专题1.3 两条直线的平行与垂直（五大题型）（高效培优专项训练）数学苏教版高二选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦两条直线平行与垂直的判定及应用，通过分类题型构建从概念理解到参数求解再到方程应用的递进训练体系，培养数学推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判断两条直线平行|7题（选择/填空）|结合斜率与系数关系判断位置关系|从平行概念（斜率相等/系数成比例）到位置关系判定，强化分类讨论（斜率存在性）| |已知直线平行求参数|9题（选择/填空）|根据平行条件建立方程求参数值|应用平行的充要条件（斜率相等且截距不等），渗透参数范围限制思想| |判断两条直线垂直|8题（选择/填空）|通过斜率乘积或系数关系判断垂直|从垂直概念（斜率乘积为-1/系数数量积为0）构建判定逻辑| |已知直线垂直求参数|8题（选择/填空）|依据垂直条件列方程求解参数|应用垂直的充要条件，强化符号运算与逻辑推理| |由平行与垂直求直线方程|5题（解答题）|结合点坐标与位置关系求直线方程|综合应用平行垂直条件与直线方程形式，体现模型意识与应用能力|

专题1.3 两条直线的平行与垂直 题型一 判断两条直线平行 题型二 已知直线平行求参数 题型三 判断两条直线垂直 题型四 已知直线垂直求参数 题型五 由直线的平行与垂直，求直线方程 题型一：判断两条直线平行 1．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知直线，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由斜率判断两条直线平行、已知直线平行求参数 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及直线平行的判定与性质得解. 【详解】当时，直线， 当时，，推不出， 综上，是的充分不必要条件. 故选：A 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】由斜率判断两条直线平行 【分析】根据直线的斜率来进行判断. 【详解】， 由图可知不共线，所以． 故选：B    3．（25-26高二上·福建泉州·期末）已知直线，则与的位置关系为（    ） A．重合 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由一般式方程判断直线的平行 【分析】将直线方程化为斜截式方程，根据，即可判断求解. 【详解】直线可化为， 所以， ， 直线可化为， 所以，， 因为，， 所以与平行. 故选：B 4．两直线与的位置关系是（　　） A．相交 B．平行 C．重合 D．平行或重合 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由一般式方程判断直线的平行 【分析】根据直线方程及直线平行的判定判断两直线的位置关系. 【详解】当时，直线与重合； 当时，直线与平行； 所以，题设两直线重合或平行. 故选：D 5．直线与直线的位置关系是（    ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】由一般式方程判断直线的平行 【分析】把直线化简后即可判断. 【详解】直线可化为， 所以直线与直线的位置关系是重合. 故选：C 6．直线，那么与_________. 【答案】平行 【难度】0.85 【知识点】由斜率判断两条直线平行 【分析】根据两条直线斜率关系即可判断. 【详解】由题可得，且与不重合，所以与平行； 故答案为：平行 7．若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是______． 【答案】平行或重合 【难度】0.94 【知识点】由斜率判断两条直线平行 【分析】求得直线与的斜率，进而可得结论. 【详解】直线的倾斜角为135°，故斜率． 由经过点，，得， 所以，所以直线与平行或重合． 故答案为：平行或重合． 题型二：已知直线平行求参数 1．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知直线：与直线：平行，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】已知直线平行求参数 【详解】当时，直线：与直线：，显然直线与不平行； 当时，因为直线：与直线：平行， 所以，解得，检验符合. 2．（2026·宁夏吴忠·二模）直线：和直线：互相平行，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．或1 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】已知直线平行求参数 【详解】因为直线：和直线：互相平行， 所以，解得. 3．（2026·山西临汾·一模）已知直线与直线平行，则（    ） A．2 B．或2 C． D．或1 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数 【详解】因为直线与直线平行， 根据两直线平行的充要条件可得，解得或， 当时，代入可得与，两条直线平行且不重合，符合题意； 当时，代入可得与，两条直线重合，不符合题意. 所以 4．（25-26高二上·湖北·期中）直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．不确定 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由斜率判断两条直线平行 【分析】先求出两直线斜率，根据两直线的斜率不相等，这两条直线一定相交，即得解. 【详解】由题意，直线的斜率为， 直线的斜率为， 两直线斜率一定不相等，故两直线相交. 故选：B 5．（25-26高二上·天津西青·期末）已知直线与直线平行，则的值为_______________________. 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据两直线平行的充要条件，列方程求解可得. 【详解】由题可知，，解得. 当时，直线的方程为：，即，与直线平行. 故答案为：2. 6．（24-25高二上·广东广州·期末）已知直线，，若，则的值为____________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据两直线平行得到方程和不等式，求出答案. 【详解】两直线平行，故且， 由得或， 由得，因此. 故答案为：2. 7．已知直线与直线平行，则等于______． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】由两条直线平行求解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得， 故答案为：3 8．（25-26高二上·云南曲靖·期末）已知直线，若，则___________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由斜率判断两条直线平行、已知直线平行求参数 【分析】由一般式得到两直线斜率，再由两直线平行，斜率相等求解即可； 【详解】当时，，，两直线不平行， 当时，两直线平行斜率相等， ，则 ，则， 又，则两直线斜率相等，即， 化简计算得：，解得：或， 又时，，，两直线重合， 故. 故答案为： 9．“”是“直线与平行”的__________条件. 【答案】必要不充分 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、由斜率判断两条直线平行、已知直线平行求参数 【分析】由两直线平行可知斜率相等，且不重合. 【详解】，则， 直线与平行， 当时，两条直线分别为：和，显然不平行. 当时，则有,且（注：时，两直线重合）, 解得：. 所以“”是“直线与平行”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 题型三：判断两条直线垂直 1．（2026·重庆·模拟预测）在平面中，已知直线：（，不同时为零），：（，不同时为零），则是的（   ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】充要条件的证明、由一般式方程判断直线的垂直 【详解】是的充要条件. 2．（25-26高二上·江西宜春·期末）设直线和直线，则直线与直线的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．以上都不是 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】由一般式方程判断直线的垂直 【分析】利用斜率之积为,来判断两直线垂直即可. 【详解】由直线的斜率为：， 直线的斜率为， 可得，所以两直线互相垂直. 故选：C 3．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由斜率判断两条直线垂直 【分析】根据判断. 【详解】因为直线，的斜率分别为，且，所以与的位置关系是垂直. 故选：D 4．（25-26高二上·天津·阶段检测）直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、由斜率判断两条直线平行、由斜率判断两条直线垂直 【分析】根据两直线的斜率关系判断即可. 【详解】因为直线经过点和，所以直线的斜率， 又直线的斜率，且， 所以与相交但不垂直. 故选：D 5．（24-25高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】由斜率判断两条直线垂直 【分析】由两直线的斜率关系即可判断. 【详解】直线和直线的斜率分别为， 因为，所以． 故选：A． 6．（24-25高二上·全国·课后作业）以点为顶点的直角三角形，其直角顶点为_______． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、由斜率判断两条直线垂直 【分析】利用斜率公式计算AB,AC的斜率，通过计算从而可得，从而得解. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 所以，所以以A点为直角顶点的直角三角形， 故答案为：A. 7．若点在直线上，则与的位置关系是________． 【答案】垂直 【难度】0.85 【知识点】由斜率判断两条直线垂直 【分析】由点在直线上，求出的值，再验证两直线的位置关系，可得答案. 【详解】由点在直线上，得，解得 所以直线，则 又，则 则，所以 故答案为：垂直 8．设直线，，若与垂直，则__________. 【答案】或. 【难度】0.65 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据两直线垂直关系列方程求解即可. 【详解】由题意，直线与垂直， 所以，整理得，即， 解得或. 故答案为：或. 题型四：已知直线垂直求参数 1．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知直线：，：，若，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】已知直线垂直求参数 【详解】已知直线：，：，若， 则有， 化简方程得：， 解得或，C正确. 2．（2026·重庆万州·三模）若直线与直线垂直，则m=（   ） A． B．15 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据两直线垂直的充要条件求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 3．（25-26高二上·广东韶关·期末）若直线与直线垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数、由一般式方程判断直线的垂直 【分析】根据直线的一般式方程判断两直线垂直的条件列式，求解可得答案. 【详解】若直线与直线垂直， 则，解得． 故选：C． 4．（25-26高二上·四川绵阳·期末）若直线 与直线 垂直，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】由两直线垂直的系数关系求解. 【详解】因为直线互相垂直，所以，解得， 故选：B. 5．（25-26高二上·天津和平·期末）已知直线与直线：平行，且直线与直线：垂直，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数 【分析】根据直线平行及垂直系数关系计算求解参数. 【详解】因为直线与直线：平行， 所以直线的斜率为， 又因为直线与直线：垂直， 则， 则. 故选：C. 6．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）两直线，若，则实数__________. 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据直线垂直的充要条件列方程求解即可. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故答案为：2 7．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线：，：，若，则______. 【答案】6 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据两直线垂直的性质求解即可． 【详解】因为直线：，：，且， 可得，解得 故答案为：. 8．（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知直线与直线垂直，则的值为__________. 【答案】/0.5 【难度】0.94 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】由两直线垂直的判定条件可得答案. 【详解】∵直线与直线垂直， ∴， 解得：. 故答案为： 题型五：由直线的平行与垂直，求直线方程 1．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）求出满足下列条件的直线方程： (1)经过点，且与直线平行； (2)经过点，且与直线垂直； 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）根据直线方程得出已知直线的斜率，由平行关系求得所求直线的斜率，然后利用点斜式写出所求直线方程化简即可； （2）根据直线方程得出已知直线的斜率，由垂直关系求得所求直线的斜率，然后利用点斜式写出所求直线方程化简即可； 【详解】（1）由直线的斜率为， 设所求直线的斜率为， 因为所求直线与直线平行， 所以， 又所求直线经过，根据点斜式方程可得：， 即所求直线方程为. （2）由直线的斜率， 由题知两条直线垂直且，所以所求直线斜率存在， 设所求直线的斜率为， 由，解得：， 又所求直线经过点，根据点斜式方程可得：， 即所求直线方程为. 2．（25-26高二上·云南玉溪·期中）根据下列条件分别求出直线的方程，并化为一般式方程．已知直线． (1)经过点且与直线平行的直线； (2)经过点且与直线垂直的直线． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）设所求直线的方程为，求出即可； （2）设所求直线方程为，求出即可. 【详解】（1）设所求直线的方程为， 代入点，则有，解得， 所以所求直线方程为； （2）设所求直线方程为， 代入点，则有，解得， 所以所求直线方程为． 3．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）分别求满足下列条件的直线方程： (1)过点且与直线垂直的直线方程； (2)过点且与直线平行的直线方程； (3)求过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的直线方程． 【答案】(1) (2) (3)或 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析、由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）通过垂直关系求得所求直线的斜率，然后代入点斜式方程求解即可； （2）通过平行关系求得所求直线的斜率，然后代入点斜式方程求解即可； （3）按照截距为0和截距不为0两种情况，设出直线方程，将点的坐标代入方程即可求解. 【详解】（1）因为的斜率为3，所以所求直线的斜率为， 所以由点斜式方程可得，即． （2）因为的斜率为，所以所求直线的斜率为， 所以由点斜式方程可得，即． （3）①当截距为0时，设直线方程为， 因为直线过点，所以，即， 所以直线方程为，即． ②当截距不为0时，设直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线方程为，即． 综述：所求直线方程为或． 4．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； (3)设分别是线段的中点，求直线所在直线的方程. （注意：最后结果统一用一般式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线两点式方程及辨析、由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）先求出的中点，进而根据两点式求解或求出斜率，再用点斜式求解即可； （2）先求出直线的斜率，根据可得，进而利用点斜式求解即可； （3）先求出的中点，根据题设易得，进而利用点斜式求解即可. 【详解】（1）由已知得的中点，即， 解法一：边上的中线的两点式方程为，即； 解法二：边上的中线的斜率为， 所以中线的方程为：，即. （2）因为， 又，则，所以， 则直线的方程为，即. （3）由已知得的中点，即， 因为分别是线段的中点，所以，即， 又，所以， 则直线所在直线的方程为：，即. 4．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知的顶点为，，． (1)求出直线的斜率 (2)求过且平行于直线的直线的方程； (3)求边上的高所在直线的方程． 【答案】(1) (2)： (3)： 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）根据已知两点坐标求斜率公式求解即可； （2）根据平行求出斜率，结合点斜式方程即可解题； （3）根据垂直求出斜率，结合点斜式方程即可解题. 【详解】（1）由题意可得，，，设直线的斜率为，所以. （2）设该直线为，由题意可得与直线平行，所以的斜率为，所以，所以：. （3）设该直线为，斜率为，由题意可得与直线垂直，所以，所以，所以，所以：. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 两条直线的平行与垂直 题型一 判断两条直线平行 题型二 已知直线平行求参数 题型三 判断两条直线垂直 题型四 已知直线垂直求参数 题型五 由直线的平行与垂直，求直线方程 题型一：判断两条直线平行 1．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知直线，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 3．（25-26高二上·福建泉州·期末）已知直线，则与的位置关系为（    ） A．重合 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 4．两直线与的位置关系是（　　） A．相交 B．平行 C．重合 D．平行或重合 5．直线与直线的位置关系是（    ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 6．直线，那么与_________. 7．若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是______． 题型二：已知直线平行求参数 1．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知直线：与直线：平行，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 2．（2026·宁夏吴忠·二模）直线：和直线：互相平行，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．或1 3．（2026·山西临汾·一模）已知直线与直线平行，则（    ） A．2 B．或2 C． D．或1 4．（25-26高二上·湖北·期中）直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．不确定 5．（25-26高二上·天津西青·期末）已知直线与直线平行，则的值为_______________________. 6．（24-25高二上·广东广州·期末）已知直线，，若，则的值为____________. 7．已知直线与直线平行，则等于______． 8．（25-26高二上·云南曲靖·期末）已知直线，若，则___________ 9．“”是“直线与平行”的__________条件. 题型三：判断两条直线垂直 1．（2026·重庆·模拟预测）在平面中，已知直线：（，不同时为零），：（，不同时为零），则是的（   ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高二上·江西宜春·期末）设直线和直线，则直线与直线的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．以上都不是 3．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 4．（25-26高二上·天津·阶段检测）直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 5．（24-25高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 6．（24-25高二上·全国·课后作业）以点为顶点的直角三角形，其直角顶点为_______． 7．若点在直线上，则与的位置关系是________． 8．设直线，，若与垂直，则__________. 题型四：已知直线垂直求参数 1．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知直线：，：，若，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 2．（2026·重庆万州·三模）若直线与直线垂直，则m=（   ） A． B．15 C． D． 3．（25-26高二上·广东韶关·期末）若直线与直线垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 4．（25-26高二上·四川绵阳·期末）若直线 与直线 垂直，则 （   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·天津和平·期末）已知直线与直线：平行，且直线与直线：垂直，则实数（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）两直线，若，则实数__________. 7．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线：，：，若，则______. 8．（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知直线与直线垂直，则的值为__________. 题型五：由直线的平行与垂直，求直线方程 1．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）求出满足下列条件的直线方程： (1)经过点，且与直线平行； (2)经过点，且与直线垂直； 2．（25-26高二上·云南玉溪·期中）根据下列条件分别求出直线的方程，并化为一般式方程．已知直线． (1)经过点且与直线平行的直线； (2)经过点且与直线垂直的直线． 3．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）分别求满足下列条件的直线方程： (1)过点且与直线垂直的直线方程； (2)过点且与直线平行的直线方程； (3)求过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的直线方程． 4．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； (3)设分别是线段的中点，求直线所在直线的方程. （注意：最后结果统一用一般式表示） 4．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知的顶点为，，． (1)求出直线的斜率 (2)求过且平行于直线的直线的方程； (3)求边上的高所在直线的方程． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $