专题1.3 两条直线的平行与垂直（高效培优讲义）数学苏教版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦两条直线平行与垂直的判定及应用这一核心知识点，以直线方程的五种形式为基础，延伸至平行、垂直及过交点的直线系方程，构建从基础原理到实际应用的学习支架。 资料通过表格化呈现判定方法培养数学眼光（几何直观），题型分层训练（判断、求参数、求方程）发展数学思维（推理能力），结合即学即练与综合题提升数学语言表达（模型意识）。课中辅助教师系统教学，课后帮助学生巩固查漏。

专题1.3 两条直线的平行与垂直 教学目标 1.掌握直线方程的五种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式与一般式）。 2.掌握两条直线平行与两条直线垂直的性质及其应用。 教学重难点 1.重点 （1）直线方程的五种形式； （2）直线平行与垂直的判定与性质； 2.难点 （1）根据两条直线平行，求参数或方程； （2）根据两条直线垂直，求参数或。 知识点一 两直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 【即学即练】 1．（25-26高二下·上海黄浦·期末）直线：，直线：，若，则实数a的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据两直线平行的系数关系列方程求解，再排除两直线重合的情况即可得到正确结果. 【详解】对于两条直线，，若，则满足且（不重合）； 由题得，， 首先由列等式：， 整理得，解得或， 当时，，，即，两直线重合，不符合题意，舍去； 当时，，，两直线斜率均为2，在轴上的截距分别为和，不重合，满足平行条件. 综上，. 2．已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】已知直线垂直求参数、由斜率判断两条直线垂直、充要条件的证明、判断命题的充分不必要条件 【分析】当时可得，即；当时可得，结合充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】当时，， 即，则，即； 当时，，解得. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 3．（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知直线，若，则a的值为________． 【答案】3 【难度】0.8 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据两直线平行的条件列式求解，即可得答案. 【详解】由题意直线，，， 得且， 即且 解得. 4．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线，若，则__________． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】由直线垂直的充要条件即可计算求解. 【详解】直线即， 若，则. 故答案为：2 5．（24-25高二下·上海·期末）已知直线； (1)若，求实数的值； (2)若不经过坐标原点的直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】由一般式方程判断直线的平行、直线截距式方程及辨析、已知直线平行求参数 【分析】（1）根据直线一般式中平行满足的系数关系，列方程求解参数即可. （2）由题意得，并分别求解轴上的截距，根据截距相等列方程求解即可. 【详解】（1）当时，满足，解得. 所以实数的值为. （2）因为. 且由题意可知，所以解得且， 令，得，令，得， 所以，解得. 所以实数的值为. 知识点二 直线系方程 1、平行直线系 与已知直线平行的直线系方程（为参数）． 2、垂直直线系 与已知直线垂直的直线系方程（为参数）． 3、过两直线交点的直线系 过直线与的交点的直线系方程：（为参数）． 【即学即练】 1．（25-26高二上·福建厦门·期中）过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】先根据已知直线方程设出与已知直线平行的直线，再代入坐标求出方程. 【详解】直线的斜率为，所求直线与其平行，故其斜率为， 又直线过点，则所求直线的方程为，即. 故选：C 2．（24-25高二上·河南周口·期末）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由两条直线垂直求方程、直线的点斜式方程及辨析 【分析】设直线的方程为，代入点的坐标可求直线方程. 【详解】由题意设直线的方程为，将点代入，得，所以直线的方程为. 故选：D. 3．（25-26高二上·北京平谷·期末）过点且与直线垂直的直线的方程是____________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由两条直线垂直求方程、直线的点斜式方程及辨析、已知直线垂直求参数 【分析】根据两直线垂直可得直线的斜率为2，再由直线的点斜式方程可得结果. 【详解】易知直线的斜率为， 由两直线垂直可知直线的斜率为2，又直线过点， 所以直线的方程是，即. 故答案为： 4．（25-26高二上·青海·阶段检测）已知直线经过点，． (1)若直线经过点且平行于直线，求直线的一般式方程； (2)若直线经过点且垂直于直线，求直线的一般式方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由两条直线垂直求方程、由两条直线平行求方程、已知两点求斜率 【分析】（1）先求出直线的斜率，再利用平行关系求出直线的斜率，进而求出直线方程； （2）先根据垂直关系求出直线斜率，再结合点求出直线方程． 【详解】（1）直线经过点，， 直线的斜率为， 直线平行于直线，直线的斜率为， 又直线经过点， 直线的方程为，一般式方程为．      （2）直线垂直于直线，直线的斜率，解得， 又直线经过点， 直线的方程为，其一般式方程为．    题型01 判断两条直线平行 【典例1】．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知直线，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、由斜率判断两条直线平行、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及直线平行的判定与性质得解. 【详解】当时，直线， 当时，，推不出， 综上，是的充分不必要条件. 故选：A 【变式1】．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）若直线：与直线：平行，则（ ） A．4 B． C．1或 D．或4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、由一般式方程判断直线的平行 【分析】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验. 【详解】由题可得：直线：与直线：平行， 则，整理可得，解得或， 若，直线：与直线：平行，符合题意； 若，直线：与直线：平行，符合题意； 综上所述：或. 【变式2】．直线，那么与_________. 【答案】平行 【难度】0.85 【知识点】由斜率判断两条直线平行 【分析】根据两条直线斜率关系即可判断. 【详解】由题可得，且与不重合，所以与平行； 故答案为：平行 【变式3】．（2026·天津河西·三模）设，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】判断命题的必要不充分条件、由斜率判断两条直线平行、已知直线平行求参数 【详解】由，若，则、重合，充分性不成立， 由，则必有，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 题型02 已知两条直线平行，求参数 【典例2】．（25-26高一下·重庆·期中）若直线与直线平行，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据平行系数关系计算求解. 【详解】由直线与直线平行，得， 所以. 【变式1】．（25-26高二下·江西赣州·期中）已知直线与直线，若，则（   ） A．1或 B．或5 C．1 D． 【答案】D 【难度】0.9 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据直线的平行可得出关于的方程，求得的值，检验后即得答案. 【详解】因为， 所以，解得或， 当时，，，此时两直线重合，不符题意； 当时，，，两直线平行， 所以. 【变式2】．（25-26高二上·云南曲靖·期末）已知直线，若，则___________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、由斜率判断两条直线平行 【分析】由一般式得到两直线斜率，再由两直线平行，斜率相等求解即可； 【详解】当时，，，两直线不平行， 当时，两直线平行斜率相等， ，则 ，则， 又，则两直线斜率相等，即， 化简计算得：，解得：或， 又时，，，两直线重合， 故. 故答案为： 【变式3】．（2026·上海奉贤·二模）若直线与直线平行，则实数a的值为________． 【答案】 【难度】0.88 【知识点】已知直线平行求参数 【详解】已知直线与直线平行， 两直线斜率相等，即，解得， 直线的截距为1，直线的截距为0，不相等， ． 【变式4】．（25-26高二上·江西吉安·期末）直线与直线，若，则__________. 【答案】3 【难度】0.94 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据两直线平行，列出有关的等式，即可求出实数的值，再验证直线的关系. 【详解】由，则，化简得，可得或， 当时，直线的方程为，此时不是直线，故舍去，所以 故答案为：. 【变式5】（25-26高一下·上海·阶段检测） （1）．若直线与平行，求的值. （2）．将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，求与两坐标轴所围成的三角形面积. 【答案】3或5 【难度】0.72 【知识点】已知直线平行求参数、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】（1）根据两直线平行求出； （2）利用到角公式求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程，求出其与轴，轴的交点坐标，求出所围成的三角形面积. 【详解】（1）．因为直线与平行， 所以. 当时，，两直线平行，符合题意； 当时，由得（舍去）或， 此时，两直线平行，符合题意. 综上，的值为3或5. （2）．在直线中，令，得，即. 设直线的斜率为，由题意得 ，解得； 所以直线的方程为，即. 在中，令，得；令，得. 所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为. 题型03 判断两条直线垂直 【典例3】．若直线，则_______________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由斜率判断两条直线垂直 【分析】通过讨论斜率是否存在，确定充要条件. 【详解】已知直线，（、、、、、为常数）. 当直线和的斜率都存在时，则，， 直线的斜率为，直线的斜率为，若，则，可得； 当直线和分别与两坐标轴垂直，不妨设轴，则轴，则，，满足. 综上所述，若直线，则； 故答案为： 【变式1】．若点在直线上，则与的位置关系是________． 【答案】垂直 【难度】0.85 【知识点】由斜率判断两条直线垂直 【分析】由点在直线上，求出的值，再验证两直线的位置关系，可得答案. 【详解】由点在直线上，得，解得 所以直线，则 又，则 则，所以 故答案为：垂直 【变式2】．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】由斜率判断两条直线垂直 【分析】求得两条直线的斜率，从而判断出两条直线的位置关系. 【详解】直线和直线的斜率分别为，， 因为，所以. 故选：A 【变式3】．（25-26高二上·江西宜春·期末）设直线和直线，则直线与直线的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．以上都不是 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】由一般式方程判断直线的垂直 【分析】利用斜率之积为,来判断两直线垂直即可. 【详解】由直线的斜率为：， 直线的斜率为， 可得，所以两直线互相垂直. 故选：C 【变式4】．已知两条直线和，以下说法正确的是（   ）. A． B．与重合 C． D．与的夹角为 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由一般式方程判断直线的垂直、由一般式方程判断直线的平行 【分析】由与一般式方程的系数关系，即可判断出正确答案. 【详解】依题意，，所以，与的夹角为， 故A正确，B、C、D错误. 故选：A 题型04 已知两条直线垂直，求参数 【典例4】．（25-26高二下·河北保定·开学考试）若直线与互相垂直，则（    ） A． B．3 C．或3 D． 【答案】D 【难度】0.96 【知识点】已知直线垂直求参数 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得． 【变式1】．（25-26高二上·广西河池·期末）若直线与直线垂直，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据一般式下两直线垂直的关系得到方程，解得即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 故选：A 【变式2】．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知直线与直线垂直，则______． 【答案】 【难度】0.88 【知识点】已知直线垂直求参数 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，得. 【变式3】．（2026·上海黄浦·二模）若直线与垂直，则a的值为______． 【答案】3 【难度】0.88 【知识点】已知直线垂直求参数 【详解】若直线与垂直， 则，解得. 【变式4】．若直线与垂直，则实数_______________ 【答案】# 【难度】0.96 【知识点】已知直线垂直求参数 【详解】因为直线与垂直， 所以，即. 【变式5】．（1）求证：不论为何值，直线恒过定点； （2）当为何值时，直线与直线垂直？ 【答案】（1）证明见解析；（2） 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、已知直线垂直求参数 【分析】（1）根据点斜式方程确定定点； （2）根据两直线垂直斜率之积为求解. 【详解】（1）证明：将直线方程变形为，由直线方程的点斜式可知，直线过定点. （2）由题意可知，，，因为，所以，解得. 故当时，直线与直线垂直. 题型05 由两条直线平行，求直线方程 【典例1】．（25-26高二上·云南玉溪·期中）根据下列条件分别求出直线的方程，并化为一般式方程．已知直线． (1)经过点且与直线平行的直线； (2)经过点且与直线垂直的直线． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】由两条直线垂直求方程、由两条直线平行求方程 【分析】（1）设所求直线的方程为，求出即可； （2）设所求直线方程为，求出即可. 【详解】（1）设所求直线的方程为， 代入点，则有，解得， 所以所求直线方程为； （2）设所求直线方程为， 代入点，则有，解得， 所以所求直线方程为． 【变式1】．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）直线l过点且与直线平行，则l的方程为____________ 【答案】 【难度】0.88 【知识点】由两条直线平行求方程 【详解】设直线， 依题意得直线l过点， 则， 得， 故l的方程为． 【变式2】．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知直线过点且与直线：平行，则直线的一般式方程为______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】根据平行关系，利用待定系数法求解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以可设直线方程为， 又直线过点，所以， 解得， 所以直线的方程为. 故答案为： 【变式3】．（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由两条直线平行求方程 【详解】直线 的斜率为 。 因为所求直线与已知直线平行，故设所求直线方程为 。 将点 代入方程得： ， 因此，所求直线方程为：。 【变式4】．（25-26高二下·辽宁铁岭·阶段检测）已知直线，则过原点且与l平行的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.88 【知识点】由两条直线平行求方程、直线的一般式方程及辨析 【分析】由已知设所求直线方程为，根据直线过原点求得c，即得答案. 【详解】与平行的直线的方程可以设为， 又直线过原点，所以． 所以过原点且与l平行的直线的方程为． 题型06 由两条直线垂直，求直线方程 【典例6】．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）求出满足下列条件的直线方程： (1)经过点，且与直线平行； (2)经过点，且与直线垂直； 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）根据直线方程得出已知直线的斜率，由平行关系求得所求直线的斜率，然后利用点斜式写出所求直线方程化简即可； （2）根据直线方程得出已知直线的斜率，由垂直关系求得所求直线的斜率，然后利用点斜式写出所求直线方程化简即可； 【详解】（1）由直线的斜率为， 设所求直线的斜率为， 因为所求直线与直线平行， 所以， 又所求直线经过，根据点斜式方程可得：， 即所求直线方程为. （2）由直线的斜率， 由题知两条直线垂直且，所以所求直线斜率存在， 设所求直线的斜率为， 由，解得：， 又所求直线经过点，根据点斜式方程可得：， 即所求直线方程为. 【变式1】．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由两条直线垂直求方程 【分析】利用直线方程垂直的条件求出目标直线斜率，进而得到直线方程即可. 【详解】对于直线方程，其斜率为， 而目标直线与垂直，则目标直线斜率为， 则目标直线方程为，化简得，故C正确. 故选：C 【变式2】．（24-25高二上·贵州毕节·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】由两条直线垂直求方程、直线一般式方程与其他形式之间的互化、直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据直线互相垂直得到斜率，再结合直线经过点，写出直线的点斜式，再转化为一般式即可. 【详解】由题可知，直线的斜率为，故与其垂直的直线斜率为， 又因为直线过点，故可设点斜式，整理得， 故选：A. 【变式3】．（25-26高二下·上海·期末）过点且与直线垂直的直线方程为_______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【详解】直线的斜率为， 设待求直线斜率为，则由题意，得，解得. 所以待求直线方程为，即. 【变式4】．（25-26高一下·全国·课后作业）过点且与直线垂直的直线的方程是_____________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】由两条直线垂直求方程 【分析】设是所求直线上任一点，直线的方向向量为，由化简即可求解. 【详解】设是所求直线上任一点， 直线的方向向量为，由，得． 故答案为： 1．（25-26高二上·山西·阶段检测）直线和的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由斜率判断两条直线垂直、由斜率判断两条直线平行 【详解】因为直线的斜率，直线的斜率， 要判断两直线的位置关系，需要找到与的关系，是否满足两直线平行、垂直、相交但不垂直、重合四种情况， 也就是验证是否相等、是否等于， 验证结果，， 所以两条直线不平行，也不垂直，也不重合. 故选：C. 2．（25-26高二上·四川南充·期末）已知直线，则的充要条件是（    ） A． B． C． D．或2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据充要条件求参数、已知直线平行求参数、由一般式方程判断直线的平行 【分析】根据两直线平行的充要条件列出满足题意的方程或不等式解出即可. 【详解】由， 则， 由， ，解得：. 故选：B 3．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知，则直线和直线的位置关系不可能是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．关于轴对称 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、由一般式方程判断直线的垂直、由一般式方程判断直线的平行 【分析】根据条件，由两直线平行的必要条件得到，解出值，再进行检验，即可判断出选项A和B的正误，对于C，利用两直线垂直的充要条件得，利用方程有解，即可判断C的正误；对于D，利用直线过定点，先假设两直线关于轴对称，从而有在直线上，求出值，再进行检验即可求解. 【详解】由，整理得到，解得或， 当时，两直线方程为和，此时两直线重合， 当时，两直线方程为和，此时两直线平行，所以A和B可能， 对于C，由，整理得到，又， 所以有解，即存在值，使两直线垂直，所以C可能， 对于D，由，得到， 由，解得，所以直线过定点， 若两直线关于轴对称，则点在另一直线上，所以， 得到，此时两直线方程为和，显然两直线不关于轴对称，所以D不可能. 故选：D. 4．（2026·河北邯郸·二模）已知直线，，则“”是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.84 【知识点】充要条件的证明、已知直线平行求参数 【详解】当时，，，则直线斜率为，截距为， 直线斜率为，截距为，因为两条直线斜率，且在轴上的截距， 所以，此“”是的充分条件； 若，当时，，，显然两条直线有交点， 当时，若，则需满足两条直线斜率相等且在轴上的截距不相等， 即：，解得：，因此“”是的必要条件， 所以“”是的充要条件. 5．（24-25高二上·江苏淮安·期中）下列哪条直线与直线垂直（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由斜率判断两条直线垂直、直线斜率的定义 【分析】先求得出直线的斜率，利用两直线垂直的斜率公式对各个选项进行验证即可求解. 【详解】直线的斜率为2, 若直线m与直线垂直，则，， 对于A,的斜率为2,不与直线垂直; 对于B,的斜率为2,不与直线垂直; 对于C,的斜率为-1，不与直线垂直； 对于D,的斜率为 ,与直线垂直. 故选:D. 6．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知直线：，：，若，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】已知直线垂直求参数 【详解】已知直线：，：，若， 则有， 化简方程得：， 解得或，C正确. 7．（24-25高二下·上海·期中）已知两条直线 ，“”是“直线”（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】充要条件的证明、已知直线垂直求参数 【分析】根据求出，根据的取值进而验证即可求解. 【详解】当时，，解得， 所以，所以是直线的充分不必要条件. 8．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）已知直线与垂直，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．-2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数 【详解】根据两直线垂直系数的关系，即可求得答案． 【分析】因为直线与垂直， 所以，即，解得． 9．（25-26高三上·湖南长沙·期末）直线和直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知直线垂直求参数、判断命题的充分不必要条件 【分析】先由两直线互相垂直可得或，再结合充分必要条件定义即可得解. 【详解】，则，即，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 10．（25-26高二上·广西崇左·期末）若直线与互相垂直，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数、由一般式方程判断直线的垂直 【分析】利用两直线垂直的条件建立方程，求解参数即可. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得，故D正确. 故选：D 11．（25-26高二上·云南昆明·期末）经过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】设与直线平行的直线方程为，代入点的坐标，即可求解. 【详解】设经过点且与直线平行的直线方程为， 所以，解得，所以直线方程为. 故选：B. 12．（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）已知直线l过点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】利用待定系数法可求直线l的方程. 【详解】因直线l与直线平行，可设直线l的方程为， 又直线l过点，所以，解得， 所以直线l的方程为. 故选：C. 13．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线．若，则实数的值为________________． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】由一般式方程判断直线的平行、已知直线平行求参数 【分析】由两直线平行的公式求参数可得结果. 【详解】因为，所以，解得或. 当时，，符合题意. 当时，，两直线重合，不合题意. 综上，. 故答案为：2. 14．已知，，直线与直线平行，则的最小值是______. 【答案】9 【难度】0.85 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、由一般式方程判断直线的平行、已知直线平行求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】由两直线平行，求得，再利用基本不等式求的最小值 【详解】直线与直线平行，有，即， ， 当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 故答案为：9 15．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知直线.若与平行且不重合，则实数______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】利用两直线平行的条件列出关于的方程，解出后代入检验即可求解. 【详解】对于直线，其中. 对于直线，其中. 与平行且不重合，，即， 整理得，解得或. 当时，，，此时与平行且不重合，符合题意. 当时，即，， 此时与重合，不合题意，舍去. 综上，. 故答案为： 16．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知直线过，且，则直线的斜率为______． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由斜率判断两条直线垂直、已知两点求斜率 【分析】根据两点坐标求直线的斜率，结合两直线的位置关系即可求解. 【详解】设直线斜率为，直线斜率为， 因为直线过，， 所以斜率为， 因为，所以， 所以，即直线的斜率为. 故答案为：. 17．（25-26高二上·山东济宁·期末）已知直线与，若，则_____ 【答案】0或 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】由两直线垂直的等价条件进行求解. 【详解】由,得, 解得或, 故答案为：0或 18．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知直线，过点且与直线平行的直线一般式方程为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，再利用点斜式求解作答. 【详解】直线的斜率为，则所求直线的斜率为， 又直线经过点，所以所求直线的方程是，即. 故答案为：. 19．（24-25高二上·北京平谷·期末）经过点，且与直线平行的直线方程是______. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】利用所求直线与直线平行，可设其方程，代入点，计算即得. 【详解】因所求直线与直线平行，故可设为， 代入点，解得， 故所求的直线方程为：. 故答案为：. 20．（24-25高二上·上海·期末）已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程是____________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】根据直线平行可设，根据直线经过点可得结果. 【详解】设直线的方程为， ∵直线经过点，∴，解得， ∴直线的方程是. 故答案为：. 21．（25-26高二上·甘肃武威·期末）过点且与直线垂直的直线的方程为__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由两条直线垂直求方程、直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据两直线垂直求出斜率，再根据点斜式求出方程即可得解． 【详解】设所求直线的斜率为，直线可化为，斜率为， 所以，解得，又直线过点， 所以直线方程为，整理得． 故答案为： 22．将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由两条直线垂直求方程 【分析】解法一根据得，计算可得，由直线点斜式方程求解即可；解法二利用垂直直线方程，设直线，由直线过点，代入求解即可. 【详解】解法一：由方程可知，的斜率为，点在直线上， 由顺时针旋转后得到，所以，所以， 因为过点，所以的方程为，即． 解法二：由题意知，，则可设直线， 因为直线过点，所以， 解得，所以． 故答案为： 23．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知直线经过、两点． (1)求直线的方程； (2)设直线，若，求实数的值． 【答案】(1) (2)． 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程； （2）根据直线垂直满足的关系式得到方程，求出实数的值. 【详解】（1）直线经过、两点， ， 直线，即：． （2）由，直线，， 得，解得， 即实数的值为． 24．求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.75 【知识点】由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）根据平行直线的斜率相等即可求解； （2）根据互相垂直的直线的斜率乘积为，从而求解直线方程. 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入， 解得，可得， 所以所求的直线方程为； （2）设与直线垂直的直线方程为， 由于过点，代入，解得， 可得， 所以所求的直线方程为. 25．（25-26高二上·福建三明·期末）若直线过点且与直线垂直，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由两条直线垂直求方程 【分析】将所求直线方程设为：，代入求得可得答案. 【详解】注意到，因该直线与垂直， 则设的方程为：，代入，得. 从而. 故选：C 26．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）若的三个顶点为，则边上的高所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由两条直线垂直求方程、已知直线垂直求参数、已知两点求斜率 【分析】利用两点间斜率公式及直线垂直的充要条件结合点斜式计算即可. 【详解】由题意可知直线的斜率为，则边上的高所在直线的斜率为， 所以该高线的方程为，整理得. 故选：A 27．（25-26高二上·湖南永州·期中）已知点.求： (1)过点P且在y轴上截距的直线的方程； (2)已知直线，直线经过两点，若，求实数m的值. 【答案】(1) (2)或. 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析、已知直线平行求参数 【分析】（1）设该直线的方程为，将点代入，求得，即可求解； （2）求得的方程，根据，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：因为直线在y轴上截距，设该直线的方程为， 将点代入直线方程，可得，解得， 所以的方程为. （2）解：易知存在，由，可得， 又由直线，且，可得， 即，解得， 所以实数的值为或. 28．（24-25高二上·云南楚雄·阶段检测）已知点和直线． (1)若直线经过点，且，求直线的方程； (2)若直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】(1) (2)和 【难度】0.85 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、直线截距式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析、已知直线平行求参数 【分析】（1）先根据平行得出斜率，再点斜式得出直线方程，最后转化为一般式即可； （2）先分直线经过原点及直线不经过原点，应用点斜式及截距式设直线再代入点计算求参，最后转化为一般式即可. 【详解】（1）由直线的方程可知它的斜率为， 因为，所以直线的斜率为． 又直线经过点， 所以直线的方程为：，即． （2）若直线经过原点，直线的斜率为， 则直线的方程为，即； 若直线不经过原点，设直线方程为， 代入可得，即，故直线方程为． 综上所述，直线的方程为或． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 两条直线的平行与垂直 教学目标 1.掌握直线方程的五种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式与一般式）。 2.掌握两条直线平行与两条直线垂直的性质及其应用。 教学重难点 1.重点 （1）直线方程的五种形式； （2）直线平行与垂直的判定与性质； 2.难点 （1）根据两条直线平行，求参数或方程； （2）根据两条直线垂直，求参数或。 知识点一 两直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 【即学即练】 1．（25-26高二下·上海黄浦·期末）直线：，直线：，若，则实数a的值为（    ） A．或 B． C． D． 2．已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知直线，若，则a的值为________． 4．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线，若，则__________． 5．（24-25高二下·上海·期末）已知直线； (1)若，求实数的值； (2)若不经过坐标原点的直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 知识点二 直线系方程 1、平行直线系 与已知直线平行的直线系方程（为参数）． 2、垂直直线系 与已知直线垂直的直线系方程（为参数）． 3、过两直线交点的直线系 过直线与的交点的直线系方程：（为参数）． 【即学即练】 1．（25-26高二上·福建厦门·期中）过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南周口·期末）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京平谷·期末）过点且与直线垂直的直线的方程是____________. 4．（25-26高二上·青海·阶段检测）已知直线经过点，． (1)若直线经过点且平行于直线，求直线的一般式方程； (2)若直线经过点且垂直于直线，求直线的一般式方程． 题型01 判断两条直线平行 【典例1】．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知直线，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）若直线：与直线：平行，则（ ） A．4 B． C．1或 D．或4 【变式2】．直线，那么与_________. 【变式3】．（2026·天津河西·三模）设，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型02 已知两条直线平行，求参数 【典例2】．（25-26高一下·重庆·期中）若直线与直线平行，则（    ） A．3 B． C． D． 【变式1】．（25-26高二下·江西赣州·期中）已知直线与直线，若，则（   ） A．1或 B．或5 C．1 D． 【变式2】．（25-26高二上·云南曲靖·期末）已知直线，若，则___________ 【变式3】．（2026·上海奉贤·二模）若直线与直线平行，则实数a的值为________． 【变式4】．（25-26高二上·江西吉安·期末）直线与直线，若，则__________. 【变式5】（25-26高一下·上海·阶段检测） （1）．若直线与平行，求的值. （2）．将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，求与两坐标轴所围成的三角形面积. 题型03 判断两条直线垂直 【典例3】．若直线，则_______________. 【变式1】．若点在直线上，则与的位置关系是________． 【变式2】．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【变式3】．（25-26高二上·江西宜春·期末）设直线和直线，则直线与直线的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．以上都不是 【变式4】．已知两条直线和，以下说法正确的是（   ）. A． B．与重合 C． D．与的夹角为 题型04 已知两条直线垂直，求参数 【典例4】．（25-26高二下·河北保定·开学考试）若直线与互相垂直，则（    ） A． B．3 C．或3 D． 【变式1】．（25-26高二上·广西河池·期末）若直线与直线垂直，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【变式2】．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知直线与直线垂直，则______． 【变式3】．（2026·上海黄浦·二模）若直线与垂直，则a的值为______． 【变式4】．若直线与垂直，则实数_______________ 【变式5】．（1）求证：不论为何值，直线恒过定点； （2）当为何值时，直线与直线垂直？ 题型05 由两条直线平行，求直线方程 【典例1】．（25-26高二上·云南玉溪·期中）根据下列条件分别求出直线的方程，并化为一般式方程．已知直线． (1)经过点且与直线平行的直线； (2)经过点且与直线垂直的直线． 【变式1】．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）直线l过点且与直线平行，则l的方程为____________ 【变式2】．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知直线过点且与直线：平行，则直线的一般式方程为______. 【变式3】．（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4】．（25-26高二下·辽宁铁岭·阶段检测）已知直线，则过原点且与l平行的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 题型06 由两条直线垂直，求直线方程 【典例6】．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）求出满足下列条件的直线方程： (1)经过点，且与直线平行； (2)经过点，且与直线垂直； 【变式1】．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高二上·贵州毕节·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26高二下·上海·期末）过点且与直线垂直的直线方程为_______. 【变式4】．（25-26高一下·全国·课后作业）过点且与直线垂直的直线的方程是_____________． 1．（25-26高二上·山西·阶段检测）直线和的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 2．（25-26高二上·四川南充·期末）已知直线，则的充要条件是（    ） A． B． C． D．或2 3．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知，则直线和直线的位置关系不可能是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．关于轴对称 4．（2026·河北邯郸·二模）已知直线，，则“”是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高二上·江苏淮安·期中）下列哪条直线与直线垂直（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知直线：，：，若，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 7．（24-25高二下·上海·期中）已知两条直线 ，“”是“直线”（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 8．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）已知直线与垂直，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．-2 9．（25-26高三上·湖南长沙·期末）直线和直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（25-26高二上·广西崇左·期末）若直线与互相垂直，则（    ） A． B． C．4 D． 11．（25-26高二上·云南昆明·期末）经过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）已知直线l过点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线．若，则实数的值为________________． 14．已知，，直线与直线平行，则的最小值是______. 15．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知直线.若与平行且不重合，则实数______. 16．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知直线过，且，则直线的斜率为______． 17．（25-26高二上·山东济宁·期末）已知直线与，若，则_____ 18．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知直线，过点且与直线平行的直线一般式方程为______． 19．（24-25高二上·北京平谷·期末）经过点，且与直线平行的直线方程是______. 20．（24-25高二上·上海·期末）已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程是____________． 21．（25-26高二上·甘肃武威·期末）过点且与直线垂直的直线的方程为__________． 22．将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是______． 23．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知直线经过、两点． (1)求直线的方程； (2)设直线，若，求实数的值． 24．求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程. 25．（25-26高二上·福建三明·期末）若直线过点且与直线垂直，则的方程是（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）若的三个顶点为，则边上的高所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 27．（25-26高二上·湖南永州·期中）已知点.求： (1)过点P且在y轴上截距的直线的方程； (2)已知直线，直线经过两点，若，求实数m的值. 28．（24-25高二上·云南楚雄·阶段检测）已知点和直线． (1)若直线经过点，且，求直线的方程； (2)若直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $