专题1.2 直线方程 （四大题型）（高效培优专项训练）数学苏教版高二选择性必修第一册

**基本信息** 以直线方程五种形式为核心，通过六类题型构建从基础应用到综合拓展的知识逻辑链，强化方程选择与几何意义转化的数学思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |点斜式与斜截式|8题|含倾斜角、斜率、截距基础计算|从斜率定义到方程形式，衔接倾斜角与三角知识| |两点式与截距式|11题|聚焦截距关系及两点确定直线|强化坐标与方程转化，渗透分类讨论（截距为0情况）| |一般式|5题|考查方程表示直线条件及斜率范围|实现特殊方程向一般形式的抽象与统一| |直线过定点|6题|含参数直线恒过定点问题|培养参数分离与方程恒成立的逻辑推理能力| |与坐标轴面积|7题|涉及截距比、面积计算及角平分线|体现几何问题代数化的数学建模思想| |综合应用|5题|含图像识别、旋转及线段相交问题|整合方程与几何性质，发展直观想象与综合分析能力|

专题1.2 直线方程 题型一 直线的点斜式方程与斜截式方程的应用 题型二 直线的两点式方程与截距式方程的应用 题型三 直线的一般式方程 题型四 直线过定点 题型五 直线与坐标轴围成的面积问题 题型六 直线方程的综合应用 题型一：直线的点斜式方程与斜截式方程的应用 1．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·甘肃陇南·期末）若直线l的倾斜角与直线的倾斜角互补，则l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·上海·期末）直线在轴上的截距为_____________. 5．（25-26高二上·天津·期中）已知直线过点，斜率为2，则直线在轴上的截距是______. 6．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）与直线相交于且与直线l夹角为的直线方程为________． 7．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知的三个顶点是. (1)求边上的中线所在的直线方程； (2)求边上的高所在的直线方程. 8．求适合下列条件的直线方程． (1)经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的2倍； (2)经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 题型二：直线的两点式方程与截距式方程的应用 1．（25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26高二上·四川巴中·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．3 C． D． 3．（25-26高二上·四川泸州·阶段检测）过、两点的直线方程是 （    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河南南阳·期中）过点和的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知直线的方程为，则直线在轴上的截距为（    ） A．-11 B．-5 C．5 D．11 6．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）直线在坐标轴上的截距之和为（ ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·河南濮阳·阶段检测）已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 8．（25-26高二上·新疆喀什·期中）直线方程为，则该直线在x轴上的截距为________，在y轴上的截距为________． 9．（25-26高三·全国·一轮复习）直线过定点________，倾斜角的最小值是________． 10．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知直线过点，根据下列条件分别求直线的方程： (1)直线的斜率为2； (2)直线在轴、轴上的截距相等． 11．（25-26高二上·江苏常州·期中）平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于两点，面积记为. (1)若直线在轴上的截距为5，求的值； (2)若时，求直线的斜截式方程. 题型三：直线的一般式方程 1．（25-26高三·全国·一轮复习）直线的倾斜角是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江西赣州·期末）经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（   ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26高二上·安徽合肥·期末）若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．或 4．（25-26高二上·广东深圳·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 5．若方程表示一条直线，则实数满足_________． 题型四：直线过定点 1．（25-26高二上·天津·阶段检测）直线经过定点（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）对任意实数，直线所经过的定点是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）直线，恒过定点，则的值为（    ） A．-5 B．-4 C．-3 D．3 4．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）无论取任何实数，直线必经过一个定点，则定点的坐标是 （    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）直线所过定点为______ 6．（25-26高二上·天津·期末）已知直线：总是经过定点，则定点坐标为_______. 题型五：直线与坐标轴围成的面积问题 1．（25-26高二上·新疆·阶段检测）已知直线方程为，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 2．（24-25高二上·甘肃白银·期末）过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）若经过点的直线在，轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为__________. 4．（25-26高二上·广西·阶段检测）若经过点的直线在轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为______． 5．（25-26高二上·甘肃陇南·期中）直线与轴、轴分别交于，两点，则（为坐标原点）的平分线所在直线的一般式方程为___________． 6．（24-25高二上·甘肃庆阳·阶段检测）直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12． (1)求直线的方程 (2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积． 7．（24-25高二上·江苏徐州·阶段检测）已知直线过定点，根据下列条件求直线l的方程. (1)若直线l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为16； (2)若直线l被两条直线和所截得的线段的中点恰好为P，求直线l的方程. 题型六：直线方程的综合应用 1．在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象有可能是（   ） A．B． C． D． 2．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（    ） A．直线必过定点 B．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 4．已知直线及两点，．若直线与线段（指向）的延长线相交（不含点），则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·山西朔州·阶段检测）已知中，，，线段，的中点分别在，轴上，则边上的中线所在的直线的方程为________.（结果用一般式表示） 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 直线方程 题型一 直线的点斜式方程与斜截式方程的应用 题型二 直线的两点式方程与截距式方程的应用 题型三 直线的一般式方程 题型四 直线过定点 题型五 直线与坐标轴围成的面积问题 题型六 直线方程的综合应用 题型一：直线的点斜式方程与斜截式方程的应用 1．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析 【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出. 【详解】直线的斜率为， 又直线过点，，即. 故选：C. 2．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的斜截式方程及辨析 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系求出直线斜率，结合直线的斜截式公式求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为. 由直线的斜截式公式可知，， 故选：B. 3．（25-26高二上·甘肃陇南·期末）若直线l的倾斜角与直线的倾斜角互补，则l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系、直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据直线斜截式特征，结合直线倾斜角和斜率的关系进行求解即可. 【详解】由直线的方程可知该直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 所以有， 的补角为， 所以l的倾斜角为. 故选：B 4．（25-26高二下·上海·期末）直线在轴上的截距为_____________. 【答案】 【难度】0.95 【知识点】直线的斜截式方程及辨析 【详解】令，得，所以直线在轴上的截距为. 5．（25-26高二上·天津·期中）已知直线过点，斜率为2，则直线在轴上的截距是______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据点斜式方程的公式，可求得直线的方程，令，最终求得直线在轴上的截距. 【详解】根据点斜式方程得：，所以直线的方程为：； 令，得，所以直线在轴上的截距为. 故答案为：. 6．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）与直线相交于且与直线l夹角为的直线方程为________． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义、直线的点斜式方程及辨析 【分析】先求得直线l的倾斜角，根据条件，可得所求直线的倾斜角，代入公式，即可得答案. 【详解】由题意：直线l整理可得， 所以直线的斜率，为直线l的倾斜角，且， 所以， 因为所求直线与直线l夹角为， 所以所求直线的倾斜角为或， 因为所求直线过点， 所以所求直线的方程为或，即或. 故答案为：或 7．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知的三个顶点是. (1)求边上的中线所在的直线方程； (2)求边上的高所在的直线方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）由中点坐标公式得到中点的坐标，然后得到，由点斜式写出中线所在直线的方程； （2）由所在直线的斜率求得高所在直线斜率，由点斜式写出高所在直线的方程. 【详解】（1）因为， 所以的中点的坐标为. 又. 所以边上的中线所在的直线方程为， 即. （2）因为， 所以. 设边上的高所在的直线的斜率为， 所以，得. 所以边上的高所在的直线方程为， 即. 8．求适合下列条件的直线方程． (1)经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的2倍； (2)经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 【答案】(1) (2)或． 【难度】0.85 【知识点】二倍角的正切公式、直线斜率的定义、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）首先根据二倍角正弦公式求斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解； （2）首先确定直线的斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解. 【详解】（1）设直线的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为． 因为， 所以． 又直线经过点， 因此所求直线方程为， 即． （2）由题意，可知所求直线的斜率为． 又过点, 由点斜式得． 所求直线的方程为或． 题型二：直线的两点式方程与截距式方程的应用 1．（25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】分截距为零与不为零两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为，则，所以直线方程为， 当截距都不为零，设直线方程为，则， 所以直线方程为，即. 综上直线方程为：或. 故选：C 2．（25-26高二上·四川巴中·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】令即可求解. 【详解】由截距的概念，令，可得， 即， 故直线在轴上的截距为， 故选：A 3．（25-26高二上·四川泸州·阶段检测）过、两点的直线方程是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】根据直线的截距式定义求解. 【详解】根据截距式方程得出 过、两点的直线方程是 . 故选：A. 4．（25-26高二上·河南南阳·期中）过点和的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线两点式方程及辨析 【分析】利用直线的两点式方程可得答案. 【详解】由题意可知，直线的两点式方程为，即为. 故选：D. 5．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知直线的方程为，则直线在轴上的截距为（    ） A．-11 B．-5 C．5 D．11 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】根据直线的截距式方程特征直接求解即可. 【详解】根据直线的截距式方程可知，直线在轴上的截距为5. 故选：C. 6．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）直线在坐标轴上的截距之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】将直线方程化为截距式方程，结合截距的定义可得结果. 【详解】将直线方程化为截距式方程可得， 所以直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 因此直线在坐标轴上的截距之和为. 故选：D. 7．（23-24高二上·河南濮阳·阶段检测）已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】根据题意设直线的方程为，求截距，列式求解即可. 【详解】由题意可知直线斜率存在且不为0，设直线的方程为， 令，解得；令，解得， 可得，解得或， 所以直线方程为或. 故答案为：或. 8．（25-26高二上·新疆喀什·期中）直线方程为，则该直线在x轴上的截距为________，在y轴上的截距为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】根据直线的截距式方程求直线在坐标轴上的截距. 【详解】直线的截距式方程为：. 所以直线在轴上的截距为4，在轴上的截距为. 故答案为：4； 9．（25-26高三·全国·一轮复习）直线过定点________，倾斜角的最小值是________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线过定点问题 【分析】将直线方程化为，由求定点；直线方程化为，从而斜率为，再利用斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】直线方程可以化为， 由得， 直线方程化为， 则直线的斜率为， 因为，所以，则 ， 即， 设直线的倾斜角为，则， 则， 所以倾斜角的最小值是. 故答案为： 10．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知直线过点，根据下列条件分别求直线的方程： (1)直线的斜率为2； (2)直线在轴、轴上的截距相等． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析 【分析】（1）利用点斜式求解即可； （2）分直线在轴、轴截距为0和不为0进行分类讨论，不为0时利用截距式求解即可. 【详解】（1）因为直线过点，直线的斜率为2， 所以所求为， 即. （2）当直线在轴、轴上的截距都为0时， 所求为， 当直线在轴、轴上的截距都为时， 设所求为， 由题意，解得符合题意， 故所求为， 综上所述，符合题意的直线方程为或. 11．（25-26高二上·江苏常州·期中）平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于两点，面积记为. (1)若直线在轴上的截距为5，求的值； (2)若时，求直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】（1）根据题意可知直线过点，由此可得斜率，再由点斜式得解； （2）设直线在轴上的截距为，由此建立关于的方程，解出即可得直线的斜截式方程. 【详解】（1）依题意，直线过点， 则其斜率为，方程为， 令，可得， 则； （2）设直线在轴上的截距为， 则直线过点， 故其斜率为，方程为， 令，可得， 则，解得或， 则直线的斜截式方程为或． 题型三：直线的一般式方程 1．（25-26高三·全国·一轮复习）直线的倾斜角是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角 【详解】根据题意，设直线的倾斜角为， 则斜率，故 因为，所以. 2．（25-26高二上·江西赣州·期末）经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】由题意分截距为0与截距不为0两种情况求解即得. 【详解】当直线经过原点时，此时直线方程可设为， 代入点，解得，所以直线方程为即； 当直线不经过原点时，设所求直线的截距式方程为， 代入点，解得，所以直线方程为. 综上，经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是或. 故选：C. 3．（25-26高二上·安徽合肥·期末）若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】讨论直线是否经过原点，经过原点时，设为，不经过原点时设为，代入求解. 【详解】当直线经过原点时，在两个轴上的截距都为， 设直线方程为，代入点，，此时直线的斜率为； 当直线不经过原点时，设直线的截距式方程为， 代入点解得，此时直线的斜率为. 故选：D. 4．（25-26高二上·广东深圳·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的一般式方程及辨析 【分析】分类讨论斜率的存在性，求出斜率的取值范围即可得倾斜角的范围. 【详解】由题意知，当时，直线的斜率不存在，其倾斜角； 当时，直线的斜率， 所以倾斜角， 综上，. 5．若方程表示一条直线，则实数满足_________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】直线的一般式方程及辨析 【分析】根据直线的一般式方程，，不全为0的条件，求值判断即可. 【详解】解：当时，或； 当时，或． 要使方程表示一条直线， 则，不能同时为0，所以． 题型四：直线过定点 1．（25-26高二上·天津·阶段检测）直线经过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题 【分析】把直线方程化简为，根据直线经过的定点的坐标满足，解出定点坐标即可. 【详解】由，化简得， 所以直线经过的定点的坐标满足，联立方程组解得， 即直线的定点为. 故答案为：B 2．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）对任意实数，直线所经过的定点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题 【分析】把直线方程化为点斜式，联立方程组即可求得直线经过的定点. 【详解】直线方程可化为， 令，得， 所以直线所经过的定点是. 故选：A 3．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）直线，恒过定点，则的值为（    ） A．-5 B．-4 C．-3 D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题 【分析】根据给定条件，列式求出定点坐标即得. 【详解】由整理得：， 由，解得， 即直线恒过点，故，所以. 故选：B 4．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）无论取任何实数，直线必经过一个定点，则定点的坐标是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题 【分析】分离参数，直线方程即，由求定点的坐标． 【详解】化简得，即， 由，所以直线过定点. 故选：B 5．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）直线所过定点为______ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题 【分析】对等式进行变形，通过解方程组进行求解即可. 【详解】， 因为直线恒过定点， 所以有， 因此该直线恒过点. 故答案为： 6．（25-26高二上·天津·期末）已知直线：总是经过定点，则定点坐标为_______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题 【分析】将方程变形为，即可求解. 【详解】由可得， 令，解得， 故定点为， 故答案为： 题型五：直线与坐标轴围成的面积问题 1．（25-26高二上·新疆·阶段检测）已知直线方程为，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】三角形面积公式及其应用、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】先求出直线与两坐标轴的交点，再求三角形面积即可. 【详解】令得，则该直线与轴交点； 令得，则该直线与轴交点； 所求三角形的面积. 故选：A. 2．（24-25高二上·甘肃白银·期末）过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】利用点斜式求得直线的方程，求得直线与坐标轴的交点坐标，从而求得三角形的面积. 【详解】依题意得直线的方程为，即， 则直线与坐标轴的交点分别为， 所以． 故选：B 3．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）若经过点的直线在，轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为__________. 【答案】// 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】利用截距式方程，求直线在两坐标轴上的截距，再求三角形的面积. 【详解】由条件可知，直线不过原点， 设直线，则，则， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 故答案为： 4．（25-26高二上·广西·阶段检测）若经过点的直线在轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为______． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】根据给定条件，设出直线的截距式方程，进而求出该直线方程，再求出直线与坐标轴围成三角形面积. 【详解】依题意，直线不过原点，设的方程为， 由直线过点，得，解得，直线的方程为， 则在轴上的截距分别为4，2，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4. 故答案为：4 5．（25-26高二上·甘肃陇南·期中）直线与轴、轴分别交于，两点，则（为坐标原点）的平分线所在直线的一般式方程为___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的一般式方程及辨析 【分析】结合正切三角函数的二倍角公式以及直线斜率和倾斜角的关系即可求解． 【详解】如图所示，设角平分线与x轴负半轴的夹角为α， 令代入直线方程，可得，所以，令代入直线方程，可得， 所以，在中，的正切值为， 也即，解得（负值已舍去）， 设角平分线的斜率为，则， 所以由点斜式方程可得角平分线方程为， 整理为一般式为． 故答案为：． 6．（24-25高二上·甘肃庆阳·阶段检测）直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12． (1)求直线的方程 (2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积． 【答案】(1)或 (2)或 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】（1）设直线的方程为，将点代入，进一步求出和的值，从而求出答案； （2）借助（1）中求出的和，结合面积公式即可求. 【详解】（1）由于直线在两坐标轴上的截距之和为12， 因此直线在两坐标轴上的截距都存在且不过原点， 故可设直线方程为：，且，① 又因为直线过点， 所以，② 由①②解得或， 所以直线的方程为：或， 即或. （2）由（1）可知，当直线的方程为时， ； 当直线的方程为时， ， 所以直线与两条坐标轴所围成三角形的面积为或. 7．（24-25高二上·江苏徐州·阶段检测）已知直线过定点，根据下列条件求直线l的方程. (1)若直线l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为16； (2)若直线l被两条直线和所截得的线段的中点恰好为P，求直线l的方程. 【答案】(1)或. (2) 【难度】0.65 【知识点】直线两点式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】 (1)写出直线的截距式方程，代入点，再与面积联立，求解即可. (2)设出直线，与两条直线和，根据，求出点坐标，再根据两点式求解即可 【详解】（1）由题意可知直线斜率存在，设直线截距方程为， 则，与联立可得或. 故直线l的方程为或. （2）设直线l与交点为，与交点为， 所以①，② 因为点是线段中点，所以③，④ 将①代入③可得将之代入②，可得， 解之可得，再根据直线两点式可得， 化简可得. 故直线l的方程为. 题型六：直线方程的综合应用 1．在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象有可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线图象的辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】将直线的方程化为斜截式，结合图象，根据斜率和在y轴上的截距的正负判断. 【详解】直线可化为，斜率为，在y轴上的截距为； 直线可化为，斜率为，在y轴上的截距为， A.由图知：，则， 在y轴上的截距为 ，则， 从而，在y轴上的截距为，故错误； B.由图知：，则， 在y轴上的截距为 ，则， 从而，在y轴上的截距为，故正确； C.由图知：，则， 在y轴上的截距为 ，则， 从而，在y轴上的截距为，故错误； D.由图知：，则， 在y轴上的截距为 ，则， 从而，在y轴上的截距为，故错误； 故选：B 2．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】借助两角和的正切公式可得该直线斜率，再利用直线方程的点斜式求解即可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 由直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线， 故直线的倾斜角为， 故直线的斜率为， 又在直线上，故直线过点， 即直线的方程为，化简得. 3．下列说法正确的是（    ） A．直线必过定点 B．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线截距式方程及辨析、直线过定点问题、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】A含参的直线方程过定点的求法计算即可；B没有考虑直线过原点的情况；C由倾斜角与斜率的关系即可判断；D计算出端点值后，由线段MN与y轴相交判断斜率的范围应取端点值两侧. 【详解】A，直线方程变形为， 令，解得，即原直线必过定点，正确； B，当直线l过原点时，也满足在两坐标轴上的截距相等， 此时直线l的方程为，不正确； C，当时，无意义，不正确； D，直线经过定点， 当直线经过M时，斜率为， 当直线经过N点时，斜率为，    由于线段MN与y轴相交，故实数k的取值范围为或，不正确. 故选：A 4．已知直线及两点，．若直线与线段（指向）的延长线相交（不含点），则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、直线过定点问题、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】直线过定点，求出直线、的斜率，数形结合可求得直线斜率的取值范围，即可得的取值范围. 【详解】直线过定点，作出图像如下图所示： ，，直线的斜率为， 若直线与线段的延长线相交（不含Q点），则，即. 故选：B. 5．（25-26高二上·山西朔州·阶段检测）已知中，，，线段，的中点分别在，轴上，则边上的中线所在的直线的方程为________.（结果用一般式表示） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】设，应用线段，的中点分别在，轴上求参，再根据中点坐标公式得出点，最后点斜式得出直线方程即可. 【详解】设，则，得，， 而线段的中点坐标为， 故边上的中线的斜率， 故中线所在的直线的方程为，即. 故答案为：. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $