1.4 两条直线的交点【6大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）

1.4 两条直线的交点 【考点梳理】 · 考点一：直线的交点坐标 · 考点二：由直线的交点个数求参数 · 考点三：由交点坐标求参数 · 考点四：三直线可以围成三角形问题 · 考点五：直线交点系方程问题 · 考点六：直线交点综合问题 【知识梳理】 知识点一：两条直线的交点坐标 1．两直线的交点 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)． (1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0 . (2)若点A是直线l1与l2的交点，则有 2．两直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 【题型归纳】 题型一：直线的交点坐标 1．（23-24高二上·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·天津·期末）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ）． A． B． C． D． 3．（20-21高二上·重庆渝中·期中）已知直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为(　 ) A． B． C． D． 题型二：由直线的交点个数求参数 4．（20-21高二上·山西晋中·期末）已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·全国）直线与直线相交，则m的取值范围为 ． 6．（21-22高三下·上海杨浦·阶段练习）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为 题型三：由交点坐标求参数 7．（23-24高二上·海南·期中）已知直线：与直线：的交点在轴上，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高二下·上海徐汇·期中）过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高二上·全国·课后作业）若直线与互相垂直，垂足为，则的值为（    ） A．20 B． C．12 D．4 题型四：三直线可以围成三角形问题 10．（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 11．（21-22高二上·四川遂宁·期中）已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（    ） A．a≠ B．a≠ C．a≠且a≠ D．a≠且a≠1 12．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 题型五：直线交点系方程问题 13．（21-22高二上·安徽六安·期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·山东聊城·期中）直线恒过定点 15．（23-24高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为 . 题型六：直线交点综合问题 16．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知直线，直线与直线垂直，且直线，的交点的横坐标与纵坐标相等． (1)求直线的方程； (2)若直线l被直线，所截得的线段恰好被点平分，求直线l的方程． 17．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 18．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知直线． (1)求证：直线经过一个定点； (2)若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【高分演练】 一、单选题 19．（24-25高二上·全国）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 20．（23-24高二下·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 21．（23-24高二上·吉林延边·期中）过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）设，，若直线与线段相交，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．（23-24高二上·福建福州·期中）已知直线过定点M，则点M关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上中线所在的直线方程为，则高的长度为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 25．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）若三条直线可以围成一个三角形，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．1 D．3 26．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，两条直线的交点为 D．若直线不过第二象限时，有 27．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知直线与，下列选项正确的是（    ） A．若，则或 B．若直线不经过第四象限，则 C．直线恒过点 D．若直线在轴上的截距为6，则直线的斜截式方程为 28．（23-24高二上·河南周口·阶段练习）的三个顶点坐标为，，，下列说法中正确的是（    ） A．边BC与直线平行 B．边BC上的高所在的直线的方程为 C．过点A且平分面积的直线与边BC相交于点 D．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 三、填空题 29．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知直线l经过直线和的交点，且直线l在坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是 . 30．（23-24高二下·上海黄浦·期中）已知直线，，，若它们不能围成三角形，则实数的取值所构成的集合为 ． 31．（23-24高二上·广东·期末）在原点处发射一束激光，经过直线反射后撞击处的一个中子.已知的坐标为，光束射到的位置为点，则的坐标为 . 32．（23-24高二上·北京房山·期末）已知直线，则与的交点坐标为 ；若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 四、解答题 33．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知的顶点，边上的中线所在直线方程，边上的高为，垂足. (1)求顶点的坐标； (2)求直线的方程. 34．（23-24高二上·上海·期末）已知，设直线：，直线：. (1)若，求m的值； (2)当与相交时，求交点I的坐标（用m表示），并证明点I恒在一条定直线上. 35．（23-24高二上·甘肃酒泉·期末）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为. (1)求直线的方程； (2)求顶点的坐标. 36．（23-24高二上·山东·期中）已知直线过点． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)设为坐标原点，若与轴正半轴交于点与轴正半轴交于点，求面积的最小值． 37．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知的顶点，边上的高BH所在直线为，边上的中线AD所在直线方程为． (1)求顶点A的坐标； (2)求直线的方程.（结果用一般式方程表示）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4 两条直线的交点 【考点梳理】 · 考点一：直线的交点坐标 · 考点二：由直线的交点个数求参数 · 考点三：由交点坐标求参数 · 考点四：三直线可以围成三角形问题 · 考点五：直线交点系方程问题 · 考点六：直线交点综合问题 【知识梳理】 知识点一：两条直线的交点坐标 1．两直线的交点 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)． (1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0 . (2)若点A是直线l1与l2的交点，则有 2．两直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 【题型归纳】 题型一：直线的交点坐标 1．（23-24高二上·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两个方程的联立，加减消元法计算即可. 【详解】……① ……② ①+②得：……③ ③代入②有：……④ 由③④得交点坐标为：. 故选：B. 2．（22-23高二上·天津·期末）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出交点坐标，再根据与直线 的位置关系求出斜率，运用点斜式方程求解. 【详解】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 ； 直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ， 由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即 ； 故选：B. 3．（20-21高二上·重庆渝中·期中）已知直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为(　 ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据垂直关系求解出的值，然后联立直线方程可求交点坐标. 【详解】因为与互相垂直， 所以，所以， 所以，解得， 所以交点坐标为， 故选：B. 题型二：由直线的交点个数求参数 4．（20-21高二上·山西晋中·期末）已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断出直线所过定点，结合图象求得的取值范围 【详解】直线恒过的定点，. 当时，直线方程为，与线段有交点，符合题意. 当时，直线的斜率为，则， 解得或，综上，. 故选：C 5．（23-24高二上·全国·课后作业）直线与直线相交，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据两直线相交的条件即可求解. 【详解】因为直线与直线，即相交， 所以，解得. 所以m的取值范围为. 故答案为： 6．（21-22高三下·上海杨浦·阶段练习）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为 【答案】4 【分析】当方程组有无穷多解时,可得到两直线重合,则可求出,,计算即可得解. 【详解】若方程组有无穷多组解， 即两条直线重合,即 , 则 故答案为：4 题型三：由交点坐标求参数 7．（23-24高二上·海南·期中）已知直线：与直线：的交点在轴上，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与轴的交点坐标，代入直线得，即可求出直线斜率. 【详解】在直线方程中，令，得， 即直线与轴的交点为， 因为点在直线上，所以，即， 所以：，即，所以直线的斜率为. 故选：D. 8．（22-23高二下·上海徐汇·期中）过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设所求直线方程为，进而得出交点，根据点为两交点的中点建立等式，求出的值，从而即可解决问题. 【详解】如果直线斜率不存在时，直线方程为：，不符合题意； 所以直线斜率存在设为， 则直线方程为， 联立直线得： ， 联立直线得：，， 所以直线与直线，直线的交点为： ， 又直线夹在两条直线和之间的线段恰被点平分， 所以， 解得：， 所以直线的方程为：， 故选：B. 9．（22-23高二上·全国·课后作业）若直线与互相垂直，垂足为，则的值为（    ） A．20 B． C．12 D．4 【答案】A 【分析】 由直线与互相垂直，利用一般式的垂直公式可求得，再将垂足代入两直线方程可求出，继而可求. 【详解】因为直线与互相垂直 所以，解的， 所以直线为， 又垂足为，可得，解得， 则垂足为，又其在上， 可得，解得. 所以， 故选：A. 题型四：三直线可以围成三角形问题 10．（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分线线平行和三线共点讨论即可. 【详解】若，则，解得．若，则，解得． 若，，交于一点，联立方程组，解得得， 代入，得，解得，故a的取值集合为． 故选：D. 11．（21-22高二上·四川遂宁·期中）已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（    ） A．a≠ B．a≠ C．a≠且a≠ D．a≠且a≠1 【答案】C 【分析】由三条直线两两不平行，且不交于同一点可得． 【详解】已知三条直线能构成三角形，首先不平行， 若，则三条直线围成三角形， 若，则，，解得， 时，由，得，代入得，或，因此 综上：且． 故选：C． 12．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 【答案】 【分析】联立方程组解得交点坐标，列出直线不能围成三角形的条件，分别解出即可. 【详解】由解得，所以的交点坐标为， 过定点， 若直线不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得； 当与平行时，，解得； 当与平行时，，解得. 故的值为. 故答案为：（只需写出其中一个即可）. 题型五：直线交点系方程问题 13．（21-22高二上·安徽六安·期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线和的交点列方程，对比后求得直线的方程. 【详解】依题意两直线和的交点为， 所以在直线上， 所以过两点所在直线方程为， 故选：B 14．（23-24高二上·山东聊城·期中）直线恒过定点 【答案】 【分析】变换直线，转化求解方程组问题，即可求解. 【详解】直线方程化简为， 即， 当，解得：， 所以直线恒过定点. 故答案为： 15．（23-24高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为 . 【答案】 【分析】设所求直线方程为，将点代入方程，求得，即可求解. 【详解】设所求直线方程为， 点在直线上， ， 解得， 所求直线方程为，即． 故答案为：. 题型六：直线交点综合问题 16．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知直线，直线与直线垂直，且直线，的交点的横坐标与纵坐标相等． (1)求直线的方程； (2)若直线l被直线，所截得的线段恰好被点平分，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线，的交点坐标，再设直线为，将交点坐标代入求出，从而可求出直线的方程； （2）设直线l交直线，分别于点，则有，，，从而可求出两点的坐标，则可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程. 【详解】（1）由题意设直线，的交点坐标为，则，得， 所以直线，的交点坐标为， 由题意设直线为，则，得， 所以直线的方程为； （2）设直线l交直线，分别于点， 因为为的中点，所以， 因为，， 所以，即， 由，解得， 所以，所以， 所以， 所以直线的方程为，即. 17．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立方程，求出交点，再由垂直关系得出斜率，进而写出直线方程； （2）由对称性得出点关于直线对称的点为，进而结合图像得出最值. 【详解】（1）解：联立，解得， 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为； 故所求直线方程为，即 （2）设点关于直线对称的点为， ，解得 则， 故的最小值为. 18．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知直线． (1)求证：直线经过一个定点； (2)若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)证明见解析； (2)，. 【分析】（1）利用直线的点斜式方程即可得到直线经过一个定点. （2）先求得的面积S的表达式，再利用均值定理即可求得S的最小值，进而求得此时直线的方程. 【详解】（1）直线，化为，当时，对任意实数，恒有， 所以直线过定点. （2）依题意，显然，直线交轴于点，交轴于点， 而点分别在轴的正半轴上，即，于是， 则的面积为， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，，直线的方程的方程为. 【高分演练】 一、单选题 19．（24-25高二上·全国）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解二元一次方程组即得交点坐标. 【详解】解方程组，得， 所以所求交点坐标为. 故选：B 20．（23-24高二下·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】分、、及三条直线相交于一点四种情况讨论，分别求出所对应的的值，即可得解. 【详解】①时，则，解得，经检验符合题意； ②时，则，解得，经检验符合题意； ③时，则，解得，经检验符合题意； ④三条直线交于一点，解得或， 则实数可取值的集合为，即符合题意的实数共6个. 故选：D 21．（23-24高二上·吉林延边·期中）过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出两直线的交点坐标，再由与直线垂直可设所求直线为，将交点坐标代入可求得结果. 【详解】由，得， 设与直线垂直的直线的方程为，则 ，得， 所以所求直线方程为. 故选：A 22．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）设，，若直线与线段相交，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线的斜率、直线与直线的位置关系分析运算即可得解. 【详解】解：    如上图，直线过定点，斜率为，且与线段相交， 即过定点，斜率为的直线绕点从逆时针旋转到， 中间经过轴，则或， ∵，， ∴则或，即的取值范围是. 故选：D. 23．（23-24高二上·福建福州·期中）已知直线过定点M，则点M关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，联立方程组求解定点，再求解点关于直线的对称点，利用垂直平分性质建立方程组求解即可. 【详解】直线过定点， 由，解得， 则定点为. 设点关于直线的对称点为， 则，解得， 则关于直线r的对称点的坐标为. 故选：C. 24．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上中线所在的直线方程为，则高的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先求得点的坐标，然后求得点的坐标，进而求得. 【分析】由解得，所以. 设，则， 所以，①， 直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以②， 由①②解得，则， 直线的方程为， 由，解得，则， 所以. 故选：C    二、多选题 25．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）若三条直线可以围成一个三角形，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】BD 【分析】由题意可得三条直线两两都不平行且不同时过同一个点，写出限定条件即可得结果. 【详解】根据题意可知三条直线两两都不平行，且不同时过同一个点； 当平行时可得，此时不合题意，因此； 联立，即，解得交点坐标为， 因此不在上，即可得，可得； 所以若三条直线围成一个三角形，只需且即可. 故选：BD 26．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，两条直线的交点为 D．若直线不过第二象限时，有 【答案】BC 【分析】由得出重合判断A；由垂直关系判断B；求出交点判断C；由判断D. 【详解】对于A：当时，直线，重合，故A错误； 对于B：若，则，解得，故B正确； 对于C：当时，由，解得，即两条直线的交点为，故C正确； 对于D：当时，直线不过第二象限，故D错误； 故选：BC 27．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知直线与，下列选项正确的是（    ） A．若，则或 B．若直线不经过第四象限，则 C．直线恒过点 D．若直线在轴上的截距为6，则直线的斜截式方程为 【答案】CD 【分析】由可得，或.代入的方程检验，即可判断A项；分以及，列出关系式，求解即可判断B；由，即可得出定点；直线过点，代入得出，化为斜截式，即可得出答案. 【详解】对于A项，由可得，或. 当时，直线可化为， 直线，此时，满足； 当时，直线， 直线，可化为，此时重合，不满足，舍去. 所以，，故A错误； 对于B项，当时，直线可化为，不经过第四象限； 当时，将直线化为，. 要使不经过第四象限，则应有，所以. 综上所述，当时，直线不经过第四象限，故B错误； 对于C项，直线可化为， 由可得，，所以直线恒过点，故C正确； 对于D项，由已知可得，直线过点， 所以有，所以. 直线的方程为，化为斜截式方程可得，故D正确. 故选：CD. 28．（23-24高二上·河南周口·阶段练习）的三个顶点坐标为，，，下列说法中正确的是（    ） A．边BC与直线平行 B．边BC上的高所在的直线的方程为 C．过点A且平分面积的直线与边BC相交于点 D．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 【答案】BC 【分析】由直线斜率判断A，求出相应的直线方程判断BD，求出边中点坐标判断C． 【详解】直线的斜率为，而直线的斜率为，两直线不平行，A错； 边上高所在直线斜率为，直线方程为，即，B正确； 过点A且平分面积的直线过边BC中点，坐标为，C正确 ； 过且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为，过原点时方程为，D错. 故选：BC． 三、填空题 29．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知直线l经过直线和的交点，且直线l在坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是 . 【答案】或 【分析】求出给定的两条直线交点坐标，再按直线是否过原点分类求解即可. 【详解】由，解得，即直线过点， 当直线过原点时，直线的方程为， 当直线不过原点时，设直线的方程为，则，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 30．（23-24高二下·上海黄浦·期中）已知直线，，，若它们不能围成三角形，则实数的取值所构成的集合为 ． 【答案】 【分析】通过三条直线两两平行或重合，以及三条线经过同一点计算的取值即可. 【详解】当与平行或重合时，， 当与平行或重合时，，解得， 当与平行或重合时，，此时无解； 当三条直线经过同一点时，联立，解得， 故的取值所构成的集合为. 故答案为： 31．（23-24高二上·广东·期末）在原点处发射一束激光，经过直线反射后撞击处的一个中子.已知的坐标为，光束射到的位置为点，则的坐标为 . 【答案】 【分析】求出点关于直线对称点的坐标，进而得到直线的方程，联立求出点的坐标. 【详解】设点关于直线对称的点为， 则，解得， 所以，则直线的方程为， 联立直线与，可得，即. 故答案为： 32．（23-24高二上·北京房山·期末）已知直线，则与的交点坐标为 ；若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 【答案】 答案不唯一（只需写出中的一个即可） 【分析】联立方程组解得交点坐标；列出直线不能围成三角形的条件，分别解出即可. 【详解】解方程组，得，所以与的交点坐标为； 由得，直线恒过定点；若直线不能围成三角形， 只需经过，或与平行，或与平行. 当经过时，图1所示，，； 当与平行时，图2所示，，； 当与平行时，图3所示，，. 故答案为：；或或（只需写出中的一个即可）.    图 1    图 2    图 3 四、解答题 33．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知的顶点，边上的中线所在直线方程，边上的高为，垂足. (1)求顶点的坐标； (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点写出直线的方程，与中线所在直线方程联立即可求得点的坐标； （2）根据为边上的高写出的直线方程，设出点的坐标，则点的坐标满足的直线方程，由点的坐标表示出的中点，又点的坐标满足直线方程，从而解出点的坐标，进而写出直线的方程. 【详解】（1）直线的斜率为，从而的直线方程为：，即， 联立方程与中线所在直线方程，可得， 故点的坐标为. （2）因为为边上的高，所以的直线方程为：. 设点的坐标为，由点在直线上可得； 的中点的坐标为，点的坐标满足直线方程，即， 故可得，即点坐标为. 则直线的斜率为，故直线方程为：. 34．（23-24高二上·上海·期末）已知，设直线：，直线：. (1)若，求m的值； (2)当与相交时，求交点I的坐标（用m表示），并证明点I恒在一条定直线上. 【答案】(1) (2)，点I恒在定直线上 【分析】（1）根据直线平行的条件列方程可得，然后验证是否重合可得； （2）联立直线方程求解可得点I的坐标，然后消参可知点I在定直线上. 【详解】（1）因为，所以，解得， 当时，直线：，直线：即，显然此时两直线重合， 当时，直线：，直线：即，符合题意， 故. （2）由（1）知，当，相交时， 联立，解得，∴， 因为，即， 所以点I恒在定直线上. 35．（23-24高二上·甘肃酒泉·期末）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为. (1)求直线的方程； (2)求顶点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用斜率之积为，再由点斜式写出直线方程； （2）设点，利用中点坐标公式得到，代入所在直线方程即可；方法二先利用点在所在直线上，再利用中点坐标公式求出即可，与方法一过程相反. 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以，且，即， 因为的顶点，所以直线方程：， 即直线的方程为：. （2）（解法一）因为所在直线方程为，设点， 因为是中点，，所以， 因为在所在直线方程上， 所以，解得：，. （解法二）设点的坐标为，所在直线方程为，所以 因为是中点，，所以， 因为所在直线方程为，代入得： 所以，即， 解得：，，即，. 36．（23-24高二上·山东·期中）已知直线过点． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)设为坐标原点，若与轴正半轴交于点与轴正半轴交于点，求面积的最小值． 【答案】(1)或 (2)4 【分析】（1）因为在两坐标轴上的截距相等，所以按截距是否为，分类求解； （2）设直线斜率为，求解与坐标轴的交点，将面积表示为函数，利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）①当直线过坐标原点，直线过点． 所以方程为，即； ②当直线不过坐标原点，，设方程为， 由直线过点，将代入方程得，解得， 所以直线的方程为，即； 综上：的方程为或. （2）由题意知斜率存在且小于0，设方程为， 令，解得；令，解得； 因为，所以，， 所以面积 ， 当且仅当即时取等号， 所以面积的最小值为4. 37．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知的顶点，边上的高BH所在直线为，边上的中线AD所在直线方程为． (1)求顶点A的坐标； (2)求直线的方程.（结果用一般式方程表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，求所在直线方程，与AD所在直线方程联立方程组求顶点A的坐标； （2）设，则，分别代入BH所在直线和AD所在直线方程，求出，可求直线的方程. 【详解】（1）， 所在直线方程为，即， 由，得：，所以 （2）设，则，分别代入BH所在直线和AD所在直线方程， 即，解得：，即， 所以，即直线的方程. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$