1.1.2 空间向量的数量积运算 课件-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量的数量积运算，衔接平面向量知识，通过夹角定义、数量积性质与运算律、投影向量构建学习支架，逐步过渡到立体几何中垂直、夹角、长度问题的解决。 其亮点是以数学抽象和逻辑推理为核心，通过“入木三分”辨析数量积与夹角关系，“探究”总结解题步骤，结合正四面体、正方体实例培养直观想象和数学运算能力。分层题型设计助力学生巩固，教师可利用系统资源提升教学效率。

1.1.2　空间向量的数量积运算 素养目标 1.掌握空间向量的夹角的概念．(数学抽象)2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律．(逻辑推理、数学运算)3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．(数学抽象)4.能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题．(直观想象、数学运算) 课前自学 3 要点1　空间向量的夹角 ∠AOB 0≤〈a，b〉≤π ⊥ 第页 要点2　空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则______________叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝______________. 规定：零向量与任何向量的数量积为____． (2)常用结论(a，b为非零向量)： ①a⊥b⇔___________． ②a·a＝_______________＝___________． ③cos〈a，b〉＝___________． |a||b|cos〈a，b〉 |a||b|cos〈a，b〉 0 a·b＝0 |a||a|cos〈a，a〉 |a|2 第页 (3)数量积的运算律： 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ_______，λ∈R 交换律 a·b＝_______ 分配律 (a＋b)·c＝___________ (a·b) b·a a·c＋b·c 第页 要点3　投影向量 (1)投影向量： 在空间，向量a向向量b投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝________ ____________________，则向量c称为向量a在向量b上的投影向量，同理 向量b在向量a上的投影向量是________________． 第页 第页 第页 1．若a·b>0，则〈a，b〉一定是锐角吗？ 答：当〈a，b〉＝0时，也有a·b>0，故当a·b>0时，〈a，b〉不一定是锐角． 2．若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0? 答：在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，则a⊥b或b＝0，因此不能推出b＝0. 第页 3．已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c，若a·b＝b·c(b≠0)，是否可以得出结论a＝c? 答：不可以．理由如下： 如图，a·b＝|a||b|cos β＝|b|2， b·c＝|b||c|cos α＝|b|2. 所以a·b＝b·c，但是a≠c. 返 回 课时学案 12 例 1 题型一　 空间向量的夹角 第页 13 第页 探究1 (1)a与b夹角的取值范围是[0，π]． (2)对于起点不重合的两个向量，通过平移，使两向量起点重合后，再求夹角． 第页 思考题1　(1)对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的(　　) A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 第页 √ 第页 例 2 题型二　 空间向量数量积的运算 第页 18 第页 第页 探究2 在几何体中求数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积． (3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模． (4)代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． 第页 第页 第页 例 3　已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠ABC＝90°的等腰直角三角形，四边形ABB1A1和BB1C1C都是正方形，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角． 题型三　 用数量积求角与距离 角度1　用数量积求角 第页 24 第页 探究3 利用数量积求异面直线所成角θ的余弦值的步骤 (1)取向量． (2)求向量夹角余弦值cos〈a，b〉． (3)定结果cos θ＝|cos〈a，b〉|. 第页 思考题3　已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求OE与BF所成角的余弦值． 第页 角度2　用数量积求距离 例 4　如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离． 第页 第页 探究4 第页 √ 第页 例 5 √ 题型四　 投影向量 第页 32 √ 第页 探究5 第页 √ 第页 (2)已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，则2a－b在a上的投 影向量为________． 第页 返 回 课后巩固 38 √ 第页 √ 第页 √ 第页 4．已知向量a，b满足|a|＝1，a·(a－2b)＝5，则b在a上的投影向量为________． －2a 第页 5．如图所示，在一个直二面角α－l－β的棱上有两点A，B，AC，BD分别是这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________． 返 回 自助餐 44 例 如图，已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC. 利用数量积证明空间垂直关系 45 第页 探究 用向量法证明垂直关系的步骤 (1)把几何问题转化为向量问题． (2)用已知向量表示所证向量． (3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0. (4)将向量问题回归到几何问题． 第页 思考题　如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.证明：PA⊥BD. 返 回 请做：课时作业（三） 教师备用资料 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，则__________叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 ____________ 向量垂直 如果〈a，b〉＝eq \f(π,2)，那么向量a，b互相垂直，记作a______b eq \f(a·b,|a||b|) |a|cos〈a，b〉eq \f(b,|b|) |b|cos〈a，b〉eq \f(a,|a|) (2)向量a在平面β上的投影向量： 向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量eq \o(A′B′,\s\up16(→))，则________称为向量a在平面β上的投影向量．这时，___________的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 向量eq \o(A′B′,\s\up16(→)) 向量a，eq \o(A′B′,\s\up16(→)) (1)两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零． (2)向量数量积的运算不满足消去律、作商和乘法的结合律，即①a·b＝a·c⇒b＝c，②a·b＝k⇒b＝eq \f(k,a)，③(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立． 【解析】　(1)eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(AC,\s\up16(→))的夹角为eq \f(π,3)，eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(BC,\s\up16(→))的夹角为eq \f(2π,3). (1)若△ABC为正三角形，则 eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(AC,\s\up16(→))的夹角＝________； eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(BC,\s\up16(→))的夹角＝________． eq \f(π,3) eq \f(2π,3) 【解析】　(2)eq \o(A1C1,\s\up16(→))与eq \o(AB,\s\up16(→))的夹角为eq \f(π,4)， eq \o(A1C1,\s\up16(→))与eq \o(CD,\s\up16(→))的夹角为eq \f(3π,4)， eq \o(AC1,\s\up16(→))与eq \o(B1C,\s\up16(→))的夹角为eq \f(π,2). (2)若ABCD－A1B1C1D1为正方体，则 eq \o(A1C1,\s\up16(→))与eq \o(AB,\s\up16(→))的夹角＝________； eq \o(A1C1,\s\up16(→))与eq \o(CD,\s\up16(→))的夹角＝________； eq \o(AC1,\s\up16(→))与eq \o(B1C,\s\up16(→))的夹角＝________． eq \f(π,4) eq \f(3π,4) eq \f(π,2) 【解析】　显然〈a，b〉＝0⇒a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b 【解析】　〈eq \o(BC,\s\up16(→))，eq \o(CD,\s\up16(→))〉＝180°－〈eq \o(CB,\s\up16(→))，eq \o(CD,\s\up16(→))〉＝180°－60°＝120°. (2)在正四面体ABCD中，eq \o(BC,\s\up16(→))与eq \o(CD,\s\up16(→))的夹角等于(　　) A．30° B．60° C．150° D．120° 在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，计算： (1)eq \o(EF,\s\up16(→))·eq \o(BA,\s\up16(→))； 【思路分析】　根据条件结合图形，确定向量模与夹角，代入数量积定义即可． 【解析】　(1)eq \o(EF,\s\up16(→))·eq \o(BA,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up16(→))·eq \o(BA,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)|eq \o(BD,\s\up16(→))||eq \o(BA,\s\up16(→))|cos〈eq \o(BD,\s\up16(→))，eq \o(BA,\s\up16(→))〉＝eq \f(1,2)cos 60°＝eq \f(1,4). (2)eq \o(EF,\s\up16(→))·eq \o(BD,\s\up16(→))； 【解析】　(2)eq \o(EF,\s\up16(→))·eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up16(→))·eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)|eq \o(BD,\s\up16(→))|2＝eq \f(1,2). (3)eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(CD,\s\up16(→)). 【解析】　(3)eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))·(eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))) ＝eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→)) ＝|eq \o(AB,\s\up16(→))||eq \o(AD,\s\up16(→))|cos〈eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AD,\s\up16(→))〉－|eq \o(AB,\s\up16(→))||eq \o(AC,\s\up16(→))|cos〈eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))〉 ＝cos 60°－cos 60°＝0. 【解析】　连接A1B，设eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AD,\s\up16(→))＝b，eq \o(AA1,\s\up16(→))＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0. (1)eq \o(BC,\s\up16(→))·eq \o(ED1,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))·(eq \o(EA1,\s\up16(→))＋eq \o(A1D1,\s\up16(→)))＝eq \o(AD,\s\up16(→))·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（\o(AA1,\s\up16(→))－\o(AB,\s\up16(→))）＋\o(AD,\s\up16(→)))) ＝b·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（c－a）＋b))＝|b|2＝42＝16. 思考题2　已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算： (1)eq \o(BC,\s\up16(→))·eq \o(ED1,\s\up16(→))； 【解析】　(2)eq \o(BF,\s\up16(→))·eq \o(AB1,\s\up16(→))＝(eq \o(BA1,\s\up16(→))＋eq \o(A1F,\s\up16(→)))·(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BB1,\s\up16(→))) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AA1,\s\up16(→))－\o(AB,\s\up16(→))＋\f(1,2)\o(AD,\s\up16(→))))·(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→))) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－a＋\f(1,2)b))·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. (2)eq \o(BF,\s\up16(→))·eq \o(AB1,\s\up16(→)). 【思路分析】　求异面直线BA1与AC所成的角，可先求eq \o(BA1,\s\up16(→))与eq \o(AC,\s\up16(→))的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，而向量夹角的取值范围为[0，π]，注意角度的转化． 【解析】　如图所示，因为eq \o(BA1,\s\up16(→))＝eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \o(BB1,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))，所以eq \o(BA1,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝(eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \o(BB1,\s\up16(→)))·(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→)))＝eq \o(BA,\s\up16(→))·eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BA,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(BB1,\s\up16(→))·eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BB1,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→)).因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，AB＝a，所以eq \o(BA,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝0，eq \o(BB1,\s\up16(→))·eq \o(AB,\s\up16(→))＝0，eq \o(BB1,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝0且eq \o(BA,\s\up16(→))·eq \o(AB,\s\up16(→))＝－a2.所以eq \o(BA1,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝－a2.又eq \o(BA1,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝|eq \o(BA1,\s\up16(→))|·|eq \o(AC,\s\up16(→))|cos〈eq \o(BA1,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))〉，所以cos〈eq \o(BA1,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))〉＝eq \f(－a2,\r(2)a·\r(2)a)＝－eq \f(1,2).又因为〈eq \o(BA1,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))〉∈[0，π]，所以〈eq \o(BA1,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))〉＝120°，又因为异面直线所成的角是锐角或直角，所以异面直线BA1与AC所成的角为60°. 【解析】　设eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，eq \o(OC,\s\up16(→))＝c，|a|＝|b|＝|c|＝1，易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝eq \f(π,3)，则a·b＝b·c＝c·a＝eq \f(1,2). ∵eq \o(OE,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)，eq \o(BF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)c－b，|eq \o(OE,\s\up16(→))|＝|eq \o(BF,\s\up16(→))|＝eq \f(\r(3),2)，∴eq \o(OE,\s\up16(→))·eq \o(BF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c－b))＝eq \f(1,4)a·c＋eq \f(1,4)b·c－eq \f(1,2)a·b－eq \f(1,2)|b|2＝－eq \f(1,2). ∴cos〈eq \o(OE,\s\up16(→))，eq \o(BF,\s\up16(→))〉＝eq \f(\o(OE,\s\up16(→))·\o(BF,\s\up16(→)),|\o(OE,\s\up16(→))|·|\o(BF,\s\up16(→))|)＝－eq \f(2,3). 因此，异面直线OE与BF所成角的余弦值为eq \f(2,3). 【解析】　∵∠ACD＝90°，∴eq \o(AC,\s\up16(→))·eq \o(CD,\s\up16(→))＝0，同理可得eq \o(AC,\s\up16(→))·eq \o(BA,\s\up16(→))＝0.∵AB与CD成60°角，∴〈eq \o(BA,\s\up16(→))，eq \o(CD,\s\up16(→))〉＝60°或〈eq \o(BA,\s\up16(→))，eq \o(CD,\s\up16(→))〉＝120°.又eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))，∴|eq \o(BD,\s\up16(→))|2＝|eq \o(BA,\s\up16(→))|2＋|eq \o(AC,\s\up16(→))|2＋|eq \o(CD,\s\up16(→))|2＋2eq \o(BA,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＋2eq \o(BA,\s\up16(→))·eq \o(CD,\s\up16(→))＋2eq \o(AC,\s\up16(→))·eq \o(CD,\s\up16(→))＝3＋2×1×1×cos〈eq \o(BA,\s\up16(→))，eq \o(CD,\s\up16(→))〉．∴当〈eq \o(BA,\s\up16(→))，eq \o(CD,\s\up16(→))〉＝60°时，|eq \o(BD,\s\up16(→))|2＝4，此时B，D间的距离为2；当〈eq \o(BA,\s\up16(→))，eq \o(CD,\s\up16(→))〉＝120°时，|eq \o(BD,\s\up16(→))|2＝2，此时B，D间的距离为eq \r(2). 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝eq \r(a·a)求解即可． 【解析】　∵eq \o(AC1,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→))， ∴|eq \o(AC1,\s\up16(→))|2＝eq \o(AC1,\s\up16(→))2＝(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→)))2＝AB2＋eq \o(AD,\s\up16(→))2＋eq \o(AA1,\s\up16(→))2＋2(eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))·eq \o(AA1,\s\up16(→)))＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6. ∴|eq \o(AC1,\s\up16(→))|＝eq \r(6)，即对角线AC1的长为eq \r(6).故选B. 思考题4　在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，从同一顶点出发的三条棱的长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则对角线AC1的长为(　　) A.eq \r(2) B.eq \r(6) C．6 D.eq \r(5) 【解析】　∵|a|＝eq \r(13)，|b|＝5，a与b夹角的余弦值为－eq \f(9\r(13),65)，∴a在b上的投影向量为eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|)＝eq \f(\r(13)×5×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9\r(13),65))),5)·eq \f(b,5)＝－eq \f(9,5)·eq \f(b,5)＝－eq \f(9,25)b.故选D. (1)已知|a|＝eq \r(13)，|b|＝5，且a与b夹角的余弦值为－eq \f(9\r(13),65)，则a在b上的投影向量为(　　) A．－eq \f(9\r(13),13)b B.eq \f(9\r(13),13)b C.eq \f(9,25)b D．－eq \f(9,25)b 【思路分析】　根据平面向量数量积的定义及运算律求出a·b，(a＋b)·a，再根据a＋b在a上的投影向量等于eq \f(（a＋b）·a,|a|)·eq \f(a,|a|)计算其模． 【解析】　因为|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×2×cos 60°＝1，所以(a＋b)·a＝a2＋b·a＝12＋1＝2，所以a＋b在a上的投影向量为eq \f(（a＋b）·a,|a|)·eq \f(a,|a|)＝2a，其模为2.故选C. (2)已知|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，则a＋b在a上的投影向量的模是(　　) A．1　　 B.eq \f(2\r(7),7) 　　 C．2　　　 D.eq \f(\r(7),7) 向量a在向量b上的投影向量为eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|)＝|a|cos〈a，b〉eq \f(b,|b|). 【解析】　由题意，|a|＝eq \r(3)，|b|＝3，|a＋b|＝3eq \r(2)，可得|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝3＋9＋2a·b＝18，解得a·b＝3，所以向量a在向量b上的投影向量为eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|)＝eq \f(1,3)b，其模为1.故选A. 思考题5　(1)已知|a|＝eq \r(3)，|b|＝3，|a＋b|＝3eq \r(2)，则向量a在向量b上的投影向量的模为(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 【解析】　因为a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，所以(2a－b)·a＝2|a|2－a·b＝2×22－2×6×eq \f(1,2)＝2，所以2a－b在a上的投影向量为eq \f(（2a－b）·a,|a|)·eq \f(a,|a|)＝eq \f(1,2)a. eq \f(1,2)a 1．常见空间关系与向量运算之间的关系： (1)利用a⊥b⇔a·b＝0来求证线线垂直． (2)利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，得cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)，求两直线的夹角． (3)利用|a|2＝a·a，求解有关线段的长度问题． 2．向量作为沟通“数”和“形”的桥梁，是利用数形结合解题的一种重要载体．因此我们必须掌握向量运算的各种几何意义，才能较好地利用向量这一工具来解决一些实际问题． 解析　对于非零向量a，b，〈a，b〉与〈a，－b〉互补，A错误．由数量积的性质知B正确．a2＝b2，只能推出|a|＝|b|，而不能推出a＝±b，C错误．a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×2×eq \f(1,2)＝1，D错误．故选B. 1．下列说法正确的是(　　) A．对于非零向量a，b，〈a，b〉与〈a，－b〉相等 B．对于非零向量a，|a|＝eq \r(a·a) C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a，b的夹角为eq \f(π,3)，则a·b＝eq \r(3) 解析　因为eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(A′B′,\s\up16(→))，结合正方体的性质可得eq \o(A′B′,\s\up16(→))与eq \o(A′C′,\s\up16(→))的夹角为45°，所以eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(A′C′,\s\up16(→))的夹角为45°，故A正确；由eq \o(A′C′,\s\up16(→))与eq \o(C′A′,\s\up16(→))方向相反，结合A可知eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(C′A′,\s\up16(→))的夹角为135°，故B不正确；由正方体的性质eq \o(A′B′,\s\up16(→))与eq \o(A′D′,\s\up16(→))垂直，所以eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(A′D′,\s\up16(→))的夹角为90°，故C不正确；由eq \o(A′B′,\s\up16(→))与eq \o(B′A′,\s\up16(→))方向相反，所以eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(B′A′,\s\up16(→))的夹角为180°，故D不正确，故选A. 2.在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是(　　) A.eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(A′C′,\s\up16(→)) B.eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(C′A′,\s\up16(→)) C.eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(A′D′,\s\up16(→)) D.eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(B′A′,\s\up16(→)) 解析　eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))·(eq \o(OC,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→)))＝eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(OC,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(OB,\s\up16(→))＝|eq \o(OA,\s\up16(→))||eq \o(OC,\s\up16(→))|cos∠AOC－|eq \o(OA,\s\up16(→))||eq \o(OB,\s\up16(→))|cos∠AOB＝eq \f(1,2)|eq \o(OA,\s\up16(→))||eq \o(OC,\s\up16(→))|－eq \f(1,2)|eq \o(OA,\s\up16(→))||eq \o(OB,\s\up16(→))|＝0，所以eq \o(OA,\s\up16(→))⊥eq \o(BC,\s\up16(→)).所以cos〈eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))〉＝0. 3．已知空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq \f(π,3)，则cos〈eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))〉的值为(　　) A.eq \f(1,2)　　　　B.eq \f(\r(2),2) 　　　　C．－eq \f(1,2)　　　　D．0 解析　设a，b的夹角为α，由题得a2－2a·b＝5，所以a·b＝－2，所以b在a上的投影向量为eq \f(b·a,|a|)·eq \f(a,|a|)＝－2a. 2eq \r(29) 解析　∵eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))，∴eq \o(CD,\s\up16(→))2＝(eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→)))2＝eq \o(AB,\s\up16(→))2＋eq \o(AC,\s\up16(→))2＋eq \o(BD,\s\up16(→))2－2eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＋2eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BD,\s\up16(→))－2eq \o(AC,\s\up16(→))·eq \o(BD,\s\up16(→))＝16＋36＋64＝116，∴|eq \o(CD,\s\up16(→))|＝2eq \r(29). 【思路分析】　首先把向量eq \o(OG,\s\up16(→))和eq \o(BC,\s\up16(→))均用eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(OB,\s\up16(→))，eq \o(OC,\s\up16(→)) 表示出来，通过证明eq \o(OG,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝0来证得OG⊥BC. 【证明】　连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，eq \o(OC,\s\up16(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|.又eq \o(OG,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(OM,\s\up16(→))＋eq \o(ON,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up16(→))＋\f(1,2)（\o(OB,\s\up16(→))＋\o(OC,\s\up16(→))）))＝eq \f(1,4)(a＋b＋c)，eq \o(BC,\s\up16(→))＝c－b，∴eq \o(OG,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \f(1,4)(a＋b＋c)·(c－b)＝eq \f(1,4)(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)＝eq \f(1,4)(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0.∴eq \o(OG,\s\up16(→))⊥eq \o(BC,\s\up16(→))，即OG⊥BC. 【证明】　由底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD知，DA⊥BD，则eq \o(BD,\s\up16(→))·eq \o(DA,\s\up16(→))＝0.由PD⊥底面ABCD知，PD⊥BD，则eq \o(BD,\s\up16(→))·eq \o(PD,\s\up16(→))＝0.又eq \o(PA,\s\up16(→))＝eq \o(PD,\s\up16(→))＋eq \o(DA,\s\up16(→))，∴eq \o(PA,\s\up16(→))·eq \o(BD,\s\up16(→))＝(eq \o(PD,\s\up16(→))＋eq \o(DA,\s\up16(→)))·eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(PD,\s\up16(→))·eq \o(BD,\s\up16(→))＋eq \o(DA,\s\up16(→))·eq \o(BD,\s\up16(→))＝0，即PA⊥BD. $