国·课后作业）已知点，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为 ． 13．（24-25高二上·全国·课后作业）直线：与直线：交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是 ． 14．（24-25高二上·上海·课后作业）若点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是 ． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高二上·上海·课后作业）经过点，分别作两条平行直线、，如果、之间的距离为3，求这两条直线的方程． 16．（2024高二上·天津河西·阶段练习）已知直线，. (1)若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值； (2)当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程. 17．（23-24高二下·上海·期中）在中，，，． (1)建立适当的直角坐标系，求边所在直线的方程； (2)求的重心到边所在直线的距离． 18．（2024高二下·四川南充·阶段练习）直线经过点与点，经过点的直线. (1)求直线的斜率和直线的方程（结果写成一般式）； (2)若点到直线的距离相等，求直线的方程. 19．（23-24高二上·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点. (1)求边所在直线的方程; (2)若的面积等于7，且点的坐标满足，求点的坐标. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 直线的交点坐标与距离公式 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（23-24高二上·新疆·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式直接计算得解. 【详解】点到直线的距离. 故选：D 2．（2024高二上·新疆昌吉·阶段练习）两平行直线之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用平行直线间的距离公式即可得解. 【详解】直线可化为， 直线可化为， 所以两平行直线之间的距离为. 故选：A. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线间方程的特征，结合平行线间距离公式进行求解即可. 【详解】因为和互相平行， 所以，解得. 直线可以转化为， 由两条平行直线间的距离公式可得. 故选：D 4．（24-25高二上·全国·单元测试）已知点，点在直线上．若直线垂直于直线，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线垂直和斜率的关系设直线的方程为，代入点坐标，求出直线方程，再联立直线即可. 【详解】由题意可设直线的方程为，代入点， 则，解得，则直线的方程为， 联立直线，解得，则点的坐标为. 故选：C. 5．（2024高二上·江苏南京·开学考试）已知直线：，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【分析】根据直线方程，可得直线过定点，即可求出结果. 【详解】直线：，即， 由，得到，所以直线过定点， 当直线垂直于直线时，距离最大，此时最大值为， 故选：B. 6．（2024高二下·安徽芜湖·阶段练习）点为y轴上一点，且点到直线的距离等于1，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或. 【答案】C 【分析】根据题意，设点，利用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】因为点为轴上一点，可设点， 又因为点到直线的距离等于1，可得， 整理得，即，解得或， 所以点的坐标为或. 故选：C. 7．（2024高一·全国·单元测试）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出交点坐标，根据第一象限点的特征可得答案. 【详解】，即交点为， 因为交点在第一象限，所以. 故选：A 8．（23-24高二下·福建泉州·期中）曲线：上到直线距离最短的点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设曲线：上的点的坐标为，，然后表示出点到直线的距离，结合基本不等式可求出其最小值，从而可求出点的坐标. 【详解】设曲线：上的点的坐标为，， 则点到直线的距离， 当且仅当，即时，等号成立，此时点的坐标为. 故选：B. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2024高二下·全国·课后作业）【多选】若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】AC 【分析】联立直线方程，求出交点坐标，根据交点所在象限列出不等式组即可求解. 【详解】由，解得， 由两直线的交点在第四象限，得，解得， 所以实数的取值可以是0，，AC正确；BD错误. 故选：AC 10．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点到坐标原点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据直线平行可得在直线上运动，即可根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】解：动点分别在直线与上移动， 又线段的中点为，， 在直线上运动， 到直线的距离． 到坐标原点的距离大于等于． 故选：CD． 11．（24-25高二上·全国·单元测试）已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．若，则直线，一定相交 【答案】AD 【分析】根据两直线平行求出的值，可判断A选项；利用平行线间的距离公式可判断B选项；根据两直线垂直求出的值，可判断C选项；根据两直线相交求出的范围，可判断D选项. 【详解】两条直线，的方程分别为与，它们不重合， 若，则，得，检验符合，故A选项正确； 若，由A选项可知，：，直线的方程可化为， 故两条平行直线之间的距离为，故B选项不正确； 若，则，得，故C选项不正确； 由A选项知，当时，，所以若，则直线，一定相交，故D选项正确. 故选：AD. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2024高二下·全国·课后作业）已知点，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据题意设，再利用两点间的距离公式即可求出的值，从而得到点的坐标． 【详解】点在轴上，设， 点与点的距离等于13， ，解得或， 点的坐标为或， 故答案为：或． 13．（24-25高二上·全国·课后作业）直线：与直线：交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】利用两点间距离公式求出，再分析得到最值即可. 【详解】因为：与直线：的交点坐标为， 所以， 若最大，则最小，则最小， 而，当且仅当时取等，此时， 所以的最大值是． 故答案为： 14．（24-25高二上·上海·课后作业）若点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先确定直线恒过定点，再计算，从而可得结论． 【详解】解：把直线的方程化为， 由方程组 解得 所以直线恒过定点， 其中直线不包括直线． 又， 且当与直线垂直时，点到直线的距离为， 所以点到直线的距离满足， 故答案为：． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高二上·上海·课后作业）经过点，分别作两条平行直线、，如果、之间的距离为3，求这两条直线的方程． 【答案】：，：或：，： 【分析】设：，：，根据之间的距离为3建立等式，求出或，有两种情况． 【详解】解：设：，：， 由题意得． 解得或， 故所求直线为：，：或：，：. 16．（2024高二上·天津河西·阶段练习）已知直线，. (1)若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值； (2)当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）依据点到直线的距离公式建立方程求解即可. （2）联立求出直线交点，再分类讨论直线是否过原点，求解即可. 【详解】（1）设原点O到直线m的距离为， 则，解得或； （2）由解得，即m与n的交点为. 当直线l过原点时，此时直线斜率为， 所以直线l的方程为； 当直线l不过原点时，设l的方程为， 将代入得， 所以直线l的方程为. 故满足条件的直线l的方程为或. 17．（23-24高二下·上海·期中）在中，，，． (1)建立适当的直角坐标系，求边所在直线的方程； (2)求的重心到边所在直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由于，故以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，从而得到边所在直线的方程；（2）求出重心坐标，利用点到直线公式即可求解. 【详解】（1）在中，，，，则，则 所以以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如下平面直角坐标系： 所以，，则边所在直线的方程为，化简可得： （2）由于，，，所以的重心坐标为，即重心, 所以的重心到边所在直线的距离. 18．（2024高二下·四川南充·阶段练习）直线经过点与点，经过点的直线. (1)求直线的斜率和直线的方程（结果写成一般式）； (2)若点到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】(1)3； (2)或 【分析】（1）斜率存在，根据斜率的计算公式计算即可得出斜率，再根据点斜式方程求出的方程； （2）先设的方程（含参数），根据点A，B到直线的距离相等即可列出参数的方程，求出参数即可得出的方程. 【详解】（1）分析知，斜率存在，则其斜率，其方程为， 即； （2）当的斜率为零或者不存在时，点A，B到直线的距离不相等，故的斜率存在且不为零，设为，则的方程为，即， 又因为点A，B到直线的距离相等，所以， 解得，解得或， 所以直线的方程为或. 19．（23-24高二上·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点. (1)求边所在直线的方程; (2)若的面积等于7，且点的坐标满足，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线的两点式求解直线方程即可； （2）首先求出点到直线的距离及，再根据，得到，最后解方程组即可求出点的坐标. 【详解】（1）因为、， 所以边所在直线的方程为，整理得； （2）点到直线的距离， 又，因为， 所以有，即， 又点的坐标满足， 因此有或， 解得或， 所以点的坐标为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$