专题1.5 平面上的距离重难点题型专训讲义（5个知识点+14大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

专题1.5 平面上的距离重难点题型专训 （5个知识点+14大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 求平面两点间的距离 题型二 由距离求点的坐标 题型三 用两点间的距离公式求函数最值 题型四 求点到直线的距离 题型五 已知点到直线距离求参数 题型六 求到两点距离相等的直线方程 题型七 求点关于直线的对称点 题型八 求两点的对称轴 题型九 光线反射问题(2)-直线关于直线对称 题型十 求平行线间的距离 题型十一 由距离求已知直线的平行线 题型十二 求直线关于点的对称直线 题型十三 将军饮马问题求最值 题型十四 直线关于直线对称问题 拓展训练一 距离公式的多元应用 拓展训练二 关于点与直线的对称及应用 知识点一：点到点的距离 1、距离公式：平面内两点，间的距离公式为：. 【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为： 2、三种特殊距离： （1）原点到任意一点的距离为； （2）当平行于轴时，； （3）当平行于轴时，. 3、中点坐标公式：若，，则线段的中点的坐标公式为： ，. 【即时训练】 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知三点，且，则有（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·全国·课后作业）已知点的坐标，线段中点的坐标为，则B点坐标为 ，为 . 知识点二：点到直线的距离 1、定义：点到直线的垂线段的长度. 2、距离公式：点到直线的距离. 【注意】（1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式. （2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离； （3）带你到直线的距离公式适用于任何情况，其中点在直线上时，它到直线的距离为0. 【即时训练】 1．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）点到直线的最大距离为（   ） A． B． C．4 D．6 2．（24-25高二上·重庆长寿·期末）点到直线的距离为 ． 知识点三：平行线间的距离 1、距离公式：两条平行直线，， 它们之间的距离为： 【注意】在使用公式时，两直线方程中和的系数对应相等。 2、两平行线间的距离另外一种解法： 转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点）， 此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离。 【即时训练】 1．（24-25高二上·广东汕头·期末）两条平行线：，：之间的距离等于（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知平行直线，则与的距离是 . 知识点四：点关于点的对称问题 1、实质：该点是两对称点连线段的中点 2、方法：利用中点坐标公式 平面内点关于对称点坐标为， 平面内点，关于点对称 【即时训练】 1．（23-24高一·全国·单元测试）已知点与点关于直线对称，则直线的方程是(　　) A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）已知点与点关于直线对称，则的值为 ． 知识点五：直线关于点的对称问题 1、实质：两直线平行 2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程） 法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等） 【即时训练】 1．（24-25高二·全国·单元测试）直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二·全国·单元测试）直线关于点的对称直线方程是 ． 【经典例题一 求平面两点间的距离】 【例1】（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知，是直线上的两点，若，则（    ） A．5 B． C．10 D． 【例2】（24-25高二上·全国·课前预习）已知平面内两点，，怎样求这两点间的距离？ 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知与两点间的距离为4，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（22-23高三上·北京朝阳·开学考试）在直角坐标系中，点和点是单位圆O上任意两点，且，则 ． 4．（2023高二上·江苏·专题练习）已知，为直角，，，建立适当的坐标系，写出顶点A，B，C的坐标，并求证斜边AC的中点M到三个顶点的距离相等． 【经典例题二 由距离求点的坐标】 【例1】（2024高二·全国·专题练习）已知点A（﹣2，﹣1），B（a，3）且|AB|＝5，则a等于（　　） A．1 B．﹣5 C．1或﹣5 D．其他值 【例2】（2023高二上·全国·专题练习）已知点，在y轴上求一点P，使，并求的值. 1．（22-23高二上·全国·阶段练习）已知菱形的对角线与轴平行，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一·全国·课后作业）一条平行于轴的线段长是5个单位，它的一个端点是，则它的另一个端点B的坐标为 (　　) A．(－3,1)或(7,1) B．(2,－2)或(2,7) C．(－3,1)或(5,1) D．(2,－3)或(2,5) 3．（23-24高二下·全国·课后作业）已知，且，则 ． 4．（24-25高二·全国·课后作业）已知，且，求a的值． 【经典例题三 用两点间的距离公式求函数最值】 【例1】（23-24高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高二·全国·随堂练习）求函数的最大值． 1．（23-24高二上·福建·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（    ）． A．3 B． C． D． 2．（22-23高二上·辽宁大连·阶段练习）代数式的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则的最小值为 ． 4．（23-24高二·江苏·课后作业）求函数的最小值． 【经典例题四 求点到直线的距离】 【例1】（2025·广东佛山·模拟预测）已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【例2】（2025高三·全国·专题练习）求点到下列直线的距离： (1)； (2)； (3)． 1．（24-25高二上·天津滨海新·期末）已知点，直线，则点到直线的距离为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 2．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海宝山·期中）点到直线的距离为 ． 4．（2024高三·全国·专题练习）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.例如原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积.”求出体积后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为，求所有侧面积之和的最小值”. 试给出问题“在平面直角坐标系中，求点到直线的距离”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.“逆向”问题可以是：__________. (1)求到直线的距离为2的点的轨迹方程. (2)若点到直线的距离为2，求直线的方程. 【经典例题五 已知点到直线距离求参数 】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）若点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【例2】（23-24高二·全国·课堂例题）若直线是如下几种特殊直线，请直接写出点到直线的距离． 若直线是如下几种特殊直线，请直接写出点到直线的距离. （1）点到轴的距离______; （2）点到轴的距离______ （3）点)到直线的距离______； （4）点到直线的距离______ 1．（24-25高二上·陕西汉中·期中）在平面内作直线，使得点、点到直线的距离分别为1和2，则这样的直线有（   ）条 A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知，两点到直线：的距离相等，则（   ）. A．2 B．4 C．1或4 D．2或4 3．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）已知两点到直线的距离相等，则符合条件的a的一个值为 ． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点到直线的距离为1，求实数的值． 【经典例题六 求到两点距离相等的直线方程】 【例1】（2022·吉林·三模）已知两点到直线的距离相等，则（    ） A．2 B． C．2或 D．2或 【例2】（24-25高二·全国·课后作业）直线l过点且到点和点的距离相等，求直线l的方程． 1．（24-25高二·全国·课后作业）已知直线过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（23-24高二上·湖南·期中）已知，，若，到直线的距离都等于，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．（22-23高二上·四川雅安·开学考试）到，的距离相等的动点P满足的方程是 . 4．（23-24高二·江苏·课后作业）求过点M(－2, 1)且与A(－1, 2), B(3, 0)两点距离相等的直线的方程． 【经典例题七 求点关于直线的对称点】 【例1】（24-25高二下·上海·阶段练习）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高二·全国·课后作业）若点关于直线对称的点是，求a、b的值． 1．（24-25高二上·甘肃·期末）在平面直角坐标系xOy中，记第一象限内的动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东清远·期中）已知点P在直线上，点，则的最小值为 4．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线和点 (1)请写出过点且与直线平行的直线； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 【经典例题八 求两点的对称轴】 【例1】（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·上海·课后作业）如图，OAB是一张三角形纸片，，，，设与、的交点分别为、，将沿直线折叠后，使落在边上的点处．设，试用表示点到距离． 1．（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）若点关于直线：（，）的对称点为，则（    ） A． B． C．3 D．5 2．（23-24高二上·四川内江·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏常州·期中）点与点关于直线l：对称，则的值为 ． 4．（22-23高二下·安徽安庆·开学考试）已知直线与交点为P，直线． (1)求过点P且倾斜角为的直线方程； (2)若点P关于直线的对称点在x轴上，求实数k的值 【经典例题九 光线反射问题(2)-直线关于直线对称】 【例1】（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·广东广州·期中）已知直角坐标平面内的两点. (1)求以向量为方向向量且过点的直线l的方程； (2)一束光线从点B射向y轴，反射后的光线过点A，求反射光线所在的直线方程. 1．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线过点，则入射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江西九江·阶段练习）一条沿直线传播的光线经过点和，然后被轴反射，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山西吕梁·期末）一条光线从点出发射到直线上的点B，经直线反射后，反射光线恰好经过点，则入射光线所在直线的斜率为 ． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）光线从点射出，到直线上的B点后被直线反射到y轴上C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点，求所在直线的方程. 【经典例题十 求平行线间的距离】 【例1】（2025高二·全国·专题练习）到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【例2】（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）（1）求直线与的交点的坐标； （2）求两条直线与间的距离. 1．（24-25高二下·湖南·阶段练习）直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D．1 2．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海奉贤·期末）若点在曲线上，点在曲线上，定义.已知有两条直线分别为：，：，则 . 4．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）的四条边所在直线的方程分别是，，，. (1)求对角线交点的坐标； (2)求的面积. 【经典例题十一 由距离求已知直线的平行线】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知两条平行直线与之间的距离为，则的值为（    ） A．或8 B．或9 C．或2 D．或2 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）求与直线平行且距离为3的直线的方程． 1．（23-24高二上·重庆·期末）冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋，由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂串成的冰糖葫芦在平面直角坐标系中的正投影（如图2所示）看成大小相同的圆，竹签看成一条经过所有圆心的线段，且山楂的半径为1，竹签所在的直线方程为，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖北十堰·阶段练习）到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 3．（24-25高二上·安徽六安·期中）平行于直线，且与它距离为的直线方程是 . 4．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）已知直线过点. (1)若直线在轴上的截距为3，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，且两条平行线间的距离为，求. 【经典例题十二 求直线关于点的对称直线】 【例1】（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）求直线关于点对称的直线l的方程． 1．（23-24高二·全国·课后作业）关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·河南南阳·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 3．（23-24高二上·山东·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 ． 4．（22-23高二·全国·课后作业）已知点的坐标为，直线的方程为，求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于点的对称直线的方程． 【经典例题十三 将军饮马问题求最值】 【例1】（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B．3 C． D．5 【例2】（23-24高二上·天津和平·阶段练习）已知，求的最小值． 1．（22-23高二上·安徽滁州·阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 （    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·四川成都·期中）已知两点A（2，3），B（3，2），点C在x轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C．2 D． 3．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知点是直线上一点，则的最小值为 ． 4．（23-24高二·全国·单元测试）如图，在一段直的河岸同侧有A、B两个村庄，相距5km，它们距河岸的距离分别为3km、6km．现在要在河边修一抽水站并铺设输水管道，同时向两个村庄供水．如果预计修建抽水站需8.25万元（含设备购置费和人工费），铺设输水管每米需用24.5元（含人工费和材料费）．现由镇政府拨款30万元，问A、B两村还需共同自筹资金多少才能完成此项工程？（精确到100元） （参考数据：，，，） 【经典例题十四 直线关于直线对称问题】 【例1】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线．求此直线分别关于坐标轴、坐标原点及直线、对称的直线的方程． 1．（24-25高二上·重庆渝中·期末）与直线关于x轴对称的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l：与直线关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程 .（用一般式方程表示）. 4．（22-23高二上·广东揭阳·阶段练习）已知直线过点和，直线：． (1)若直线关于直线的对称直线为，求直线的方程． (2)已知直线是过点的直线，点到直线的距离为，求直线的方程. 【拓展训练一 距离公式的多元应用】 【例1】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【例2】（24-25高二上·福建漳州·期中）已知的顶点为，，． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)直线l经过点A，且B，C两点到直线l的距离相等，求直线l的方程． 1．（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）过点的直线的斜率为 ，则（    ） A．10 B． C． D．180 2．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）可以转化为平面上点与点之间的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海普陀·期中）若直线与直线之间的距离为，则实数的值为 ； 4．（24-25高二上·浙江·期中）已知的顶点在直线上运动，点为，点为. (1)求直线的方程； (2)的面积是否为定值？若是，求出该值.若不是，说明理由. 【拓展训练二 关于点与直线的对称及应用】 【例1】（24-25高二上·北京·期末）点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二·江苏·课后作业）已知直线，求： (1)直线l关于点对称的直线的方程； (2)直线关于直线l对称的直线的方程． 1．（24-25高二上·河北唐山·期中）一条光线从点射出，与轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东深圳·期中）与直线关于轴对称的直线方程为（     ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点P在直线上，点，，则的最小值为 ，此时点P坐标为 4．（22-23高二上·黑龙江·阶段练习）已知点，直线.求： (1)直线l关于点A的对称直线的方程； (2)直线关于直线l的对称直线的方程. 1．（24-25高三下·浙江·开学考试）在等腰梯形中，．设是其内部一点，满足，，，，则（    ） A． B． C．2 D．3 2．（24-25高二上·北京·阶段练习）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知直线，（其中），当时，直线与直线的位置关系为（     ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．以上位置关系都有可能 4．（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知直线经过定点且与直线平行，若点和到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 6．（23-24高二上·全国·单元测试）已知直线与直线，在上任取一点，在上任取一点，连接AB，取AB的靠近点的四等分点，过点作的平行线，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知点为动点，且的面积为1，则动点的轨迹方程为（    ） A． B．或 C． D．或 8．（2025高三·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知点，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．10 10．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（24-25高二上·福建泉州·期中）函数的最小值为 ． 12．（24-25高二上·天津和平·开学考试）直线与之间的距离的最大值为 . 13．（24-25高二上·全国·单元测试）已知P，Q是直线：上两动点，且，点，则的最小值为 ． 14．（24-25高二上·内蒙古通辽·阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长是 . 15．（24-25高二上·重庆·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 . 16．（24-25高二上·全国·课后作业）△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用解析法证明：. 17．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于直线（A，B不同时为0）和点，定义点到直线的“特殊距离”，其中为非零常数. 已知直线，点，圆. (1)当时，求和的值. (2)若点是圆的动点，当时，求的最小值. (3)设直线，若存在点在直线上，使得，求实数的取值范围. 18．（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）已知的三个顶点是，，． (1)过点的直线与边相交于点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程； (2)求的角平分线所在直线的方程． 19．（24-25高二上·安徽合肥·期中）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 20．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 平面上的距离重难点题型专训 （5个知识点+14大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 求平面两点间的距离 题型二 由距离求点的坐标 题型三 用两点间的距离公式求函数最值 题型四 求点到直线的距离 题型五 已知点到直线距离求参数 题型六 求到两点距离相等的直线方程 题型七 求点关于直线的对称点 题型八 求两点的对称轴 题型九 光线反射问题(2)-直线关于直线对称 题型十 求平行线间的距离 题型十一 由距离求已知直线的平行线 题型十二 求直线关于点的对称直线 题型十三 将军饮马问题求最值 题型十四 直线关于直线对称问题 拓展训练一 距离公式的多元应用 拓展训练二 关于点与直线的对称及应用 知识点一：点到点的距离 1、距离公式：平面内两点，间的距离公式为：. 【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为： 2、三种特殊距离： （1）原点到任意一点的距离为； （2）当平行于轴时，； （3）当平行于轴时，. 3、中点坐标公式：若，，则线段的中点的坐标公式为： ，. 【即时训练】 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知三点，且，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点间的距离公式可得出关于的等式，由此化简可得解. 【详解】由题意可知， 即． 故选：A. 2．（23-24高二下·全国·课后作业）已知点的坐标，线段中点的坐标为，则B点坐标为 ，为 . 【答案】 25 【分析】设B点的坐标为，根据中点坐标公式列出关于的方程组，解出方程组即可得B点的坐标. 【详解】设B点的坐标为， ∵点A的坐标，线段中点的坐标为， ∴，解得， 即点的坐标为，所以 故答案为：；25. 知识点二：点到直线的距离 1、定义：点到直线的垂线段的长度. 2、距离公式：点到直线的距离. 【注意】（1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式. （2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离； （3）带你到直线的距离公式适用于任何情况，其中点在直线上时，它到直线的距离为0. 【即时训练】 1．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）点到直线的最大距离为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】先求出直线所过的定点，然后可知点到直线的最大距离即为该点到定点的距离. 【详解】由直线可知： 无论为何值，得，故直线一定经过. 由题意知：点到直线的最大距离, 即为点到定点的距离：. 故选：B. 2．（24-25高二上·重庆长寿·期末）点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】由点到线的距离公式求解即可； 【详解】由得到， 所以点到直线的距离为， 故答案为： 知识点三：平行线间的距离 1、距离公式：两条平行直线，， 它们之间的距离为： 【注意】在使用公式时，两直线方程中和的系数对应相等。 2、两平行线间的距离另外一种解法： 转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点）， 此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离。 【即时训练】 1．（24-25高二上·广东汕头·期末）两条平行线：，：之间的距离等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】直线：，即，而与直线：平行， 所以所求距离. 故选：A 2．（2025高三·全国·专题练习）已知平行直线，则与的距离是 . 【答案】/ 【分析】利用两平行线间的距离公式计算即可. 【详解】由题意，根据两平行线间的距离公式可得. 故答案为：. 知识点四：点关于点的对称问题 1、实质：该点是两对称点连线段的中点 2、方法：利用中点坐标公式 平面内点关于对称点坐标为， 平面内点，关于点对称 【即时训练】 1．（23-24高一·全国·单元测试）已知点与点关于直线对称，则直线的方程是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据，求出，设直线方程为，然后求出中点坐标，代入直线方程，解出即可. 【详解】 因为直线的斜率为,所以直线的斜率为1,设其方程为, 因为线段的中点坐标为, 所以,解得， 所以直线的方程是. 故选：D. 2．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）已知点与点关于直线对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】将线段的中点代入直线的方程中可得答案. 【详解】因为、，所以的中点为， 因为点与点关于直线对称，所以的中点在此直线上， 所以，即， 故答案为： 知识点五：直线关于点的对称问题 1、实质：两直线平行 2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程） 法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等） 【即时训练】 1．（24-25高二·全国·单元测试）直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果. 【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即. 故选：D. 2．（22-23高二·全国·单元测试）直线关于点的对称直线方程是 ． 【答案】 【分析】由直线关于点对称的直线与已知直线平行，设出所求直线方程，再根据点到两条直线的距离相等可解出答案. 【详解】设对称直线为， 则有，即 解这个方程得（舍）或. 所以对称直线的方程中. 故答案为：. 【经典例题一 求平面两点间的距离】 【例1】（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知，是直线上的两点，若，则（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】根据两点间的距离公式计算即可． 【详解】由题意得：，是直线上的两点， 则，， 若，则， 即， 则，则， 故． 故选：D 【例2】（24-25高二上·全国·课前预习）已知平面内两点，，怎样求这两点间的距离？ 【答案】答案见解析 【详解】我们可以将点，的坐标看作向量，的坐标，由向量的坐标运算，可得. 由于， 因此，可得平面内任意两点间的距离公式：. 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】因为， ， ， 所以，故为直角三角形． 故选：B. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知与两点间的距离为4，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据题意，利用两点间的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】因为与，可得， 即，解得或． 故选：A. 3．（22-23高三上·北京朝阳·开学考试）在直角坐标系中，点和点是单位圆O上任意两点，且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用两点间距离公式列式计算即得. 【详解】依题意，，即， 而，所以. 故答案为： 4．（2023高二上·江苏·专题练习）已知，为直角，，，建立适当的坐标系，写出顶点A，B，C的坐标，并求证斜边AC的中点M到三个顶点的距离相等． 【答案】答案见解析，证明见解析 【分析】建立平面直角坐标系，求出各点的坐标，利用两点间距离公式证明结论. 【详解】以B为坐标原点，以边BA所在的直线为x轴，边BC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则三个顶点的坐标分别为，，． 由中点坐标公式得斜边AC的中点M的坐标为. 所以， ， . 所以. 【经典例题二 由距离求点的坐标】 【例1】（2024高二·全国·专题练习）已知点A（﹣2，﹣1），B（a，3）且|AB|＝5，则a等于（　　） A．1 B．﹣5 C．1或﹣5 D．其他值 【答案】C 【分析】利用两点间的距离公式列方程，化简求得的值. 【详解】∵点A（﹣2，﹣1），B（a，3）且|AB|＝5， ∴5， 解得a＝1或a＝﹣5． 故选：C 【例2】（2023高二上·全国·专题练习）已知点，在y轴上求一点P，使，并求的值. 【答案】 【分析】通过两点距离公式联立求解即可. 【详解】设所求点为， 则， ， 由得 解得， 所以，所求点， . 1．（22-23高二上·全国·阶段练习）已知菱形的对角线与轴平行，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形对角线互相垂直可知轴，则可设，由可构造方程求得结果. 【详解】四边形为菱形，轴，轴，可设， ，， 解得：（舍）或，. 故选：A. 2．（23-24高一·全国·课后作业）一条平行于轴的线段长是5个单位，它的一个端点是，则它的另一个端点B的坐标为 (　　) A．(－3,1)或(7,1) B．(2,－2)或(2,7) C．(－3,1)或(5,1) D．(2,－3)或(2,5) 【答案】A 【分析】由线段平行于轴可设为，结合即可求解. 【详解】∵轴，∴设为， 又，∴或7. 故选：A. 3．（23-24高二下·全国·课后作业）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，直接根据平面直角坐标系上两点的距离公式，即可求解. 【详解】因为且，所以，解得 故答案为： 4．（24-25高二·全国·课后作业）已知，且，求a的值． 【答案】 【分析】直接根据平面直角坐标系上两点的距离公式计算可得； 【详解】解：因为且，所以，解得 【经典例题三 用两点间的距离公式求函数最值】 【例1】（23-24高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，可知当A，P，B三点共线时取得最小值可得答案. 【详解】， 则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和， 即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值， 即． 故选：A. 【例2】（22-23高二·全国·随堂练习）求函数的最大值． 【答案】 【分析】可表示为、的距离减去、的距离，然后可得答案. 【详解】表示、的距离， 表示、的距离，所以， 因为， 所以. 1．（23-24高二上·福建·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（    ）． A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】把目标式进行转化，看作动点到两个定点距离和的最值，利用对称性可得答案. 【详解】, 可以看作点到点的距离之和， 作点关于轴的对称点，显然当三点共线时，取到最小值， 最小值为间的距离. 故选：D. 2．（22-23高二上·辽宁大连·阶段练习）代数式的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两点之间距离公式分析出表示到、的距离之和，求出关于对称点为，连接交于点，此时最小. 【详解】 由两点之间距离公式可以得到表示点到的距离，表示点到的距离， 所以代数式表示，由图像可知在在运动，所以易得关于对称点为， 连接交于点，此时最小，最小值为. 故选：B. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】整理函数解析式，可转化为到点的距离之和，结合图象，可得答案. 【详解】， 转化为x轴上的动点到两定点，的距离之和最小， 由图可知，距离之和的最小值为5． 故答案为：. 4．（23-24高二·江苏·课后作业）求函数的最小值． 【答案】 【分析】化简，转化为到点距离之和，结合对称法，即可求解． 【详解】由题意，函数 ， 根据两点距离公式的几何意义得，函数表示到点距离之和， 如图所示，作出点关于的对称点， 连接，交轴于点，连接， 可得 又由， 当且仅当点与重合时，等号成立， 所以，即函数的最小值为． 【经典例题四 求点到直线的距离】 【例1】（2025·广东佛山·模拟预测）已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】为直线上的点到原点距离的平方，利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】为直线上的点到原点距离的平方， 所以的最小值为原点到直线的距离的平方， 又原点到直线的距离， 所以的最小值为1． 故选：D. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）求点到下列直线的距离： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）先将直线方程化为一般式；再根据点到直线距离公式即可求解.． （2）特殊状态的直线可数形结合解决． （3）特殊状态的直线可数形结合解决. 【详解】（1）将化为一般式：. 由点到直线距离公式可得： 点到该直线的距离为. （2）将化为：，    因为该直线平行于轴， 所以点到该直线的距离为 （3）因为直线平行于轴， 所以点到该直线的距离为. 1．（24-25高二上·天津滨海新·期末）已知点，直线，则点到直线的距离为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】由点到直线距离公式计算 【详解】由已知所求距离为， 故选：B． 2．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】点到直线的距离. 故选： 3．（24-25高二下·上海宝山·期中）点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】由点到线的距离公式即可求解. 【详解】点到直线的距离为， 故答案为： 4．（2024高三·全国·专题练习）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.例如原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积.”求出体积后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为，求所有侧面积之和的最小值”. 试给出问题“在平面直角坐标系中，求点到直线的距离”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.“逆向”问题可以是：__________. (1)求到直线的距离为2的点的轨迹方程. (2)若点到直线的距离为2，求直线的方程. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）设所求轨迹上任意一点为，点到直线的距离公式求解； （2）由点到直线的距离公式求解. 【详解】（1）解：设所求轨迹上任意一点为，则. 所求轨迹方程为或. （2）解：因为点到直线的距离为2， 所以，化简得，即或， 所以，直线的方程为或. 【经典例题五 已知点到直线距离求参数 】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）若点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式得到方程，解得即可. 【详解】点到直线的距离公式得，解得或． 故选：C 【例2】（23-24高二·全国·课堂例题）若直线是如下几种特殊直线，请直接写出点到直线的距离． 若直线是如下几种特殊直线，请直接写出点到直线的距离. （1）点到轴的距离______; （2）点到轴的距离______ （3）点)到直线的距离______； （4）点到直线的距离______ 【答案】答案见解析 【详解】（1）点到x轴的距离； （2）点到y轴的距离； （3）点到直线的距离； （4）点到直线的距离． 1．（24-25高二上·陕西汉中·期中）在平面内作直线，使得点、点到直线的距离分别为1和2，则这样的直线有（   ）条 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】当斜率存在时，设直线方程，根据点到直线的距离公式列方程组求解可得. 【详解】易知，当直线的斜率不存在时不满足题意； 过点作垂直于直线，垂直分别为， 则，所以，所以， 又，所以直线过原点， 设直线方程为，即， 由题知，，解得或或， 所以满足条件的直线有4条. 故选：A 2．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知，两点到直线：的距离相等，则（   ）. A．2 B．4 C．1或4 D．2或4 【答案】D 【分析】由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】因为，两点到直线：的距离相等， 所以，所以，所以或， 故选：D. 3．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）已知两点到直线的距离相等，则符合条件的a的一个值为 ． 【答案】或4 【分析】由点到线的距离公式列出等式求解即可； 【详解】两点到直线的距离相等，则， 解得或4． 故答案为：或4 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点到直线的距离为1，求实数的值． 【答案】0 【分析】根据点到直线的距离公式列出方程，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 解得，. 【经典例题六 求到两点距离相等的直线方程】 【例1】（2022·吉林·三模）已知两点到直线的距离相等，则（    ） A．2 B． C．2或 D．2或 【答案】D 【分析】分在的同侧和异侧分类讨论求解. 【详解】（1）若在的同侧， 则，所以，， （2）若在的异侧， 则的中点在直线上， 所以解得, 故选:D. 【例2】（24-25高二·全国·课后作业）直线l过点且到点和点的距离相等，求直线l的方程． 【答案】或 【分析】解法1：直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由直线l到点和点的距离相等求解；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程成立； 解法2：分，则和l过AB中点求解； 【详解】解法1：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即． 由题意知，即，∴， ∴直线l的方程为，即． 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，也符合题意． 解法2：当时，，直线l的方程为，即． 当l过AB中点时，AB的中点为，∴直线l的方程为． 故所求直线l的方程为或． 1．（24-25高二·全国·课后作业）已知直线过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】设出直线方程，根据点到直线距离公式建立关系可求解. 【详解】由题可知，直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，即， 根据点，到直线的距离相等，得，解得或， 故直线的方程为或. 故选：A. 2．（23-24高二上·湖南·期中）已知，，若，到直线的距离都等于，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】分别研究位于直线同侧以及位于直线两侧时的情况，即可得出答案. 【详解】当位于直线同侧时，只有时，且两平行线之间的距离为时，满足条件，这样的直线有2条； 又， 所以位于直线两侧时，只有当直线恰为直线的中垂线时，满足条件，此时的直线有1条. 综上所述，满足条件的直线共有3条. 故选：C． 3．（22-23高二上·四川雅安·开学考试）到，的距离相等的动点P满足的方程是 . 【答案】（或） 【分析】根据题意，设点，由结合两点间距离公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设点，由题意可得， 则， 即， 化简可得. 即动点P满足的方程是. 故答案为：. 4．（23-24高二·江苏·课后作业）求过点M(－2, 1)且与A(－1, 2), B(3, 0)两点距离相等的直线的方程． 【答案】y＝1或x＋2y＝0 【分析】直线斜率存在时设出直线方程，由点到直线距离公式列方程求得参数值得直线方程，再确定斜率不存在的直线是否符合题意即可得． 【详解】解：当斜率存在时，设直线方程为y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0. 由条件得＝， 解得k＝0或k＝－， 时，，， 时，． 故所求的直线方程为y＝1或x＋2y＝0. 当斜率不存在时，不符合题意． 综上，直线方程为y＝1或x＋2y＝0. 【经典例题七 求点关于直线的对称点】 【例1】（24-25高二下·上海·阶段练习）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点关于直线的对称点为，列出方程组，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即. 故选：C. 【例2】（22-23高二·全国·课后作业）若点关于直线对称的点是，求a、b的值． 【答案】，. 【分析】根据点关于线对称的性质，结合斜率公式、中点坐标公式进行求解即可. 【详解】因为点关于直线对称的点是， 所以有，解得，. 1．（24-25高二上·甘肃·期末）在平面直角坐标系xOy中，记第一象限内的动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】作点O关于直线的对称点C，则．点P到y轴的距离为，故可视为直线上的点到y轴的距离和到的距离之和． 【详解】如图： 作点O关于直线的对称点C，则． 设，则有解得所以． 已知第一象限内的点，则， 而，，所以点P到y轴的距离为， 所以可视为直线上的点到y轴的距离和到的距离之和． 过P作轴，显然有， 当且仅当C，P，D三点共线时，和有最小值． 过点C作轴，则即为最小值， 此时P的位置即为CH与直线的交点． 因为，所以的最小值为4． 故选：B. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率关系以及中点关系，即可列方程求解. 【详解】设关于直线的对称点坐标为， 则，解得，故对称点坐标为， 故选：B 3．（24-25高二上·广东清远·期中）已知点P在直线上，点，则的最小值为 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点后可求线段差的最小值. 【详解】如图，设关于直线的对称点为，则， 解得，则， 于是， 结合图形知，当三点共线时，此时取得最小值， 即取得最小值为 故答案为： 4．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线和点 (1)请写出过点且与直线平行的直线； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设过点且与直线平行的直线为，再将点的坐标代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，设，列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设过点且与直线平行的直线为， 将代入，可得，所以直线方程为. （2）设，由题意可得，解得， 所以点的坐标为. 【经典例题八 求两点的对称轴】 【例1】（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 【例2】（24-25高二上·上海·课后作业）如图，OAB是一张三角形纸片，，，，设与、的交点分别为、，将沿直线折叠后，使落在边上的点处．设，试用表示点到距离． 【答案】 【分析】利用点与关于直线对称，求直线的方程，再与直线方程联立，求点的坐标，即可求点到的距离. 【详解】以为原点，边所在的直线分别为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设，因为，所以． 连接，因为点与点对称，所以． 当时，直线的斜率不存在，此时直线的方程为，点到的距离为．当时，．因为的中点为， 从而直线的方程为， 即．① 又直线的方程为，② 由①②解得，即点的横坐标为， 所以点到距离为. 当时也满足上式． 所以点到距离为. 1．（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）若点关于直线：（，）的对称点为，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据两点关于直线对称，利用斜率关系求直线斜率，再由中点在直线上得解. 【详解】直线的斜率为，直线为线段的中垂线，从而， 又线段的中点在上，故，解得. 故选：D. 2．（23-24高二上·四川内江·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意直线为线段的中垂线，先求出直线的斜率及中点坐标，再根据两直线垂直的性质得到直线的斜率，最后利用点斜式求出方程，化简即可得出. 【详解】因为点关于直线对称的点为，所以直线为线段的中垂线， 因为，中点为，且， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为即. 故选：D 3．（24-25高二上·江苏常州·期中）点与点关于直线l：对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据垂直关系和中点在直线上可求，从而可求的值. 【详解】因为，故，而的中点为， 故，所以，所以， 故答案为：. 4．（22-23高二下·安徽安庆·开学考试）已知直线与交点为P，直线． (1)求过点P且倾斜角为的直线方程； (2)若点P关于直线的对称点在x轴上，求实数k的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先联立直线和的方程求得交点的坐标，再由直线的点斜式方程，即可求解； （2）设点P的对称点，结合点关于直线对称的条件得到，即可求解. 【详解】（1）联立直线和得：，解得，所以， 又过点P的直线的倾斜角为，则过点P的直线的斜率 由点斜式得， 即过点的直线方程为； （2）由（1）知， 由题意设点P的对称点， 则有， 消去m，得．解得， 故实数k的值为. 【经典例题九 光线反射问题(2)-直线关于直线对称】 【例1】（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出关于直线的对称点为的坐标，由都在反射光线所在直线上得直线方程． 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以反射光线所在直线方程为，即． 故选：B． 【例2】（23-24高二上·广东广州·期中）已知直角坐标平面内的两点. (1)求以向量为方向向量且过点的直线l的方程； (2)一束光线从点B射向y轴，反射后的光线过点A，求反射光线所在的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的斜率，进而求出方程； （2）求出关于轴对称点的坐标，即可求反射光线所在的直线方程． 【详解】（1）由直线的方向向量与其斜率间的关系可知直线的斜率为， 由直线方程的点斜式得直线的方程为， 即； （2）设关于轴的对称点为，则点， 所以， 则直线， 即反射光线所在的直线方程为． 1．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线过点，则入射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出关于直线的对称点，再求出与所在的直线方程即为入射光线所在直线的方程. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则解得即. 所以人射光线所在直线的方程为，即. 故选：A 2．（23-24高二上·江西九江·阶段练习）一条沿直线传播的光线经过点和，然后被轴反射，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出关于轴的对称点坐标，由这两个对称点在反射光线所在直线求得直线方程． 【详解】由题意两点关于轴的对称点分别为，， 直线方程为，即即为反射光线所在直线方程． 故选：C． 3．（24-25高二上·山西吕梁·期末）一条光线从点出发射到直线上的点B，经直线反射后，反射光线恰好经过点，则入射光线所在直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】由对称性，求得关于的对称点，即可求解； 【详解】点关于直线的对称点为， 由题知，入射光线所在的直线经过点和点， 且． 故答案为：． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）光线从点射出，到直线上的B点后被直线反射到y轴上C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点，求所在直线的方程. 【答案】 【分析】画出图形，分析可得所在直线经过点B与点C即可求出. 【详解】解析作出草图，如图所示，设A关于直线的对称点为，D关于y轴的对称点为， 则易得.由反射角等于入射角可得所在直线经过点B与点C. 故所在直线的方程为，即. 【经典例题十 求平行线间的距离】 【例1】（2025高二·全国·专题练习）到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设出直线方程，根据点到直线距离公式得到方程，求出答案. 【详解】设所求直线方程为．由题意知，解得或， 即所求直线方程为或． 故选：D． 【例2】（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）（1）求直线与的交点的坐标； （2）求两条直线与间的距离. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）联立直线方程求解即可得交点； （2）将方程化为，由平行直线间的距离公式求解. 【详解】（1）联立，得， 故直线与的交点的坐标为． （2）方程可化为， 所以两条直线与间的距离. 1．（24-25高二下·湖南·阶段练习）直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】可变为，则两条平行直线间的距离为． 故选：C. 2．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两条平行直线间的距离公式即可. 【详解】可变为， 则两条平行直线间的距离为. 故选：B 3．（24-25高二下·上海奉贤·期末）若点在曲线上，点在曲线上，定义.已知有两条直线分别为：，：，则 . 【答案】 【分析】根据给定的定义，利用平行线间距离公式求解即得. 【详解】直线的方程化为：，显然， 所以. 故答案为： 4．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）的四条边所在直线的方程分别是，，，. (1)求对角线交点的坐标； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立四条边所在直线方程可求得顶点坐标，再由中点坐标公式可求得结果； （2）由两点坐标求得线段长，再利用两平行线间的距离公式计算可得结果. 【详解】（1）根据题意联立直线方程，解得，不妨取交点为； 同理联立可得，联立可得，联立可得； 对角线交点坐标即为中点坐标，即， 即对角线交点的坐标为 （2）易知， 点到边的高即为两平行线之间的距离，即， 所以的面积为. 【经典例题十一 由距离求已知直线的平行线】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知两条平行直线与之间的距离为，则的值为（    ） A．或8 B．或9 C．或2 D．或2 【答案】A 【分析】根据题意，结合两平行线间的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】因为两条平行直线与之间的距离为， 由两平行线间的距离公式，可得，解得或． 故选：A. 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）求与直线平行且距离为3的直线的方程． 【答案】或. 【分析】根据题意，设直线方程为，再结合两平行直线距离公式即可得到结果. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 因为两平行直线距离为3，即，解得或， 故所求方程为或. 1．（23-24高二上·重庆·期末）冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋，由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂串成的冰糖葫芦在平面直角坐标系中的正投影（如图2所示）看成大小相同的圆，竹签看成一条经过所有圆心的线段，且山楂的半径为1，竹签所在的直线方程为，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线间的距离公式列式计算即可. 【详解】设与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为， 则由平行线间的距离公式得，得 故选：B. 2．（23-24高二上·湖北十堰·阶段练习）到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】设所求的直线方程为，根据平行线间距离公式列方程即可求出，得出答案. 【详解】设所求的直线方程为， 由题意得，解得或， 所以所求直线方程为或. 故选：B 3．（24-25高二上·安徽六安·期中）平行于直线，且与它距离为的直线方程是 . 【答案】或 【分析】设所求直线方程为，利用两平行直线间的距离公式即可求解． 【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为， 由两平行直线间的距离公式可得，解得或， 故所求直线方程为或． 故答案为：或． 4．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）已知直线过点. (1)若直线在轴上的截距为3，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，且两条平行线间的距离为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据直线上的两点求出斜率，即可得出答案； （2）设出直线的方程，代入点的坐标，求出方程.根据两条平行直线之间的距离公式，列出方程，即可得出答案. 【详解】（1）由条件可知，直线过点和， 所以直线的斜率 所以所求直线的方程为，即 （2）设所求的直线的方程为 则有，得，即直线的方程为 ∵与直线间的距离为， ∴，整理可得. 又，∴ 【经典例题十二 求直线关于点的对称直线】 【例1】（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【答案】C 【分析】根据两直线关于点对称，利用中点坐标公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上. 【详解】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C. 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）求直线关于点对称的直线l的方程． 【答案】． 【分析】解法一设，得到对称点坐标，再代入直线即可得到答案；解法二在直线上取两特殊点，得到其关于的对称点，则得到直线l方程；解法三根据对称特点设l的方程为，代入一个具体的对称点坐标即可得到答案. 【详解】解法一:设直线l上任意一点M的坐标为， 则此点关于点的对称点为， 且在直线上， 所以， 即． 所以所求直线l的方程为． 解法二：在直线上取两点， 则点关于点的对称点为，即 点关于点的对称点为， ，所以直线的方程为 化简得， 即所求直线l的方程为． 解法三：由平面几何知识易知所求直线l与直线平行， 则可设l的方程为． 在直线上取一点， 则点关于点的对称点在直线上， 所以，所以， 所以所求直线l的方程为． 1．（23-24高二·全国·课后作业）关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程中的换为，换为，即可得到关于原点对称的直线方程. 【详解】解：对于直线，将换为，换为得到，即， 所以直线关于原点对称的直线是. 故选：C 2．（22-23高二上·河南南阳·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【答案】B 【分析】首先设对称直线上任意一点，得到关于对称点为，再代入直线即可得到答案。 【详解】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。 故选：B 3．（23-24高二上·山东·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 ． 【答案】 【分析】在直线上取点、，求出这两点关于点的对称点的坐标，并求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】在直线上取点、， 点关于点的对称点为，点关于点的对称点为， 直线的斜率为， 所以，所求直线方程为，即. 故答案为：. 4．（22-23高二·全国·课后作业）已知点的坐标为，直线的方程为，求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于点的对称直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于线对称列式求解即可； （2）根据相关点法分析运算即可. 【详解】（1）设，由题意可得，解得， 所以点的坐标为. （2）在直线上任取一点，设关于点的对称点为， 则，解得， 由于在直线上，则，即， 故直线关于点的对称直线的方程为. 【经典例题十三 将军饮马问题求最值】 【例1】（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【分析】根据两点间线段最短，结合中点坐标公式、互相垂直直线斜率的性质进行求解即可. 【详解】设点关于直线对称的点为， 则有， 所以“将军饮马”的最短总路程为， 故选：C 【例2】（23-24高二上·天津和平·阶段练习）已知，求的最小值． 【答案】 【分析】将目标式理解为点到点和的距离之和，求得点关于直线的对称点，数形结合即可求得最小值. 【详解】设点的坐标为， 则表示点到点和的距离之和， 点为直线上一个动点，作图如下：    不妨设点关于直线的对称点为， 则，解得，故， ， 当且仅当三点共线时取得等号； 故的最小值为. 1．（22-23高二上·安徽滁州·阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，数形结合可得出“将军饮马”的最短总路程为，利用平面内两点间的距离公式可求得结果. 【详解】点关于直线的对称点为，如下图所示： 在直线上任取一点，由对称性可知， 所以，， 当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立， 故“将军饮马”的最短总路程为. 故选：B. 2．（22-23高二上·四川成都·期中）已知两点A（2，3），B（3，2），点C在x轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C．2 D． 【答案】B 【分析】 点关于轴的对称点为，则求出最小值即可得出答案. 【详解】点关于轴的对称点为，则， 所以， 的最小值为. 故选：B. 3．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知点是直线上一点，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】根据点关于直线对称，可得可得对称点为，即可利用三点共线求解. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得， 故，故, 故最小值为：5 4．（23-24高二·全国·单元测试）如图，在一段直的河岸同侧有A、B两个村庄，相距5km，它们距河岸的距离分别为3km、6km．现在要在河边修一抽水站并铺设输水管道，同时向两个村庄供水．如果预计修建抽水站需8.25万元（含设备购置费和人工费），铺设输水管每米需用24.5元（含人工费和材料费）．现由镇政府拨款30万元，问A、B两村还需共同自筹资金多少才能完成此项工程？（精确到100元） （参考数据：，，，） 【答案】需要两村共同自筹资金23900元 【分析】建立直角坐标系,利用关于轴的对称点求出铺设的输水管道最短距离，再结合已知条件可求出结果. 【详解】建立直角坐标系如图所示，则． 由，可知，那么点A关于x轴的对称点． 连接交x轴于点C． 由平面几何知识可知，当抽水站建在C处时，铺设的输水管道最短． ∵，∴（km）， ∴铺设管道所需资金为（元）， 总费用（元）． ∴（元）． 答：需要两村共同自筹资金23900元． 【经典例题十四 直线关于直线对称问题】 【例1】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求直线上任意一点的坐标为，利用对称的性质得到点P关于直线对称的点为代入直线即可求得结果. 【详解】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为， 则,故对称点坐标为，代入直线上，， 故选：D 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线．求此直线分别关于坐标轴、坐标原点及直线、对称的直线的方程． 【答案】答案见解析 【分析】根据直线关于直线对称的变换规则计算可得. 【详解】直线， 在原方程中用代即得到直线关于轴对称的直线方程， 故直线关于轴对称得到； 在原方程中用代即得到直线关于轴对称的直线方程， 故直线关于轴对称得到； 在原方程中用代、用代即得到直线关于原点对称的直线方程， 故直线关于原点对称得到； 在原方程中以代，以代即得到直线关于直线对称的直线方程， 故直线关于直线对称的直线方程为； 在原方程中以代，以代即得到直线关于直线对称， 故直线关于直线对称的直线方程为，即； 1．（24-25高二上·重庆渝中·期末）与直线关于x轴对称的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上，即可确定所求的直线. 【详解】若在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上， 显然在A中的直线上，但不在B、C、D中的直线上. 故选：A 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l：与直线关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称性的性质，用代，以代进行求解即可. 【详解】因为直线l：与直线关于直线对称， 所以在方程中，用代，以代，得， 化简，得， 故选：A 3．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程 .（用一般式方程表示）. 【答案】 【分析】联立方程组求出两直线交点坐标，在直线任取一点，设出其关于对称点坐标，由垂直斜率的关系和中点坐标建立方程组，求得对称点坐标，由两点坐标求得对称直线方程. 【详解】联立，得，则两直线的交点为， 在直线上取点，设其关于的对称点为， 则，得，则. 故直线关于直线的对称直线为， 又，所以直线，即. 故答案为：. 4．（22-23高二上·广东揭阳·阶段练习）已知直线过点和，直线：． (1)若直线关于直线的对称直线为，求直线的方程． (2)已知直线是过点的直线，点到直线的距离为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）求得直线上一点关于直线的对称点，结合与的交点求得直线的方程. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离求得直线的方程. 【详解】（1）直线的方程为，即， 取直线上的一点，设关于直线的对称点为， 则，解得. 由解得， 所以直线过点和点， 所以直线的方程为，即. （2）直线斜率不存在时，可得， 点与直线的距离为，符合题意. 当直线斜率存在时，设直线斜率为， 故可得直线的方程为， 即， 因为点到直线的距离为， 即， 解得， 故可得直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为：或． 【拓展训练一 距离公式的多元应用】 【例1】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据两点距离公式，结合直线方程即可求解. 【详解】， 表示平面上点与点，的距离和， 连接，与轴交于，此时直线方程为， 令，则 的最小值为，此时 故选：C． 【例2】（24-25高二上·福建漳州·期中）已知的顶点为，，． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)直线l经过点A，且B，C两点到直线l的距离相等，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）法一、利用两点斜率公式及直线垂直的充要条件，结合点斜式可得，法二、利用两点斜率公式及直线的点法式计算即可； （2）法一、分类讨论直线斜率是否存在结合点到直线的距离公式计算即可；法二、确定直线过中点或与平行，根据平行的充要条件及两点式计算即可. 【详解】（1）法一：依题意，有，所以AD的斜率为2， 所以AD所在直线的方程为，即． 法二：依题意，有，即直线AD的一个法向量为． 由直线的点法式，可得直线AD所在的直线的方程为：， 即． （2）法一：（i）当直线l的斜率不存在时，直线．B，C两点到直线l的距离分别为2和6， 不符合题意． （ii）当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为， 即． 依题意，有，即， 所以或，解得或． 所以直线的方程为或． 法二：因为直线l经过点A，且B，C两点到直线l的距离相等， 所以直线l与直线BC平行，或过线段BC的中点． （i）当直线l与直线BC平行时，直线BC的斜率为， 所以直线的方程为，即． （ii）当直线l过线段BC的中点时，线段BC的中点为， 所以直线的方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． 1．（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）过点的直线的斜率为 ，则（    ） A．10 B． C． D．180 【答案】B 【分析】由斜率公式求得，再根据两点之间距离公式计算即可． 【详解】由题意得，，解得， 所以，所以， 故选：B． 2．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）可以转化为平面上点与点之间的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数变形，设，，，则表示的几何意义为的长，作出辅助线，由几何关系得到最小值，得到答案. 【详解】， 设，，， 故表示的几何意义为的长， 如图所示，取点关于轴的对称点，连接， 则的长即为的最小值，即最小值为. 故选：B 3．（24-25高二下·上海普陀·期中）若直线与直线之间的距离为，则实数的值为 ； 【答案】或 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式列式求出值. 【详解】直线，即与直线之间的距离为， 则，解得或，经验证，符合题意， 所以实数的值为或. 故答案为：或 4．（24-25高二上·浙江·期中）已知的顶点在直线上运动，点为，点为. (1)求直线的方程； (2)的面积是否为定值？若是，求出该值.若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）利用斜率公式及点斜式方程即可求解； （2）由题意得，利用两平行直线的距离公式、两点间的距离公式及面积公式即可求解. 【详解】（1）由，得， 由点斜式方程，化简得. （2）的面积为定值， 由于，故， 又点在直线上运动， 故点到直线的距离为定值，即为两平行直线的距离， ， ， . 【拓展训练二 关于点与直线的对称及应用】 【例1】（24-25高二上·北京·期末）点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】使用待定系数法结合直线对称的几何关系求解即可. 【详解】设对称点的坐标为则解得： 故选：B. 【例2】（23-24高二·江苏·课后作业）已知直线，求： (1)直线l关于点对称的直线的方程； (2)直线关于直线l对称的直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线关于的对称直线上任意一点为，求得点关于点的对称点，代入直线，即可求解； （2）由，两直线的交点坐标为，再在直线上取一点，求得关于直线的对称点，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】（1）解：设直线关于的对称直线上任意一点为， 则点关于点的对称为， 则，解得，即, 将点代入直线，可得， 整理得，即对称直线的方程为. （2）解：由，解得， 即直线与的交点坐标为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 又由，所以直线的方程为， 整理得， 即直线关于直线l对称的直线的方程为. 1．（24-25高二上·河北唐山·期中）一条光线从点射出，与轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称点在反射光线上，即可根据两点求解斜率，即可得直线方程. 【详解】点关于轴的对称点为， 故，在反射光线所在的直线上，故， 直线方程为，即， 故选：C 2．（23-24高二上·广东深圳·期中）与直线关于轴对称的直线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在所求直线上任取一点，则点关于轴的对称点在直线，将点的坐标代入直线的方程，可求出所求直线的方程. 【分析】在所求直线上任取一点，则点关于轴的对称点在直线上， 故所求直线方程为，即. 故选：A. 3．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点P在直线上，点，，则的最小值为 ，此时点P坐标为 【答案】 【分析】作图分析，结合对称性将转化为，则点与在同一直线时，最小，求得此时点坐标即可. 【详解】如图， 设关于直线的对称点为，则， 解得，则，于是， 结合图形知，当三点共线时，此时取得最小值，即在点位置时， 而，直线为， 由，得点，因此取得最小值时点坐标为. 故答案为：； 4．（22-23高二上·黑龙江·阶段练习）已知点，直线.求： (1)直线l关于点A的对称直线的方程； (2)直线关于直线l的对称直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在直线上任取两个不同的点，求出这两个点关于对称的点，再根据点斜式方程即可得解； （2）求出两直线的交点，在直线任取一点，求出此点关于直线l对称的点，再根据点斜式方程即可得解. 【详解】（1）解：由直线， 可得直线上的两点， 设两点关于对称的点分别为， 则两点在直线上， 则，解得，故， ，解得，故， 则， 所以直线的方程为，即； （2）解：联立，解得， 即直线与直线的交点坐标为， 在直线上取点， 设点关于直线l对称的点为， 则直线过点和点， 当时，点和点所在直线与直线不垂直， 所以， 则，解得，即， 则， 所以直线的方程为，即. 1．（24-25高三下·浙江·开学考试）在等腰梯形中，．设是其内部一点，满足，，，，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】建立直角坐标系，利用两点的距离公式求解即可. 【详解】由题意，以中点为原点，所在直线为轴建立如图所示坐标系， 设，，，，，其中， 则由题意可得①，②， ③，④， ④①得，③②得，所以， 所以， 故选：D 2．（24-25高二上·北京·阶段练习）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 【答案】C 【分析】通过消元，将所求转化为，分析该式子的几何意义为轴上某动点到两定点的距离之和，利用的性质，即可得出所求最小值. 【详解】因为点在直线上运动，所以， 所以， 表示轴上一点到两定点的距离之和. 在轴两侧，因为中，两边之和大于第三边，所以， 当三点共线时，，此时最小值为， 即的最小值为. 故选：C. 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知直线，（其中），当时，直线与直线的位置关系为（     ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．以上位置关系都有可能 【答案】C 【分析】应用点到直线距离计算判定两条直线位置关系即可. 【详解】直线，（其中）， 当时，在直线的同侧， 所以，所以，所以到直线的距离大于到直线的距离， 所以直线与直线不平行， 所以直线与直线相交， 故选：C. 4．（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知直线经过定点且与直线平行，若点和到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据直线过的点以及平行关系设出直线方程，再由点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】若直线经过定点且与直线平行可设直线的方程为； 点和到直线的距离相等可知， 解得或. 故选：C 5．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标， 和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程， 由于过三角形的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标， 即可求得PB的长和直线方程，进而求得面积. 【详解】    建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则三角形的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积， 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据题干设出点P 的坐标，根据对称性和光的反射原理可知 四点共线，进而求出点的坐标，和直线的方程，进而求出点Q的坐标，即可求得结果. 6．（23-24高二上·全国·单元测试）已知直线与直线，在上任取一点，在上任取一点，连接AB，取AB的靠近点的四等分点，过点作的平行线，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法1，由题可得与平行，则与之间的距离为与之间距离的，据此可得答案；方法2，注意到A，B 的选取对直线方程无影响，为此取，可得方程，据此可得答案. 【详解】方法1，直线的方程可化为，又，故直线与平行． 如图，过A作于点，交直线于点，则为所求直线与的距离． 因为，，所以．    方法2，由方法1，直线与平行，则A，B 的选取对直线方程无影响， 不妨设，因为为AB上靠近点的四等分点，则， 设，则. 设直线的方程为，将点的坐标代入，得， 则，故直线与之间的距离． 故选：B 7．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知点为动点，且的面积为1，则动点的轨迹方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】由题意求得，进而可求点到直线的距离，根据动点的轨迹是与平行的直线，设直线方程为，计算即可得出结果. 【详解】由可知，直线的方程为 的面积为点到直线的距离， 动点的轨迹是与平行的直线，设直线方程为， 则或 动点的轨迹方程为或. 故选：D 8．（2025高三·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 9．（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知点，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】利用对称求关于直线对称点为，结合将军饮马模型求最小值. 【详解】令关于直线对称点为，则，可得， 由，则， 当且仅当共线时取等号，故最小值为10. 故选：D 10．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分析可得三条直线互相平行，根据两平行的距离公式计算可得结果. 【详解】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 故选：C. 11．（24-25高二上·福建泉州·期中）函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得表示与、的距离之和，求出C关于x的轴对称点，数形结合，求解即可. 【详解】表示、的距离， 表示、的距离， 又关于x轴的对称点，如图，    所以， 所以． 故答案为： 12．（24-25高二上·天津和平·开学考试）直线与之间的距离的最大值为 . 【答案】5 【分析】分别求出直线，过的定点，，当与两直线垂直时距离最大，且最大值为，由此即可求解． 【详解】直线化简为：， 令且，解得，， 所以直线过定点， 直线化简为：， 令且，解得，， 所以直线过定点， 且与平行， 故当与直线，垂直时，直线，的距离最大， 且最大值为， 故答案为：5． 13．（24-25高二上·全国·单元测试）已知P，Q是直线：上两动点，且，点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题意，设点在点的左边，推得点，利用两点间距离公式计算，利用距离公式将其转化成两定点与一条定直线上的点的距离之和的最小值问题解决． 【详解】不妨设点在点的左边，因为直线的倾斜角为， 且，所以点的坐标为， 则． 记， 则可将理解为直线上一动点到的距离之和， 如图，作出点关于直线的对称点， 则，连接，交直线于点， 则即的最小值， 且， 故的最小值为．    故答案为：. 14．（24-25高二上·内蒙古通辽·阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长是 . 【答案】 【分析】建立适当平面直角坐标系，设，计算出点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为，可得直线就是所在的直线，结合重心坐标计算即可得出两对称点坐标，再借助周长公式及对称性结合两点间距离公式计算即可得. 【详解】以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，则，，， 所以直线的方程为， 设，点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为， 由，易得，，直线就是所在的直线，    所以直线的方程为， 设的重心为，则， 所以，即， 所以（舍去）或， 所以，. 结合对称关系可知，， 所以的周长即线段的长度为：. 故答案为：. 15．（24-25高二上·重庆·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 . 【答案】 【分析】设直线关于点对称的直线任一点为，根据点对称代入即可求解. 【详解】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为， 可得，解之可得， 所以在直线上，代入即可得， 化简的，即. 故答案为： 16．（24-25高二上·全国·课后作业）△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用解析法证明：. 【答案】证明见解析 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法证明即可. 【详解】如图所示，以B为坐标原点，取AC所在的直线为x轴，以垂直于AC且经过B点的直线为y轴，建立平面直角坐标系. 设△ABD和△BCE的边长分别为a和c， 则，，，， 则 ， ， 所以. 17．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于直线（A，B不同时为0）和点，定义点到直线的“特殊距离”，其中为非零常数. 已知直线，点，圆. (1)当时，求和的值. (2)若点是圆的动点，当时，求的最小值. (3)设直线，若存在点在直线上，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)0 (3) 【分析】（1）根据题意代入点点的坐标可得. （2）根据圆的方程设点，将坐标代入化简后利用时可取得最小值. （3）先设点，代入，得到的取值范围. 【详解】（1）对于点，直线， 对于点， （2）设点，当时， ， 其中 当时，取得最小值. . （3）设点， 得， 依题意有，， 由，所以任意实数方程都有解，即的取值范围为. 18．（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）已知的三个顶点是，，． (1)过点的直线与边相交于点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程； (2)求的角平分线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据平面向量的坐标关系确定，即可列方程得的坐标，从而可得直线方程； （2）利用对称性结合直线方程确定关于直线对称的点为的坐标关系式，即可得所求. 【详解】（1）设则， 因为的面积是面积的3倍，所以， 则解得 故直线的方程为，即 （2）显然，的斜率存在且不为零，设的方程为， 则过点且与垂直的直线的方程为 设点关于直线对称的点为， 因为直线的方程为， 所以 整理得 因为，所以，解得或 又，，所以， 故直线的方程为，即 19．（24-25高二上·安徽合肥·期中）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于直线对称可得对称点，即可根据两点距离公式求解， （2）根据两直线的方程可得交点，即可根据中点坐标可得，进而根据两点坐标求解直线方程. 【详解】（1）由题意可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 此时“将军饮马”走过的总路程为．    （2）由（1）知,故直线方程为， 故直线的方程是， 联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为， 边的中点，则，即， ∴直线斜率， ∴直线的方程为，整理得． ∴△中边中线所在的直线方程为． 20．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 【分析】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解. （2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程. （3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可. 【详解】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $$